椭圆的最值问题
与椭圆有关的最值问题
角度类问题典型例题
例题2
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$frac{sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线$x^2 = 8sqrt{2}y$的焦点，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与C相交于A、B两点，若直线PA与直线PB的斜率 之积为$- frac{5}{16}$，则直线l的方程为____。
距离类问题典型例题
例题1
已知椭圆$frac{x^2}{4} + frac{y^2}{3} = 1$，点P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的 两个焦点，则|PF₁|·|PF₂|的最大值为____。
例题2
过椭圆$frac{x^2}{5} + y^2 = 1$的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、 B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为____。
通过解析几个与椭圆有关的最值问题的典型例题，我们掌握了这类问情况
通过本次课程的学习，我深刻理解了椭圆的标准方程和性质，掌握了在约束条件下求解最值问题的方法，对于典型例 题的解析也有了更深入的认识。
学习方法与效率
在学习过程中，我采用了课前预习、课后复习的方法，同时结合了大量的练习来巩固所学知识。这种学习方法使我能 够高效地吸收和掌握知识。
利用平面几何知识，如相似、勾股定 理等，求出最值；
03
与椭圆相关的最值问题类 型
面积类问题
1 2
椭圆内接矩形面积的最大值
给定椭圆，求其内接矩形面积的最大值。
椭圆内接三角形面积的最大值
给定椭圆，求其内接三角形面积的最大值。
3
椭圆与直线围成的图形面积
给定椭圆和直线，求它们围成的图形面积。
距离类问题
需要注意定义域的限 制。
利用一元二次函数的 性质，如顶点、对称 轴等，求出最值；
椭圆的几种最值问题
椭圆中的几种最值问题一：求离心率的最值问题1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
二：求点点（点线）的最值问题3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦 点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。
（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
4：定长为d d b a ≥⎛⎝⎫⎭⎪22的线段AB 的两个端点分别在椭圆x a y b a b 222210+=>>()上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。
三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的 长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 上的动点，使∠F PF 最大的点 P 记为Q ，求点Q 的坐标 (并用m 表示) 。
四：求面积的最值问题例6：（05年全国II ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆13422=+y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的坐标为 （ ）A．(3± B．(3C ．3(1,)2± D ．3(1,)28：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆131222=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？9已知点F 是椭圆192522=+y x 的右焦点，M求|MA|+|MF|的最小值。
怎样利用定义求解与椭圆有关的最值问题
椭圆是一种重要的圆锥曲线，与椭圆有关的最值问题在高中数学试卷中比较常见，定义法是解答此类问题的重要方法.椭圆的定义除了第一定义，还有第二定义、第三定义.下面，我们重点谈一谈如何运用椭圆的这三个定义来解答与椭圆有关的最值问题.一、利用椭圆的第一定义求解椭圆的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．在运用椭圆的第一定义解题时，要先确定两个定点的位置，然后建立关于动点M的关系式：MF1+MF2=2a.这样便可根据该关系式来寻找取得最小值的点M的位置，进而求得最值.例1.已知P()-2,3,F2为椭圆x225+y216=1的右焦点，点M在椭圆上移动.求MP+MF2的最大值和最小值.分析：所求的最值与MF2有关，可利用椭圆的第一定义建立关系式MF1+MF2=2a，将求MP+MF2的最值转化为求MP-MF1的最值，根据三角形三边之间的关系和性质便可求得问题的答案.解：如图1所示，连接PF1，延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2.由椭圆的第一定义知MF1+MF2=2a，所以MP+MF2=MP+2a-MF1，由三角形三边之间的关系知-PF1≤MP-MF1≤PF1，当且仅当M与图中M1合时取右边的等号，M与图中M2重合时取左边的等号.因为2a=10,PF1=2，所以MP+MF2的最大值为12,所以MP+MF2的最小值为8.图1一般地，若椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是椭圆的左右焦点，P()x0,y0为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点，当定点在椭圆的内部时，2a-PF1≤MF2+MP≤2a+PF1；当定点在椭圆的外部时，PF2≤MF2+MP≤2a+PF1.二、利用椭圆的第二定义求解圆锥曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离的比是e的点的轨迹.在运用椭圆的第二定义解题时，我们先要明确定点（即焦点F）和定直线（准线x=a2c）的位置，然后建立关于动点P(x0,y0)的关系式MP=e||||||x0-a2c，利用其关系或关系式来解题.例2.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（1,1）是一个定点，求PA+32PF1的最小值.分析：明确题目中的数量关系后可以发现，所求目标中的32是椭圆离心率的倒数，联系第二定义：椭圆上的点到左焦点和到左准线的距离d之比为离心率e，可得PF1d=23，即d=32PF1，不难得到PA+32PF1=PA+d，所以PA+32PF1的最小值为椭圆上的P点到A点和到左准线的距离和的最小值，只需过点A，D作左准线的垂线即可.解：由题意可知，椭圆5x2+9y2=45的长半轴a=3，短半轴b=5，半焦距c=2，离心率e=23，右焦点F2()2,0,左准线x=-92.如图2所示，过点A，D作左准线的垂线,垂足为D1、D2.设P点到左准线的距离为d.由椭圆的第二定义可知PF1=ed，所以PA+32PF1=PA+32ed=PA+d，则PA+d的最小值就是点A到左准线x=-92的距离AD1=1+92=112,当且仅当点P在P1处PA+d取最小值，故PA+d的最小值为112.图2探索与研究颜琴55当与椭圆有关的最值问题涉及定点、定直线时，就要利用椭圆的第二定义，把与动点有关的最值问题转化为与定点、定直线之间的距离来求解.三、利用椭圆的第三定义求解椭圆的第三定义是指平面内动点到两定点A (a ,0)和B (-a ,0)的斜率的乘积等于常数e 2-1的点的轨迹.这也就是说，A ,B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0上的两个顶点，P 是椭圆上异于A ,B 的一个动点，若k PA ,k PB 的斜率都存在，则k PA ∙k PB =e 2-1=-b 2a2.运用椭圆的第三定义，可以快速找到过椭圆上两个顶点的直线的斜率之间的关系.例3.已知椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1()a >b >0的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，若A ，B 是椭圆长轴的两个端点，M ,N 是关于x 轴对称的两点，直线AM ,BN 的斜率分别是k 1,k 2（k 1∙k 2≠0），则||k 1+||k 2的最小值为_______.