2018年高中数学优化设计第一轮复习综合测试卷

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2018年高中理科数学优化设计第一轮复习4.6

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(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
答案
第四章
知识梳理双基自测
4.6
三角恒等变换
知识梳理核心考点
-5-
1
π -�� 4
2
3
4
5
2.若 cos
7 A.25
=
1 B.5
3 ,则 5
sin 2α=(
1 C.-5
)
7 D.-25
关闭
D
答案
第四章
知识梳理双基自测
4.6
三角恒等变换
第四章
知识梳理双基自测
4.6
三角恒等变换
知识梳理核心考点
-7-
1
π
2
4
3
4
5
π π
(
3.如果 α∈ 2 ,π ,且 sin α=5,那么 sin �� + 4 +cos �� + 4 等于 )
4 2 A. 5 4 2 B.5 3 2 C. 5 3 2 D.5
关闭
D
3 由已知,得 cos α=- ,则 5 π π = 2sin �� + + = 4 4
解析答案
第四章
考点1 考点2 考点3
4.6
三角恒等变换
知识梳理核心考点
-10-
考点 1 三角函数式的化简、求值
例 1(1)已知 0<θ<π, 则
(1+sin��+cos��) sin2-cos2 2+2cos��
π π ��
= = α∈
π 0, 2
-9-

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习3.1高考模拟卷

1集合的含义与表示、集合间的基本关系2.(2015河南郑州一模,文2,集合的含义与表示、集合间的基本关系,选择题)已知集合M={x|x-2<0},N={x|x<a},若M⊆N,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0]解析:M={x|x<2},∵M⊆N,∴a≥2.∴a的取值范围是[2,+∞).答案:A2集合的基本运算1.(2015辽宁锦州二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U=R,集合A=-,B={x|x≥1},则集合{x|x≤0}等于()A.A∩BB.A∪BC.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)解析:由-<0,得x(x-1)<0,解得0<x<1,所以A=-={x|0<x<1}.又B={x|x≥1},则A∪B={x|0<x<1}∪{x|x≥1}={x|x>0},所以,集合{x|x≤0}=∁U(A∪B).答案:D1.(2015辽宁锦州一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={cos 0°,sin 270°},B={x|x2+x=0},则A∩B为()A.{0,-1}B.{-1,1}C.{-1}D.{0}解析:∵A={cos 0°,sin 270°}={1,-1},B={x|x2+x=0}={x|x(x+1)=0}={-1,0},∴A∩B={-1}.答案:C1.(2015辽宁沈阳一模,文1,集合的基本运算,选择题)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,4},N={2,3},则集合(∁U M)∩N等于()A.{2,3}B.{2,3,5,6}C.{1,4}D.{1,4,5,6}解析:由补集的定义可得∁U N={2,3,5},则(∁U N)∩M={2,3}.答案:A1.(2015辽宁沈阳四校联考,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U=R,A={x||x|<2},B={x|x2-4x+3>0},则A∩(∁U B)等于()A.{x|1≤x<3}B.{x|-2≤x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|-2<x≤3}解析:由A中不等式解得-2<x<2,即A={x|-2<x<2},由B中不等式变形得(x-1)(x-3)>0,解得x<1或x>3,即B={x|x<1或x>3},则∁U B={x|1≤x≤3},故A∩(∁U B)={x|1≤x<2}.答案:C1.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文1,集合的基本运算,选择题)设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(∁U A)∩B=()A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2}D.{x|0≤x≤2}解析:∵全集U=R,集合A={x|x≥2},∴∁U A={x|x<2}.∵B={x|0≤x<5},∴(∁U A)∩B={x|0≤x<2}.答案:B1.(2015河南开封二模,文1,集合的基本运算,选择题)集合U={1,2,3,4,5,6},N={1,4,5},M={2,3,4},则N∩(∁U M)=()A.{1,4,5}B.{1,5}C.{4}D.{1,2,3,4,5}解析:∵U={1,2,3,4,5,6},N={1,4,5},M={2,3,4},∴N∩(∁U M)={1,4,5}∩{1,5,6}={1,5}.答案:B1.(2015河南洛阳一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知全集U为实数集,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为()A.{x|1≤x<3}B.{x|x<3}C.{x|x≤-1}D.{x|-1<x<1}解析:A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},则∁U B={x|x≥1},由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B),A∩(∁U B)={x|1≤x<3}.答案:A1.(2015辽宁鞍山一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)解析:因为集合M={x|-3<x<1},N={x|x≤-3},所以M∩N=⌀,M∪N={x|x<1}.则∁R(M∩N)=R,∁R(M∪N)={x|x≥1}.答案:D1.(2015辽宁大连一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=() A.[-1,0) B.[-1,0]C.[0,1]D.(-∞,1)∪[2,+∞)解析:∵A=[-1,1],B=[0,2],∴A∩B=[0,1].答案:C1.(2015辽宁大连二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={2,3},B={x|x2-4x+3=0},则A∩B等于() A.{2} B.{3} C.{1} D.{1,3}解析:由B中方程变形得(x-1)(x-3)=0,解得x=1或x=3,即B={1,3},∵A={2,3},∴A∩B={3}.答案:B1.(2015宁夏银川一中一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(∁U B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2解析:∵B={x|1≤x<2},∴∁R B={x|x<1或x≥2}.∵A={x|x<a},A∪(∁R B)=R,∴a的范围为a≥2.答案:C1.(2015宁夏银川一中二模,文1,集合的基本运算,选择题)设A={x|x2+x-6<0,x∈Z},B={x||x-1|≤2,x∈Z},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}解析:依题意,A={-2,-1,0,1},B={-1,0,1,2,3},A∩B={-1,0,1}.答案:B1.(2015河南六市联考一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x2>1},B={x|log2x>0},则A∩B=() A.{x|x<-1} B.{x|x>0}C.{x|x>1}D.{x|x<-1或x>1}解析:集合A={x|x2>1}={x|x>1或x<-1},B={x|log2x>0=log21}={x|x>1},A∩B={x|x>1}.答案:C1.(2015河南开封定位模拟,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={y|y2-2y-3≤0},则A∩B=()A.{x|1<x<3}B.{y|1≤y≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1≤x<3}解析:由x-1>0,得x>1.所以A={x|y=lg(x-1)}={x|x>1},由y2-2y-3≤0,得-1≤y≤3.所以B={y|y2-2y-3≤0}={y|-1≤y≤3},则A∩B={x|1<x≤3}.答案:C1.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={0,b},B={x∈Z|x2-3x<0},若A∩B≠⌀,则b等于()A.1B.2C.3D.1或2解析:集合B={x∈Z|x2-3x<0}={1,2},集合A={0,b},若A∩B≠⌀,则b=1或b=2.答案:D4.(2015河南漯河一模,文4,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x||x|<3},集合B={x|x-2≥0},则A∪(∁R B)等于()A.(-∞,3]B.(-∞,3)C.[2,3)D.(-3,2]解析:集合A={x||x|<3}=(-3,3),集合B={x|x-2≥0}=[2,+∞),∁R B=(-∞,2),A∪(∁R B)=(-∞,3).答案:B1.(2015河南商丘二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知R,为实数集,A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则A∪B=()A.{x|x≥2}B.{x|x>-3}C.{x|2≤x<3}D.R解析:由2x-3<3x,得x>-3,则A={x|x>-3},又B={x|x≥2},则A∪B={x|x>-3}.答案:B1.(2015河南商丘一模,文1,集合的基本运算,选择题)若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B=() A.{x|-1<x<1} B.{x|-2<x<1}C.{x|-2<x<2}D.{x|0<x<1}解析:A∩B={x|-2<x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}.答案:D1.(2015辽宁丹东二模,文1,集合的基本运算,选择题)已知集合A={x|x>-1},A∪B=A,则集合B可以是()A.{0,2}B.{-1,0,1}C.{x|x≤0}D.R解析:集合A={x|x>-1},A∪B=A,则集合B可以是{0,2}.答案:A1.(2015河南中原名校联盟模拟,文1,集合的基本运算,选择题)设集合M={x∈Z|-4<x<2},N={x|x2<4},则M∩N等于()A.(-1,1)B.(-1,2)C.{-1,0,1}D.{-1,1,2}解析:M={x∈Z|-4<x<2}={-3,-2,-1,0,1},N={x|x2<4}={x|-2<x<2},则M∩N={-1,0,1}.答案:C4四种命题及其关系、命题真假的判定3.(2015辽宁锦州二模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列说法不正确的是()A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题B.命题“∃x0∈R,-x0-1<0”的否定是“∀x0∈R,-x0-1≥0”C.“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件D.α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减解析:对于A,若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题,显然是正确的命题,所以A正确.对于B,命题“∃x0∈R,-x0-1<0”的否定是“∀x0∈R,-x0-1≥0”,符合命题的否定形式,所以B正确.对于C,“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件,显然不正确,因为y=sin(2x+φ)为偶函数是周期函数,φ的终边在y轴时,函数都是偶函数,所以C不正确.对于D,当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减,满足幂函数的性质,所以D正确.答案:C16.(2015河南郑州一模,文16,四种命题及其关系、命题真假的判定,填空题)给定方程:+sin x-1=0,下列命题中:①该方程没有小于0的实数解;②该方程有无数个实数解;③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.则正确命题是.解析:对于①,若α是方程+sin x-1=0的一个解,则满足=1-sin α,当α为第三、四象限角时>1,此时α<0,因此该方程存在小于0的实数解,则①不正确;对于②,原方程等价于-1=-sin x,当x≥0时,-1<-1≤0,而函数y=-sin x的最小值为-1,且有无穷多个x满足-sin x=-1,因此函数y=-1与y=-sin x的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点,因此方程+sin x-1=0有无数个实数解,故②正确;对于③,当x<0时,由于x≤-1时-1≥1,函数y=-1与y=-sin x的图象不可能有交点,当-1<x<0时,存在唯一的x满足=1-sin x,因此该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解,得③正确;对于④,由上面的分析知,当x≤-1时-1≥1,而-sin x≤1且x=-1不是方程的解,所以函数y=-1与y=-sin x的图象在(-∞,-1]上不可能有交点,因此只要x0是该方程的实数解,则x0>-1.答案:②③④4.(2015宁夏银川一中一模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列命题中为真命题的是()A.若x≠0,则x+≥2B.命题:若x2=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x2≠1C.“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D.若命题P:∃x∈R,x2-x+1<0,则P:∀x∈R,x2-x+1>0解析:对于A,x>0,利用基本不等式,可得x+≥2,故不正确;对于B,命题:若x2=1,则x=1或x=-1的逆否命题为:若x≠1且x≠-1,则x2≠1,正确;对于C,“a=±1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件,故不正确;对于D,命题P:∃x∈R,x2-x+1<0,则P:∀x∈R,x2-x+1≥0,故不正确.答案:B4.(2015宁夏银川一中二模,文4,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x∈R,sin x>1”③命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x∈R,x2+x+1<0,则p∨q为真命题A.0B.1C.2D.3解析:对于①:当x=1成立时有12-3×1+2=0,即x2-3x+2=0成立,当x2-3x+2=0成立时有x=1或x=2,不一定有x=1成立.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件.故①正确.对于②:命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x∈R,sin x>1”,故②正确.对于③:命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,正确,命题q:∃x∈R,x2+x+1<0错误,因为x2+x+1=>0恒成立,p∨q为真,故③正确.答案:D12.(2015河南六市联考一模,文12,四种命题及其关系、命题真假的判定,选择题)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数.下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:由f(x)的导函数y=f'(x)的图象,可得函数f(x)在区间[-1,0]上单调递增;在区间[0,2]上单调递减;在区间[2,4]上单调递增;在区间[4,5]上单调递减.结合表格可得函数f(x)的图象.由图象可得:①函数f(x)的值域为[1,2],正确;②函数f(x)在[0,2]上是减函数,正确;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为5,因此不正确;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点,正确.综上,可得正确命题的个数为3.答案:D5充分条件和必要条件3.(2015辽宁沈阳一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)“x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵x<0,∴x+1<1,当x+1>0时,ln(x+1)<0.∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1.∴-1<x<0.∴x<0.∴“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.答案:B2.(2015辽宁沈阳四校联考,文2,充分条件和必要条件,选择题)设a,b为实数,则“a>b>0”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若a>b>0,则-<0,即成立.若,则-<0,a>b>0或0>a>b,所以“a>b>0”是“”的充分不必要条件.答案:A2.(2015河南洛阳二模,文2,充分条件和必要条件,选择题)已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=”是“A∩B={4}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若A∩B={4},则m2+1=4,即m2=3,解得m=或m=-,故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.答案:A5.(2015辽宁大连一模,文5,充分条件和必要条件,选择题)x<2是x2-3x+2<0成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:解x2-3x+2<0得,1<x<2,因为{x|x<2}⫌{x|1<x<2},所以x<2是x2-3x+2<0成立的必要不充分条件.答案:A3.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos 2A<cos 2B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:在三角形中,cos 2A<cos 2B等价为1-2sin2A<1-2sin2B,即sin A>sin B.若a>b,由正弦定理,得sin A>sin B,充分性成立.若sin A>sin B,则正弦定理,得a>b,必要性成立.所以,“a>b”是“sin A>sin B”的充要条件,即“a>b”是“cos 2A<cos 2B”成立的充要条件.答案:C1.(2015河南漯河一模,文1,充分条件和必要条件,选择题)“x=2”是“x2-4=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:(1)充分性:∵x=2,∴x2-4=4-4=0.(2)必要性:∵x2-4=0,∴x=±2,不能得出x=2.∴“x=2”是“x2-4=0”的充分而不必要条件.答案:A3.(2015河南商丘一模,文3,充分条件和必要条件,选择题)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵b⊥m,∴若α⊥β,则由面面垂直的性质可得a⊥b成立.若a⊥b,则α⊥β不一定成立,故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.答案:B7含有简单逻辑联结词的命题的真假6.(2015河南商丘二模,文6,含有简单逻辑联结词的命题的真假,选择题)已知命题p:函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过(-1,2)点;命题q:已知平面α∥平面β,则直线m∥α是直线m∥β的充要条件;则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q解析:当x+1=0时,x=-1,此时y=1+1=2,即函数y=a x+1+1(a>0且a≠1)的图象恒过(-1,2)点,即命题p为真命题.若直线m∥α,则m∥β或m⊂β,充分性不成立,若直线m∥β,则m∥α或m⊂α,必要性不成立,即直线m∥α是直线m∥β的既不充分也不必要条件,即命题q为假命题,则p∧q为真命题.答案:D8全称命题、特称命题的真假判断2.(2015天津河北区一模,文2,全称命题、特称命题的真假判断,选择题)下列命题中,属于真命题的是()A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1<sin x<1C.∃x0∈R,<0D.∃x0∈R,tan x0=2解析:A.当x=0时,x2>0不成立,即A错误.B.当x=时,-1<sin x<1不成立,即B错误.C.∀x∈R,2x>0,即C错误.D.∵tan x的值域为R,∴∃x0∈R,tan x0=2成立.答案:D9含有一个量词的命题的否定1.(2015河南郑州一模,文1,含有一个量词的命题的否定,选择题)已知命题p:∀x>0,x3>0,那么p是()A.∃x≤0,x3≤0B.∀x>0,x3≤0C.∃x>0,x3≤0D.∀x<0,x3≤0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题p:∀x>0,x3>0,那么p是∃x>0,x3≤0.答案:C5.(2015辽宁鞍山一模,文5,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∃x∈R,使得x2<1”的否定是()A.∀x∈R,都有x2<1B.∀x∈R,都有x≤-1或x≥1C.∃x∈R,使得x2≥1D.∃x∈R,使得x2>1解析:∵命题“∃x∈R,使得x2<1”是特称命题,∴否定命题为:∀x∈R,都有x2≥1.∴∀x∈R,都有x≤-1或x≥1.答案:B2.(2015河南漯河一模,文2,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∀x∈R,都有ln(x2+1)>0”的否定为()A.∀x∈R,都有ln(x2+1)≤0B.∃x0∈R,使得ln(+1)>0C.∀x∈R,都有ln(x2+1)<0D.∃x0∈R,使得ln(+1)≤0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x∈R,都有ln(x2+1)>0”的否定是:∃x0∈R,使得ln(+1)≤0.答案:D3.(2015辽宁丹东二模,文3,含有一个量词的命题的否定,选择题)命题“∀x≥0,|x|+x≥0”的否定是()A.∀x≥0,|x0|+x0<0B.∀x<0,|x|+x≥0C.∃x0≥0,|x0|+x0<0D.∃x0<0,|x|+x≥0解析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“∀x≥0,|x|+x≥0”的否定是:∃x0≥0,|x0|+x0<0.答案:C。

