能被……整除的特点
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
能整除3的数的特征
能整除3的数的特征在日常生活中，我们常常遇到一些数字，而其中有一类数字在我们处理问题时显得特别重要，那就是能够整除3的数。
在数学中，我们对这类数字有着丰富的研究，可以发现整除3的数有着许多特征，这篇文档将会对这些特征进行详细的解析。
一、基本特征第一个基本特征是：能够被3整除的数的个位数只能是0、3、6、9。
即：一个数能够被3整除，当且仅当它的个位数是0、3、6、9中的一个。
这个特征非常重要，因为它是判断一个数是否能够被3整除最为基础的条件。
第二个基本特征是：如果一个数能够被3整除，那么它的各位数字之和也必定能被3整除。
例如，18、39、84都是能够被3整除的数，而它们的各位数字之和分别为9、12、12，这三个数都能够被3整除。
二、深入特征除了上述的基本特征外，能够被3整除的数还有一些深入的特征值得我们去了解。
第一个深入特征是：如果一个数的各位数字之和能够被3整除，那么这个数字就有可能能被3整除。
例如，526，它的各位数字之和为13，13能被3整除，而526也能够被3整除；再例如，521，它的各位数字之和为8，8不能被3整除，因此521也不能被3整除。
第二个深入特征是：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么将这个数的各个数字顺序翻转的结果也可能能被3整除。
例如，123，它的各位数字之和为6，6能被3整除，而将它的顺序翻转得到的数字是321，而321也能被3整除；再例如，225，它的各位数字之和为9，9能被3整除，而将它的顺序翻转得到的数字是522，而522也能被3整除。
第三个深入特征是：一个数如果能够被3整除，那么如果它的任意一位数字加上9后，各位数字之和仍然能被3整除。
例如，24，它能够被3整除，而2+9=11，1+1=2，2也能被3整除；再例如，138，它能够被3整除，而1+9=10，3+9=12，8+9=17，10+12+17=39，39也能被3整除。
三、利用特征求解问题了解了整除3的数字的特征后，我们可以运用这些特征来快速解答一些问题。
能被7和11整除数的特点
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此，491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
除上述方法外，还可以用割减法进行判断。
即：从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止。
如果余数能被11整除，那么，原来这个数就一定能被11整除。
又如：判断583能不能被11整除。
用583减去11的50倍（583-11×50=33）余数是33，33能被11整除，583也一定能被11整除。
能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
数的整除（能被7、9、1、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是的倍数，b是a的约数。
3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
数的整除
数的整除（背的内容）
1、被3或9整除的数的特点:各位数字的和是3或9的倍数
2、被2整除的数的特点：个位数是偶数。
3、被5整除的数的特点：个位是0或5.
4、被4或25整除的数的特点：末两位数能被4或25整除。
5、被8或125整除的数的特点：末三位数能被8或125整除。
6、被11整除的数的特点:这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
7、被7或11或13整除的数的特点：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差能被7或11或13整除。
写的内容
1、把一个棱长为4厘米的正方体以任意长度横着切两片，以任意长度竖着切两条，在每一条上切三块，共切出12块。
不一样的长方体，则这12块长方体的表面积是多少？
2、有一个长方体和一个正方体，正好可以拼成一个新的长方
体，新长方体的表面积比原长方体的表面积增加60平方厘米，求正方体的表面积？
3、一个长方体，表面积为184平方厘米，底面积是20平方厘
米，底面周长为18平方厘米，求长方体的体积？
4、一个长方形跑道长150米，宽60米，王丽和杨乐同时从一
个顶点同向起跑，王丽每分钟跑500米，杨乐
每分钟跑450米，两人第一次相遇时各跑多少米？
5、一轮船往返于A、B两港运送货物，去时顺水每小时行24
千米，返回时逆水每小时行16千米，返回时比去时
多用4小时，求AB两港间相距多少千米？
6、一架飞机顺风而行每小时飞900千米。
现在它从甲地到乙
地顺风而去，逆风返回，返回时比去时多用2小时，
已知风速每小时为75千米，求往返甲、乙两地共用多长时
