土体平面应变条件下的主应力关系

(10)
(11)
(12) (13)
R c
K c
10
8
6
4
2
1
0
0
30
60
90
ϕ
图 4 参数 Rc~ϕ 关系曲线 Fig.4 Relation of Rc~ϕ under plane strain
σa1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
30
60
90
ϕ
图 5 参数 Kc~ϕ 关系曲线 Fig.5 Relation of Kc~ϕ under plane strain
参数 K 为
K = 2σ P
(4)
σ a1 + σ a2
土体在平面应变的简单加载条件下，当 R ≤ Rc 时 σ P 为小主应力，K 为与 R 无关的常数；
当 R ≥ Rc 时 σ P 为中主应力，关系 K~R 曲线通过 σ P 分界点( Rc ， K c ) 和破坏点( RPS ， K PS )， 笔者将其用直线关系表示，即得到如图 2 所示的双线性函数如下
2.1 参数 Rc 、 K c 的确定
一维固结条件是特殊的平面应变状态，两个被动变形方向上的应变及应变增量均为零， 即 ε3 = ε2 = 0 ， dε3 = dε2 = 0 ，由各向同性材料性质可知， σ3 = σ2 。所以，一维固结应力状 态对应于图 2 中两条直线之间的交点，即 σ P 的分界点( Rc 、 Kc )，因此可利用一维固结条 件确定材料常数 Rc 和 Kc 。记 σ 3 = σ 2 = Koncσ1 ， Konc 为一维固结有效侧压力系数。土在一维 固结条件下有如下关系式
2.2 参数 m 的确定
当加荷应力比较大即 R > Rc 时，平面应变方向上的主应力 σ P 为中主应力，其应力状态
与图 2 中的直线 2 相对应。参数 m 为直线 2 的斜率，只要确定直线上的任意两点即可得到
参数 m 。由图 2 可知
m = K PS − Kc
(14)
RPS − Rc
式中， RPS 、 K PS 为破坏时的 R 、 K 值。
= 1− sinθ
(6)
K max
=
OO′ OO′
=1
(7)
由θ ≤ ϕ 可得
Kmin = 1 − sinθ ≥ 1 − sinϕ
(8)
式中，ϕ 为常规三轴压缩条件下土的内摩擦角。所以参数 K 的范围是
1− sinϕ ≤ K ≤ 1
(9)
τ
A
o θ P3 P2 o′
σ2
σ1 + σ3 2
P1
σ
图 3 三维应力莫尔圆 Fig.3 Mohr’s three-dimensional stress circle
1 1本课题得到国家自然科学基金（项目编号：10272010）资助 -1-
http://www.paper.edu.cn
定的二维本构方程，应充分利用平面应变条件下土的应力应变规律，简单、合理地确定 σ P 。 土在平面应变条件下的试验结果表明，在 ε d ~ R 坐标内，当加载应力比 R 与破坏应力比 RPS 的比值较低，即 R ≤ Rc 时，土基本表现为线弹性；当 R ≥ Rc 时，土表现为弹塑性。其中，Rc 为 σ P 是小主应力和中主应力分界点处的加荷应力比； εd 为等效剪应变：
∂f ∂σ ij
=
I 1I 2 I3
⎜⎜⎝⎛δ ik
−
1 I1
σ
ik
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
I1 I2
δ kj
−1 σ kj
⎟⎞ ⎟⎠
(19)
由平面应变条件 dε P = 0 ，联立式(18)和式(19)得
⎜⎜⎝⎛1
−
σP I1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
I1 I2
−
1 σP
⎟⎟⎠⎞
=
0
(20)
即
-5-
http://www.paper.edu.cn
-3-
类比式(4)可知，有如下方程组 解式(11)，联立式(10)得
Konc = 1 − sinϕ
( ) σP
=
Kc 2
σ a1 + σ a2
σ P = σ a2
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬
σP
=
K oncσ a1
=
1 Rc
⎪
σ
a1
⎪ ⎪⎭
Rc
=
1−