2018届高三数学(理)一轮总复习测试专题测试2Word版含答案

专题测试二三角函数、平面向量、复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为-z ，则在复平面内i -z 对应的点的坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)解析：选 C.∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i -z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．2．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.318 B ．1318 C.322D ．1322解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.3．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D ．25i 解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i （1＋2i ）（1－2i ）＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a的虚部为－25. 4．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π8B ．g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．g (x )＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8D ．g (x )＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，则g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4. 5．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．π，2－ 2 B ．π，0 C ．2π，0D ．2π，2－ 2解析：选A.y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.∵ω＝2，∴T ＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x ＋π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝2－2，则函数的最小值为2－ 2. 6．在锐角三角形ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A.由题意得12·AB ·AC ·sin A ＝3，即12×4×1×sin A ＝3，故sin A ＝32.因为A 为锐角，所以A ＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝4×1×cos 60°＝2.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4B ．15C ．3D ．17解析：选D.由题意求出cos C ，利用余弦定理求出c 即可．∵cos(A ＋B )＝13，∴cos C＝－13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，cos C ＝－13，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝17，∴c ＝17.8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6 B ．π3C.π2D ．2π3解析：选B.∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，即b 2＋a 2－c 2＝ab .由余弦定理得cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ． (0，2]解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝13，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，9π4，不符合题意，排除D ；令ω＝13⇒ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12，不符合题意，排除B ，C.故选A.法二：y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥2k π＋π2ωπ＋π4≤2k π＋3π2k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54＝2k －34＜0，k ∈Z 得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54，故选A. 10．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件．11．将奇函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A ．6B ．3C ．4D ．2解析：选A.由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，－π2<φ<π2是奇函数，得φ＝0，则将y ＝A sinωx ，ω>0的图象向左平移π6个单位得到y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋πω6，ω>0的图象．其图象关于原点对称，所以πω6＝k π，k ∈N *，ω＝6k ，k ∈N *，当k ＝1时，ω＝6 ，故选A.12．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12D ．13解析：选B.设AB 的中点为D ，∵OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴O 为中线CD 的中点，∴△AOC ，△AOD ，△BOD 的面积相等，∴△AOC 与△AOB 面积之比为1∶2，同理△BOC 与△AOB 的面积之比为1∶2，∴△AOC 是△ABC 面积的14，∴△AOC 的面积为1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在上的零点个数为．解析：∵T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由f (x )＝0，得2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π6，k ∈Z ；∴函数f (x )在上的零点有π6，23π，76π，53π共4个．答案：414．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是．解析：因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，所以AD →·AB →＝22.答案：2215．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于．解析：由题意知π3为函数f (x )＝cos ωx (ω>0)周期的正整数倍，所以π3＝k ·2πω(k ∈N *)，ω＝6k ≥6，故ω的最小值为6.答案：616.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝．解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BCsin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，即BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．答案：156m三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0的最大值是2，其图象相邻对称轴之间的距离为π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (α)＝3，求α.解：(1)因为函数的最大值为2，所以A ＝2，又因为相邻对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)因为f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以2α－π6＝π3或2π3，解得α＝π4或5π12.18.(12分)如图，一建筑物AB 的高为(30－103) m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD .在它们之间的地面点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，求通信塔CD 的高．解：如图，过点A 作AN ⊥CD 于点N ，在Rt △ABM 中，AM ＝AB sin ∠AMB ＝30－103sin 15°＝30－103sin （45°－30°）＝30－1036－24＝20 6.又易知∠MAN ＝∠AMB ＝15°，所以∠MAC ＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM ＝30°，在△AMC 中，由正弦定理得MC sin 45°＝206sin 30°，解得MC ＝40 3.在Rt △CMD 中，CD ＝403×sin 60°＝60(m)，故通信塔CD 的高为60 m.19．(12分)设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin α；(2)若sin(α－β)＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β.解：(1)∵m ∥n ，∴2cos α＝sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14sin 2α＝1，∴sin 2α＝45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＞0，∴sin α＝255.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2.∵sin(α－β)＝35，∴cos(α－β)＝45.又sin α＝255，∴cos α＝55.∴cos β＝cos＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×45＋255×35＝255. 20．(12分)三角形的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.(2)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ，代入2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )∴2sin B cos A ＝3sin(A ＋C )． ∴cos A ＝32，A ∈(0，π)，A ＝π6设CM ＝m ，则AC ＝2m .在△ACM 中，7＝4m 2＋m 2＋2m 2，∴m 2＝1，m ＝1，m ＝－1(舍去)， ∴AC ＝BC ＝2∴S △ABC ＝12CA ·CB ·sin 23π＝12×2×2×32＝ 3.21．(12分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，cos x ＋sin x ，b ＝(1，cos x －sin x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝a ·b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x －sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos 2x ＝cos 2x cosπ3＋sin 2x sin π3＋cos 2x ＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )． (2)由f (A )＝32，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝12，因为A 为△ABC 的内角，由题意知0<A <23π，所以π3<2A ＋π3<53π，因此2A ＋π3＝56π，解得A ＝π4，又a ＝2，B ＝π3，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝ 6.由A ＝π4，B ＝π3，可得sin C ＝sin ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32.22．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝6ab cos C ，且sin 2C ＝2sin A sin B .(1)求角C 的值；(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx (ω>0)，且f (x )图象上相邻两最高点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解：(1)因为a 2＋b 2＝6ab cos C ，由余弦定理知a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，所以cos C ＝c 24ab，又因为sin 2C ＝2sin A sin B ，则由正弦定理知c 2＝2ab ，所以cos C ＝c 24ab ＝2ab 4ab ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，由已知，得2πω＝π，ω＝2，则f (A )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3，因为sin 2C ＝2sin A sin B ，C ＝π3，所以2sin A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝34，整理得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝14. 因为0<A <2π3，所以－π6<2A －π6<7π6，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝±154.f (A )＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－π6＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6×32－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6×12.当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32－154×12＝3－358，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－154时，f (A )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14×32＋154×12＝3＋358，故f (A )的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－358，3＋358.。

2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检六A

单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习3.5高考模拟卷

65平面向量的线性运算及几何意义7.(2015辽宁锦州二模,文7,平面向量的线性运算及几何意义,选择题)已知向量与的夹角为120°,且||=2,||=3,若=λ,且,则实数λ的值为()A. B.13 C.6 D.解析:∵=λ,且,∴=(λ)·()=-λ+(λ-1)=0.又向量与的夹角为120°,且||=2,||=3,∴=||||cos 120°=2×3×-=-3.∴32-λ·22+(λ-1)×(-3)=0,解得λ=.答案:D67平面向量基本定理的应用5.(2015河南商丘二模,文5,平面向量基本定理的应用,选择题)如图,在△ABC中,已知=3,则=() A.B.C.D.解析:∵,∴由已知=3,得=3(),化简.答案:C68平面向量的坐标运算6.(2015辽宁大连二模,文6,平面向量的坐标运算,选择题)在△ABC中,D为BC边的中点,若=(2,0),=(1,4),则=()A.(-2,-4)B.(0,-4)C.(2,4)D.(0,4)解析:=(1,4)-(2,0)=(1,4)-(1,0)=(0,4).答案:D8.(2015宁夏银川一中二模,文8,平面向量的坐标运算,选择题)已知向量=(4,6),=(3,5),且,则向量等于()A.-B.-C.-D.-解析:设C(x,y),⇒4x+6y=0,⇒5(x-4)-3(y-6)=0, 联立解得D-.答案:D70平面向量数量积的运算3.(2015辽宁锦州一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则取最小值时P点坐标是()A.(-3,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)解析:设P(a,0),向量=(2,2),=(4,1),则=(a-2,-2)·(a-4,-1)=a2-6a+10=(a-3)2+1≤1,当a=3时,取得最小值.所以P点坐标是(3,0).答案:D10.(2015辽宁沈阳一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,若||=||,AB=2,AC=1,E,F为BC边的三等分点,则=()A. B. C. D.解析:若||=||,则+2-2,即有=0.又E,F为BC边的三等分点,则=()·()====×(1+4)+0=.答案:B16.(2015辽宁沈阳四校联考,文16,平面向量数量积的运算,填空题)在△AOB中,G为△AOB的重心(三角形中三边上中线的交点叫重心),且∠AOB=60°.若=6,则||的最小值是.解析:设AB的中点为C,则点G在OC上,且),∵=||·||·cos 60°=6,∴||·||=12.∴||=(||)===≥=2,当且仅当||=||时,等号成立,故||的最小值是2.答案:25.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=()A.2B.2C.4D.12解析:∵|a+2b|===°=2.答案:A3.(2015河南开封二模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)·(a+b)等于()A.20B.(-10,30)C.54D.(-8,24)解析:∵a·b=1×(-3)+2×4=5,a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),∴(a·b)·(a+b)=5(-2,6)=(-10,30).答案:B16.(2015河南开封二模,文16,平面向量数量积的运算,填空题)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c与向量a,b共面,且满足|a-b-c|=1,则|c|的取值范围是.解析:由a,b是单位向量,a·b=0,可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),∵向量c满足|c-a+b|=1,∴|(x-1,y+1)|=1.∴-=1,即(x-1)2+(y+1)2=1.其圆心C(1,-1),半径r=1.∴|OC|=.∴-1≤|c|=+1.∴|c|的取值范围是[-1,+1].答案:[-1,+1]16.(2015河南洛阳二模,文16,平面向量数量积的运算,解答题)在△ABC中,已知sin(A+B)=sin B+sin(A-B).(1)求∠A;(2)若=20,求||的最小值.解:(1)原式可化为:sin B=sin(A+B)-sin(A-B)=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B,∵B∈(0,π),∴sin B>0.∴cos A=.∴∠A=60°.(2)∵=20,∴AB·AC·cos∠A=20,AB·AC=40.则||=BC=-°≥-=2,当且仅当AB=AC时,取等号,即△ABC为等边三角形时,||取得最小值为2.5.(2015河南洛阳一模,文5,平面向量数量积的运算,选择题)设等边△ABC边长为6,若=3,则等于()A.-6B.6C.-18D.18解析:∵等边△ABC边长为6,若=3,∴),.∴--=--=-18.答案:C10.(2015河南郑州一模,文10,平面向量数量积的运算,选择题)已知函数f(x)=A sin(πx+φ)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则()·( )的值为()A.-1B.-C.D.2解析:∵函数f(x)=sin(2πx+φ)的周期T==2,则BC==1,则C点是一个对称中心,则根据向量的平行四边形法则可知:=2,∴()·()=2=2||2=2×12=2.答案:D12.(2015河南郑州一模,文12,平面向量数量积的运算,选择题)在Rt△ABC中,CA=CB=3,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=,则的取值范围为() A.[3,6] B.[4,6]C. D.[2,4]解析:以C为坐标原点,CA为x轴建立平面坐标系,则A(3,0),B(0,3),则AB所在直线的方程为:=1,即y=3-x.设N(a,3-a),M(b,3-b),且0≤a≤3,0≤b≤3,不妨设a>b,∵MN=,∴(a-b)2+(b-a)2=2.∴a-b=1.∴a=b+1.∴0≤b≤2.∴=(a,3-a)·(b,3-b)=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3)=2(b-1)2+4,0≤b≤2,∴当b=0或b=2时有最大值6;当b=1时有最小值4.∴的取值范围为[4,6]答案:B3.(2015辽宁大连一模,文3,平面向量数量积的运算,选择题)已知|a|=1,|b|=,且a⊥b,则|a+b|为()A. B. C.2 D.2解析:∵a⊥b,∴a·b=0.∴|a+b|=.答案:B4.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)向量a,b满足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:设向量a与b的夹角为θ.∵(a+b)⊥(2a-b),∴(a+b)·(2a-b)=2a2-b2+a·b=2×12-()2+1××cos θ=0.解得cos θ=0,∵θ∈[0,π],∴θ=90°.答案:C9.(2015河南商丘二模,文9,平面向量数量积的运算,选择题)在△ABC中,已知||=4,||=1,S△ABC=,则的值为()A.-2B.2C.±4D.±2解析:∵S△ABC=|AB||AC|sin A,∴sin A=.∴cos A=±.∴=||×||×cos A=4×1×=±2.答案:D4.(2015辽宁丹东二模,文4,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a+b|=() A. B.2 C. D.1解析:∵向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,∴|a+b|=.答案:A5.(2015河南中原名校联盟模拟,文5,平面向量数量积的运算,选择题)已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则n2的值为()A.1B.2C.3D.4解析:向量a=(1,n),b=(-1,n),则2a-b=(3,n),若2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=0,则有-3+n2=0,n2=3.答案:C72平面向量数量积的应用6.(2015河南开封定位模拟,文6,平面向量数量积的应用,选择题)若|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,则a,b的夹角是() A. B. C. D.解析:由题意可得(a-b)·a=a2-a·b=0,设a与b的夹角为θ,代入数据可得2-×2cos θ=0,即cos θ=,又θ∈[0,π],故θ=.答案:D8.(2015河南商丘一模,文8,平面向量数量积的应用,选择题)已知平面向量a,b,满足a=(1,),|b|=3,a ⊥(a-2b),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.6解析:∵a=(1,),∴|a|=2.又|b|=3,a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=|a|2-2a·b=0.∴|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=0+9=9.∴|a-b|=3.答案:B。

2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷二

滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南开封四模)集合A={x∈N||x-1|≤1},B={x|y=-},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.4D.8=()2.(2016山西运城4月模拟)复数-A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.(2016河南高考押题)如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C. D.π5.(2016辽宁沈阳三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin-的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A.-B.-C.-D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.(2016山东师大附中仿真)在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.(2016山西运城4月模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.C.-10D.-10.(2016山西太原三模)已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.1 〚导学号37270666〛12.(2016山西运城4月模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞) 〚导学号37270667〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2016河南开封四模)已知函数f(x)=-(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点是.15.(2016山西太原一模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.〚导学号37270668〛16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)(2016山东昌乐二中模拟)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB 上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.〚导学号37270669〛19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=-,求函数g(x)在x∈-上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)(2016山西运城4月模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.〚导学号37270670〛22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.〚导学号37270671〛参考答案滚动测试卷二(第一~五章)1.C解析∵集合A={x∈N||x-1|≤1}={0,1,2},B={x|y=-}={x|-1≤x≤1},∴A∩B={0,1}.∴集合A∩B的子集个数为22=4,故选C.2.A解析------=-=1-2i,故选A.3.C解析若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C 正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D错误.故选C.4.B解析由题意可知阴影区域的面积是S=-cos x d x=-sin x=2.故选B.5.B解析因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析依题意得g(x)=sin--=sin-,当x∈时,2x--,sin--,此时g(x)的值域是-.选A.7.C解析f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+-.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析∵f(x+3)=-,∴f(x+6)=-=--=f(x).∴函数f(x)是以6为周期的函数.∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-=--=--.故选B.10.A解析y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2-=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析由cos B=,0<B<π得sin B=.又=2得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2. 12.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)是R上的减函数.又f(1)=1,∴f(log2x)>=log2x+,即g(log2x)=f(log2x)-log2x>=g(1)=f(1)-=g(log22).∴log2x<log22.又y=log2x是定义域上的增函数,∴0<x<2.∴不等式f(log2x)>的解集为(0,2).故选C.13.150°解析因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为-=-.则a与b的夹角为150°.14.e解析令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x))的零点是e.15.解析∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|==°=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·-=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==-≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解(1)由题图知A=2,,则=4×,即ω=.又f-=2sin-=2sin-=0,∴sin-=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f-=2sin-=2sin,g(x)=-=4×-=2-2cos,∵x∈-,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B, ∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是--和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是-.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以--解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-=--.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。

2018年高中理科数学优化设计第一轮复习1.1

�� 所以根据集合元素的互异性可知 . (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}= 0, ,,x= �� ,5,6,7,8 则 b-a= . �� 即 M={5,6,7,8},共有 4 个元素. 思考求集合中元素的个数或求集合元素中的参数的值要注意什 �� (2) 因为 {1, a+b , a } = 0 , ,�� ,a≠0, 么? ��
或
A=B
第一章
知识梳理双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理核心考点
知识体系
-6-
1
2
3
4
5
3.集合的运算
集合的并集图形符号 A∩B ∁U A A∪B {x|x∈A,且x∈B} ={x|x∈U,且x∉A} ={x|x∈A或x∈B} = 集合的交集集合的补集
第一章
知识梳理双基自测
1.1
集合自然数集正整数集符号整数集有理数集实数集
N
N*(或N+)
Z
Q
R
第一章
知识梳理双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理核心考点
知识体系
-5-
1
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3
4
5
2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言 Venn 图
集合 A 中所有元素都在子集集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A) ∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 真子且集合 B 中至少有一个 A⫋B(或B⫌A) 集元素不在集合 A 中集合 A,B 中元素相同或相等集合 A,B 互为子集
第一章集合与常用逻辑用语
第一章