分析：由长轴长、短轴长和焦距成之间的关系得到椭圆的离心率，由A ，B ，M ，N 的位置可联想到椭圆的第三定义，求得k 1∙k 2的值，再利用基本不等式就可以使问题得解.解：由椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列，得2a +2c =4b ，又b 2=a 2-c 2，可得e =c a =35，由椭圆的第三定义可得k 1∙k 2=e 2-1=-1625，而M ,N 是关于x 轴对称的两点，则k 1=-k 2，可得k 1∙k 2=1625，所以||k 1+||k 2≥2k 1k 2=85，当且仅当k 1=k 2时取等号.由以上几个题目可以看出，与椭圆有关的最值问题一般都会涉及椭圆上的定点、定直线.如果问题中的定点为焦点，就要考虑利用椭圆的第一定义来解题；如果问题中涉及的定点、定直线分别为焦点、准线，就要考虑用椭圆的第二定义来解题；如果问题中涉及了椭圆的顶点以及过顶点的直线的斜率，就要考虑采用椭圆的第三定义解题.（作者单位：江西省余干第一中学）探索与研究在学习中，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题一般侧重于考查同学们的直观想象能力和抽象思维能力.抽象函数一般没有具体的函数解析式，与x a 、sin x ()cos x 、ln x 、e x 的乘积构成的函数解析式也不明确，我们很难快速解出.而运用构造法，借助构造的新函数的性质、图象，则能快速破解此类问题.例1.已知定义在R 上的函数f ()x 为奇函数，当x ≤0时，恒有xf ′(x )≥3f ()-x ，则不等式8xf ()2x >()1-3x 3x 2f ()1-3x 的解集为_____.解：∵f ()x 是定义在R 上的奇函数，∴f ()-x =-f ()x ，当x ≤0时，由xf ′()x ≥3f ()-x 可得x 3f ′()x +f ()x ≥0，令g ()x =x 3f ()x ，∴当x ≤0时，g '()x =2x 2f ()x +x 3f ′()x =3x 2éëùûf ()x +x 3f '()x ≥0，∴g ()x 在(]-∞,0上单调递增，∵g ()-x =-x 3f ()-x =x 3f ()x =g ()x ，g ()x 是偶函数，∴g ()x 在[)0,+∞上单调递减，不等式8xf ()2x >()1-3x 3x2f ()1-3x 等价于8x 3f ()2x >()1-3x 3f ()1-3x ，即g ()2x >g ()1-3x ，等价于||2x <||1-3x ，解得x ＜15或x ＞1，∴不等式的解集为æèöø-∞,15⋃()1,+∞.56。
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结(解析版)
第15讲 椭圆中6大最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用均值不等式求最值题型二：利用焦半径范围求最值题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题题型五：椭圆有关向量积最值问题题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值【典型例题】题型一：利用均值不等式求最值【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M 在C 上，则1F 2F 22:12516x y C +=12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.1210MF MF +=【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，5a =12210MF MF a +==（当且仅当时取等号），21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭12MF MF =的最大值为.12MF MF ∴⋅25故选：C.【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆C ：221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，1m PF =，2n PF =，则14m n +的最小值为（ ）A ．98B ．54C D 【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得8m n +=；利用基本不等式，若0a b >， ，则a b +≥，当且仅当a b =时取等号.【详解】根据椭圆的定义可知，1228a PF PF +==，即8m n +=，因为40m ≥>，40n ≥>，所以()141141419558888n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当83m =，163n =时等号成立.故选：A【题型专练】1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设P 是椭圆22194x y +=上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ）A ．19-B ．1-C ．19D ．12【答案】A 【解析】【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得12cos F PF ∠的最小值.【详解】在椭圆22194x y +=中，3a =，2b =，c ==，由椭圆定义可得1226PF PF a +==，122F F c ==，由余弦定理可得()2222212121212121212122cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--⋅+-∠==⋅⋅22121262016161111218922PF PF PF PF -=-≥-=-=-⋅⎛+⎫⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当123PF PF ==时，等号成立，因此，12cos F PF ∠的最小值为19-.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n ) 是椭圆上的一个动点，则22+=112x y 22m n+的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,1[]1,2(]0,2[)2,+∞3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在椭圆上，22221(0)y x a b a b +=>>12F F 、为椭圆的两个焦点，求的取值范围．12||||F P P F ⋅【答案】.22,b a ⎡⎤⎣⎦题型二：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C ：（）的右焦点，点22221x y a b +=0a b >>(),0F c (),P x y 是椭圆C 上的一个动点．求证：．a c PF a c-≤≤+【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，则F 22143x y +=PF 的取值范围为_________．【答案】[1,3]【分析】设出点P 的坐标，由两点间的距离公式求出||PF ，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，22142x y +=()0,1A P为椭圆上一动点，则的最大值为____.PA【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），P 24x 2y P 为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄12F F 、O M 12F PF ∠1F M MP，则丨丨的取值范围为（ ）OMA ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D 2）【题型专练】1.平面内有一长度为4的线段，动点P 满足，则的取值范围是（ ）AB ||||6PA PB +=||PA A ．B ．C ．D ．[1,5][1,6][2,5][2,6]【答案】A【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，P ,A B ，3,2a c ∴==则可得的最小值为，最大值为，||PA 1a c -=5a c +=的取值范围是.