工程力学-结构力学课件-04空间力系[1]p
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工程力学-第四章-空间力系
即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有 空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi
工程力学-结构力学课件-04空间力系[1]p
![工程力学-结构力学课件-04空间力系[1]p](https://img.taocdn.com/s3/m/75a9332beff9aef8941e06ce.png)
4-1、力系中，F 1=100 N 、F 2=300 N 、F 3=200 N ，各力作用线的位置如图所示。
试将力系向原点O 简化。
题4-1图4-2、正方体上作用有六个力，力的模相同（方向如图所 示），该力系简化的最简结果是什么？ A ：平衡力系； B ：合力；C ：力偶；D ：力螺旋4-3、轴AB 与铅直线成β角，悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。
如在点D 作用铅直向下的力F ，求此力对轴AB 的矩。
题4-2图4-4、图示空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。
A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上。
如果挂在D端的物重P=10kN，试求铰链A、B和C的约束力。
题4-4图和6构成。
在节点A上作用一力F，此力在矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。
∆。
等腰三角形EAK、FBM和EAK∆FBM=NDB在顶点A、B和D处均为直角，又EC=CK=FD=DM。
若F=10 kN，求各杆的内力。
题4-5图4-6、图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150 mm 、100 mm 和50 mm 。
三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角。
在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N 、20 N 和F 。
如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角θ 。
4-7、如图所示，已知镗刀杆刀头上受切削力500=z F N ，径向力150=x F N ，轴向力75=y F N ，刀尖位于Oxy 平面内，其坐标x =75 mm, y =200 mm 。
工件重量不计，试求被切削工件左端O 处的约束反力。
题4-7图题4-6图4-8、如图所示，均质长方形薄板重W =200 N ，用球铰链A 和蝶铰链B 固定在墙上，并用绳子CE 维持在水平位置。
求绳子的拉力和支座约束力。
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
【材料课件】04空间力系(1)
rr M o (F ) y zFx xFz
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
M o F z xFy yFx
（4–5）
2.力对轴的矩
r
r
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h （4–6）
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
已知：力Fr ,力 标 x, y, z
结果： F1 3000N, F2 6000N,
FAx 10004N, FAz 9397N,
FBx 3348N, FBz 1799N,
例4-10
已知： F、P及各尺寸 求： 杆内力
解：研究对象，长方板
受力图如图 列平衡方程
r
M AB F 0
r
M AE F 0
r
M AC F 0
例4-3
已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图建坐标系如图。
由 Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0 FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
圆盘面O1垂直于z轴， 圆盘面O2垂直于x轴， 两盘面上作用有力偶， F1=3N，F2=5N，构件自重不计.
求:轴承A,B处的约束力.
解：取整体，受力图如图b所示.
由力偶系平衡方程
Mx 0
Mz 0
解得
F2 400 FAz 800 0
F1 400 FAx 800 0
FAx FBx 1.5N FAz FBz 2.5N
r F
在三根轴上的分力
Frx，Fry，Frz
，力
第四章空间力系的合成与平衡PPT课件
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 第三节 空间力偶系的合成与平衡 第四节 空间任意力系的合成与平衡 第五节 重心
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡
一、空间力沿坐标轴的分解与投影 空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可
其中: F F x i F yj F zk ,r x i y j z k
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第三节 空间力偶系的合成与平衡
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
同平面内力偶等效条件：两力偶矩的代数值相等。
平行平面间的力偶的等效条件：作用面平行的两个力偶， 若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。
第四节 空间任意力系的合成与平衡
但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效应 是不同的
空间力偶的三要素：大小、转向和作用面的位置。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
力偶矩矢是一个自由矢量。 空间力偶的等效定理：凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M 1 M 2 M n M
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶系 中所有各力偶矩矢的矢量和。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。