2018年高中理科数学优化设计第一轮复习6.3高考模拟试卷

第三章导数及其应用专题1导数的概念与几何意义■(2015河南省洛阳市高考数学一模,导数的概念与几何意义,选择题,理10)曲线y=(x>0)在点P(x0,y0)处的切线为l.若直线l与x,y轴的交点分别为A,B,则△OAB的周长的最小值为()A.4+2B.2C.2D.5+2解析:由y=,得y'=-,则y'=-,∴曲线y=(x>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为y-=-(x-x0).整理,得x+y-2x0=0.取y=0,得x=2x0,取x=0,得y=.∴|AB|==2.∴△OAB的周长为|2x0|++2=2+2(x0>0)≥2×2+2=4+2.当且仅当x0=1时上式等号成立.故选A.答案:A■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数的概念与几何意义,填空题,理13)已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为.解析:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,对y=x3+ax+b求导,得y'=3x2+a,所以y'|x=1=3+a=2,解得a=-1,把(1,3)及a=-1代入曲线方程,得1-1+b=3,则b的值为3.答案:3■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理9)直线y=x+b 与曲线y=-x+ln x相切,则b的值为()A.-2B.-1C.-D.1解析:设切点坐标为(m,n),由题意知曲线在该点切线斜率为y'|x=m=-,解得m=1, ∵切点(1,n)在曲线y=-x+ln x的图象上,∴n=-,∵切点-又在直线y=x+b上,∴b=-1.故答案为B.答案:B专题1导数与函数的单调性■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|解析:y=在(0,+∞)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除A;y=e-x在(0,+∞)上是减函数,但不具备奇偶性,故排除B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+∞)上为减函数,故选C;y=lg|x|在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,但在(0,+∞)上为增函数,故排除D.答案:C■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理7)函数f(x)=ax3-x 在R上是减函数,则()A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤解析:求导函数可得:f'(x)=3ax2-1.∵函数f(x)=ax3-x在R上是减函数,∴f'(x)=3ax2-1≤0在R上恒成立.∴a≤0.故选A.答案:A■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理4)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)解析:由于函数y=在(-1,+∞)上是增函数,故满足条件,由于函数y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=2-x在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数,故不满足条件,故选A.答案:A专题2导数与函数的极值■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的极值,选择题,理11)设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由函数的图象可知,f'(-2)=0,f'(2)=0,并且当x<-2时,f'(x)>0,当-2<x<1,f'(x)<0,函数f(x)有极大值f(-2).又当1<x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).故选D.答案:D专题3导数与函数的最值■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,导数与函数的最值,选择题,理11)已知函数f(x)=-若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是()A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]解析:由题意可作出函数y=|f(x)|的图象,和函数y=ax的图象,由图象可知:函数y=ax的图象为过原点的直线,直线l为曲线在x=0处的切线,当直线介于l和x 轴之间符合题意,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2-2x,求其导数可得y'=2x-2,当x=0时,y'=-2,故只需直线y=ax的斜率a介于-2与0之间即可,即a∈[-2,0],故选D.答案:D■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的最值,解答题,理21)已知函数f(x)=e x-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.解:∵f(x)=e x-ax2-bx-1,∴g(x)=f'(x)=e x-2ax-b,又g'(x)=e x-2a,x∈[0,1],∴1≤e x≤e,∴①当a≤时,则2a≤1,g'(x)=e x-2a≥0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;②当<a<,则1<2a<e,∴当0≤x<ln(2a)时,g'(x)=e x-2a<0,当ln(2a)<x≤1时,g'(x)=e x-2a>0,∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2a ln(2a)-b;③当a≥时,则2a≥e,g'(x)=e x-2a≤0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min=-----(2)由f(1)=0⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若<a<,则g(x)min=2a-2a ln(2a)-b=3a-2a ln(2a)-e+1,令t=2a,则h(t)=t-t ln t-e+1(1<t<e).则h'(t)=-ln t,∴h'(t)=-ln t.由h'(t)=-ln t>0⇒t<.∴h(t)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,h(t)max=h()=ln-e+1=-e+1<0,即g(x)min<0恒成立,∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔--⇒-又<a<,所以e-2<a<1,综上,得e-2<a<1.■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数研究函数的零点或方程的根,选择题,理10)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为()A.--B.[-1,0]C.(-∞,-2]D.-解析:∵f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,故函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点,故有即-----解得-<m≤-2,故选A. 答案:A专题3利用导数解决不等式的有关问题■(2015河南省洛阳市高考数学一模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理22)已知函数f(x)=ln(1+x)m-x.(1)若函数f(x)为(0,+∞)上的单调函数,求实数m的取值范围;(2)求证:(1+sin 1)<e2.(1)解:∵f(x)=m ln(1+x)-x,∴f'(x)=-1,∵函数f(x)为(0,+∞)上的单调函数,∴f'(x)≥0恒成立,或f'(x)≤0恒成立,要使f'(x)≥0恒成立,则m≥1+x,由x∈(0,+∞),则m不能满足.要使f'(x)≤0,则m≤1+x,m≤1时,可满足f'(x)≤0,f(x)为单调递减函数.综上:m≤1.(2)证明:由(1)得m=1时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)<f(0),即ln(x+1)<x,x∈(0,+∞),∵sin 1·sin…sin>0,∴ln(1+sin 1)<sin 1,…,ln<sin,令g(x)=sin x-x,x∈,则g'(x)=cos x-1<0,∴g(x)在上是减函数,∴g(x)<g(0),即sin x<x,x∈,∴sin 1<1,sin,…,sin,∴ln(1+sin 1)+ln+…+ln<sin 1+sin+…+sin<1++…+<1++…+-=1+--+…+--=2-<2,即ln (2)∴(1+sin 1)<e2.■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知f(x)=.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程h(x)=f(x)-x2+2x-k有零点,求实数k的取值范围;(3)当n∈N*,n≥2时,求证:nf(n)<2++…+-.(1)解:∵f(x)=,∴f'(x)=-=-.∴当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)上为增函数;在区间(1,+∞)上为减函数.(2)解:由(1)得f(x)的极大值为f(1)=1,令g(x)=x2-2x+k,所以当x=1时,函数g(x)取得最小值g(1)=k-1,又根据题意知方程f(x)=x2-2x+k有实数解,那么k-1≤1,即k≤2,所以实数k的取值范围是k≤2.(3)证明:∵函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,而1+>1(n∈N*,n≥2),∴f<f(1)=1,∴1+ln<1+,即ln(n+1)-ln n<,ln n=ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+…+ln n-ln(n-1)<1++…+-.即1+ln n<2++…+-,而n·f(n)=1+ln n,∴nf(n)<2++…+-结论成立.■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,填空题,理16)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是.解析:不等式ax3-x2+4x+3≥0变形为ax3≥x2-4x-3.当x=0时,0≥-3,故实数a的取值范围是R;当x∈(0,1]时,a≥--,记f(x)=--,f'(x)=--->0,故函数f(x)递增,则f(x)max=f(1)=-6,故a≥-6;当x∈[-2,0)时,a≤--,记f(x)=--,令f'(x)=0,得x=-1或x=9(舍去正值),当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,故f(x)min=f(-1)=-2,则a≤-2.综上所述,实数a的取值范围是[-6,-2].答案:[-6,-2]■(2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,利用导数解决不等式的有关问题,选择题,理11)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f'(1)>1,则f(x)>x的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:设g(x)=f(x)-x,因为f(1)=1,f'(x)>1,所以g(1)=f(1)-1=0,g'(x)=f'(x)-1>0,所以g(x)在R上是增函数,且g(1)=0.所以f(x)>x的解集即是g(x)>0的解集(1,+∞).故选C.答案:C■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x)恒成立,求k的取值范围.解:(1)由题意知f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4,而f'(x)=2x+a,g'(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1),设F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F'(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1),由题设得F(0)≥0,即k≥1,令F'(x)=0,得x1=-ln k,x2=-2,①当1≤k<e2时,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F'(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1),而F(x1)=-x1(x1+2)≥0,x≥-2时F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②当k=e2时,则F'(x)=2e2(x+2)(e x-e-2),从而当x∈(-2,+∞)时,F'(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③当k>e2时,F(x)=2e2(x+2)(e x-e2),F(-2)=-<0,所以当x>-2时,f(x)≤kg(x)不恒成立,综上,k的取值范围是[1,e2).■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数h(x)=x ln x,φ(x)=(a>0).(1)求g(x)=φ(t)d t;(2)设函数f(x)=h'(x)-g(x)-1,试确定f(x)的单调区间及最大最小值;(3)求证:对于任意的正整数n,均有…成立.(1)解:g(x)=φ(t)d t=d t=-.(2)解:∵h'(x)=(x ln x)'=ln x+1(x>0),∴f(x)=ln x+1---1=ln x--(x>0),f'(x)=---(x>0),∵a>0,∴函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,函数f(x)的最小值为f(a)=ln a,函数f(x)无最大值.(3)证明:取a=1,由(2)知,f(x)=ln x--≥f(1)=0,∴ln x≥-=1-,即≥1-ln x=ln,亦即,分别取x=1,2,…,n,得,…,,将以上各式相乘,得….■(2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理19)设函数f(x)=x+ax2+b ln x,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.(1)求a,b的值;(2)证明:f(x)≤2x-2.(1)解:f'(x)=1+2ax+,由已知条件,得即解之,得a=-1,b=3.(2)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知f(x)=x-x2+3ln x,设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,则g'(x)=-1-2x+=--.当0<x<1时,g'(x)>0;当x>1时,g'(x)<0,∴在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0,即当x>0时,函数g(x)≤0.∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立.专题4定积分在物理中的应用■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,定积分在物理中的应用,选择题,理8)曲线y=与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为()A.2ln 2B.2-ln 2C.4-ln 2D.4-2ln 2解析:令x=4,代入直线y=x-1得A(4,3),同理得C.由=x-1,解得x=2,所以曲线y=与直线y=x-1交于点B(2,1).∴S阴=S梯形ABEF-S BCFC而S BCFE=d x=2ln x=2ln 4-2ln 2=2ln 2.∵S梯形ABEF=(1+3)×2=4,∴封闭图形ABC的面积S阴=S梯形ABEF-S BCFE=4-2ln 2,故选D.答案:D。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习3.8高考模拟卷