∴||PA [1,5]故选：A.2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则P 2214940x y +=A (30)，M ||1AM = 0PM AM ⋅= 的最小值是 ．||PM【答案】15【解析】由题意知 ，所以，解得，所以40,4922==b a 92=c 3=c ()0,3A 为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以M A 1AM PM ⊥1222-=-=PA AMPA PM ，因的最小值为，所以PA437=-=-c a 15142min=-=PM3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，p 22:198x y C +=C 1F 2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则M 12F PF ∠10MF MP ⋅=OM的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()0,2(0,(0,3-()0,1【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.212OM F N =2F N OM 【详解】如图，直线与直线相交于点N ，1F M 2PF 由于PM 是的平分线，且，即PM ⊥，12F PF ∠10MF MP ⋅=1F N 所以三角形是等腰三角形，1F PN 所以，点M 为中点，1PF PN =1F N 因为O 为的中点，12F F 所以OM 是三角形的中位线，12F F N所以，212OM F N =其中，212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-因为P 与的四个顶点不重合，设，则，C (),P m n ()0,3m ∈22198m n +=，193m ==+所以，又，()12,4PF ∈20F N >所以，()20,2F N ∈()210,12OM F N =∈∴的取值范围是.||OM ()0,1故选：D.题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点108P 到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）O A ．B ．C ．D ．[]4,5[]6,8[]6,10[]8,10【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：P 221129x y +=P C 的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）()2211x y +-=M PMA ．B ．C ．D ．4⎤⎦4⎤⎦【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点P 在椭圆22193x y +=上运动，点Q 在圆225(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为___________.【解析】【分析】将求PQ最小值的问题，转化为求点P 到圆心()1,0M 距离最小值的问题，结合点P满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.【详解】不妨设点P 为()00,x y ，[]03,3x ∈-，则2200193x y +=，则220033x y =-设圆225(1)8x y -+=的圆心为M ，则M 坐标为()1,0则PQ的最小值，即为MP的最小值与圆225(1)8x y -+=.又MP ===当[]03,3x ∈-时，MP ≥，当且仅当032x =时取得等号；故PQ ≥=.故答案为.【题型专练】1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B 是椭圆的上顶点，点P 在C 上，则22:14x C y +=PB 的最大值为________.2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若222:1(1)x T y a a+=>(20)F -，(01)M ，1l 2l P 为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）P 1l 2l 1d 2d 2212d d +A ．2B ．C ．D ．134134254【答案】D【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设4,122==c b 52=a 5=a 1522=+y x ，因为，且，所以又因，所以()00,y x P 21l l ⊥()1,0M (),1202022221-+==+y x PM d d 152020=+y x ，202055y x -=所以因为，所以当时，6241255020020202221+--=+-+-=+y y y y y d d 110≤≤-y 410-=y 的最大值为2221d d +4253.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：P C 2213x y +=Q D ()22114x y ++=上的动点，则（ ）A ．椭圆的短轴长为1B ．椭圆C C C ．圆在椭圆的内部D ．的最小D C PQ 【答案】BC 【解析】【分析】AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.【详解】解：因为椭圆方程为：，2213x y +=所以，故A 错误，B 正确；222223,1,2,c a b c a b e a ===-===由，得，()222213114x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩2824210x x ++=因为，2244821960∆=-⨯⨯=-<所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，()1,0-所以圆在椭圆内部，故C 正确；设，()(,P x y x ≤≤，==当时，取得最小则的最小，故D 错误，32x =-PD PQ 12故选：BC4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、P Q (222x y+=2214x y +=P Q两点间的最大距离是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,,F F P是C 上的动点，直线的一个焦点，的周长为y x =12PF F △4+（1）求椭圆的标准方程；（2）求的最小值和最大值．12PF PF +题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为()θθsin ,cos b a P ，用点到直线的距离公式法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式0=∆，求出切线，再求两直线间距离【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆22143x y +=上的点P 到直线l ：30x y ++=的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.【详解】由222cos 143x x y y θθ=⎧⎪+=⇒⎨⎪⎩，设(2cos )P θθ，设点P 到直线l ：30x y ++=的距离d ，所以有d ，其中tan (0,))2πϕϕ=∈，所以当2()2k k Z πθϕπ+=-∈时，d 有最小=，故选：C【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线22143x y +=290l x =：－的距离的最大值为______.【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点()11,P x y 22182x y +=在直线上，则的最小值为___________.()22,Q x y 280x y +-=212136x x y y -+-【题型专练】1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x ，y 满足方程，则22220x y +-=x y +的最大值为________．