1 sinϕ
Kc
=
2(1- sinϕ )
2 − sinϕ
http://www.paper.edu.cn
SMP(Spatially Mobilized Plane)准则[8]表示为
I1I 2 = 8 tan 2 ϕ + 9
(15)
I3
式中， I1 、 I2 、 I3 为主应力不变量，表达式为
I1 I2
= σ a1 + σ P = σ a1σ P +
+ σ a2 σ P σ a2
+
⎫
σ
a2
σ
a1
⎪ ⎬
(16)
在平面应变条件下，当 σ P = σ2 为中主应力时，应力参数 K 与俞茂宏[7]定义的主应力参
数 m′ (原文为 m )完全相同。如图3所示，OP2 = σ2 ，OO′ = (σ1 + σ3 ) 2 ，所以，K = OP2 OO′ ，
即应力参数 K 的几何意义表示 P2 在 P3 与 O′ 之间与 O′ 的相对位置，随着ϕ 的不同而变化。当
2．平面应变条件下的主应力关系
岩土材料是一种粘弹塑性体，其应力应变关系非常复杂，与诸多因素有关。土体在平面 应变条件下，主应力关系的本质为特定应变路径( εP = 0 ， dεP = 0 ， εP 为平面应变方向上的 应变)条件下土的本构关系，即二维应变与三维应力之间的物理关系。实际工程中，确定和 应用土的三维本构关系是非常复杂的，在平面应变条件下通常将其简化为二维本构关系，但 是平面应变方向主应力 σ P 是未知的，因而得到的是超静定的二维本构方程。求解这个超静
I3 = σ a1σ Pσ a2
⎪⎭
Satake[5]根据相关联流动法则和SMP准则得出了平面应变条件下破坏时的主应力条件，
Baidu Nhomakorabea
屈服函数或塑性势函数为
f = g = I1I2
(17)
I3
不计弹性应变，由塑性理论可知
dε ij
=
dλ
∂f ∂σ ij
(18)
式中， dλ > 0 为塑性因子； ∂f 由式(17)可得 ∂σ ij
持线性关系。该结论可在弹塑性模型的基础上，利用弹性理论解释，在图 1 的直线 1 上应用
广义虎克定律，有
εP
=
σP E
−
υ⎜⎜⎝⎛
σ a1 E
+
σ a2 E
⎟⎟⎠⎞
(2)
式中， E 为弹性模量； υ 为泊松比。将 εP = 0 代入式(2)，化简可得
υ = σP
(3)
σ a1 + σ a2
得主应力之间为线性关系，即 σ P (σ a1 + σ a2 )为常数，与加荷应力比 R 无关。定义土体应力
εd =
2 3
(ε1 − ε2 )2 + (ε2 − ε3 )2 + (ε3 − )ε1 2
(1)
式中，ε1 、ε2 、ε3 为主应变。用弹塑性模型描述平面应变条件下土的应力应变关系，如图 1，
在直线 1 上 σ P 为小主应力；在曲线 2 上 σ P 为中主应力。 李广信人指出[6]，土体在平面应变条件下，当加载主应力 R 较小时，主应力之间基本保
1 ≤ R ≤ Rc RPS ≥ R ≥ Rc
(5)
-2-
http://www.paper.edu.cn
式中， Rc 、 Kc 、 m 为土性参数，均可利用常规试验及理论关系确定。主应力的双线性函 数充分考虑了影响应力应变关系的主要因素，简单加载表明了土体所受的应力历史并限定了
应力路径的范围；分段描述的双线性函数考虑了应力水平，即应力比 R 与破坏应力比 RPS 的 比值对 K 与 R 关系的影响。
其范围为 Rc ≥ 1 ；所以 1 ≥ Kc = 2(1- sinϕ ) (2 − sinϕ ) ≥ 1− sinϕ 满足式(9)的范围，且 Kc 也为土
-4-
http://www.paper.edu.cn
的常规三轴压缩内摩擦角ϕ 的函数，如图 5 所示， Kc 随ϕ 的增大而减小，即材料的强度越 高 σ P 越小。参数 Kc 的极限值可以理解为：当 ϕ = 0o 时，材料为无粘性的流体， Kc = 1 ，即 2σ P = σ a1 + σa2 反映了无粘性流体等值传递压力的特性；当 ϕ = 90o 时，材料为刚体，Kc = 0 ， 即 σ P = 0 反映了刚体不变形的特性。如图 2 所示， Kc 的物理意义为 R = 1 即 σ a1 = σa2 时平面 应变状态(如图 6 所示) 的侧压力系数 Kc = σ P σa1 ，与一维固结的侧压力系数 Konc 不同，体 现了土体在不同的加荷条件下其特性不同的应力路径相关性。