107三视图与直观图4.(2015辽宁锦州二模,文4,三视图与直观图,选择题)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π解析:根据图中三视图可得出该几何体的体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的长、宽、高分别为10,4,5,圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积=10×4×5+1×32π×2=200+9π.答案:A6.(2015辽宁锦州一模,文6,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,棱长为4,体积为43=64.上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3.体积为1×1×42×3=8.故该几何体的体积是64+8=72.答案:B6.(2015辽宁沈阳一模,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是()A.4 cm3B.8 cm3C.2 cm3D.4 cm3解析:由三视图可知,该几何体为底面是正方形,且边长为2cm,高为2cm的四棱锥,如图,故V=13×22×2=83(cm 3). 答案:B11.(2015辽宁沈阳四校联考,文11,三视图与直观图,选择题)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是( )A.4 ,8B.4 8C.4( 5+1),83D.8,8解析:∵四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,∴该四棱锥为正四棱锥.其正视图为原图形中的△PEF ,如图,由该四棱锥的正视图可知四棱锥的底面边长AB=2,高PO=2,则四棱锥的斜高PE= 2+12= 5.∴该四棱锥侧面积S=4×12×2× 5=4 5,体积V=1×2×2×2=8.答案:B5.(2015河南开封二模,文5,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此几何体的外接球的表面积为( )A.3πB.4πC.2πD.52π 解析:如图所示,该几何体是一个直三棱柱,其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直,其外接球的直径2R= 3,故外接球的表面积S=4π 32=3π.答案:A11.(2015河南洛阳二模,文11,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A.1B. 5C. 6D.2 3解析:由题意,几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥,有3个面是全等的等腰直角三角形,面积为12×2×2=2, 另一侧面是等边三角形,边长为2 ,面积为 3×(2 2=2 3,所以该几何体的各个面中最大面的面积为2 3. 答案:D15.(2015辽宁鞍山一模,文15,三视图与直观图,填空题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .解析:由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱.由俯视图可得棱柱的高h=2,由割补法,可得棱柱的底面面积S=2×3=6.故棱柱的体积V=2×6=12. 答案:127.(2015辽宁大连一模,文7,三视图与直观图,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.323B.64C.32 33D.643解析:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,故其体积V=13×4×4×4=643.答案:D16.(2015辽宁大连二模,文16,三视图与直观图,填空题)如图在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图,则该多面体的表面积为 .解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥P-ABC,且三棱锥的高PO=2,如图所示:∴侧面△PAB的面积为S△PAB=12×42×2=42,△PBC与△PAC的面积为S△PBC=S△PAC=12×4×2+2242,底面△ABC的面积为S△ABC=12×4×4=8.∴三棱锥的表面积为S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC=8+12答案:8+1229.(2015河南六市联考一模,文9,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是()A.1B.2C.3D.4解析:根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD,且底面为直角梯形ABCD,高为2.故该四棱锥的体积为V=13×12×(2+4)×2×2=4.答案:D7.(2015河南开封定位模拟,文7,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.108 cm3B.100 cm3C.92 cm3D.84 cm3解析:根据几何体的三视图知,该几何体是长为6,宽为3,高为6的长方体,去掉一个底面直角边长为4和3,高为4的三棱锥,可知该几何体的体积是V=V长方体-V三棱锥=6×3×6-1×1×4×3×4=100(cm3).答案:B10.(2015天津河北区一模,文10,三视图与直观图,填空题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.解析:由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱,半圆柱的半径为2,高为3,体积为6π;直三棱柱的底面为直角三角形,面积为4,高为3,体积为12.故几何体的体积为6π+12.答案:6π+128.(2015河南中原名校联盟模拟,文8,三视图与直观图,选择题)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为π4.则该几何体的俯视图可以是()解析:根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是π4,知该几何体的底面积是π,故底面可以是一个半径为1的四分之一圆.答案:D108空间几何体的表面积7.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文7,空间几何体的表面积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为()A.1403π+4 13π B.36π+2 13πC.32π+2 13πD.44π+2 13π 解析:根据三视图得知,该几何体是由下面是一个半径为4的半球,上面是一个底面半径为2,高为3的圆锥构成的组合体.首先求出上面圆锥的侧面展开图的半径r= 13, 圆锥的底面周长为l=4π, 所以圆锥的侧面面积为:S 1=12·4π· 13=2 13π,剩余的侧面面积为:S 2=2π·16+16π-4π=44π,所以组合体的侧面面积为:S=S 1+S 2=44π+2 13π. 答案:D15.(2015河南洛阳二模,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知点A ,B ,C ,D 均在球O上,AB=BC= 6,AC=2 3,若三棱锥D-ABC 体积的最大值为3,则球O 的表面积为 . 解析:∵AB=BC= 6,AC=2 3,∴AB ⊥BC ,S △ABC =3.∵三棱锥D-ABC 的体积的最大值为3, ∴D 到平面ABC 的最大距离为3. 设球的半径为R ,则( 3)2=3×(2R-3), ∴R=2,∴球O 的表面积为4πR 2=16π. 答案:16π9.(2015宁夏银川一中一模,文9,空间几何体的表面积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.92πD.278π解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形,高为2的直三棱锥, 如图所示,则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球, 设几何体外接球的半径为R , ∵底面是等腰直角三角形, ∴底面外接圆的半径为1. ∴R 2=1+1=2.∴外接球的表面积是4πR 2=8π. 答案:B109空间几何体的体积14.(2015辽宁锦州一模,文14,空间几何体的体积,填空题)在三棱锥A-BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,△ABC ,△ACD ,△ADB 的面积分别为22,32,62,则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .解析:三棱锥A-BCD 中,侧棱AB ,AC ,AD 两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,设长方体的长、宽、高分别为a ,b ,c ,则由题意,得 ab= 6,ac= 3,bc= 2, 解得a= b= ,c=1.所以球的直径为 3+2+1= 6,球的半径为 6.故三棱锥A-BCD 的外接球的体积为43π× 623= 6π.答案: 6π16.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文16,空间几何体的体积,填空题)如图,四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD.若∠BPC=90°,PB= 2,PC=2,则四棱锥P-ABCD 体积的最大值为 .解析:如图所示,作PO ⊥AD ,垂足为O ,作OG ⊥BC ,垂足为G ,连接GP.∵平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,∴PO ⊥平面ABCD. 在△BPC 中,∵∠BPC=90°,PB= 2,PC=2, ∴BC= BP 2+PC 2= 6.∴PG=BP ·PC =2 3.设AB=x ,则OG=x ,PO= PG 2-OG 2= 43-x 2,∴V P-ABCD =1PO ·S 四边形ABCD =1 4-x 2× 6x , ∴V2=23 43-x 2 x 2≤2343-x 2+x222=23 3,当且仅当x= 63时取等号.∴V P-ABCD ≤2 69,即四棱锥P-ABCD 体积的最大值为2 69. 答案:2 69110 组合体的“接”“切”综合问题14.(2015辽宁沈阳四校联考,文14,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,AB=BC= 2,PA=2,则此三棱锥外接球的体积为 .解析:∵PC 是Rt △PAC 和Rt △PBC 的公共的斜边,记它的中点为O ,则OA=OB=OP=OC=12PC= 2,即该三棱锥的外接球球心为O ,半径为 , 故它的体积为4π·( 2)3=8 2π. 答案:8 2π16.(2015辽宁大连一模,文16,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD ,该四棱锥的体积为4 2,则该半球的体积为 .解析:设球的半径为R ,则底面ABCD 的面积为2R 2,∵半球内有一内接正四棱锥S-ABCD ,该四棱锥的体积为4 23, ∴13×2R 2×R=4 23, ∴R 3=2 2,∴该半球的体积为V=12×43R 3π=4 23π. 答案:4 23π.11.(2015辽宁大连二模,文11,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)已知三棱锥P-ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC ,2AC= 3AB ,若三棱锥P-ABC 的体积为3,则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.8 3π B.6 3πC.4 3πD.2 3π解析:如图所示,∵三棱锥P-ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,∴PO是三棱锥P-ABC的高,OA=OB=OC=OP=x,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵2AC=3AB,∴∠ABC=60°,∴BC=x,AC=3x.∴V P-ABC=1·S△ABC·PO=1×1×3x2×x=3,解得x=3.∴该三棱锥的外接球的体积V=4πx3=43π.答案:C14.(2015河南六市联考一模,文14,组合体的“接”“切”综合问题,填空题)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都等于1,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为.解析:∵三棱锥P-ABC的所有棱长都等于1,∴底面外接圆的半径为33.∴三棱锥P-ABC的高为1-1=6.∵三棱锥P-ABC的外接球与内切球的半径的比为3∶1,∴三棱锥P-ABC的内切球的半径为612.∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4π×62=π.答案:π68.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文8,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,AB过点O,CA=CB,DA=DB,DC=1,则三棱锥A-BCD的体积为() A.3 B.3 C.3 D.6解析:由题意可知图形如图,AB过点O,CA=CB,DA=DB,三角形ABD与ACB都是等腰直角三角形, 半径为1的球面上有四个点A,B,C,D,球心为点O,∴AD=BD=AC=BC=,DC=1,OD=OC=1,AB⊥OD,AB⊥OC.∴三棱锥A-BCD的体积为1×1S△OCD·(AO+OB)=1×3×12×2=3.答案:A11.(2015河南商丘二模,文11,组合体的“接”“切”综合问题,选择题)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.πa2B.7πa2C.11πa2D.5πa2解析:根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,上下底面中心连线的中点就是球心,则其外接球的半径为R=a22+a2sin60°2=712a2,球的表面积为S=4π·7a 2=7πa2.答案:B112空间两条直线的位置关系3.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文3,空间两条直线的位置关系,选择题)已知平面α及空间中的任意一条直线a,那么在平面α内一定存在直线b使得()A.a∥bB.a与b相交C.a与b是异面直线D.a⊥b解析:当直线a与平面α相交时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:异面、相交,此时就不可能平行了,故A错.当直线a与平面α平行时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:异面、平行,此时就不可能相交了,故B错.当直线a在平面α内时,平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种:平行、相交,此时就不可能异面了,故C错.不管直线a与平面α的位置关系相交、平行,还是在平面内,都可以在平面α内找到一条直线与直线b垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故D正确.答案:D19.(2015河南开封二模,文19,空间两条直线的位置关系,解答题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC.(1)求证:AC⊥BB1;(2)若P是棱B1C1的中点,求平面PAB将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分体积之比.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,∵A1B⊥平面ABC,A1B⊂平面ABB1,∴平面ABB1A1⊥平面ABC.∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB,AB⊥AC,∴AC⊥平面ABB1A1,∴AC⊥BB1.(2)解:设平面PAB与棱A1C1交于Q,∵P为棱B1C1的中点,∴Q为棱A1C1的中点,连接AQ,PQ,设三棱柱ABC-A1B1C1的底面积为S,高为h,体积为V,则Sh=V,如图,将棱台C1PQ-ABC还原为棱锥S-ABC,解得V PQC1-ABC =712V,V AB-A1B1PQ =V-712V=512V.∴平面PAB将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分体积之比为VPQC1-ABCVAB-A1B1PQ =75.4.(2015辽宁鞍山一模,文4,空间两条直线的位置关系,选择题)已知空间中不共面的四点A ,B ,C ,D 及平面α,下列说法正确的是( ) A.直线AB ,CD 可能平行 B.直线AB ,CD 可能相交C.直线AB ,CD 可能都与α平行D.直线AB ,CD 可能都与α垂直解析:由题意,AB ,CD 不共面,故A,B 不正确;经过AC ,BD ,AD ,BC 中点的平面与AB ,CD 平行,故C 正确; 若直线AB ,CD 都与α垂直,可得AB 与CD 平行,故D 不正确. 答案:C115直线与平面平行的判定与性质17.(2015河南洛阳二模,文17,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四边形ABCD 中,AB ⊥AD ,AD ∥BC ,AD=6,BC=2AB=4,E ,F 分别在BC ,AD 上,EF ∥AB ,现将四边形ABCD 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC.(1)若BE=1,是否在折叠后的线段AL 上存在一点P ,且AP=λPD ,使得CP ∥平面ABEF ?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.(2)求三棱锥A-CDF 的体积的最大值,并求此时点F 到平面ACD 的距离.解:(1)存在P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时λ=3.证明:当λ=32,此时AP AD=35,过P 作MP ∥FD ,与AF 交于点M ,则MPFD =35. 又FD=5,∴MP=3.∵EC=3,MP ∥FD ∥EC , ∴MP ∥EC ,且MP=EC.∴四边形MPCE 为平行四边形,∴PC ∥ME. ∵CP ⊄平面ABEF ,ME ⊂平面ABEF , ∴CP ∥平面ABEF 成立.(2)∵平面ABEF ⊥平面EFDC ,ABEF ∩平面EFDC=EF ,AF ⊥EF , ∴AF ⊥平面EFDC.设BE=x ,则AF=x ,(0<x<4),FD=6-x , 故三棱锥A-CDF 的体积V=13x×12×2×(6-x )=13x (6-x )≤13× x +6-x 22=3,∴当x=3时,三棱锥A-CDF 的体积V 有最大值,最大值为3.建立如图所示的空间直角坐标系,则F (0,0,0),A (0,0,3),C (2,1,0),D (0,3,0).AD =(0,3,-3),CD =(-2,2,0),FA=(0,0,3). 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ·AD =0,n ·CD=0,∴ 3y -3z =0,-2x +2y =0,取y=1,则x=1,z=1,∴n =(1,1,1).∴点F 到平面ACD 的距离d=|n ·FA ||n |=3= 3.19.(2015河南郑州一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,PD ⊥底面ABCD ,∠ADC=90°,AD=2BC ,Q 为AD 的中点,M 为棱PC 的中点.(1)证明:PA ∥平面BMQ ;(2)已知PD=DC=AD=2,求点P 到平面BMQ 的距离.(1)证明:连接AC 交BQ 于N ,连接MN ,因为∠ADC=90°,Q 为AD 的中点,所以N 为AC 的中点.因为M 为PC 的中点,即PM=MC ,所以MN 为△PAC 的中位线,故MN ∥PA. 又MN ⊂平面BMQ ,所以PA ∥平面BMQ.(2)解:由(1)可知,PA ∥平面BMQ ,所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离,所以V P-BMQ =V A-BMQ =V M-ABQ ,取CD 的中点K ,连接MK ,所以MK ∥PD ,MK=1PD=1,又PA ⊥底面ABCD ,所以MK ⊥底面ABCD.因为BC=12AD=1,PD=CD=2,所以AQ=1,BQ=2,MQ= 3,NQ=1, 所以V P-BMQ =V M-ABQ =1×1·AQ ·BQ ·MK=1,S △BQM = 2,则点P 到平面BMQ 的距离d=3V P -BMQ△BMQ= 2.19.(2015辽宁大连二模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,△ABC 是正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N 在线段PB 上,且PN= . (1)求证:BD ⊥PC ;(2)求证:MN ∥平面PDC.证明:(1)∵△ABC 是正三角形,M 是AC 中点,∴BM ⊥AC ,即BD ⊥AC.又PA ⊥平面ABCD ,∴PA ⊥BD. 又PA ∩AC=A ,∴BD ⊥平面PAC. ∴BD ⊥PC.(2)在正△ABC 中,BM=2 3.在△ACD 中,∵M 为AC 中点,DM ⊥AC ,∴AD=CD.∵∠ADC=120°,∴DM=2 3, ∴BM=3.在等腰直角△PAB 中,PA=AB=4,PB=4 2,∴BN =3,∴BM =BN,∴MN ∥PD.又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,∴MN ∥平面PDC.18.(2015宁夏银川一中一模,文18,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB ,AD=CD=1AB=2,点E 为AC 中点.将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D-ABC ,如图2所示. (1)在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ; (2)求点C 到平面ABD 的距离.解:(1)如图,取CD 的中点F ,连接EF ,BF ,在△ACD 中,∵E ,F 分别为AC ,DC 的中点, ∴EF 为△ACD 的中位线.∴AD ∥EF ,EF ⊂平面EFB ,AD ⊄平面EFB. ∴AD ∥平面EFB.(2)设点C 到平面ABD 的距离为h , ∵平面ADC ⊥平面ABC ,且BC ⊥AC , ∴BC ⊥平面ADC. ∴BC ⊥AD.又AD ⊥DC ,∴AD ⊥平面BCD. ∴AD ⊥BD. ∴S △ADB =2 3.∴三棱锥B-ACD 的高BC=2 2,S △ACD =2, ∵V C-ABD =V B-ACD ,∴13×2 2h=13×2×2 2.∴h=2,即点C 到平面ABD 的距离为2.19.(2015宁夏银川一中二模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE ,AE=EB=BC=2,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥BE ;(2)求三棱锥D-AEC 的体积;(3)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB ,试在线段CE 上确定一点N ,使得MN ∥平面DAE.(1)证明:∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC ,∴BC ⊥平面ABE ,∴AE ⊥BC. 又BF ⊥平面ACE ,∴AE ⊥BF. ∵BC ∩BF=B , ∴AE ⊥平面BCE.又BE ⊂平面BCE ,∴AE ⊥BE.(2)解:过E 点作EH ⊥AB ,∵AD ⊥平面ABE ,∴AD ⊥EH.∴EH ⊥平面ABCD.∵AE=EB=2,∴AB=2 ,EH= .∴V D-AEC =V E-ADC =13×2 2× 2=43.(3)解:在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点,连接MN.∵AM=2MB ,∴CN=13CE.∵MG ∥AE ,MG ⊄平面ADE ,AE ⊂平面ADE , ∴MG ∥平面ADE.同理可证,GN ∥平面ADE ,∵MG ∩GN=G ,∴平面MGN ∥平面ADE. 又MN ⊂平面MGN ,∴MN ∥平面ADE.∴点N 为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.19.(2015河南六市联考一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD.(2)若SD ⊥平面PAC ,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC.若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.(1)证明:连接BD ,交AC 于点O ,由题意SO ⊥AC ,在正方形ABCD 中,AC ⊥BD ,所以AC ⊥平面SBD ,所以AC ⊥SD.(2)解:若SD ⊥平面PAC ,设正方形ABCD 的边长为a ,则SD= 2a ,OD= 2a ,可得PD= 2a ,故可在SP 上取一点N ,使PN=PD ,过N 作PC 的平行线与BC 的交点即为E ,连接BN. 在△BDN 中知BN ∥PO ,又由于NE ∥PC ,故平面BEN ∥面PAC , 得BE ∥面PAC. 由于SN ∶NP=2∶1, 故SE ∶EC=2∶1.19.(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文19,直线与平面平行的判定与性质,解答题)如图,多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD.(1)求证:CF ∥平面ADE ;(2)若AE= 求多面体ABCDEF 的体积V.(1)证明:∵底面ABCD 是菱形,∴AD ∥BC.∵四边形BDEF 是正方形,∴DE ∥BF. ∵BF ∩BC=B ,∴平面ADE ∥平面BCF. ∵CF ⊂平面BCF ,∴CF ∥平面ADE. (2)解:连接AC ,交BD 于点O ,∵四边形BDEF 是正方形且DE ⊥平面ABCD , ∴DE ⊥平面ABCD.又AC ⊂平面ABCD ,∴AC ⊥DE. ∵底面ABCD 是菱形, ∴AC ⊥BD.又BD ∩DE=D ,∴AC ⊥平面BDEF. ∵AE= 2,∠BCD=60°, ∴AD=DE=BD=1.∴AO=CO= 32.∴多面体ABCDEF 的体积:V=2V A-BDEF =2×13×AO×S 正方形BDEF =2×1×3×12= 3.116平面与平面平行的判定与性质19.(2015辽宁沈阳一模,文19,平面与平面平行的判定与性质,解答题)如图,设四棱锥E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE= (1)证明:平面EAB ⊥平面ABCD ; (2)求四棱锥E-ABCD 的体积.(1)证明:取AB 的中点O ,连接EO ,CO.由AE=BE= 2,AB=2,知△AEB 为等腰直角三角形. 故EO ⊥AB ,EO=1.又AB=BC ,∠ABC=60°,所以△ABC 是等边三角形,从而CO= 3.又EC=2,所以EC 2=EO 2+CO 2,所以EO ⊥CO. 又EO ⊥AB ,CO ∩AB=O , 因此EO ⊥平面ABCD.又EO ⊂平面EAB ,故平面EAB ⊥平面ABCD. (2)解:V E-ABCD =13S 菱形ABCD ·EO=13×2×2×sin60°×1 =2 3. 118直线与平面垂直的判定与性质18.(2015河南中原名校联盟模拟,文18,直线与平面垂直的判定与性质,解答题)如图1所示,直角梯形ABCD ,∠ADC=90°,AB ∥CD ,AD=CD=12AB=2,点E 为AC 的中点,将△ACD 沿AC 折起,使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直(如图2),在图2所示的几何体D-ABC 中. (1)求证:BC ⊥平面ACD ;(2)点F 在棱CD 上,且满足AD ∥平面BEF ,求几何体F-BCE 的体积.(1)证明:在图1中,由题意知,AC=BC=2 ∴AC 2+BC 2=AB 2, ∴AC ⊥BC.连接DE ,则DE ⊥AC. 又平面ADC ⊥平面ABC ,且平面ADC ∩平面ABC=AC ,DE ⊂平面ACD ,∴ED ⊥平面ABC , ∴ED ⊥BC.又AC ⊥BC ,AC ∩ED=E ,∴BC ⊥平面ACD.(2)解:取DC 中点F ,连接EF ,BF ,∵E 是AC 中点, ∴EF ∥AD.又EF ⊂平面BEF ,AD ⊄平面BEF , ∴AD ∥平面BEF.由(1)知,BC 为三棱锥B-ACD 的高,∵三棱锥F-BCE 的高h=1BC=1×2 = ,S △BCE =1S △ACD =1×1×2×2=1,∴三棱锥F-BCE 的体积为V F-BCE =13S △BCE ·h=13×1× =23.119平面与平面垂直的判定与性质18.(2015辽宁锦州一模,文18,平面与平面垂直的判定与性质,解答题)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD=DE=2AB ,F 为CD 的中点. 求证:(1)AF ∥平面BCE ; (2)平面BCE ⊥平面CDE.证明:(1)取CE 的中点G ,连接FG ,BG.∵F 为CD 的中点,∴GF ∥DE 且GF=1DE.∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD , ∴AB ∥DE ,∴GF ∥AB.又AB=1DE ,∴GF=AB.∴四边形GFAB 为平行四边形,∴AF ∥BG.∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE ,∴AF ∥平面BCE. (2)∵△ACD 为等边三角形,F 为CD 的中点, ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE ⊥AF.又CD ∩DE=D ,故AF ⊥平面CDE. ∵BG ∥AF ,∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面CDE.19.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文19,平面与平面垂直的判定与性质,解答题)如图1,在等腰梯形PDCB 中,DC ∥PB ,PB=3DC=3,PD= 2,DA ⊥PB ,垂足为A ,将△PAD 沿AD 折起,使得PA ⊥AB ,得到四棱锥P-ABCD ,如图2.(1)证明:平面PAD ⊥平面PCD ;(2)点M 在棱PB 上,平面AMC 把四棱锥P-ABCD 分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比V PM -ACD M -ABC=2时,求点B 到平面AMC 的距离.(1)证明:∵在等腰梯形PDCB 中,DA ⊥PB ,∴在四棱锥P-ABCD 中,DA ⊥AB ,DA ⊥PA. 又PA ⊥AB ,DC ∥AB , ∴DC ⊥PA ,DC ⊥DA , ∴DC ⊥平面PAD. ∵DC ⊂平面PCD ,∴平面PAD ⊥平面PCD. (2)解:∵DA ⊥PA 且PA ⊥AB ,∴PA ⊥平面ABCD.又PA ⊂平面PAB ,∴平面PAB ⊥平面ABCD , 过M 作MN ⊥AB ,垂足为N ,则MN ⊥平面ABCD.依据题意,V M-ABC =1V P-ABCD ,而V P-ABCD =1S ABCD ·PA=1,∴V M-ABC =1S △ABC ·MN=1.又易知AC=BC= 2,AB=2. ∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.∴S △ABC =1,∴MN=12,故MN=12PA , ∴M 是PB 的中点.由AC ⊥BC ,PA ⊥BC ,得BC ⊥平面PAC ,∴BC ⊥PC.在Rt △PAB 和Rt △PBC 中,CM=AM=1PB= 5,又AC= 2,故可求得S △MAC = 6. 设B 到平面MAC 的距离为d ,则由13S △MAC ·d=13S △ABC ·MN=16,得d= 63.10.(2015河南开封二模,文18,平面与平面垂直的判定与性质,选择题)三棱锥S-ABC 中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC 是斜边AB=a 的等腰直角三角形,则以下结论中: ①异面直线SB 与AC 所成的角为90°; ②直线SB ⊥平面ABC ; ③平面SBC ⊥平面SAC ;④点C 到平面SAB 的距离是1a. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析:由题意知AC ⊥平面SBC ,故AC ⊥SB ,故①正确;再根据SB ⊥AC ,SB ⊥AB ,可得SB ⊥平面ABC ,平面SBC ⊥平面SAC ,故②③正确;取AB 的中点E ,连接CE ,可证得CE ⊥平面SAB ,故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离,且CE=1a ,④正确.答案:D6.(2015辽宁丹东二模,文6,平面与平面垂直的判定与性质,选择题)设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( ) A.若m ∥α,m ∥β,则α∥β B.若m ∥α,m ∥n ,则n ∥α C.若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β D.若m ∥α,n ⊂α,则m ∥n解析:A.因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行,故不正确;B.m ∥α,m ∥n ,则n ∥α,或n ⊂α,故不正确;C.因为m ∥β,则一定存在直线n 在β内,使得m ∥n ,又m ⊥α可得出n ⊥α,由面面垂直的判定定理知,α⊥β,正确;D.m ∥α,n ⊂α,则m ∥n 或m ,n 异面,故不正确. 答案:C120空间中的距离问题19.(2015河南开封定位模拟,文19,空间中的距离问题,解答题)如图,四棱锥P-ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,BC ∥AD ,BC ⊥CD ,BC=CD=1AD.(1)若E 为PD 中点,证明:CE ∥平面APB ;(2)若PA=PB ,PC=PD ,证明:平面APB ⊥平面ABCD.证明:(1)取PA 中点F ,连接EF ,BF ,因为E 为PD 中点,所以EF 12AD.因为BC 12AD ,所以EF BC.所以EFBC 为平行四边形.所以BF ∥CE.因为BF ⊂平面APB ,CE ⊄平面APB , 所以CE ∥平面APB.(2)取CD 中点G ,AB 中点H ,连接PG ,HG ,PH ,∵PC=PD ,G 为CD 中点,∴PG ⊥CD. ∵PA=PB ,H 是AB 中点, ∴PH ⊥AB ,HG ∥AD.∵BC ∥AD ,BC ⊥CD ,∴HG ⊥CD.∵HG ∩PG=G ,HG ⊂平面PHG ,PG ⊂平面PHG , ∴CD ⊥平面PHG.又PH ⊂平面PHG ,∴CD ⊥PH.∵AB⊂平面ABCD,CD⊂平面ABCD,AB和CD相交, ∴PH⊥平面ABCD.又PH⊂平面APB,∴平面APB⊥平面ABCD.。