2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线C 22194x y +=P 43180l x y ++=：的距离的最小值为_____.3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P 是圆229x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上的一点，且．23MD PD =(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；(2)求点M 到直线距离的最大值.:290l x y +-=4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为 ，12（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.联立直线方程与椭圆方程，2x y m -=2211612x y +=可得：，()2232448m y y ++=化简可得：，2216123480y my m ++-=题型五：椭圆有关向量积最值问题【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)4N x y -+=任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围为（ ）A ．[8，12]B ．[12,20]C ．[12,32]D ．[32,40]【答案】C 【解析】【分析】由题意可得圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，将PE PF ⋅ 化简得24NP-+ ，由椭圆的性质可知[,]NP a c a c ∈-+，从而可求出PE PF ⋅ 的取值范围【详解】由2212524x y +=，得2225,24a b ==，则5,1a b c ===，圆22:(1)4N x y -+=的圆心(1,0)N 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为()()PE PF NE NP NF NP⋅=-⋅- ()2NE NF NP NE NF NP=⋅-⋅++ 2cos 0NE NF NPπ=⋅-+ 24NP=-+ ，因为P 为椭圆2212524x y +=上任意一点，N 为椭圆的右焦点，所以[,]NP a c a c ∈-+ ，即[4,6]NP ∈ ，所以2[16,36]NP ∈ ，所以24[12,32]NP -+∈ ，所以PE PF ⋅的取值范围为[12,32]，故选：C【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆12,F F 22:142x y E +=的两个焦点，P 是椭圆E 上任一点，则的取值范围是____________12⋅ F P F P【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满(),P x y =，点A ，B 关于点对称且，则的最大值为（ ）()0,2D -2AB =PA PB ⋅A ．10B ．9C ．8D ．2【题型专练】1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则2214x y +=,P Q ()1,0E EP EQ ⊥的最小值为（ ）EP QP →→⋅131223故选：C ．2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点22:132x y C +=1F 2F M为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）(M xA ．椭圆的长轴长为CB ．椭圆的离心率C 13e =C ．△的周长为12MF F 2+D ．的取值范围为12MF MF ⋅[1,2)3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，12,F F 22163x y +=,A B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.P AB 12PF PF ⋅4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为A ．与B ．与C ．与D ．与12-22-11-21-【答案】A【详解】试题分析：设，由题得，所以(,)Q x y 12(F F ，12(,),,)QF x y QF x y =-=--，因为在椭圆上，所以所以2212·3QF QF x y =-+(22)x -≤≤(,)Q x y ，所以当有最小值；或222123·31244x x QF QF x =-+-=- (22)x -≤≤0x =2-2x =2-时，有最大值1题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点M 分别与两定点(5,0)A -，(5,0)B 连线的斜率的乘积为1625-，设点M 的轨迹为曲线C ，已知N ，(3,0)F -，则||||MF MN +的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．12【答案】B 【解析】【分析】求出轨迹方程2212516x y +=，根据椭圆的定义，可得210MF MF +=，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短.【详解】设动点M 的坐标为()M x y ， ，则165525y y x x ⋅=-+- 整理后得：2212516x y += ，动点M的轨迹为椭圆，左焦点为()30F -，，右焦点为()230F ， ，210MF MF += ，如下图所示，当2MF 经过点N 时，MF MN+最短，此时210108MF MN MF MN +=-+==故选：B【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则F 22:11615x y C +=P C Q (4,4)的最大值为（ ）||||PQ PF +A B ．13C ．3D ．5【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解.【详解】如图所示：，||||||2||2||813PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+==故选：B【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：2212516x y +=内有一点()2,3M ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，求：(1)1PM PF -的最大值与最小值；(2)1PM PF +的最大值与最小值．【答案】(1)最大，最小值为(2)最大值为10，最小值为10【解析】【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得11||||||||PM PF MF -…然后得到1||||PM PF -的最大值与最小值；(2)利用椭圆的定义表示出1||||PM PF +，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．(1)由椭圆22:12516x y C +=可知5a =，4b =，3c =，则1(3,0)F -，2(3,0)F ，则11||||||||PM PF MF -…，当且仅当P 、M 、1F 三点共线时成立，所以1||||PM PF -…，所以1||||PM PF -和；(2)210a =，2(3,0)F ，2||MF =，设P 是椭圆上任一点，由12||||210PF PF a +==，22||||||PM PF MF -…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+-+=-=…，等号仅当22||||||PM PF MF =-时成立，此时P 、M 、2F 共线，由22||||||PM PF MF +…，12212210PM PF PF MF PF a MF ∴+++=+=+…，等号仅当22||||||PM PF MF =+时成立，此时P 、M 、2F 共线，故1||||PM PF +的最大值10与最小值为10．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(2,2)B ，M 是椭圆221259x y +=上的动点，则||||MA MB +最大值是（ ）A ．10+B ．10-C ．8+D ．8【答案】A 【解析】【分析】设左焦点为(4,0)F -，A 为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化||||10||||MA MB MB MF +=+-，然后利用平面几何的性质得最大值．