间？。
能被9整除的数的特点
崔子荣
２０ 年 ７月 ２ ０９ ２日．０ 年一遇 的 日全食 的 否被 ９ 除 ，只要看这个数 的各位数 字 的和就 ｔ ５０ 整 壮丽景观 ． 相信 同学们还记忆犹新吧 ！ 这次 日全 行 了． 由此 ， 我们 可以得 出一个 结论 ： 一个 数 的 ： 食长度达 １ 万多公里 ， 宽度约 ２ ０ ５ 公里 ， 经过我 各 位数字的和能被 ９ 除 ，这个数就能被 ９整 ： 整 国长江流域 ， 全过程约两个小时 ， 全食最长可达 除 ； 反过来 ， 一个 数能被 ９整除 ， 它的各位数 字
．
数减去小数 ：０ ２ ２ —２ ０７ ２ ０ ２ ９ ． ９ ２ ７ ０ ｏ ９２ ＝７ ｌ９ ８ 把差 的各位数字加起来 ： ＋０ ＋２ ＋ ７ ＋１ ＋９
９ ８ ３． ＋ ＝ ６
１Ｏ ＋ｌ ｃ ＝９ １ ｂ ） ａ ＋ｃ ． Ｏ ｂ Ｏ ＋ａ （ ｌ ＋ｃ ＋ ＋６ ）
容易知道 。变换后 的数与原数 的差 一定 能 ：
第八步： 把所得的一位数乘２３再加３ ２， ．
｛ 籍＿
如果没有计算错误 的话 ，得到 的数一定会 ～
从变形的结果可以看 出 ，原来 的三位数 能
是２１１ ００
豫
ｌ 。
｜
么呢？
同学们 ，相 信你们 已经明 白了其 中的道理
：
：
人类文 明在飞速发展 ， 科学技术 日新月异 ， 我们 吧． 那么我们一起来玩下面的游戏 ：
第一 步 ： 任意写一个你喜欢 的 自然数 ；
第二步 ： 加上你的年龄 ；
第三 步 ： 若你是男同学 ， 将新得 的数减去 １ ， ， ： 第 四步 ： 乘一个你 喜欢 的两位数 ： 第五步 ： 乘一个你喜欢 的 自然数 ：
能被2整除的数的特征
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REPORTING
• 引言 • 能被2整除的数的定义 • 能被2整除的数的性质 • 特殊情况 • 结论
目录
PART 01
引言
REPORTING
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主题简介
01
能被2整除的数是指一个整数除以 2得到的商也是整数，没有余数。
例如：10除以2等于 5，所以10能被2整 除。
PART 03
能被2整除的数的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
偶数的性质
定义
偶数是能被2整除的整数，表示为 2n，其中n是整数。
性质
偶数可以写成2乘以另一个整数的 形式，因此它具有偶数个因数。
特性
偶数可以表示为两个相同整数之和 或之差的形式。
末位是5的数
例如75、85、95等，这 些数的末位都是5，而5是 奇数的特殊情况。
连续自然数
例如3、4、5，或者11、 12、13等，这些连续的自 然数中，总有一个数是奇 数。
PART 05
结论
REPORTING
WENKU DESIGN
对能被2整除的数的总结
01
02
03
能被2整除的数是偶数。
偶数的个位数一定是0、 2、4、6或8。
能被5整除的数的特征
一个数的个位数是0或5，则这个数 能被5整除。
能被6整除的数的特征
一个数如果既能被2整除又能被3整 除，则这个数能被6整除。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
程。
在几何学中，能被2整除的数与 角度、长度等度量单位相关，因 为它们可以表示完整的度量单位。
能被3和9整除的数的特征
能被3和9整除的数的特征一、引言在数学中，有一类特殊的数被称为能被3和9整除的数。
这些数具有一些独特的特征，本文将从不同角度展开讨论，探究能被3和9整除的数的特点和性质。
二、能被3整除的数的特征1. 数字和能被3整除能被3整除的数具有一个明显的特点，即它们的各位数字之和能被3整除。
例如，12、15、18都是能被3整除的数，因为1+2=3，1+5=6，1+8=9，都能被3整除。
2. 末位数字规律能被3整除的数的末位数字具有一定的规律性。
例如，3、6、9、12等数的末位数字都是3的倍数，因此它们能被3整除。
三、能被9整除的数的特征1. 数字和能被9整除能被9整除的数的各位数字之和能被9整除。
这是因为9是3的倍数，即9=3*3。
例如，27、36、45等数的各位数字之和都能被9整除。
2. 末位数字规律能被9整除的数的末位数字为0。
这是因为9是10的一个因子，而10的倍数的末位数字为0。
四、能被3和9整除的数的特征1. 数字和能被3和9整除能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除。
例如，27、36、45都是能被3和9整除的数，因为它们的各位数字之和都能被3和9整除。
2. 末位数字规律能被3和9整除的数的末位数字为0。
这是因为能被3和9整除的数既能被3整除，又能被9整除，而9是10的一个因子，因此这类数的末位数字为0。
五、能被3和9整除的数的例子1. 30、90、120、150等都是能被3和9整除的数。