2018年高中理科数学优化设计第一轮复习4.8高考模拟试卷

第八章立体几何专题2三视图与直观图■(2015辽宁丹东二模,三视图与直观图,选择题,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),画该四面体三视图中的正视图时,以平面zOy为投影面,则得到正视图可以为()解析:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图所示.以平面zOy为投影面,得到的正视图为答案:D■(2015辽宁葫芦岛二模,三视图与直观图,选择题,理7)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是()A.B.2 C.5 D.答案:D专题1空间几何体的表面积■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.B.C.D.3解析:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×,S△ACD=×1×.故侧面面积最大为.答案:B■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,空间几何体的表面积,填空题,理15)已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为.解析:设正六棱柱的底面边长为x,高为y,则6x+y=9,0<x<1.5,正六棱柱的体积V=6×x2y=·3x·3x(9-6x)≤,当且仅当x=1时等号成立,此时y=3.可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为.∴外接球的表面积为4π×=13π.答案:13π■(2015江西南昌三模,空间几何体的表面积,填空题,理14)正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若正四棱锥的底面边长是4,侧棱长为2,则此球的表面积为.答案:36π■(2015河北保定二模,空间几何体的表面积,填空题,理16)三棱锥的四个面中,设Rt△的个数为n.若当n取最大值时,该三棱锥的最大棱长为(n+1)2-2n,则该三棱锥外接球的表面积为.解析:如图,三棱锥P-ABC的四个面中,Rt△的个数n的最大值为4,此时PA⊥面ABC,∠ABC=90°,则∠PBC=90°,三棱锥的最大边为PC.由题意可得PC=52-24=9,其外接球的半径为PC=,故外接球的表面积为S=4π·=81π.答案:81π■(2015河北衡水中学高三一调,空间几何体的表面积,选择题,理7)已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为()A.4+4+5B.2+2C. D.2+2+3解析:由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱,底面三角形的三边长为:1,.故底面三角形的面积为:×1×1=;底面周长为:1+;棱柱的高为2;故棱柱的表面积:S=2×+(1+)×2=2+2+3.答案:D■(2015辽宁丹东一模,空间几何体的表面积,选择题,理6)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为60°的扇形,则该几何体的侧面积为()A.12+πB.6+πC.12+2πD.6+4π解析:由三视图知几何体是圆柱体的,且母线长为3,底面半径为2,∴弧长为×2=,∴几何体的侧面积S=×3=12+2π.答案:C■(2015辽宁葫芦岛二模,空间几何体的表面积,选择题,理10)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=2,则此四棱锥的外接球的表面积为()A.12πB.24πC.144πD.48π解析:如图所示.连接AC,BD相交于点O1.取SC的中点O,连接OO1.则OO1∥SA.∵SA⊥底面ABCD,∴OO1⊥底面ABCD.可得点O是四棱锥S-ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=48,∴四棱锥P-ABCD外接球的表面积为48π.答案:D专题2空间几何体的体积■(2015江西南昌三模,空间几何体的体积,选择题,理4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.16B.20C.4D.60答案:B■(2015河北保定二模,空间几何体的体积,选择题,理7)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是2,则正视图中的x=()A.2B.3C.D.解析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,其底面面积S=(1+2)×2=3,高h=x,故棱锥的体积V=Sh=x=2.答案:A■(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理9)某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为1,则该三棱锥的体积为()A.5B.4C.3D.2解析:由已知三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:其高为2,底面是直角边长为3的等腰直角三角形,故其底面面积S=×3×3=,高h=2,故体积V=Sh=3.答案:C■(2015河北邯郸二模,空间几何体的体积,选择题,理11)四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上,若AB,AC,AD两两垂直,=2,则该四面体体积的最大值为()A.B.C.2 D.7答案:A■(2015河北衡水中学高三一调,空间几何体的体积,选择题,理11)四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,点S,A,B,C,D均在半径为的同一半球面上,则当四棱锥S-ABCD的体积最大时,底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离为()A.2-B.2C.D.+1答案:C■(2015辽宁丹东一模,空间几何体的体积,填空题,理16)四面体ABCD的体积是,△ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,若点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,则D与AB中点的距离是.解析:设AB的中点为E.∵四面体ABCD的体积是,△ABC是斜边AB=2的等腰直角三角形,∴D到平面ABC的距离为DF=.∵点A,B,C,D都在半径为的同一球面上,∴球心O到平面ABC的距离为OE=1.如图所示,取OE的中点G,则DG⊥OE.∴DE=OD=.答案:■(2015辽宁锦州二模,空间几何体的体积,选择题,理4)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.200+9πB.200+18πC.140+9πD.140+18π解析:根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和.长方体的三边为10,4,5;圆柱的底面半径为3,高为2,所以几何体的体积=10×4×5+×32π×2=200+9π.答案:A■(2015辽宁锦州一模,空间几何体的体积,选择题,理6)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.64B.72C.80D.112解析:由几何体的三视图可知,该几何体下部为正方体,边长为4,体积为43=64;上部为三棱锥,以正方体上底面为底面,高为3,其体积×42×3=8.故该几何体的体积是64+8=72.答案:B专题3组合体的“接”“切”综合问题■(2015辽宁锦州一模,组合体的“接”“切”综合问题,填空题,理14)在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为,则三棱锥A-BCD的外接球的体积为.解析:三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,可把三棱锥补成长方体,两者的外接球是同一个,故长方体的对角线就是球的直径.设长方体的三边为a,b,c,则由题意得ab=,ac=,bc=.解得a=,b=,c=1.所以球的直径为.所以球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为π×π.答案:π专题1利用空间向量证明平行、垂直■(2015辽宁丹东二模,利用空间向量证明平行、垂直,解答题,理19)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1=B1B=BA=BC,∠B1BC=90°,D为AC的中点,AB⊥B1D.(1)求证:平面ABC⊥平面ABB1A1;(2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值.解:(1)取AB的中点为O,连接OD,OB1.∵B1B=B1A,∴OB1⊥AB.又AB⊥B1D,OB1与B1D交于点B1,∴AB⊥平面B1OD,∵OD⊂平面B1OD,∴AB⊥OD.由已知,BC⊥BB1,又OD∥BC,∴OD⊥BB1.∵AB与BB1交于点B,∴OD⊥平面ABB1A1,又OD⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABB1A1.(2)由(1)知,OB,OD,OB1两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的方向,||为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 由题设知B1(0,0,),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,2,),则=(0,1,-),=(2,2,0),=(-1,0,),设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0,即x+y=0,-x+z=0,可取n=(,-,1),|cos<,n>|=,则直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值是.专题2利用空间向量解决探索性问题■(2015辽宁锦州一模,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理18)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1.(1)求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值;(2)在线段AC上找一点P,使所成的角为60°,试确定点P的位置.解:(1)以为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则E(0,0,1),D(,0,0),B(0,,0),A(,0),F(,1), 因为AC⊥BD,AF⊥BD,所以是平面ACEF的法向量.又因为=(-,0),=(0,,1),所以cos<>=.故直线DF与平面ACEF所成角正弦值为.(2)设P(a,a,0)(0≤a≤),则=(-a,-a,1),=(0,,0).因为<>=60°,所以cos60°=.解得a=,故存在满足条件的点P为AC的中点.专题3利用空间向量求空间角■(2015江西宜春奉新一中高考模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,M 是棱PB中点.(1)求证:AM∥平面PCD;(2)设点N是线段CD上一动点,且DN=λDC,当直线MN与平面PAB所成的角最大时,求λ的值. (1)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1).∴=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则令z=1,则x=2,y=-1,于是n=(2,-1,1).∵·n=0,∴⊥n.∴AM∥平面PCD.(2)解:由点N是线段CD上的一点,可设=λ=λ(1,2,0).=(1,0,0)+λ(1,2,0)=(1+λ,2λ,0),=(1+λ,2λ,0)-(0,1,1)=(1+λ,2λ-1,-1).又面PAB的法向量为m=(1,0,0),设MN与平面PAB所成的角为θ,则sinθ=.∴当时,即5=3+3λ,λ=时,sinθ最大,∴MN与平面PAB所成的角最大时,λ=.■(2015江西南昌三模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四边形ABCD是正方形,PD⊥面ABCD,PD∥AQ,且AQ=AB=PD,M为PC中点.(1)求证:PD⊥QM;(2)求二面角B-PQ-A大小的余弦值.解法一:(1)取PD中点N,连接MN,QN,则MN∥CD,QN∥AD.又PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD,于是PD⊥MN,PD⊥QN,又MN∩QN=N,MN⊂面MNQ,QN⊂面MNQ,所以PD⊥面MNQ,由QM⊂面MNQ,得PD⊥QM.(2)延长PQ,DA交于E,过A作AF⊥EQ交EQ于F,连接BF,则易证∠AFB为二面角B-PQ-A的平面角,不妨取AD=1,则由已知可得AF=,于是BF=, 所以cos∠AFB=.解法二:(1)过M作MN∥PD交CD于N,则易得四边形ANMQ为平行四边形,∴AN∥QM.又面ABCD,AN⊂面ABCD,PD⊥AN,∴PD⊥QM.(2)同法一解法三:(1)由题意可知,DA,DP,DC两两互相垂直,以点D为原点,DA,DP,DC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨取AD=1,则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),D(0,0,0),P(0,2,0),Q(1,1,0),∴M,得=(0,-2,0),由=-1×0+0×(-2)+×0=0,∴PD⊥QM.(2)由(1)知=(1,-2,1),=(1,-1,0),设面PQB的法向量为n=(x,y,z),由取n=(1,1,1),又面PAQ的法向量为=(0,0,1),设二面角B-PQ-A的大小为α,则cosα=.■(2015河北保定二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E为PC的中点,且DE=EC.(1)求证:PA⊥面ABCD;(2)设PA=a,若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,求a的取值范围.(1)证明:∵E为PC的中点,DE=EC=PE,∴PD⊥DC.∵CD⊥AD,PD∩AD=D,∴CD⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA.∵PA⊥AD,AD∩CD=D,∴PA⊥面ABCD.(2)解:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间坐标系,如图所示.B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E.可得平面BCD法向量n1=(0,0,1),平面EBD法向量n2=(2a,a,-2).cosθ=,可得a∈.■(2015河北邯郸二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在等腰梯形CDFE中,A,B分别为底边DF,CE的中点.AD=2AB=2BC=2.沿AE将△AEF折起,使二面角F-AE-C为直二面角,连接CF,DF.(1)证明:平面ACF⊥平面AEF;(2)求平面AEF与平面CDF所成二面角的余弦值.(1)证明:在等腰梯形CDFE中,由已知条件可得,CD=AC=AE=EF=,AF=AD=2,所以AE2+EF2=AF2,∴EF⊥EA.同理可证,EF⊥AC.在四棱锥F-AECD中,∵二面角F-AE-C为直二面角,∴平面AEF⊥平面AECD.又EF⊥EA,∴EF⊥平面AECD.∵AC⊂平面AECD,∴AC⊥EF.又∵AC⊥AE,∴AC⊥平面AEF.∴平面ACF⊥平面AEF.(2)解:以E为原点,EC所在直线为x轴,EF所在直线为z轴建立如图所示的坐标系,则A(1,1,0),C(2,0,0),D(3,1,0),F(0,0,).=(1,-1,0),=(1,1,0),=(-2,0,).显然,=(1,-1,0)为平面AEF的法向量,设平面FCD的法向量n=(x,y,z),则所以n的一个取值为(1,-1,).故平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值为.■(2015河北衡水中学高三一调,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,E为BC的中点,AA1⊥平面ABCD.(1)证明:平面A1AE⊥平面A1DE;(2)若DE=A1E,试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值;(3)在(2)的条件下,试求二面角C-A1D-E的余弦值.解:(1)依题意,BE=EC=BC=AB=CD,∴△ABE是正三角形,∠AEB=60°.又∵△CDE中,∠CED=∠CDE=(180°-∠ECD)=30°,∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°,即DE⊥AE.∵AA1⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴DE⊥AA1.∵AA1∩AE=A,∴DE⊥平面A1AE.∵DE⊂平面A1DE,∴平面A1AE⊥平面A1DE.(2)如图1,取BB1的中点M,连接EM,AM,B1C.图1∵△BB1C中,EM是中位线,∴EM∥B1C.∵A1B1∥AB∥CD,A1B1=AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,可得B1C∥A1D.∴EM∥A1D.可得∠AEM(或其补角)是异面直线AE与A1D所成的角.∵△CDE中,DE=CD==A1E=,AE=AB=1,∴A1A=.由此可得BM=,AM=EM=.∴cos∠AEM=,即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为.(3)如图2,取BE的中点F,以A为原点,AF所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,AA1=,则A(0,0,0),D(0,2,0),C,A1(0,0,).又=(0,2,-).图2设平面CA1D的法向量n1=(x,y,z),则得n1=(1,).同理可得平面A1DE的一个法向量为n2=(,1,).设二面角C-A1D-E的平面角为θ,且θ为锐角,则cosθ=|cos<n2,n1>|=.所以二面角C-A1D-E的余弦值为.■(2015辽宁丹东二模,利用空间向量求空间角,选择题,理10)如图,正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C,则二面角A-CD-B的余弦值是()A.B.C.D.解析:∵正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角,∴平面ABD⊥平面BCD.连接A1C,与BD相交于O,连接AO,则AO⊥BD.∵平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD,则OC,OA,OD两两互相垂直.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.设正方形的棱长为1,则O(0,0,0),A,C,B,D是平面BCD的一个法向量..设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,解得n=(1,-1,1).从而|cos<n,>|=.二面角A-BC-D的余弦值为.11答案:B■(2015辽宁丹东一模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2,侧棱长为,D为A1C1中点.(1)求证:BC1∥平面AB1D;(2)求二面角A1-AB1-D的大小.解:(1)连接A1B,与AB1交于E,则E为A1B的中点.∵D为A1C1的中点,∴DE为△A1BC1的中位线.∴BC1∥DE.又DE⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D,∴BC1∥平面AB1D.(2)过D作DF⊥A1B1于F,由正三棱柱的性质可知,DF⊥平面AB1.连接EF,DE,在正△A1B1C1中,可知,B1D=A1B1=.在直角三角形AA1D中,∵AD=,∴AD=B1D.∴DE⊥AB1.又DF⊥AB1,∴AB1⊥平面DEF,∴EF⊥AB1.则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角,可得DF=.∵△B1FE∽△B1AA1,∴,则EF=.∴∠DEF=.故所求二面角A1-AB1-D的大小为.■(2015辽宁葫芦岛二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)13如图,在多面体ABCDEF 中,BA ⊥BE ,BA ⊥BC ,BE ⊥BC ,AB ∥EF ,CD ∥BE ,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,G 在线段AB 上,且BG=3GA. (1)求证:CG ∥平面ADF ;(2)求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值; (3)求锐二面角B-DF-A 的余弦值.(1)证明:分别取AB ,AF 中点M ,H ,连接FM ,GH ,DH ,则有AG=GM ,MF ∥BE.∵AH=HF ,∴GH MF. 又∵CD BE ,BE MF , ∴CD GH.∴四边形CDHG 是平行四边形, ∴CG ∥DH.又CG ⊄平面ADF ,DH ⊂平面ADF , ∴CG ∥平面ADF. (2)解:如图,以B 为原点,分别以BC ,BE ,BA 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则A (0,0,2),C (1,0,0),D (1,1,0),E (0,2,0),F (0,2,1),=(-1,1,0),=(-1,-1,2),=(0,-2,1). 设平面ADF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则有n ·=-x-y+2z=0且n ·=-2y+z=0, 解得x=3y ,z=2y. 令y=1,得n =(3,1,2).设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ,则有sin θ=. 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为. (3)解:由已知平面ADF 的法向量n =(3,1,2),=(0,2,1),设平面BDF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),=(1,1,0), 由m ·=2y+z=0且m ·=x+y=0, 解得z=-2y ,x=-y.令y=-1,得m =(1,-1,2),设锐二面角B-DF-A 的平面角为α, 则cos α=|cos <m ,n >|=.所以锐二面角B-DF-A 的余弦值为.■(2015辽宁锦州二模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别是BC 和CC 1的中点,已知AB=AC=AA 1=4,∠BAC=90°. (1)求证:B 1D ⊥平面AED ;(2)求二面角B 1-AE-D 的余弦值; (3)求三棱锥A-B 1DE 的体积.(1)证明:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴,AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.由已知得B 1(4,0,4),C (0,4,0),B (4,0,0),D (2,2,0),A (0,0,0),E (0,4,2), =(-2,2,-4),=(0,4,2),=(2,2,0).设平面AED 的法向量n =(x ,y ,z),则取x=1,得n=(1,-1,2).∴∥n,∴B1D⊥平面AED.(2)解:=(4,0,4).设平面B1AE的法向量m=(a,b,c),取a=2,得m=(2,1,-2),又平面AED的法向量n=(1,-1,2),∴|cos<n,m>|=,∴二面角B1-AE-D的余弦值为. (3)解:∵B1D⊥平面AED,∴B1D×DE==6.A到平面B1DE的距离AD==2,∴三棱锥A-B1DE的体积:V=×AD=8.。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习2.7高考模拟卷