【详解】解：椭圆221259x y +=，所以A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，则由椭圆定义||||210MA MF a +==，于是||||10||||MA MB MB MF +=+-.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形，于是||||||MB MF BF -<，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有||||||MB MF BF -=-，在第三象限交点时有||||||MB MF BF -=.显然当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时||||MA MB +有最大值，其最大值为||||10||||10||1010MA MB MB MF BF +=+-=+==+.故选：A.2.（2022·全国·高二专题练习）已知F 为椭圆221259x y +=的左焦点，(2,2)B 是其内一点，M为椭圆上的动点，则MF MB+的最大值为__，最小值为__.【答案】 10+10-【解析】【分析】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，由椭圆定义210MA MF a +==，结合当M 在直线AB 与椭圆交点上时和当M 在直线BA与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.【详解】设A 为椭圆右焦点，设左焦点为(4,0)F -，B 在椭圆内，则由椭圆定义210MA MF a +==，当M 在直线AB 与椭圆交点上时，M 在x 轴的上方时，10MF MB AB+=-，取得最小值，最小值为：1010-=-；当M 在直线BA 与椭圆交点，在x 轴的下方时，MF MB+有最大值，其最大值为1010MF MB MF MA AB AB +≤++=+=+.故答案为：10+10-3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点()4,0A ，()2,2B 是椭圆221259x y +=内的两个点，M 是椭圆上的动点，则MA MB+的最大值为______．【答案】10+##10+【解析】【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.【详解】依题意，椭圆方程为221259x y +=，所以5,3,4a b c ===，所以()4,0A 是椭圆的右焦点，设左焦点为()4,0C -，根据椭圆的定义可知210MA MB a MC MB MB MC+=-+=+-，=，所以MA MB+的最大值为10+故答案为：10+4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点22:12521x y C +=1F 2F ()2,3P Q在椭圆上，则可以是（ ）2QF QP+A ．B ．C ．D ．5101520【答案】ABC 【解析】【分析】作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得1PF C M N 2110QF QP QP QF +=+-，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得Q M N 2QF QP+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在椭圆中，，，，则、，如下图所示：C 5a =b =2c =()12,0F -()22,0F设直线交椭圆于点、，1PF C M N 5=由椭圆定义可得，则，故，1210QF QF +=2110QF QF =-2110QF QP QP QF +=+-当点与点重合时，此时取得最小值，即，Q M 2QF QP +()21min 105QF QP PF +=-=当点与点重合时，此时取得最大值，即.Q N 2QF QP+()21max 1015QF QP PF +=+=因此，的取值范围是.2QF QP+[]5,15故选：ABC.。
椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题1、椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆上一点到它的二焦点的距离之积为，则取得的最大值时，P点的坐标是。
P（0，3）或（0，-3）例2、已知椭圆方程（）p为椭圆上一点，是椭圆的二焦点，求的取值范围。
分析：，当时，=，当时，即2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线xx或反向xx与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知，、是椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，则的最大值是，此时P点坐标为。
的最小值是，此时P点坐标为。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的xx或反向xx与椭圆的交点。
例4、已知，是椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，则的最小值是，此时P点坐标为。
的最大值是，此时P点坐标为。
分析：，当P是的xx与椭圆的交点时取等号。
，当P是的反向xx与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点，点F为椭圆的右焦点，点M在该椭圆上移动，求的最小值，并求此时M点的坐标。
例6、已知点椭圆及点，为椭圆上一个动点，则的最小值是。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆（）的中心的直线交椭圆于两点，右焦点，则的最大面积是。
例8、已知F是椭圆的一个焦点，PQ是过原点的一条弦，求面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P为椭圆（）一点，左、右焦点为，则的最大面积是。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题引例：1、若P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，12,F F 是椭圆的左右焦点，则2min ||________PF =；2max ||________PF =； min ||________PO =；max ||________PO =；2、椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于A 、B 两点，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是_________解析：如图，FAB ∆的周长＝||||||2(||||)2(2AF BF AB AF AC a ++=+=1||||0AC AF -≤(直角三角形)所以FAB ∆的周长取得最大值时m c =212232FABb Sc a∆=⋅⋅= 例1、 已知点(2,6)P -,2F 为椭圆221(0)2516x y a b +=>>的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2||||MP MF +最大值和最小值。
例1：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90sin 221210+=++===aPF PF PF PF c故22)45sin(210≥+=αe ，故椭圆离心率的最小值为22。
点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。
例2：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
椭圆中的最值问题
探究3已知椭圆 ， 为椭圆的上,下焦点,请求解以下问题：设P为椭圆上的任一点，求 的最大，最小值？
变式3若点 在椭圆 上,求 最大值为______，最小值为_____.
当堂检测
1、求椭圆 上点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离的最值。
3、性质
①范围：②顶点：
③对称性：④离心率：
⑤准线：⑥长轴，短轴：
重难突破
探究1.已知椭圆 ， 为椭圆的上,下焦点,请求解以下问题：设P为椭圆上的任一点，求： =x+y的最大，最小值?