它们的各位数字之和都能被3和9整除，且末位数字为0。
六、结论通过对能被3和9整除的数的特征进行分析，我们可以得出以下结论：1. 能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，且末位数字为3、6、9。
2. 能被9整除的数的各位数字之和能被9整除，且末位数字为0。
3. 能被3和9整除的数的各位数字之和既能被3整除，又能被9整除，且末位数字为0。
以上是关于能被3和9整除的数的特征的讨论。
这类数在数学中具有一些独特的性质，通过研究它们的特点，可以帮助我们更好地理解数学规律。
数学阅读
整除的特征一、【能被2或5整除的数的特征】一个数的末位上的数能被2或5整除，这个数就能被2或5整除。
（2×5=10）例如：58的个位上的数是8，8能被2整除，所以58就能被2整除；85的个位上的数是5，5能被5整除，所以85就能被5整除。
二、【能被4或25整除的数的特征】一个数的末两位数字所表示的数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除。
（4×25=100）例如：1932的末两位数字是32，32能被4整除，所以1932就能被4整除；650的末两位数字是50，50能被25整除，所以650就能被25整除。
三、【能被8或125整除的数的特征】一个数的末三位数字所表示的数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
（8×125=1000）例如：1024的末三位数字是024，24能被8整除，所以1024就能被8整除；12375的末三位数字是375，375能被125整除，所以12375就能被125整除。
四、【能被3或9整除的数的特征】一个数的各个数位上的数之和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除。
例如：123各个数位上的数之和是1＋2＋3＝6，6能被3整除，所以123就能被3整除；918各个数位上的数之和是9＋1＋8＝18，18能被9整除，所以918就能被9整除。
五、【能被7、11、13整除的数的特征】—割差型一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位数字前面所表示的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
（可进行多次割差判断）例如：98/112的末三位数字所表示的数是112,末三位数字前面所表示的数是98, 112－98＝14，14能被7整除，所以98112就能被7整除。
173/052的末三位数字所表示的数是052,末三位数字前面所表示的数是173, 173－52＝121，121能被11整除，所以173052就能被11整除。
25/285的末三位数字所表示的数是285,末三位数字前面所表示的数是25, 285－25＝260，260能被13整除，所以25285就能被13整除。
能被2,5,3,9,8,125等数整除的数特征
下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．。
能被23456789等数整除的数的特征讲解学习
能被23456789等数整除的数的特征讲解学习被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数具有以下特征：1.能被2整除：一个数能被2整除，意味着它是偶数。
偶数的特点是个位数字可以是0、2、4、6或82.能被3整除：一个数能被3整除，意味着它的各位数字之和能被3整除。
例如，27是3的倍数，因为2+7=9，而9能被3整除。
3.能被4整除：一个数能被4整除，意味着它的末两位能被4整除。
例如，236可以被4整除，因为36能够整除44.能被5整除：一个数能被5整除，意味着它的个位数字是0或5、例如，75能够被5整除。
5.能被6整除：一个数能被6整除，意味着它能被2和3同时整除。
因此，它必须是一个偶数且各位数字之和能被3整除。
6.能被7整除：一个数能被7整除的特征比较复杂，但是以下特征可以帮助判断：将这个数的个位数字翻倍，然后从原数中减去翻倍后的个位数字。
如果所得的差能被7整除，则原数能被7整除。
例如，196是7的倍数，因为19-2×6=19-12=77.能被8整除：一个数能被8整除，意味着它的末三位能被8整除。
例如，520可以被8整除，因为520是8的65倍。
8.能被9整除：一个数能被9整除，意味着它的各位数字之和能被9整除。
例如，81是9的倍数，因为8+1=9综上所述，一个数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的特征可以通过前述规则判断。
这些规则不仅在数学学科中有应用，还在解决实际问题、判断数字的性质和特征等方面起着重要的作用。
为了提高对这些规则的熟悉程度，可以进行练习和应用这些规则解决具体问题的实践。
数的整除1 能被N整除数的特征!