91不等式的性质及应用1.(2015山西二测,文3,不等式的性质及应用,选择题)已知a<0,0<b<1,则下列结论正确的是()A.a>abB.a>ab2C.ab<ab2D.ab>ab2解析:由题意得ab-ab2=ab(1-b)<0,所以ab<ab2,故选C.答案:C2.(2015河南高考适应性测试,文15,不等式的性质及应用,填空题)已知a>b,ab≠0,则下列不等式中:①a2>b2;②;③a3>b3;④a2+b2>2ab.恒成立的不等式的个数是.解析:当a=1,b=-2时,显然①②不成立;对于③,当a,b异号时,a>0>b时,显然有a3>0>b3,当a,b同号时,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,所以③恒成立;对于④,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab,即④恒成立.综上所述,不等式恒成立的个数为2.答案:292一元二次不等式的解法1.(2015广西柳州3月模拟,文9,一元二次不等式的解法,选择题)若△ABC为钝角三角形,三边长分别为2,3,x,则x的取值范围是()A.(1,B.(C.()D.(1,)∪(,5)解析:依题意,当x是最大边长时,则有-解得5;当3是最大边长时,则有-解得1<x<.因此x的取值范围是(1,)∪(,5),故选D.答案:D2.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文12,一元二次不等式的解法,选择题)已知函数f(x)=ax2+2(2a-1)x+4a-7,其中a∈N*,设x0为f(x)的一个零点,若x0∈Z,则符合条件的a的值有()A.1个B.2个C.3个D.无数个解析:依题意得f(-2)≠0,f(x0)=0,因此x0≠-2,因为a∈N*,所以a=≥1,解得-3≤x0≤1且x0≠-2,又x0∈Z,因此x0=-3或x0=-1或x0=0或x0=1.当x0=-3或x0=1时,a==1;当x0=-1时,a==5;当x0=0时,a=∉N*.综上所述,符合条件的a的值共有2个,故选B.答案:B3.(2015东北三省四市一联,文12,一元二次不等式的解法,选择题)已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2总有-->0且f(1)=1.若对于任意a∈[-1,1],存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立,则实数t的取值范围是()A.-2≤t≤2B.t≤-1-或t≥+1C.t≤0或t≥2D.t≥2或t≤-2或t=0解析:因为对于任意x1,x2∈[-1,1],x1≠x2,总有-->0,故函数f(x)在[-1,1]上单调递增.由于存在x∈[-1,1],使f(x)≤t2-2at-1成立,故[f(x)]min≤t2-2at-1,结合函数的单调性可知f(-1)≤t2-2at-1.因为函数f(x)为奇函数,故f(-1)=-f(1)=-1,故t2-2at-1≥-1,即t2-2at≥0.由于对任意a∈[-1,1],t2-2at≥0(*)恒成立,故令g(a)=-2ta+t2,问题转化为[g(a)]min≥0.①当t=0时,易知(*)式显然成立;②当t<0时,函数g(a)在[-1,1]上单调递增,则g(-1)=2t+t2≥0,解得t≤-2;③当t>0时,函数g(a)在[-1,1]上单调递减,则g(1)=-2t+t2≥0,解得t≥2.综上所述,实数t的取值范围为t≥2或t≤-2或t=0,故选D.答案:D4.(2015山西大附中第五次月考,文11,一元二次不等式的解法,选择题)定义(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的长度均为d=b-a,用[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.2]=3,[-2.3]=-3,记{x}=x-[x],设f(x)=[x]·{x},g(x)=x-1,若用d表示不等式f(x)<g(x)解集区间的长度,则当0≤x≤3时有()A.d=1B.d=2C.d=3D.d=4解析:f(x)=[x]·{x}=[x]·(x-[x])=[x]x-[x]2,由f(x)<g(x)得[x]x-[x]2<x-1,即([x]-1)x<[x]2-1,当x∈[0,1)时,[x]=0,不等式的解为x>1,不符合题意;当x∈[1,2)时,[x]=1,不等式的解为0<0,无解,不符合题意;当x∈[2,3)时,[x]=2,所以不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于x<22-1=3,此时恒成立,所以此时不等式的解为2≤x<3;当x=3时,[x]=3,不等式([x]-1)x<[x]2-1等价于2x<9-1,x<4,所以x=3成立.综上所述,不等式f(x)<g(x)的解集为[2,3],区间长度d=3-2=1,故选A.答案:A5.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文13,一元二次不等式的解法,填空题)已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1<x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是.解析:化简集合后结合数轴求解.因为A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}⊆B,所以a≥2.答案:a≥294二元一次不等式(组)表示的平面区域问题1.(2015甘肃兰州诊断,文9,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知不等式组--所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与平面区域D有公共点,则k的取值范围是()A.[-3,3]B.--C.(-∞,-3]∪[3,+∞)D.-解析:依题意,直线y=kx-3过定点(0,-3),在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,结合图形可知,要使直线y=kx-3经过平面区域D内的点,直线y=kx-3的斜率k的取值范围是(-∞,-3]∪[3,+∞),故选C.答案:C5.(2015贵州适应性考试,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)已知点P(t,1)在不等式组所表示的平面区域内运动,l为过点P和坐标原点O的直线,则l的斜率的取值范围为.解析:结合图形求解,作出不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(0,2),(1,1)为顶点的三角形区域,点P(t,1)在区域内,则0<t≤1,则k=≥1.答案:[1,+∞)2.(2015江西三校联考,文11,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知直线mx+y+m-1=0上存在点(x,y)满足---则实数m的取值范围为()A.-B.-C.-D.-解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线mx+y+m-1=0,即m(x+1)+(y-1)=0,该直线的斜率是-m,过定点(-1,1).结合图形可知,要使直线mx+y+m-1=0经过该平面区域内的点,则需-1<-m<,即-<m<1,满足题意的实数m的取值范围是-,故选A.答案:A3.(2015江西八校联考,文3,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知O为坐标原点,点M坐标为(-2,1),在平面区域上取一点N,则使|MN|取得最小值时,点N的坐标是()A.(0,0)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,0)解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(2,0)和(0,2)为顶点的三角形,过点M作y轴的垂线,垂足N到点M的距离最小,即点N的坐标是(0,1),故选B.答案:B4.(2015江西重点中学盟校联考,文14,一元二次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)设不等式组所表示的平面区域为D.若圆C落在区域D中,则圆C的半径r的最大值为.解析:平面区域D如图中阴影部分所示,可得到一个直角三角形,要使圆C的半径r最大,则圆C和直角三角形相内切.由平面几何知识可得r·(3+4+5)=×3×4,即r的最大值为1.答案:17.(2015河北石家庄一模,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)若不等式组-表示的区域为一个锐角三角形及其内部,则实数k的取值范围是.解析:二元一次不等式组-所表示的平面区域如图所示,当k=0时,平面区域为直角三角形;当k=1时,平面区域为直角三角形,故k的取值范围是(0,1).答案:(0,1)6.(2015河南平顶山、许昌、新乡二调,文8,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)若x,y 满足约束条件:则x-y的取值范围是()A.[-3,0]B.-C.D.[0,3]解析:结合图形求解.约束条件对应的平面区域是以点(1,1),(0,3)和为顶点的三角形,当目标函数经过点(1,1)时,x-y取得最大值0;经过点(0,3)时,x-y取得最小值-3,所以x-y的取值范围是[-3,0],故选A.答案:A8.(2015江西赣州摸底考试,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)不等式组---表示的平面区域的面积为.解析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,所围成的面积为S△ABC=(2+1)=.答案:95与目标函数有关的最值问题1.(2015宁夏银川一中二模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知点M(x,y)的坐标满足-N点的坐标为(1,-3),点O为坐标原点,则的最小值是()A.12B.5C.-6D.-21解析:依题意,=x-3y,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-3y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(3,8)时,相应直线在x轴上的截距达到最小,此时=x-3y取得最小值3-3×8=-21,故选D.答案:D2.(2015贵州八校二联,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件---若z=x+3y+m的最大值为4,则m的值为()A.-4B.1C.2D.4解析:作出x,y满足约束条件下的平面区域,如图所示,由图易知当目标z=x+3y+m经过点B(2,2)时取得最大值,所以2+3×2+m=4,解得m=-4,故选A.答案:A7.(2015广西桂林、防城港一联,文13,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知x,y满足条件-则z=-的最大值是.解析:不等式组对应的平面区域是以点(3,8),(3,-3)和-为顶点的三角形,当(x,y)在点-时,z取得最大值3.答案:38.(2015东北三校一联,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)若变量x,y满足约束条件-则z=x+2y的最小值为.解析:令x+2y=m(2x+y)+n(x-y),故-解得-故x+2y=(2x+y)-(x-y).因为6≤x-y≤9,故-9≤-(x-y)≤-6,故-6≤(2x+y)-(x-y)≤3,即-6≤x+2y≤3,故z=x+2y的最小值为-6.答案:-6则4.(2015辽宁东北育才学校五模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足--z=x+y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值解析:作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,观察可知,当直线z=x+y过点A(2,0)时,z有最小值,最小值为2,无最大值,故选B.答案:B5.(2015黑龙江哈尔滨二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知变量x,y满足条件--若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是() -A.--B.-C. D.解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(3,0),(0,1)和(1,1)为顶点的三角形,若目标函数z=ax+y,a>0仅在(3,0)处取得最大值,则-a<-,a>,故选D.答案:D9.(2015辽宁大连双基测试,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件---则z=-2x+y的最小值为()A.-7B.-6C.-1D.2解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线-2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(5,3)时,相应直线在y轴上的截距达到最小,此时z=-2x+y取得最小值-7,故选A.答案:A10.(2015吉林长春质量监测(二),文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若x,y满足约束条件-则3x+5y的取值范围是()A.[-5,3]B.[3,5]C.[-3,3]D.[-3,5]解析:由题意可知3x+5y在(-1,0)处取得最小值,在(0,1)处取得最大值,即3x+5y∈[-3,5],故选D.答案:D11.(2015贵州贵阳监测考试(一),文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组----若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数a的取值范围为()A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,-1)解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(1,3),(3,1),(7,9)为顶点的三角形,若目标函数y=ax+z取得最大值时的最优解是唯一的(1,3),则a>1,故选A.答案:A12.(2015广西柳州3月模拟,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知x,y满足不等式组则z=2x+y的最大值为.解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x+y=0,平移该直线,当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时z=2x+y取得最大值6.答案:613.(2015吉林省吉林市二调,文13,与目标函数有关的最值问题,填空题)若实数x,y满足-则z=2x+3y的最小值是.解析:不等式组表示的可行域如图中的阴影部分所示,由z=2x+3y得y=-x+,由图象可知,当y=-x+经过-的交点(4,2)时,z min=8+6=14.答案:1415.(2015山西四校三联,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设变量x,y满足约束条件--则-的最小值是.解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域;-可视为该平面区域内的点(x,y)与点A(1,0)连线的斜率,结合图形可知,在该平面区域内的点(x,y)与点A(1,0)连线的斜率最小的点是(3,2),因此-的最小值是1.答案:114.(2015河南十校测试(四),文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足--若目标函数z=x-y的最小值是-2,则此目标函数的最大值是()-A.2B.3C.4D.5解析:根据约束条件,作出对应的可行域,应用数形结合思想求解.由约束条件可知可行域如图中的阴影部分所示,目标函数等值线y=x-z过点A-时,在y 轴上的截距最大,此时目标函数取值最小,最小值为z min=x-y=-,则-=-2,m=4.直线y=x-z过点B(m-1,1),即B(3,1)时,在y轴上的截距最小,此时目标函数取值最大,最大值为z max=3-1=2,故选A.答案:A16.(2015江西九校联合考试,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)设不等式组-所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x-4y-9=0对称,对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B,|AB|的最小值为.解析:依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域Ω1及直线3x-4y-9=0,结合图形可知,在该平面区域内所有的点中,点(1,1)到直线3x-4y-9=0的距离最近,该距离等于--=2,因此|AB|的最小值等于2×2=4.答案:421.(2015山西3月质量监测,文13,与目标函数有关的最值问题,填空题)若变量x,y满足则2x+y的取值范围为.--解析:不等式组等价于或在平面直角坐标系内画出其表示的平面区域,易知目标函数z=2x+y在点(1,0)处取得最大值2,在点(-1,0)处取得最小值-2,即2x+y的取值范围为[-2,2].答案:[-2,2]17.(2015河南实验中学质量检测,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知z=2x+y,其中实数x,y 满足且z的最大值是最小值的4倍,则a的值是() A. B. C.4 D.解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(a,a),(a,2-a),(1,1)(a<1)为顶点的三角形,当z=2x+y经过点(1,1)时,z取得最大值3,经过点(a,a)时,z取得最小值3a,则3=4×3a,a=,故选B.答案:B18.(2015河北石家庄二中一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)设z=x+y,其中实数x,y满足-若z的最大值为6,则z的最小值为()A.-3B.-2C.-1D.0解析:作出实数x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图可知当目标函数z=x+y经过点A(k,k)时取得最大值,即k+k=6,解得k=3;当目标函数z=x+y经过点B(-2k,k)时取得最小值,所以z min=-2×3+3=-3,故选A.答案:A19.(2015河北衡水中学二模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件--则目标函数z=2y-3x的最大值为()-A.-3B.2C.3D.4解析:满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示,当y=经过点C(0,2)时,目标函数z=2y-3x取得最大值为4,故选D.答案:D22.