σ P = σ a1σ a2
(21)
在平面应变条件下，Matsuoka和Nakai的砂土试验结果证实了式(21)在破坏时是正确的
[8]。将式(21)代入式(4)，等式两边同除以 σ a2 得
K PS
=
2 RPS RPS + 1
(22)
将式(21)、式(22)代入式(15)得 RPS 的表达式[9]
RPS
R
RPS 2
Rc 1
K
K PS
1 Kc
2
m
1
1
0
εd
1
Rc
RPS
R
图 1 弹塑性模型 Fig.1 Elastoplastic model
图 2 平面应变条件下的主应力函数 Fig.2 Bilinear function under plane strain condition
K = ⎩⎨⎧mK(cR-Rc ) + Kc
1．引言
试验结果和理论研究均表明，各种材料均具有不同程度的中主应力效应，即中间主应力 影响材料的变形和强度特性。俞茂宏提出的双剪强度理论[1]和笔者提出的广义非线性强度理 论[2-3]，分别从线性和非线性的角度解释了中主应力对材料强度的影响规律。平面应变条件 是岩土工程中常见的应力状态，如在边坡稳定性、挡土墙的土压力、条形基础的承载力等问 题中。土体的变形及强度特性与其所处的应力状态密切相关，因而如何简单、合理地确定土 体中的应力状态，就成为对土体进行变形和稳定性分析的基础。目前，平面应变方向上主应 力 σ P 的确定方法[4]只适用于土体的破坏状态，将其应用于变形过程还缺少理论解释，并且 与实际相差较大[5]。李广信等人的平面应变试验结果表明[6]，土体在加载条件下，当加载比 例 R ( R = σ a1 σ a2 ， σ a1 ≥ σ a2 ， σ a1 、 σ a2 分别为大、小主动主应力)较小时， σ P 为小主应力； 当 R 较大时，σ P 为中主应力。为确定土体在平面应变的简单加载条件下主应力之间的关系， 笔者将其表示为双线性函数，线性系数分别通过一维固结应力状态和破坏时主应力之间的关 系确定，提出了 σ P 的计算公式，即 σ P 为材料性质及其所处应力状态的函数，只需利用土的 内摩擦角即可确定土体在平面应变条件下主应力之间的关系。通过双线性函数计算结果与 Toyoura标准砂土、承德中密砂试验结果的比较，表明了笔者所提平面应变方向主应力计算 公式的合理性。
=
1 4
⎜⎝⎛
A+
A−2
A − 3 −1⎟⎠⎞2
(23)
式中， A = 8 tan2 ϕ + 9 。将式(23)、(22)代入式(14)
m
=
2 RPS ( − Kc RPS + 1) ( ) RP2S + 1 − Rc RPS − Rc
σ1 σ1 = σ2
σP = σ3
σa2
σ2
图 6 平面应变应力状态( σ P < σ a1 = σ a2 )
Fig.6 Stress state under plane strain condition
由式(12)知， Rc 为常规三轴压缩内摩擦角ϕc 的函数，如图 4 所示， Rc 随ϕ 的增大而增大，
P2 与 P3 重合时 σ 2 = σ3 ；当 P2 与 O′ 重合时 K = 1，表示从动应力 σ P 等于主动应力的平均值 (σ1 + σ3 ) 2 ，为热力学第二定律所限定的极限状态。因此 P2 的极限位置是与 P3 或 O′ 重合， 所以有关系式：
K min
=
OP3 OO′
=
OO′ − O′P3 OO′
http://www.paper.edu.cn
土体平面应变条件下的主应力关系1
路德春，姚仰平，周安楠
北京航空航天大学土木工程系(100083)
email: dechun@buaa.edu.cn
摘 要：在平面应变条件下将土体的变形和强度特性简化为二维问题处理时，其关键就在于 如何简单、合理地确定平面应变方向上的主应力大小。基于弹塑性应力应变关系及试验规律， 在平面应变的简单加载条件下假定主应力关系为双线性函数，并利用一维固结和破坏时的应 力状态确定双线性函数的系数，得到了平面应变方向上主应力计算公式的一个较合理形式， 即为应力状态和材料性质的函数。通过与试验数据的比较，表明所提双线性主应力函数的合 理性。 关键词：土；平面应变；中主应力；一维固结；本构模型