数的整除：能被一个数N整除的数的特征能被2、5整除数的特征：个位上的数能被2、5整除能被3、9整除数的特征：各位上的数字和是3和9的倍数能被4、25整除数的特征：一个数的末两位是4、25的倍数。
能被8、125整除数的特征：一个数的末三位是8、125的倍数。
能被6整除数的特征：一个数既是2的倍数，又是3的倍数。
能被12整除数的特征：一个数既是3的倍数，又是4的倍数。
能被11整除的数的特征：一个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。
能同时被7、11、13整除数的特征：一个三位数连续写两遍，一定是7、11、13的倍数。
（末三位以前的数字所表示的数与末三位数字所表示的数的差）练习一：一、判断下面的数，哪些数是4和25、8和125的倍数500、120、36400、12000、5800、1136、88652、52000、4375二、判断下面的数，哪些数是3的倍数，哪些是9的倍数258、666、357、878、342、895、12000、3630、1503、三、判断下面的数，哪些是11的倍数。
121、1357、1826、64746、363、1325、888、13211、四、根据数的整除特点，完成下面的填空。
1、一个数如果能被45整除，它就一定能被（）和（）整除。
2、一个数如果能被15整除，它就一定能被（）和（）整除。
3、一个数如果能被12整除，它就一定能被（）和（）整除。
4、一个数如果能被22整除，它就一定能被（）和（）整除。
5、一个数如果能被24整除，它就一定能被（）和（）整除。
6、一个数如果能被36整除，它就一定能被（）和（）整除。
7、四位数4A5B能被12整除，那么这个四位数最大是（）。
8、三位数58A是6的倍数，那么这个三位数最大是（）。
9、四位数236A能同时被2、3整除，这个四位数是（）。
10、五位数4H97H能被3整除，它的最末两位数字所组成的数7H能被6整除，这个五位数是（）。
能被27整除数的特征
接着，我们来讨论一下能够被27整除的数的特征。我们知道，一个数能够被另一个数整除，是指这两个数之间存在着整除关系。对于能被27整除的数来说，它们不仅可以被3整除，还可以被9整除。我们可以得出结论，能够被27整除的数必须是3和9的公倍数。换句话说，这个数必须既是3的倍数，又是9的倍数。
我们知道，一个数能够被另一个数整除，当且仅当这个数是那个数的倍数。要判断一个数能否被27整除，就需要看这个数是否是27的倍数。27的倍数包括27、54、81、108、135等等。它们的特征是尾数是7、4、1、8、5等等。也就是说，一个数的末尾数字为7、4、1、8、5时，它有可能是27的倍数。
一个数能否被27整除，除了看它的末尾数字外，还可以通过数位和来判断。一个数能够被27整除，当且仅当它的各位数字的和能被27整除。比如说，648是一个能被27整除的数，因为6+4+8=18，而18能被27整除。类似地，一个数的数位和如果能被27整除，那么这个数也能被27整除。
在实际的应用中，我们可以根据上述特征来判断一个数是否能被27整除，这样可以帮助我们更快地解决一些问题，提高我们的工作效率和学习效果。希望以上内容对您有所帮助。
第四篇示例：
数字与数学在我们日常生活中扮演着非常重要的角色。能够被27整除的数在数学中有着独特的特征和规律。本文将会探讨这些特征和规律，帮助读者更好地理解这类特殊的数。
能被27整除数的特征
全文共四篇示例，供读者参考
第一篇示例：
能被整除的数的特征
能被整除的数的特征
1.能够被另一个数整除：如果一个数能够被另一个数整除，那么它就
是被整除的数的一个特征。
例如，4能够被2整除，因此4是被整除的数。
2.余数为0：当两个数进行整除运算时，如果余数为0，那么被除数
就是被整除的数。
例如，10除以5的余数为0，因此10是被整除的数。
3.可以被同一个数整除多次：如果一个数能够被同一个数整除多次，
那么它也是被整除的数的一个特征。
例如，12可以被2整除多次，因此
12是被整除的数。
4.能够被一组数整除：除了能够被单个数整除外，还有一些数能够被
一组数整除。
例如，15能够被3和5整除，因此15是被整除的数。
5.能够整除自己：除了能够被其他数整除外，数还可以被自己整除。
例如，5可以被自己整除，因此5是被整除的数。
6.能够被任意数整除：有一些数能够被任意数整除，这些数被称为无
穷整数。
例如，0、正负无穷大以及自然数的倍数都属于无穷整数。
7.有规律的整除性质：有一些数具有特殊的整除性质。
例如，能够被
2整除的数都是偶数，能够被3整除的数如果各个位上的数字之和能被3
整除，那么这个数也能被3整除。
总的来说，能够被整除的数具有上述特征之一或多个。
这些特征使我
们能够对数的整除性质进行计算和推理。
在数学和实际应用中，能够被整
除的数的特征是十分重要的。
能被45整除的规律
能被45整除的规律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：能被45整除的规律是一种有趣的数学现象，它涉及到了数字的性质和数学运算法则。
在这篇文章中，我们将探讨能够被45整除的规律，并解释其中的原理和特点。
我们需要了解数字45的因数。
数字45可以被分解为3和5的乘积，即45=3*5*3*5。
能被45整除的数必须同时是3和5的倍数，同时也是这两个数的倍数的整数倍。
具体来说，能被45整除的数必须满足下面的条件：1. 能被3整除：能被3整除的数是其各位数字之和能被3整除的数。