(2015河北保定一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)若a∈[0,1),当x,y满足---时,z=x+y的最小值为()-A.4B.3C.2D.无法确定解析:因为直线x-ay-2=0恒过点(2,0),由此作出x,y满足的平面区域如图中的阴影部分所示,由图知当目标函数z=x+y经过点B(2,0)时,z取得最小值,即z min=2+0=2,故选C.答案:C23.(2015山西二测,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)设实数x,y满足约束条件---若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则的最小值为()A.8B.4C.9D.3解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图易得当目标函数经过平面区域内的点(2,4)时,z=ax+by取得最大值6,即2a+4b=6,a+2b=3,则(a+2b)·=3,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以的最小值为3,故选D.答案:D24.(2015山西太原模拟(一),文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足条件-若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为()A.10B.12C.14D.15解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(2,2),(2,4-c)和-(c>2)为顶点的三角形区域(包含边界),当目标函数z=3x+y经过点(2,4-c)时,z取得最小值5,所以6+4-c=5,c=5.当目标函数z=3x+y经过点-,即(3,1)时,z取得最大值10,故选A.答案:A25.(2015河北石家庄一检,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)实数x,y满足条件--则z=x-y的最小值为()A.1B.-1C.D.2解析:在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,则当目标函数过点A(0,1)时,z=x-y取得最小值-1,故选B.答案:B26.(2015河北石家庄二检,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足条件则z=2x+y的最小值为()A.3B.2C.D.0解析:结合图形求解.作出约束条件对应的平面区域如图,当目标函数y=-2x+z经过点(1,1)时,z取得最小值,故选A.答案:A27.(2015河北唐山一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件----则z=3x+2y的最大值为()A.8B.9C.28D.29解析:先作出线性约束条件表示的平面区域,然后利用图解法求z=3x+2y的最大值.线性约束条件----表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由z=3x+2y可得y=-x+,由---得A(5,7),由图可知当直线y=-x+经过点A(5,7)时,有最大值z max=3×5+2×7=29,故选D.答案:D28.(2015河南六市一联,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知正数x,y满足--则z=4-x·的最小值为()A.1B.C.D.解析:结合图形求解.点(x,y)对应的平面区域是以点(0,0),和(1,2)为顶点的三角形区域(不包含y 轴上的点),当2x+y经过点(1,2)时取得最大值4,此时z=4-x·取得最小值,故选C.答案:C29.(2015河南洛阳3月统一考试,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知不等式组表示的平面区域的面积为2,则的最小值为()A. B. C.2 D.4解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域,易知平面区域的面积为×(2-m)2=2,解得m=0.又因为=1+表示平面区域内的点与点(-1,-1)的连线的斜率加1,易知平面区域内的点(2,0)与点(-1,-1)的连线的斜率最小,则的最小值为,故选B.答案:B30.(2015江西南昌一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足--若目标函数z=2x+y的最大值与最小值的差为2,则实数m的值为() A.4 B.3 C.2 D.-解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(m-1,m),(4-m,m),,m<为顶点的三角形,当目标函数y=-2x+z经过点(4-m,m)时,z取得最大值8-m;经过点(m-1,m)时,z取得最小值3m-2,所以(8-m)-(3m-2)=2,解得m=2,故选C.答案:C31.(2015江西南昌二模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足条件-则z=x-3y的最小值为()A.-5B.-3C.1D.4解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,设z=x-3y,则y=,由图象可知当y=经过-的交点(1,2)时,z min=-5,故选A.答案:A32.(2015东北三省四市一联,文4,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足-则目标函数z=x-y的最小值为()A.-2B.5C.6D.7解析:作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.观察可知,当直线z=x-y过点A(3,5)时,z有最小值,即z min=3-5=-2,故选A.答案:A33.(2015东北三省四市二联,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)在平面直角坐标系中,若P(x,y)满足---则x+2y的最大值是()A.2B.8C.14D.16解析:结合图形求解.不等式组对应的平面区域是以点(0,1),(2,6)和(4,2)为顶点的三角形,当目标函数x+2y经过点(2,6)时,取得最大值14,故选C.答案:C34.(2015山西太原二模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足条件则z=的最小值为.解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以点(0,0),,(1,0)为顶点的三角形区域(包含边界),又因为z=-表示平面区域内的点与点(0,-1)的连线的斜率,由图易得平面区域内的点(1,0)与点(0,-1)的连线的斜率最小,即-=1,即z的最小值为1.答案:136.(2015甘肃兰州实战,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足约束条件-z=x+y,若z的最大值为12,则k=.解析:在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x+y=12,结合图形可知,若直线x+y=12经过该平面区域内的点,且相应直线在x轴上的截距达到最大,此时直线y=k必经过点(6,6),k=6.答案:635.(2015贵州贵阳高三适应性检测考试(二),文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足不等式组-则z=x+2y的最大值是()-A.10B.11C.13D.14解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x+2y得y=-x+z,由图象可知当z=x+2y经过直线2x-y+3=0与直线y=5的交点(1,5)时,z max=11,故选B.答案:B37.(2015宁夏银川质量检测,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)若x,y满足约束条件-则z=3x-y的最小值是()A.-5B.-4C.-3D.-2解析:结合图形求解.约束条件对应的平面区域是以点(0,0),(0,4),(4,8),(4,-4)为顶点的梯形,当目标函数y=3x-z经过点(0,4)时,z取得最小值-4,故选B.答案:B38.(2015东北三省三校二联,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=2x-y仅在点(1,k)处取得最小值,则实数k的取值范围是.-解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x-y=0,平移该直线,仅当平移到经过该平面区域内的点(1,k)(其中k是直线kx-y=0的斜率)时,相应直线在x轴上的截距达到最小,此时z=2x-y取得最小值,结合图形可知,实数k的取值范围是(2,+∞).答案:(2,+∞)39.(2015河南郑州第二次质量检测,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足-设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为.解析:依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-2y=-2,若直线b=x-2y经过该平面区域内的点时,b取得最小值-2,则直线x=a必经过直线x-2y=-2与直线x-y=0的交点(2,2),于是有a=2.平移直线b=x-2y到经过该平面区域内的点(2,-4)时,相应直线在x轴上的截距达到最大,此时b=x-2y取得最大值10.答案:1040.(2015河南郑州第三次质量检测,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)x,y满足不等式组--则z=x-y的最大值为.-解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x-y得y=x-z,由图象可知当y=x-z经过(2,0)时,z max=2.答案:241.(2015河南适应性模拟练习,文15,与目标函数有关的最值问题,填空题)设D是不等式组表示的平面区域,P(x,y)是D中任一点,则|x+y-10|的最大值是.解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,因为|x+y-10|=,所以|x+y-10|可视为区域内的一点到直线x+y-10=0距离的,由图象可知在点A(1,1)处,|x+y-10|max=8.答案:897利用基本不等式求最值1.(2015吉林长春质量监测(二),文10,利用基本不等式求最值,选择题)设m,n∈R*,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的最小值是()A.2+B.2+2C.4-D.4-2解析:由直线与圆相切可知|m+n|=,整理得(m-1)(n-1)=2,由2=(m-1)(n-1)≤-可知m+n≥2+2,故选B.答案:B7.(2015吉林省吉林市二调,文16,利用基本不等式求最值,填空题)函数f(x)满足ln x=-,且x1,x2均大于e,且f(x1)+f(x2)=1,则f(x1x2)的最小值为.解析:由ln x=-得f(x)=-,由f(x1)+f(x2)=1得--=1,即-=1--,(ln x2+1)(ln x1-1)=2(ln x1+1),整理得ln x1+ln x2+3=ln x2ln x1≤,得ln x1+ln x2≥6,即ln(x1x2)≥6,又因为f(x1x2)=-=1-为单调递增函数,所以f(x1x2)≥1-.答案:2.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文6,利用基本不等式求最值,选择题)若对任意正数x,不等式恒成立,则实数a的最小值为()A.1B.C.D.解析:依题意得当x>0时,a≥恒成立.又因为=x+≥2=2,当且仅当x=>0,即x=1时取等号,的最小值是2,的最大值是,所以a≥,a的最小值是,故选C.答案:C3.(2015贵州八校二联,文7,利用基本不等式求最值,选择题)已知点A(m,n)在直线x+2y=1上,其中mn>0,则的最小值为()A.4B.8C.9D.12解析:由题意得m+2n=1,所以=(m+2n)·=4+≥4+2=8,当且仅当,即m=,n=时等号成立,所以的最小值为8,故选B.答案:B4.(2015江西八校联考,文6,利用基本不等式求最值,选择题)正项等比数列{a n}满足:a3=a2+2a1,若存在a m,a n,使得a m·a n=16,则的最小值为()A.2B.16C.D.解析:利用等比数列的通项公式和基本不等式求解.设正项等比数列{a n}的公比为q,q>0,由a3=a2+2a1得q2-q-2=0,解得q=2(舍负).又存在a m,a n,使得a m·a n=16,则×2m+n-2=16,即为m+n=6,所以+2,当且仅当,m=,n=时取等号,所以的最小值为,故选C.答案:C10.(本小题满分12分)(2015江西八校联考,文17,利用基本不等式求最值,解答题)在直角坐标系xOy 中,角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线l:y=2x(x≥0).(1)求cos 的值;(2)若点P,Q分别是角α始边、终边上的动点,且PQ=6,求△POQ面积最大时,点P,Q的坐标.解:(1)由射线l的方程为y=2x,可得sin α=,cos α=, (2分) 故cos-.(5分)(2)设P(a,0),Q(b,2)(a>0,b>0).PQ2=(a-b)2+8b2=36, (6分) 即36=a2+9b2-2ab≥6ab-2ab=4ab,所以ab≤9, (8分) 所以S△POQ=ab≤9,当且仅当a=3b,即a=3,b=取得等号.(10分) 所以△POQ面积最大时,点P,Q的坐标分别为P(3,0),Q(,2).(12分) 5.(2015河南郑州第三次质量检测,文6,利用基本不等式求最值,选择题)已知等比数列{a n}中,a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)解析:因为a2=1=a1q,所以S3=a1+1+a1q2=+q+1,当q>0时,+q≥2,当q<0时,+q≤-2,所以S3≥3或S3≤-1,故选D.答案:D8.(2015河北石家庄二中一模,文13,利用基本不等式求最值,填空题)已知函数f(x)=x+-(x>1),当x=a 时,f(x)取得最小值为b,则a+b=.解析:f(x)=x-1+-+1≥2--+1=5,当且仅当x-1=-,即x=3时取等号,所以a=3,b=5,所以a+b=8.答案:89.(2015江西三校联考,文16,利用基本不等式求最值,填空题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f'(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f'(x)恒成立,则的最大值为.解析:对任意x∈R,ax2+(b-2a)x+(c-b)≥0(a≠0)恒成立,于是有---即b2≤4ac-4a2.(22)a2+(2-2)c2≥2-=4ac,因此4ac-4a2≤(22)a2+(22)c2-4a2=(2-2)(a2+c2),-≤2-2,于是有≤22,因此的最大值是2-2.答案:2 211.(本小题满分10分)(2015河南十校测试(四),文24,利用基本不等式求最值,解答题)已知a,b,c为正实数.(1)若ab(a+b)=2,求a+b的最小值;(2)若abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因为ab(a+b)=2≤·(a+b)(当且仅当a=b时取等号),所以a+b≥2,a+b的最小值为2. (5分)(2)因为(a+b)(b+c)=ab+ac+b2+bc=b(a+b+c)+ac≥2=2(当且仅当b(a+b+c)=ac 时取等号),所以(a+b)(b+c)的最小值为2.(10分) 6.(2015江西九校联合考试,文9,利用基本不等式求最值,选择题)已知x>1,y>1,且ln x,,ln y成等比数列,则xy有()A.最小值eB.最小值C.最大值eD.最大值解析:依题意得ln x·ln y=(ln x>0,ln y>0),ln x+ln y≥2=1,即ln(xy)≥1,xy≥e,当且仅当x=y=时取等号,因此xy有最小值e,故选A.答案:A99基本不等式的实际应用1.(2015河北保定一模,文11,基本不等式的实际应用,选择题)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析()A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合适解析:设司机甲每次加油量为x,司机乙每次加油费为y,两次加油的单价分别为a,b,则司机甲两次加油的均价为,司机乙两次加油的均价为且-≥0.又a≠b,所以->0,即,所以这两次加油的均价,司机乙的较低,所以乙更合适,故选B.答案:B100归纳推理1.(2015宁夏银川质量检测,文13,归纳推理,填空题)如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是.解析:数表的规律是一个数等于它肩上的两个数的乘积,所以a=12×12=144.答案:144102演绎推理2.(2015河南郑州第三次质量检测,文15,演绎推理,填空题)A,B,C,D四人猜测自己所买彩票的中奖情况.A说:“如果我中奖了,那么B也中奖了.”B说:“如果我中奖了,那么C也中奖了.”C说:“如果我中奖了,那么D也中奖了.”结果三人都没有说错,但是只有两人中奖了,这两人是.解析:若A中奖,则B,C也中奖与题意矛盾.若B中奖,则C,D也中奖与题意矛盾.若C中奖,则D也中奖,A,B可以不中奖,与题意相符合,所以中奖的两人为C,D.答案:C,D3.(2015河南适应性模拟练习,文16,演绎推理,填空题)设数列{a n}的前n项和为S n,若为常数,则称数列{a n}为和谐数列.若一个首项为1,公差为d(d≠0)的等差数列为和谐数列,则该等差数列的公差d=.解析:因为S n=na1+-d,所以由和谐数列的定义可知--=k,整理得d+-n=2dkn2+(2-d)kn,所以=2dk,1-=(2-d)k,解得k=,d=2.答案:24.(2015江西南昌二模,文15,演绎推理,填空题)观察下面数表:1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,……设1 027是该表第m行的第n个数,则m+n等于.解析:该数表的通项公式为a k=2k-1,由2k-1=1 027得k=514,所以1 027是第514个奇数,前m行共有1+2+22+…+2m-1=2m-1个奇数,当m=9时,2m-1=511,所以1 027是第10行的第3个数,所以m+n=13.答案:131.(2015河北石家庄二中一模,文6,演绎推理,选择题)有甲、乙、丙、丁四位同学参加歌唱比赛,其中只有一位获奖.有同学走访这四位同学,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖了”.若四位同学中只有两人说的话是对的,则获奖的同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:若甲获奖了,则四位同学说的都是错的,不符合题意;若乙获奖了,则甲、乙、丁说的是对的,丙说的是错的,不符合题意;若丙获奖了,则甲、丙说的是对的,乙、丁说的是错的,符合题意;若丁获奖了,甲、丙、丁说的都是错的,乙说的是对的,不符合题意.综上所述,丙获奖了,故选C.答案:C。