变式1设 是椭圆 上一点,那么 的最大值是. 的最大值是最小值是。
探究2已知椭圆 ， 为椭圆的上,下焦点,请求解以下问题：求椭圆上点P到直线 的距离的最大，最小值？
4.设椭圆Ｃ： （ａ＞ｂ＞０）的离心率 ，左顶点Ｍ到直线 的距离 ，点Ｏ为坐标原点。
（1）求椭圆的方程
（2）设直线Ｌ与椭圆Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，若以 为直径的圆经过坐标原点，证明：点Ｏ到直线 的距离为定值。
（3）在（2）的条件下，试求△AOB面积的最小值。
5.若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，求 的最大值。
平面内到两个定点的距离之和等于（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的定点间的距离为
2、椭圆的方程
（1）焦点在X轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
（），焦点是，其中C=
（2）焦点在Y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
（），焦点是，其中C=
（3）两种标准方程的一般形式： （A>0,B>0,A≠B）,当A<B时，椭圆的焦点在轴上，当A>B时，椭圆的焦点在轴上
高考数学考点：椭圆的最值问题
高考数学考点：椭圆的最值问题一、已知椭圆的方程，求线段或线段和的最值例1. 已知椭圆上的一动点P和一定点，试求线段|PA|的最小值。
剖析：如图1所示，P为椭圆上的点，则点P的坐标有一定的范畴限制，因此，求线段|PA|的最小值时要对a举行讨论。
解：设点P(x，y)是椭圆上的一点，则由两点公式可知当，即时，x取，当，即时，x取，当，即时，，点评：这里字母a是常量，但是不知道它的具体值，因此要加以讨论，许多同砚会忽视这一环境。
例2. 已知椭圆的左焦点为F，椭圆内有一个定点A(4，1)，P为椭圆上的恣意一点，试求的最大值。
剖析：如图2所示，设右焦点为C，式子|PF|+|PA|涉及到了焦半径|PF|，所以可利用椭圆的定义，将转化为，然后应用三角形中双方之和大于第三边这本性质求得最大值。
解：设椭圆的右焦点为C则(当点P在线段AC的延长线上时取“=”)，所以说明：由上述求解历程可知，椭圆上任一点P到椭圆内一定点A及一焦点F的隔断之和存在最大值，这个最大值就即是长轴长加上这个定点到另一焦点的隔断。
二. 利用椭圆的定义或几多性质求最值(取值范畴)例3. 已知椭圆的长轴的两端点分别是A、B，若椭圆上有一点P，使得∠APB=120°，求椭圆的离心率e的取值范畴。
剖析：要求离心率e的取值范畴，根据条件建立等式，再根据椭圆上点的坐标的范畴建立不等式求解。
解：由题设知设点，则有化简得由椭圆的几多性质知利用得，解得点评：当点P在椭圆上运动时，∠APB的巨细也随之变化，且当点P在向短轴端点靠近时，∠APB逐渐增长，当点P为椭圆短轴端点时，∠APB抵达最大。
因此，只要长轴关于短轴端点的张角大于或即是120°，椭圆上就存在一点P，使∠ABP=120°。
练一练：直线总有大众点，试求m的取值范畴。
答案：。
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法（1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；（3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为三角函数的最值问题处理。
一、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，20201)(||y c x PF ++=，由1220220=+b y ax 得)1(22020a x b y -=，将其代入20201)(||y c x PF ++=并化简得a x a cPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+×=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a a cPF -=+-×=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1.（2015浙江卷）如图，已知椭圆1222=+y x 上两个不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB D 面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0¹m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立ïîïíì+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x m y +-=1与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，所以042222>++-=D mb 。
椭圆有关的最值问题
第二章 2.2.2 曲线与方程 椭圆有关的最值问题 第 四课时
新知探究
椭圆中的几个最值： 椭圆中的几个最值：
x2 y2 1.对于椭圆 1.对于椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b
解：设M(x, y )是椭圆上任意一点， y 2 = b 2 − 则
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是 最大值为a，最小值为b. 2 b
y
值范围. 值范围.
B
1 e Î [ ,1) 2
P F1 O x F2
练习：已知 椭圆的左右焦点， 练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点， 椭圆上存在点M使得 使得MF1⊥MF2, 求椭 椭圆上存在点 使得 圆的离心率的范围. 圆的离心率的范围
y
BM
F1 O x F2
2 [ ,1) 2
构造函数法： 构造函数法： 2 x 2 例3 已知椭圆 + y = 1 的两个焦点
3 | MA | + 5 | MF 1 |
专题： 专题：求变量的取值范围或最值
思想方法： 思想方法： 1.函数法： 1.函数法： 化归为求函数值域或最值 函数法 2.不等式法： 2.不等式法： 不等式法 建立变量不等式并求解 3.几何法：从几何图形中确定临界值 3.几何法： 几何法
作业： 作业： P50习题2.2B P50习题2.2B组：1，2，3. 习题2.2B组
∴当x0 = −a， 2 | 有最大值a + c; | MF
Q−a ≤ x0 ≤ a
当x0 = a， MF2 | 有最小值a − c; |
y
B2
M 近日点
F2 A2
远日点
A1 F
椭圆中的最值问题专项
椭圆中的最值问题专项摘要本文主要介绍椭圆中的最值问题，包括椭圆的定义、性质、最值问题以及求解方法等内容。
本文将从几何和代数两个角度出发，深入浅出地阐述椭圆中的最值问题，为读者解决相关问题提供参考。
引言椭圆是一种经典的基本图形，具有许多独特的性质和应用。
其中，椭圆中的最值问题是经常出现的问题之一，对于许多研究者而言也是一个难点。
因此，讨论椭圆中的最值问题对于理解椭圆的性质和应用具有重要意义。
椭圆的定义和性质在笛卡尔坐标系中，椭圆可以表示为$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$。
其中，$(h,k)$表示椭圆中心的坐标，$a$和$b$分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆的性质主要有以下几点：- 椭圆在$x$轴和$y$轴上的交点分别称为$foci$。
它们的距离为$2c$，满足$c^2=a^2-b^2$。
- 椭圆的离心率可以表示为$e=\frac{c}{a}$。