27、36、45、54等都是能被3整除的数。
下面我们来看一些例子：1. 45是一个能被45整除的数，因为它同时是3和5的倍数。
通过以上的例子，我们可以发现能被45整除的数具有一定的规律性，它们都是3和5的倍数，同时也是它们的公倍数。
这说明能被45整除的数在数学上具有一定的特殊性，它们可以被3和5整除，同时也是这两个数的倍数。
除了上述规律外，我们还可以通过数学运算法则来验证某个数能否被45整除。
我们可以通过对该数进行除法运算，看是否能整除45来验证。
我们还可以将该数分解为其因数的乘积，看是否包含3和5这两个因数，从而判断该数是否能被45整除。
能被45整除的数具有一定的规律性和特殊性，它们是3和5的倍数，同时也是这两个数的公倍数。
通过数学运算和因数分解，我们可以验证某个数是否能被45整除。
能被45整除的规律是数学中一个有趣而有挑战性的问题，它不仅考察了数字的性质和运算法则，也激发了人们对数学的兴趣和探索欲望。
希望通过本文的介绍，读者们对能被45整除的规律有了更深入的了解和认识。
【文章结束】.第二篇示例：数学是一门神奇的学科，其中有许多规律和定理。
在数学中，我们可以找到各种规律，比如能被45整除的规律就是其中之一。
今天，我们就来探讨一下关于能被45整除的规律。
我们来看一下什么是能被45整除的数字。
一个数字能够被45整除，意味着它能被45整除而不产生余数。
可以被8整除的数的特点
可以被8整除的数的特点说到“可以被8整除的数”，你可能第一反应就是，“哎呀，这不就是数学题嘛！好复杂！”别慌，咱们一点点来，数学其实不难，关键是看你怎么想。
很多人一提到“8”就头皮发麻，好像这数字跟咱们有仇似的。
其实不然，你仔细一想，其实可以被8整除的数，比你想象的简单多了。
啥意思呢？就像你吃饭前，先把碗里的饭粒扫干净一样，数学也有一些小技巧，抓住了，就轻松了。
咱说说8这个数字。
它不算小，也不算大，站在中间就挺好，跟其他数字相比也不算出奇。
可是，它有个特点，那就是：一个数能不能被8整除，不完全看它有多大，关键看它最后三位数。
是不是有点玄乎？别急，听我慢慢道来。
举个简单的例子，你看“320”这个数，这个数的最后三位是“320”，咱把这个三位数“320”给8整除，看看能不能整得开？结果是能的，对吧！所以，“320”这个数能被8整除。
其实很多人知道，320 是 8 的倍数，但你不一定知道，只要这数最后三位能被8整除，那么它就一定能被8整除！是不是很简单？再说一个常见的例子，比如“2344”。
看到这个数字，可能有点不自信，觉得它有点大，看不出来。
可是，不急，你只要盯着它的最后三位：就是“344”。
咱就问自己：“这344能不能被8整除？”咔嚓，咱直接算一下，344 ÷ 8，得出结果是43！哈，是不是一下子就搞定了！所以，2344也是能被8整除的，懂了吧？再简单不过了。
其实这个小窍门，咱们平时生活中就能用得上。
比如你在购物时看到价格，突然心生疑虑：“这价格能不能打个八折？会不会是个整除数？”你就心里一算：“哎，看看它最后三位是啥，能不能被8整除？”如果能，就爽了，价格一下就合适了！你看，这算是数学的“隐形技能”吧，怎么用都不费劲。
那是不是所有数字都能用这个方法呢？当然不是，生活中总有一些例外，数学里也有它的套路和规矩。
比如像999这种数字，你可能觉得它很简单，结果它最后三位是999，刚好也不能被8整除，咱得按规矩走，不能眼高手低，得耐心一点，慢慢琢磨。
能被9整除的数规律
能被9整除的数规律
在数学中，能被9整除的数具有一些规律，这些规律可以帮助我们快速判断一个数字是否能被9整除。
首先，我们可以将一个数字拆分成各个位上的数字，例如数字1234可以拆分为1、2、3和4。
然后，将这些数字相加，例如1+2+3+4=10，如果这个和能被9整除，那么原来的数字也能被9整除。
此外，如果一个数字以9结尾，例如99、999、9999等，那么这个数字一定能被9整除。
除此之外，如果一个数字的各个位上的数字相加后得到的结果仍然不是一个一位数的数字，那么可以继续将这个结果的各位上的数字相加，直到得到一个一位数的数字。
例如，数字123456789的各个位上的数字相加得到45，因为45不是一位数，继续将4和5相加得到9，因此原来的数字123456789能被9整除。
总的来说，能够被9整除的数具有一些规律和特点，通过这些规律和特点，我们可以更快速地进行计算和判断。
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数的整除(能被7、9、11、13整除的数的特征)专题训练
数的整除（能被7、9、11、13整除的数的特征）专题训练知识梳理：1、整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)。
2、如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。
3、能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．4、能被11整除的数的特征是这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。
5、一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