A
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
Mx = ∑Mx = － M3－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
第四章 空间力系的合成与平衡
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡 第二节 力对点之矩与力对轴之矩 第三节 空间力偶系的合成与平衡 第四节 空间任意力系的合成与平衡 第五节 重心
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第一节 空间汇交力系的合成与平衡
一、空间力沿坐标轴的分解与投影 空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。可
其中: F F x i F yj F zk ,r x i y j z k
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
第三节 空间力偶系的合成与平衡
1、空间力偶的等效定理，力偶矩矢的概念
同平面内力偶等效条件：两力偶矩的代数值相等。
平行平面间的力偶的等效条件：作用面平行的两个力偶， 若其力偶矩大小相等，转向相同，则两力偶等效。
第四节 空间任意力系的合成与平衡
但分别作用在不平行平面内的两个力偶对于刚体的效应 是不同的
空间力偶的三要素：大小、转向和作用面的位置。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
力偶矩矢是一个自由矢量。 空间力偶的等效定理：凡矩矢相等的力偶均为等效力偶。
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M 1 M 2 M n M
空间力偶系可合成为一合力偶,则该合力偶矩矢等于力偶系 中所有各力偶矩矢的矢量和。
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。
A
课程：理论力学
第四章 空间力系的合成与平衡
Mx = ∑Mx = － M3－ M4 cos 45o － M5 cos 45o = －193.1 N·m
工学工程力学空间力系PPT课件
③合成 F '1,F2 ',F3'Fn ' 得主矢 R ' 即 R'Fi 'Fi（主矢 R ' 过简化中心O，
且与O点的选择无关） 合成 m1,m2,mn 得主矩 MO 即：mO mi mO (F（i) 主矩 MO与简化中心O有关）
31
第31页/共46页
§5-5 空间一般力系简化结果的讨论
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
Fn
F2
M1
Fn
F2
F1
F1
F3
Mn
M2
29
第29页/共46页
①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间
汇交力系： F '1,F2 ',F3'F和n ' 附加力偶系
m1,m2 ,[m注n
意]
m1,m2,分m别n 是各力对O点的矩。
②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 30 第30页/共46页
矢量表示。
第18页/共46页
y
18
MO (F, F ') MO (F ) MO (F ') rA F rB F' (rA rB ) F
M rBA F 力偶矩矢与矩心无关
力偶矩矢的模等于三角形
ABC的面积。
力偶的转向为右手螺旋定则。
O1
从力偶矢末端看去，逆时针
转动为正。
空间力偶是一个自由矢量。
A为球铰链。
求:绳BE、BF的拉力和杆
AB的内力 解：分别研究C点和B点作 受力图
由C点：
Y 0,T1'sin15Qsin450,
第四章 空间力系
9
4.3.2 空间力偶系的合成与平衡条件
空间力偶系可以合成，得到一个合力偶， 空间力偶系可以合成，得到一个合力偶，合力偶的矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和。 等于各分力偶矩矢的矢量和。
M R = M1 + M 2 + L + M n = ∑ M i
i=1 n
M2
MR
写成投影形式
M Rx = M x1 + M x 2 + L + M xn = ∑ M xi
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d
z F
b
z Fz
B
a
Fx A
F
Fy F xy
O
O
y
z y a
x
y Fy Fxy
6
d
x
b'
a'
F xy x
Fx
b
其正负号按右手螺旋法则确定， 其正负号按右手螺旋法则确定，即以右手四指的绕向表 示 力使物体绕轴转动的方向，大姆指指向与z轴一致时为 力使物体绕轴转动的方向， 正，反之为负。 反之为负。 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 力与轴相交， (1) 力与轴相交，即 d=0 ； 力与轴平行， (2) 力与轴平行，即
Fxy=0 。两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，力 两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，
对该轴之矩等于零。 对该轴之矩等于零。
7
4.3 空间力偶
4.3.1 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 ——
如图所示的空间力偶 (F，F' ) 对于任一点的矩可表示为 ，
《工程力学》教学课件第四章空间力系和重心
O
b F1 A x
y
a
F
F2
M z ( F ) = M z ( F1 ) = ± F1h
力矩方向的判定
右手螺旋法则：用右手的四指来表示 力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴 正向相同，力矩为正，反之为负。
二、合力矩定理 对某一轴之矩， 空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分力 F1,F2,…,Fn对同一轴之矩的代数和。表达式为 对同一轴之矩的代数和。
Fx = Fcosα Fy = Fcosβ Fz = F cosγ
Fx = F sinγ cosϕ Fy = F sinγ sinϕ Fz = F cosγ
本章小结
