小高奥数几何三角形五大模型及例题解析
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三角形五大模型
【专题知识点概述】
本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。
重点模型重温
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图12::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△
CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
D
C B
A
b
二、等分点结论（“鸟头定理”）
如图，三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16
三、任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”）
① S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4 ② ②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）
① S 1︰S 3=a 2︰b 2
②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2
模型四：相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念：
两个三角形对应边城比例，对应角相等。 (2)判断相似的方法：
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；
S 4
S 3
s 2
s 1O D
C
B
A S 4
S 3s 2
s 1
b
a
②两个三角形若有两条边对应成比例，且这两组对应边所夹的角相等则两个
三角形相似。
h
h H c
b a C
B A
a
c b H
C B
A
①
a b c h
A B C H
=== ; ② S 1︰S 2=a 2︰A 2
模型五：燕尾定理
S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ；
S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；
【重点难点解析】
1. 模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2. 在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1. 三角形面积等高成比
2. “鸟头定理”
3. “蝴蝶定理”
【习题精讲】
【例1】（难度等级 ※）
如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.
【例2】（难度等级 ※）
如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．
【例3】（难度等级 ※）
如图，在三角形ABC 中，BC=8 厘米，AD=6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？
【例4】（难度等级 ※※※）
如图，在面积为1的三角形ABC 中，DC=3BD,F 是AD 的中点，延长CF 交AB 边于E,求三角形AEF 和三角形CDF 的面积之和。
G H
F
E D
C
B
A
F
E D
C
B A
F
A
B
C
D
E
如右图
，
，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？
【例6】（难度等级 ※）
如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
【例7】（难度等级 ※）
如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY 的面积．
【例8】（难度等级 ※※）
如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，EF 和BC 平行， ECH 的面积是7平方厘米，求EG 的长。
D E
C
B
A
G
F
D
C
B A
Y
Z D
C
B
A
H
G
F
E
D C
B
A
如图已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?
【例11】（难度等级 ※※）
如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为?
【例12】（难度等级 ※※※）
如图，平行四边形ABCD 周长为75厘米，以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD 的面积。
【例13】（难度等级 ※※※）
如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求三角形AEF 的面积.
12
32
23
d
c
b
a
x
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A