例题精讲1、判断47382能否被3或9整除？分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解：47382能被3整除，不能被9整除2、判断42559，7295871能否被11整除？分析：一个三位以上的整数能否被11整除，只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除。
解：42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11是11的倍数，所以7295871也能被11整除。
3、32335能否被7整除？分析：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。
解：335-32=303，303不能被7整除，所以32335不能被7整除。
专题特训1、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2、四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A= B= ？3、173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？4、九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？5、用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？6、一个五位数a236b能被63整除，这个五位数是多少？7、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少？8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数可能是多少？9、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商可能是多少？10、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少答案与解析1、解：能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到6各数字的和为36，才能被9整除。
能被81整除数的特征
能被81整除数的特征全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：能被81整除的数，是指能够被81整除的整数。
81是一个非常特殊的数，它本身就是一个平方数，平方根为9。
能够被81整除的数具有一些特殊的性质和特征。
能被81整除的数一定是9的倍数，并且同时也是奇数。
因为81是9的平方，而9又是奇数，所以能被81整除的数一定是9的倍数，并且在9的倍数中选择奇数的部分。
这也是为什么能被81整除的数在整数中并不很常见的原因。
能被81整除的数具有很强的规律性。
因为81本身就是一个平方数，所以能够被81整除的数也是与平方数有关的。
这些数在数轴上呈现出规律性的分布，每隔9个数就会出现一个能被81整除的数，9、18、27、36、45、54、63、72等。
这种规律性的分布使得能被81整除的数具有一定的特殊性。
能被81整除的数在计算中也有一些特殊的性质。
任何一个能被81整除的数的各位数字之和也一定是能被81整除的。
这是因为81整除的条件是这个数的各位数字之和能被9整除，而9又是81的因数，所以任何一个能被81整除的数的各位数字之和也一定是能被81整除的。
能被81整除的数具有一些特殊的性质和特征，表现出一定的规律性和特殊性。
这些数在数学运算中也有一些特殊的性质，使得它们在整数中显得有些与众不同。
虽然能被81整除的数并不是很常见，但它们在数学上却有着一些特殊的价值和意义。
第二篇示例：能被81整除的数是一种特殊的数，它具有一些特征和规律，让我们一起来探讨一下吧。
我们知道81是一个平方数，即81=9*9。
能被81整除的数可以被9整除。
所以，能被81整除的数的个位数字之和一定能被9整除。
81、162、243等这些数的个位数字之和都是9，所以它们都能被81整除。
能被81整除的数还有一个规律，就是它们的末两位数字一定是00。
因为81=9*9=3^4，所以能被81整除的数必须包含9的倍数和3的倍数。
而9的倍数的末两位一定是00，所以能被81整除的数的末两位数字也一定是00。
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（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各数位上数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（17）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（19）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
1000以内
1000以内37的倍数中，三位数字相同的，就能被37整除，有九个：111 222 333 444 555 666 777 888 999
1000以上
这个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除。
举例：6549 549+6=555，555/37=15，所以6549能被37整除；12360146 146+360+12=518，518/37=14,所以12360146能被37。