2.力F对轴 之矩，等于力 在垂直于轴 的平面 上的投 力 对轴 之矩，等于力F在垂直于轴 的平面S上的投 对轴z之矩 在垂直于轴z的平面 影对z轴与平面 的交点之矩。 影对 轴与平面S的交点之矩。 轴与平面 的交点之矩 空间力系的合力FR对某一轴之矩，等于各分 1,F2, …，Fn 空间力系的合力 对某一轴之矩，等于各分F ， 对同一轴之矩的代数和。 对同一轴之矩的代数和。表达式为
二、重心位置的确定 1.一般计算公式 1.一般计算公式 对x轴用合力矩定理为
G ⋅ yC = ∆G1 ⋅ y1 + ∆G2 ⋅ y2 + .... + ∆Gn ⋅ yn = ∑ ∆Gi ⋅ yi
对y轴用合力矩定理为
G ⋅ xC = ∆G1 ⋅ x1 + ∆G2 ⋅ x2 + .... + ∆Gn ⋅ xn = ∑ ∆Gi ⋅ xi
Hale Waihona Puke 车 床 主 轴 手摇钻 飞行的飞机
空间力系的分类
空间任意力系
《空间力系》课件
研究人体结构和生物力学特 性时，空间力系的概念和方 法也是重要的工具。
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
总结
通过本课件的学习，我们了解了空间力系的定义和重要性，以及其组成要素、 分类、特点和应用领域。空间力系是研究物体运动和变形的基础，对科学和 工程具有重要意义。
《空间力系》PPT课件
本课件将介绍空间力系的定义、重要性和组成要素，分类为线性、平面和立 体空间力系，以及其特点和应用领域。
空间力系的定义
空间力的概念与性质以及对物体或系统的影响。它是研究空间中物体相互作用和力的传递的力学分支。
空间力系的重要性
1 理解物体行为
2 解决实际问题更好地理解物体 在力的作用下的运动和 变形。
空间力系中的力可以以不同的强度作用于物体。
3 力的合成与分解
空间力系中的多个力可以通过合成和分解来影响物体的运动和形态。
空间力系的应用
机械力学中的应用
空间力系理论在机械设计、 工程结构分析和机器运动研 究中起着重要作用。
工程中的应用
空间力系的知识被广泛应用 于各种工程项目的设计和施 工中。
生物力学中的应用
力的方向是指力的作用方向，可以是直线、 平面或空间中的任意方向。
空间力系的分类
线性空间力系
力和物体的运动方向在同 一直线上。
平面空间力系
力和物体的运动方向在同 一平面上。
立体空间力系
力和物体的运动方向不在 同一平面上。
空间力系的特点
1 方向性
空间力系具有明确的力的方向，指示物体受力的作用方向。
2 力的大小
应用空间力系的知识， 可以帮助解决工程、力 学和生物力学中的实际 问题。
空间力系的研究对于推 动科学和技术的发展具 有重要意义。
空间力系的组成要素
第4章空间力系
FRy Fy
FRz Fz
cos FRx
FR
cos FRz
2、空间汇交力系的平衡条件
FR
cos FRy
FR
FRx Fx 0
FRy Fy 0
FRz Fz 0
光滑球铰链 A
Fz
Fy Fx
Fz
Fy Fx
例4-1 图示为用起重
杆吊起重物。起重杆的
A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳CB 和DB拉住，两绳分别
上面三式联立，解得 F1=F2=3.54 kN FA=8.66 kN
例 ：结构如图所示，杆重不计，已知力P， 求两杆的内力和绳BD的拉力。
z D
z D
C
F3
C
A
B
x
P
y A
y F2
F1
B
x
P
§4-2 空间力对点之矩和对轴之矩
一、力对点之矩
矢量
r
的矩
O
A
Mo( A) r A, Mo r A sin
i1
i1
z
M
Fz
FR
Mz
Fy
y
y
x
Fx
x
Mx
My
2、空间任意力系的简化结果分析
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR, MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0
平衡
2、FR 0, MO 0
合力
3、FR 0, MO 0 4、FR 0, MO 0
合力偶 ?
(1) FR 0, MO 0, FRMO
1、空间任意力系的简化
Fn An
o A2
A1 F2
F1
Fn'
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
第4章空间力系
矩平面，指向由右手螺旋规则 来拟定，即从矢量旳正向观看， 力矩旳转向是逆钟向旳。
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理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
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力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
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4-1、力系中，F 1=100 N 、F 2=300 N 、F 3=200 N ，各力作用线的位置如图所示。
试将力系向原点O 简化。
题4-1图
4-2、正方体上作用有六个力，力的模相同（方向如图所
示），该力系简化的最简结果是什么？
A ：平衡力系；
B ：合力；
C ：力偶；
D ：力螺旋
4-3、轴AB 与铅直线成β角，悬臂CD 与轴垂直地固定在轴上，其长为a ，并与铅直面zAB 成θ角，如图所示。
如在点D 作用铅直向下的力F ，求此力对轴AB 的矩。
题4-3图
题4-2图
4-4、图示空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。
A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上。
如果挂在D端的物重P=10kN，试求铰链A、B和C的约束力。
题4-4图
和6构成。
在节点A上作用一力F，此力在
矩形ABDC平面内，且与铅直线成45°角。
∆。
等腰三角形EAK、FBM和
EAK∆
FBM
=
NDB在顶点A、B和D处均为直角，又
EC=CK=FD=DM。
若F=10 kN，求各杆的
内力。
题4-5图
4-6、图示三圆盘A 、B 和C 的半径分别为150 mm 、100 mm 和50 mm 。
三轴OA 、OB 和OC 在同一平面内，AOB ∠为直角。
在这三圆盘上分别作用力偶，组成各力偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于10 N 、20 N 和F 。
如这三圆盘所构成的物系是自由的，不计物系重量，求能使此物系平衡的力F 的大小和角θ 。
4-7、如图所示，已知镗刀杆刀头上受切削力500=z F N ，径向力150=x F N ，轴向力75=y F N ，刀尖位于Oxy 平面内，其坐标x =75 mm, y =200 mm 。
工件重量不计，试求被切削工件左端O 处的约束反力。
题4-7图
题4-6图。