当离心率小于$1$时，椭圆为实心椭圆；当离心率等于$1$时，椭圆为抛物线；当离心率大于$1$时，椭圆为双曲线。
- 椭圆的周长可以表示为$C=4aE(e)$，其中$E$为椭圆的第二类完全椭圆积分。
- 椭圆的面积可以表示为$S=\pi ab$。
椭圆中的最值问题在椭圆中，最值问题主要包括最大值和最小值问题。
常见的有以下几种类型：- 给定椭圆方程，求解在椭圆上的最大、最小值；- 给定椭圆上一点，求解在以该点为圆心的圆内的最大、最小值；- 给定椭圆上弦的长度，求解在这条弦上的最大、最小值。
求解方法常见的求解方法包括几何方法和代数方法。
- 几何方法：可以通过椭圆的对称性等几何特点，来求解最值问题。
例如，当椭圆的离心率为$1$，也就是椭圆退化成抛物线时，最值问题可以用焦点和准线的几何意义求解。
- 代数方法：可以通过二次函数的求极值以及拉格朗日乘数法等代数方法，来求解最值问题。
例如，对于给定椭圆方程求解最值问题时，可以先对椭圆方程进行化简，再用导数法求极值。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．椭圆中线段的最值（1）椭圆中最长的直径为122A A a =，最短的直径为122B B b =；（2）椭圆中最长的焦点弦为122A A a =，最短的焦点弦为通径（2b a）；（3）椭圆中最大的焦半径为a c +，最小的焦半径为a c -；或者说：椭圆上任一点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -； 二．椭圆中常见角的最值设点P 为椭圆上任一点，则焦点三角形的顶角12F PF ∠的最大值为12F BF ∠，且212cos 12F PF e ∠≥-， 12F PF S ∆的最大值为bc ； 12A PA ∠的最大值为12A BA ∠；例1．P 为椭圆22194x y +=上的一点，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，则12cos F PF ∠最小值为三．平面内任一点到两定点的距离之和（差）的最值问题 设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥ 当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；BA图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．B A P P图2例2．（1）已知点(3, 3)A -，点(5, 1)B ，点P 在x 轴上移动，使得||||PM PB +最小，则点P 的坐标为 ．（2）已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，(3, 2)M ，点P 在椭圆上，则||||PM PF +的最小值是 ；||||PM PF -的最大值是 ．例3．已知椭圆22143x y +=内有一点(1, 1)P -，F 为右焦点，在椭圆上有一动点M ，则||||MP MF +的最大值为 ，最小值为 ．四．平面内一动点P 到一定点M 和定直线l 的距离之和的最小值问题设P 为平面内一动点，M 为定直线l 外的一定点，d 为P 到l 的距离，0d 为M 到l 的距离，则 ||PM d +的最小值为0d ．例4．已知定点(2, 1)A ，1F 为椭圆22: 12516x y C +=的左焦点，点P 为C 上的动点，则13||5||PA PF + 的最小值为 ．五．直线上一动点与两定点的视角的最大值问题 A 、B 是直线l 同侧两定点，且直线AB l ⊥， 点P 为直线l 上一动点，则APB ∠有最大值．使APB ∠最大的点P 有何几何意义呢？由于点A 、B 是定点，l 为定直线，我们不妨利用几何画板研究过三点A 、B 、P 的圆，（如图5、6）当点P 在直线l 上运动时，过三点A 、B 、P 的圆O 与直线l 的关系是相交或相切，当圆O 与直线l 相交时，l 上总存在点Q 在圆内且使AQB APB ∠>∠；当且仅当圆O 与直线l 相切时，直线上除切点外，其余点均在圆O 外，由同弧上的圆周角与圆外角的大小关系，此时APB ∠最大，切点即为所求．lP 'PQ图5MBAOlP 'P图 6MBAOlAB M图 4P例5．12F F 、是椭圆22142x y +=的左右焦点，l 是椭圆的准线，点P l ∈，求12F PF ∠的最大值．（30）解法2：因为当过12F F 、、P 三点的圆与准线l 相切时，12F PF ∠最大，由切割线定理得 212||||||6KP KF KF =⋅=，故||KP =六．当直线l 与椭圆相离时，椭圆上总存在到直线l 的距离有最大（小）值的点 方法1：设(cos ,sin )P a b θθ，利用点到直线的距离公式——求三角函数的最值； 方法2：设与l 平行的直线系l '——与椭圆方程联立消元——令0∆=——得出与l 平行的椭圆的两条切线1l 、2l ——求出l 与1l 、l 与2l 的距离即为所求．例6．设(2, 0)F 是椭圆2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右焦点，以F 为圆心，5为半径的圆与椭圆相交于A 、B 两点，且||AB =（1）求椭圆的方程； （2）设直线2y kx =+交椭圆于M 、N 两点，O 为原点，求△MON 面积的最大值．练习1．（ ）已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为7(,4)2A ，则||||PA PM +的最小值是 （A ）112 （B ）4 （C ）92（D ）5练习2．已知抛物线28y x =和一点(3,2)A ，在抛物线上求一点M ，使得此点到点A 与到焦点F 的距离之和最小．。
椭圆的最值问题
椭圆的最值问题椭圆的最值问题是指在一个给定的椭圆内，找出某个函数的最大值或最小值。
为了解决这个问题，可以利用椭圆的性质和数学方法进行分析。
首先，我们需要确定椭圆的方程。
一个标准的椭圆方程可以表示为：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1其中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴和半短轴的长度。
接下来，我们需要确定要求最值的函数。
假设要求椭圆内的某个函数f(x, y) 的最大值或最小值。
有两种常见的方法可以解决椭圆的最值问题：1. 极值点法：我们可以计算函数f(x, y) 在椭圆边界上的极值点，并比较它们的函数值，找到最大值或最小值。
这可以通过拉格朗日乘数法等方法来实现。
2. 参数化法：我们可以将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中t 是一个参数。
然后将函数f(x, y) 在参数t 的取值范围内进行优化，找到最大值或最小值。
这可以通过微积分的方法来实现。
需要注意的是，在解决椭圆的最值问题时，我们还需要考虑函数f(x, y) 的定义域是否在椭圆内。
如果定义域超出了椭圆的范围，则需要对其进行限制或者使用其他方法进行求解。
椭圆的最值问题可以通过极值点法或参数化法来解决，具体的方法取决于具体的问题和函数形式。
通过合理选择方法并利用数学工具，我们可以有效地求解椭圆内函数的最大值或最小值。
当使用参数化法解决椭圆的最值问题时，以下是一些常见的步骤：1. 将椭圆参数化为x = h + a*cos(t), y = k + b*sin(t)，其中(h,k) 是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 轴和y 轴上的半长轴和半短轴的长度。
2. 将函数f(x, y) 表示为f(t) 的形式，即将函数中的x 和y 替换为参数t 的表达式。
这样，问题就被转化为在参数t 的取值范围内寻找f(t) 的最大值或最小值。
3. 确定参数t 的取值范围。
5椭圆中的最值与中点问题
