九年级数学下册281锐角三角函数精品人教新课标版2PPT课件
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是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 BC 与 B ' C ' 有什么关
AB
A'B '
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
即
sinAA斜 的边 对边ac
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
BC = AC
B′C′ A′C′。
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A对边与斜边的比及对边与邻边的比是 一个固定值。
B
c 斜边
对 边
∠A的对边记作a，
a
∠B的对边记作b，
A
b 邻边
∟
C
∠C的对边记作c。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值 和它对应，所以sinA是A的函数，同样地 ，cosA，tanA也是A的函数。
sin 30°= 1 2
sin 45°= 2 2
sin 60°= 3 2
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
B 试着完成图（2）
3
13
5
A
4
C
(1)
C
A
(2)
解：如图1）（，在 RtABC中，
AB AC2 BC2 42 32 5.
因此sinA BC3， sinB AC4.
sin2A + cosA2 = 1
判断：① sinA＋ sinB = sin(A+B) ② cosA＋cosB = cos(A+B)
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=α。那么 BC 和 B′C′ ，及
B′
AB A′B′
B
BC 和 B′C′ AC A′C′
有什么关系？
A
C A′
C′
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
BC = AB
B′C′ A′B′，
2
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
你能得出什么结论？ AB
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长.
B
根据“在直角三角形中，
复习
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦 sinA A斜 的边 对边ac
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合， 构造直角三角形)。
2、sinA是一个比值（数值）。 3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无 关。
4, sinA不表示“sin”乘以“A”。 特殊角的正弦函数值
b3
探究
斜边c
对 边 a
当直角三角形的一个锐 角的大小确定时，其任意
邻边b
∟
两边的比值都是惟一确定 的吗？为什么？
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即
coAsA斜 的边 邻边bc
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tanA，即
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
AB 5
AB 5
B
练习
3
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于_4___.
5
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=__2 ห้องสมุดไป่ตู้.
2
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, a 3 ,
则sin∠A=___.
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB, B'C' A'B'
即BC B'C'. AB A'B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
A斜 的边 对边 A BB C12.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 。
AC 4
AB 5
BC 3
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
cos2A=( AC )2 AB
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐 角三角函数。
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，
3
B
sinA= ，求cosA，tanB的值。
5 6
解：∵sinA=
BC ，
AB
A
C
∴AB=
BC sinA
=6×
5 3
=10，
又 AC=
A2B B2C 12 =0 8，62
∴cosA=
AC
4
，tanB=
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 BC 与 B ' C ' 有什么关
AB
A'B '
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
即
sinAA斜 的边 对边ac
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
BC = AC
B′C′ A′C′。
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A对边与斜边的比及对边与邻边的比是 一个固定值。
B
c 斜边
对 边
∠A的对边记作a，
a
∠B的对边记作b，
A
b 邻边
∟
C
∠C的对边记作c。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
对于锐角A的每一个值，sinA有唯一的值 和它对应，所以sinA是A的函数，同样地 ，cosA，tanA也是A的函数。
sin 30°= 1 2
sin 45°= 2 2
sin 60°= 3 2
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
B 试着完成图（2）
3
13
5
A
4
C
(1)
C
A
(2)
解：如图1）（，在 RtABC中，
AB AC2 BC2 42 32 5.
因此sinA BC3， sinB AC4.
sin2A + cosA2 = 1
判断：① sinA＋ sinB = sin(A+B) ② cosA＋cosB = cos(A+B)
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，
∠A=∠A′=α。那么 BC 和 B′C′ ，及
B′
AB A′B′
B
BC 和 B′C′ AC A′C′
有什么关系？
A
C A′
C′
由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α， 所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
BC = AB
B′C′ A′B′，
2
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
你能得出什么结论？ AB
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长.
B
根据“在直角三角形中，
复习
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦 sinA A斜 的边 对边ac
1、sinA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合， 构造直角三角形)。
2、sinA是一个比值（数值）。 3、sinA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无 关。
4, sinA不表示“sin”乘以“A”。 特殊角的正弦函数值
b3
探究
斜边c
对 边 a
当直角三角形的一个锐 角的大小确定时，其任意
邻边b
∟
两边的比值都是惟一确定 的吗？为什么？
我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦， 记作cosA，即
coAsA斜 的边 邻边bc
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tanA，即
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
AB 5
AB 5
B
练习
3
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于_4___.
5
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=__2 ห้องสมุดไป่ตู้.
2
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, a 3 ,
则sin∠A=___.
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB, B'C' A'B'
即BC B'C'. AB A'B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
角：∠A+ ∠B ＝90°
勾股定理
┌
A
C 边：AC2 + BC2 = AB2
在直角三角形中，边与角之间有什么关系呢？
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
A斜 的边 对边 A BB C12.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 。
AC 4
AB 5
BC 3
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
B
∠A+ ∠B ＝90°
sinA = BC
┌
AB
cosB = BC AB
A
C
(1) sinA = cos(90 °－A）= cosB =
BC
(2) 0＜sinA＜1， 0＜cosB＜1
AB
(3) sin2A=( BC )2 AB
cos2A=( AC )2 AB
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐 角三角函数。
例 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，
3
B
sinA= ，求cosA，tanB的值。
5 6
解：∵sinA=
BC ，
AB
A
C
∴AB=
BC sinA
=6×
5 3
=10，
又 AC=
A2B B2C 12 =0 8，62
∴cosA=
AC
4
，tanB=