椭圆中的最值与中点问题一、最值问题第一类：求离心率的最值问题例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+a x y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b -，得：0b a <≤，由e =，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：ααβαβαcos sin 2cos sin sin sin 90sin 221210+=++===aPF PF PF PF c 故22)45sin(210≥+=αe ，故椭圆离心率的最小值为22。
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题一．焦点三角形1．椭圆221925x y +=的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长是 。
2．设1F ，2F 为椭圆400251622=+y x 的焦点，P 为椭圆上的任一点，则21F PF ∆的周长是多少？21F PF ∆的面积的最大值是多少？3．设点P 是椭圆2212516x y +=上的一点，12,F F 是焦点，若12F PF ∠是直角，则12F PF ∆的面积为 。
变式：已知椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点． 若︒=∠6021PF F ，求21F PF ∆的面积．最值问题：1.椭圆2214x y +=两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为_____，最小值为_____2、椭圆2212516x y +=两焦点为F 1、F 2，A(3，1)点P 在椭圆上，则|PF 1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___3、已知椭圆2214x y +=，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。
4.设F 是椭圆322x ＋242y =1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P 点坐标 最小值 .5、．椭圆1162522=+y x 内有两点()2,2A ，()0,3B ，P 为椭圆上一点，若使53PA PB +最小，则最小值为6、.点P 为椭圆1162522=+y x 上的动点,21,F F 为椭圆的左、右焦点,则21PF ⋅的最小值为__________ ,此时点P 的坐标为________________.7、椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．8、求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值9、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．10、已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．11、(1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．。
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关于椭圆的最值问题
1．定义法
例1。
P(-2,
3),F 2为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。
分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。
由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1
交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知
–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1
22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8
结论1：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。
例2：P(-2,6),F 2为椭圆116252
2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2
︱的最大值和最小值。
分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。
解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。
∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。
结论2：设椭圆122
22=+b
y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。
2.二次函数法
例3．求定点A(a,0)到椭圆122
22=+b
y a x 上的点之间的最短距离。
分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。
解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，︱P A ︱2=(x-a)2+y 2 =(x-a)2+1-x 212=2)2(21a x -+1-a 2由椭圆方程知x 的取值范围是[-2,2]
（1） 若︱a ︱≤22,则x=2a 时︱P A ︱min =21a -
（2） 若a>22,则x=2时︱P A ︱min =︱a －2︱
（3） 若a <－22,则︱P A ︱min =︱a+2︱
结论3：椭圆122
22=+b
y a x 上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA ︱或︱MB ︱，通过动点在椭圆上消去y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4：椭圆14
222
=+y x 上的点M(x,y)到直线l ：x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。
分析：若按例3那样d=
542-+y x 转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆
的参数方程，即三角换元。
解：d=5
42-+y x ∵14222=+y x ∴令()R y x ∈⎩⎨⎧==θθθs i n c o s 2 则d=5
4sin 2cos 2-+θθ=2)4sin(252-+πθ 当sin )4(π
θ+=1时,d min =510254-, 当sin )4(πθ+=﹣1时,d max =5
10254+ 结论4：若椭圆12222=+b
y a x 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。
解。
令直线m ：x+2y+c=0 将x =﹣2y ﹣c 代入椭圆方程整理得8y 2+4cy+c 2-4=0，由△=0解得c =±22, c=-22 时直线m ：x+2y -22=0与椭圆切于点P,则P 到直线l 的距离为最小值，且最小值就是两平行
直线m 与l 的距离，所以d min =
510254- c=22时直线m ：x+2y +22=0与椭圆切于点Q ，则Q 到直线l 的距离为最大值，且最大值就是两平行
直线m与l的距离，所以d max=
510
2
5
4。
结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。
说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。