2018年一轮复习高中数学专项集合综合检测含答案解析

2018年一轮复习高中数学专项集合综合检测编辑：刘玲审核：乐陵一中数学备课组时间：2017.08.29一、选择题(本大题共10小题)1.设A，B是非空集合，定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，己知集合A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}，则A⊗B等于（）A.{0}∪（2，+∞）B.[0，1）∪[2，+∞）C.（0，1）∪（2，+∞）D.{0}∪[2，+∞）2.已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x-1≤0}，则A∩B=（）A.（0，1]B.（0，1）C.（-1，1]D.[1，+∞）3.已知集合A={x|x＞-1}，B={x|x2+2x-3＜0}则A∩B=（）A.（-1，3）B.（-1，1）C.（-1，+∞）D.（-3，1）4.已知集合A={x|y=1−x}，B={y|y=2x+lna}，且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是（）A.[e，+∞）B.（0，e]C.（-∞，1]D.（0，1]5.设M、N是两个非空集合，定义M⊗N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2}，Q={1，2}，则P⊗Q中元素的个数是（）A.4B.9C.6D.36.已知集合A={x|x2-9≤0}，B={x|y=ln（-x2+x+12）}，则A∩B=（）A.{x|-3≤x＜3}B.{x|-2＜x≤0}C.{x|-2＜x＜0}D.{x|x＜0或x＞2且x≠3}7.已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=x−2}，则A∩（∁R B）=（）A.{x|1＜x≤2}B.{x|1＜x＜3}C.{x|2≤x＜3}D.{x|1＜x＜2}8.已知集合A={x|（x+2）（x-3）＜0}，则A∩N（N为自然数集）为（）A.（-∞，-2）U（3，+∞）B.（2，3）C.{0，1，2}D.{1，2}9.已知集合A={x|lnx≤0}，B={x∈R|z=x+i，|z|≥52，i是虚数单位}，A∩B=（）A.(−∞，−12]∪[12，1] B.[12，1] C.（0，1] D.[1，+∞）10.已知集合M={x|x29+y24=1}，N={y|x3+y2=1}，M∩N=（）A.∅B.{（3，0），（0，2）}C.[一2，2]D.[一3，3]二、填空题(本大题共10小题)11.集合{1，2}的子集个数为______ ．12.已知集合A={x|x-2＜3}，B={x|2x-3＜3x-2}，则A∩B= ______ ．13.已知集合A={1，2，6}，B={2，3，6}，则A∪B= ______ ．14.给定集合A、B，定义：A*B={x|x∈A或x∈B，但x∉A∩B}，又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，用列举法写出A*B= ______ ．15.设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若B⊆A，则实数a组成的集合C= ______ ．16.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B= ______ ，∁U A= ______ ．17.已知集合M={x||x-1|≤2}，N={x|2x＞1}，则M∩N= ______ ，M∪∁R N= ______ ．18.已知集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，则A∩B= ______ ．19.设集合A={x|x2+x≤0，x∈z}，则集合A= ______ ．20.设集合A={0，2，3}，B={x+1，x}，A∩B={3}，则实数x的值为______ ．三、解答题(本大题共10小题)21.已知集合A={x|m-1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（-x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．22.已知集合A={x|x2-2x-3＜0}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，a∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数f(x)=4sin(2x+π3)+1，若实数x0满足f（x0）∈A，求实数x0取值的集合．23.设集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．24.已知集合A={x|3≤x≤9}，B={x|2＜x＜5}，C={x|x＞a}．（1）求A∪B；（2）若B∩C=∅，求实数a的取值范围．25.已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．（1）当a=2时，解不等式|x-13|+13f（x）≥1；（2）若不等式|x-13|+13f（x）≤x的解集包含[13，12]，求实数a的取值范围．26.设全集是实数集R，A={x|1≤x≤3}，B={x||x|+a＜0}．2（1）当a=-4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．27.（1）设全集U={x|x≤4}，集合A={x|x2-x-6＜0}，集合B={x|-3＜x≤3}，求（∁U A）∩B．（2）当tanα=3，求sinα+cosα，cos2α-3sinαcosα的值．sinα−cosα28.已知集合A={x|x＜-1，或x＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．，求A∩B；（1）若p=12（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．29.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8-b＜x＜b}，M={x|x＜-1，或x＞5}，（1）若A∪M=R，求实数a的取值范围；（2）若B∪（∁R M）=B，求实数b的取值范围．30.全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．2018年一轮复习高中数学专项集合综合检测答案和解析【答案】1.D2.A3.B4.A5.C6.A7.A8.C9.B 10.D11.412.{x|-1＜x＜5}13.{1，2，3，6}14.{0，3}15.{0，13，15}16.{2，3}；{4，5，6，7}17.{x|0＜x≤3}；{x|x≤3}18.{-1，2}19.{-1，0}20.321.解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|-2＜x＜4}，则A∪B={x|-2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|-2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，解可得m＜-4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有m−1≤2m+3m−1＞−22m+3＜4，解可得-1＜m＜12，综上可得：m的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，12）．22.解：（Ⅰ）A={x|-1＜x＜3}，若B=∅，则2a-1≥a+1，解得a≥2，满足B⊆A，若B≠∅，则a＜2，要使B⊆A，只要a＜22a−1≥−1a+1≤3解得0≤a＜2，综上，实数a的取值范围是[0，+∞）；…（5分）（Ⅱ）由题意，−1＜f(x0)=4sin(2x0+π3)+1＜3，即−12＜sin(2x0+π3)＜12，∴2kπ−π6＜2x0+π3＜2kπ+π6，或2kπ+5π6＜2x0+π3＜2kπ+7π6，k∈Z，∴kπ−π4＜x0＜kπ−π12，或kπ+π4＜x0＜kπ+5π12，k∈Z．则实数x0取值的集合是{x0|kπ−π4＜x0＜kπ−π12，或kπ+π4＜x0＜kπ+5π12，k∈Z}．…（10分）23.解：（1）集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}，若A∩B=∅，则a+1≤2a−1≥−1即a≤1a≥0，解得：0≤a≤1，实数a的取值范围时[0，1]；（2）∵若A∪B=B，∴A⊆B则a+1≤-1或a-1≥2，解得：a≤-2或a≥3，则实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[3，+∞）．24.解：（1）由A={x|3≤x≤9}，B={x|2＜x＜5}，得A∪B={x|2＜x≤9}；（2）由B∩C=∅，B={x|2＜x＜5}，C={x|x＞a}，得a≥5，故实数a的取值范围是[5，+∞）．25.解：（1）a=2时，f（x）=|x-2|，问题转化为解不等式|x-13|+13|x-2|≥1，①x≥2时，x-1 3+13（x-2）≥1，x-1 3+13x-23≥1，解得：x≥32；②13＜x＜2时，x-1 3+13（2-x）≥1，解得：x≥1，故1≤x＜2；③x≤13时，13-x+13（2-x）≥1，解得：x≤0，综上，不等式的解集是：{x|x≤0或x≥1}；（2）|x-13|+13|x-a|≤x的解集包含[13，12]，∴x-13+13|x-a|≤x，故-1≤|x-a|≤1，解得：-1+a≤x≤1+a，故−1+a≤131+a≥12，解得：-12≤a≤43．26.解：（1）全集是实数集R，集合A={x|12≤x≤3}，当a=-4时，B={x||x|＜4}={x|-4＜x＜4}，A∩B={x|12≤x≤3}，A∪B={x|-4＜x＜4}；（2）∁R A={x|x＜12或x＞3}，且（∁R A）∩B=B，∴B⊆∁R A；当B=∅时，即a≥0，满足B⊆∁R；当B≠∅，即a＜0，B={x|a＜x＜-a}；要使B ⊆∁R A ，只需-a ≤12，解得-12≤a ＜0；综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥-12}．27.解：（1）由题意可知，A={x |-2＜x ＜3}，则∁U A=（-∞，-2]∪[3，4]，所以，（∁U A ）∩B={x |-3＜x ≤-2，x =3}．（2）因为tan α=3，由题意可知，sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3+13−1=2；因为cos 2α-3sin αcos α=cos 2α−3sinαcosαsin α+cos α=1−3tanαta n α+1，且tan α=3，所以，原式=1−3×332+1=-45．28.解：（1）当p =12时，B={x |0≤x ≤72}，∴A ∩B={x |2＜x ≤72}；（2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；令2p -1＞p +3，解得p ＞4，此时B=∅，满足题意；当p ≤4时，应满足 p +3≤22p−1≥−1，解得p 不存在；综上，实数p 的取值范围p ＞4．29.解：A={x |a ≤x ≤a +9}，B={x |8-b ＜x ＜b }，M={x |x ＜-1，或x ＞5}，（1）当A ∪M=R 时，应满足 a +9≥5a≤−1，解得-4≤a ≤-1，所以实数a 的取值范围是[-4，-1]；（2）∁R M={x |-1≤x ≤5}，B={x |8-b ＜x ＜b }，B ∪（∁R M ）=B ，∴∁R M ⊆B ，∴ b >58−b <−1，解得b ＞9；∴实数b 的取值范围是b ＞9．30.解：（1）∵A={x |3≤x ＜10}，B={x |2＜x ≤7}，∴A ∩B=[3，7]；A ∪B=（2，10）；（C U A ）∩（C U B ）=（-∞，3）∪[10，+∞）；（2）∵集合C={x |x ＞a }，∴若A ⊆C ，则a ＜3，即a 的取值范围是{a |a ＜3}．【解析】1. 解：∵A={x |0＜x ＜2}，B={y |y ≥0}，∴A ∪B={x |x ≥0}，A ∩B={x |0＜x ＜2}，则A ⊗B={0}∪[2，+∞）．故选D由集合A与集合B，找出既属于A又属于B的部分求出两集合的并集，找出两集合的公共部分求出两集合的交集，找出属于两集合并集但不属于两集合交集的部分，即可求出A⊗B．此题考查了交、并、补集的混合运算，属于新定义题型，弄清题中的新定义是解本题的关键．2. 解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0}，B={x|x-1≤0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选：A．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查函数性质、不等式的解法，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．3. 解：根据题意，x2+2x-3＜0⇒-3＜x＜1，则B={x|x2+2x-3＜0}=（-3，1），又由A={x|x＞-1}=（-1，+∞），则A∩B=（-1，1）；故选：B．根据题意，解x2+2x-3＜0可以求出集合B，进而结合集合A由集合交集的定义计算可得答案．本题考查集合交集的计算，关键是掌握集合的表示方法．4. 解：A={x|y=1−x}={x|x≤1}，B=y={y|y=2x+lna}={y|y＞lna}，则∁R B={y|y≤lna}，若A⊆∁R B，则lna≥1，解得：a≥e，则实数a的取值范围是[e，+∞），故选：A．分别求出关于A、B的不等式组，求出B的补集，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算，是一道基础题．5. 解：因为P={0，1，2}，Q={1，2}，所以a有3种选法，b有2种取法，根据乘法原理，可得P⊗Q中元素的个数是：3×2=6（个）．故选：C．根据定义，P⊗Q中元素为点集，且横坐标属于集合P，纵坐标属于集合Q，P、Q中的元素个数分别是3、2，根据乘法原理即可求出P⊗Q中元素的个数．此题主要考查了元素与集合关系的判断，以及乘法原理的运用，属于基础题．6. 解：A={x|x2-9≤0}={x|-3≤x≤3}，B={x|y=ln（-x2+x+12）}={x|x2-x-12＜0}={x|-4＜x＜3}，则A∩B={x|-3≤x＜3}，故选：A．求出A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．7. 解：由x-2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．由题意和函数的定义域求出集合B，由补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出A∩（∁R B）．本题考查交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域，属于基础题．8. 解：∵集合A={x|（x+2）（x-3）＜0}={x|-2＜x＜3}，N为自然数集∴A∩N={0，1，2}．故选：C．先求出集合A，由此利用交集的定义能求出A∩N．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．9. 解：∵集合A={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x∈R|z=x+i，|z|≥52，i是虚数单位}={x|x≥12或x≤−12}，∴A∩B={x|12≤x≤1}=[12，1]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此利用交集定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．10. 解：集合M={x|x29+y24=1}=[-3，3]，N={y|x3+y2=1}=R，则M∩N=[-3，3]，故选：D．根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11. 解：{1，2}的子集为：∅，{1}，{2}，{1，2}，共四个．故答案为：4．写出集合{1，2}的所有子集，从而得出该集合的子集个数．考查列举法表示集合，子集的概念，不要漏了空集∅．12. 解：∵集合A={x|x-2＜3}={x|x＜5}，B={x|2x-3＜3x-2}={x|x＞-1}，∴A∩B={x|-1＜x＜5}．故答案为：{x|-1＜x＜5}．分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．13. 解：∵集合A={1，2，6}，B={2，3，6}，∴A∪B={1，2，3，6}．故答案为：{1，2，3，6}．利用并集定义求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．14. 解：∵A*B={x|x∈A，或x∈B，但x∉B}，A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A*B={0，3}故答案为{0，3}由A*B={x|x∈A，或x∈B，但x∉B}，即是所得元素∈A∪B但∉A∩B，可求本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．15. 解：∵A={x|x2-8x+15=0}，∴A={3，5}又∵B={x|ax-1=0}，∴①B=Φ时，a=0，显然B⊆A②B≠φ时，B={1a}，由于B⊆A∴1a=3或5∴a=13或15故答案为：{0，13，15}本题的关键是由A={x|x2-8x+15=0}求出A的元素，再由B={x|ax-1=0}，若B⊆A，求出a值，注意空集的情况本题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．16. 解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}；∁U A={4，5，6，7}．故答案为：{2，3}，{4，5，6，7}．根据交集与补集的定义，写出A∩B和∁U A即可．本题考查了交集和补集的定义与应用问题，是基础题目．17. 解：由M中不等式变形得：-2≤x-1≤2，解得：-1≤x≤3，即M={x|-1≤x≤3}，由N中不等式变形得：2x＞1=20，解得：x＞0，即N={x|x＞0}，∴∁R N={x|x≤0}，则M∩N={x|0＜x≤3}，M∪∁R N={x|x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}；{x|x≤3}求出M与N中不等式的解集分别确定出M，求出M与N的交集，找出M与N补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18. 解：∵集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，∴A∩B={-1，2}，故答案为：{-1，2}根据已知中集合A={-1，2，3，6}，B={x|-2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案．本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．19. 解：A={x|x2+x≤0，x∈z}={x|-1≤x≤0，x∈z}={-1，0}，故答案为{-1，0}．A={x|x2+x≤0，x∈z}={x|-1≤x≤0，x∈z}，即可得出结论．本题考查不等式的解法，考查集合的表示，比较基础．20. 解：A∩B={3}，故3∈{x+1，x}，即x=2（舍去），x=3．故答案为：3根据交集的定义，列出方程求出x的值．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．21.（1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A∪B的值，由补集定义可得∁R A={x|x＜1或x＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁R A）∩B，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A⊆B，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②、当A≠∅时，有m−1≤2m+3m−1＞−22m+3＜4，分别求出m的取值范围，进而对其求并集可得答案．本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，（2）中注意A可能为空集．22.（Ⅰ）若B⊆A，分类讨论，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）由题意，−1＜f(x0)=4sin(2x0+π3)+1＜3，即可求实数x0取值的集合．本题考查集合的关系，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.（1）若A∩B=∅，则a+1≤2a−1≥−1，解不等式即可得到所求范围；（2）若A∪B=B，则A⊆B，则a+1≤-1或a-1≥2，解不等式即可得到所求范围．本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．24.（1）由并集的定义写出A∪B即可；（2）由B∩C=∅写出a的取值范围．本题考查了并集与交集的定义和应用问题，是基础题目．25.（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）问题转化为x-13+13|x-a|≤x，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．26.（1）化简a=-4时集合B，再写出A∩B与A∪B；（2）求出A的补集∁R A，再根据（∁R A）∩B=B得出B⊆∁R A；讨论B=∅和B≠∅时，求出a的取值范围．本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．27.（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，由全集U=R，求出A的补集，找出A 补集与B的交集即可．（2）利用同角三角函数基本关系式化简所求，结合已知即可得解．此题考查了交、并、补集的混合运算，考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．28.（1）求出p=12时集合B，再计算A∩B；（2）当A∩B=B时B⊆A，讨论p的取值范围，求出满足题意的p的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．29.（1）根据A∪M=R，得出关于a的不等式组，求出解集即可；（2）根据补集与并集的定义，列出关于b的不等式组，即可求出b的取值范围．本题考查了并集、交集与补集的定义和应用问题，是基础题目．30.（1）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）根据集合关系A⊆C，即可求a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．第11页，共11页。

2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检十一

单元质检十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2016山西榆社中学模拟)从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种2.(2016河北唐山一模)(x-2y)6的展开式中x4y2的系数为()A.15B.-15C.60D.-603.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种4.-的展开式中常数项等于()A.15B.10C.-15D.-105.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34C.35D.366.(2016山西大同高三期末)5名大学生分配到三个村庄任职,每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为()A.14B.35C.70D.1007.(2016河北张家口考前模拟)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为()A.56B.51C.87D.788.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于()A.112B.28C.-28D.-1129.(2016辽宁部分重点中学模拟)在2016年某高校艺术类考试中,共有6名考生参加,其中3名女生,3名男生,现这6名考生依次出场进行才艺展出,如果3名男生中任何两人都不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么这6名考生出场顺序的排法种数为() A.108 B.120 C.132 D.14410.已知a=2cos d x,则二项式的展开式中x的系数为()A.10B.-10C.80D.-8011.(2016山东淄博一模)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168 〚导学号37270607〛12.如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果,且从这周的第二天开始,每天所吃水果的个数与前一天相比,仅存在三种可能:或“多一个”或“持平”或“少一个”,那么小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A.50种B.51种C.140种D.141种〚导学号37270608〛二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2016山西太原四十八中高考模拟)-展开式中的常数项为.14.有4名优秀学生全部被保送到北京大学、清华大学、复旦大学,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有种.15.(2016河南商丘三模)若的展开式中各项的系数之和为81,且常数项为a,则直线y=x与曲线y=x2所围成的封闭区域的面积为.〚导学号37270609〛16.(2016江苏泰州月考)某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,则不同演出顺序的种数为.〚导学号37270610〛参考答案单元质检十一计数原理1.A解析从6个盒子中选出3个来装东西,有种方法,甲、乙都未被选中的情况有种方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16种,故选A.2.C解析因为(x-2y)6展开式的通项公式为T r+1=(-2)r x6-r y r,所以x4y2的系数为(-2)2=60,故选C.3.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.4.A解析-的展开式的通项公式为T r+1=·(-1)r·x12-3r,令12-3r=0,解得r=4,故常数项为=15.5.A解析(1)若从集合B中取元素2时,再从C中任取一个元素,则确定的不同点的个数为.(2)当从集合B中取元素1,且从C中取元素1,则确定的不同点有×1=.(3)当从B中取元素1,且从C中取出元素3或4,则确定的不同点有个.由分类加法计数原理,共确定不同的点有=33个.6.C解析由题意可知分两步,第一步,甲村庄恰有一名大学生有5种分法;第二步,另外四名大学生分为两组,共有=7种,再分配到两个村庄,有7×=14种不同的分法;故每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为5×14=70种. 7.A解析由题意可得,,解得n=8,又展开式的通项为T r+1=x8-r·x8-2r,令8-2r=-2,可得r=5.故的系数为=56.8.A解析∵(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,∴a6=(-2)2=4=112.9.C解析先排3名女生,3名女生之间(含两端)有4个空,从4个空中选3个排男生,共有=144种,若女生甲排在第一个,则3名女生之间(不含女生甲的左端,包含右边女生的右端)有3个空,有=12种,故满足条件的出场顺序有144-12=132种排法.10.D解析a=2cos d x=2sin=-2,则-,故T r+1=x2(5-r)-=(-2)r x10-3r.令10-3r=1,得r=3.故展开式中x的系数为(-2)3=-80.11.B解析由题意可知分两步,第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有=6种情况,排好后,有4个空位,第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选B.12.D解析因为第一天和第七天吃的水果数相同,所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同,都是0,1,2,3,共4种情况,所以共有=141种,故选D.13.70解析二项式-可化为--,可知常数项为分子中含x4的项为x4,故常数项为=70.14.36解析第一步从4名优秀学生选出2个组成复合元素共有种,再把3个元素(包含一个复合元素)保送到北京大学、清华大学、复旦大学有种,根据分步计数原理,不同保送方案共有=36种.15.解析∵的展开式中各项的系数之和为81,∴3n=81,解得n=4.∴的展开式的通项公式为T r+1=·2r·x4-2r,令4-2r=0,解得r=2.∴展开式中常数项为a=·22=24.∴直线y=4x与曲线y=x2所围成的封闭区域的面积为S=(4x-x2)d x=-.16.1 140解析分两类:第一类,A,B只有一个选中,则不同演出顺序有=960种情况;第二类:A,B同时选中,则不同演出顺序有=180种情况.故不同演出顺序的种数为960+180=1 140.。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习3.9高考模拟卷

122直线的倾斜角与斜率15.(2015辽宁沈阳一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题)若直线l:=1(a>0,b>0)经过点(1,2),则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是.解析:∵直线l:=1(a>0,b>0)经过点(1,2),∴=1.∴a+b=(a+b)=3+≥3+2,当且仅当b=a时上式等号成立.故直线在x轴,y轴上的截距之和的最小值为3+2.答案:3+2123直线的方程13.(2015辽宁大连二模,文15,直线的方程,填空题)已知圆O的方程是x2+y2-8x-2y+10=0,过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是.解析:圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=7,则圆心坐标为C(4,1),半径R=,若过点M(3,0)的弦最短,则弦以M(3,0)为中心,则此时CM垂直最短弦所在的直线,则CM的斜率k=--=1,则最短弦所在直线的斜率k=-1,即所求直线方程为y=-(x-3),即x+y-3=0.答案:x+y-3=0130与圆有关的最值问题9.(2015河南商丘一模,文9,与圆有关的最值问题,选择题)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,则由点(a,b)向圆C所作切线长的最小值是()A.2B.3C.4D.6解析:圆C:x2+y2+2x-4y+3=0化为(x+1)2+(y-2)2=2,圆的圆心坐标为(-1,2),半径为.圆C关于直线2ax+by+6=0对称,所以(-1,2)在直线上,可得-2a+2b+6=0,即a=b+3.点(a,b)与圆心的距离为-,所以点(a,b)向圆C所作切线长:----≥4,当且仅当b=-1时弦长最小,为4.答案:C131直线与圆的位置关系20.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文20,直线与圆的位置关系,解答题)如图,曲线C由上半圆C1:x2+y2=1(y≥0)和部分抛物线C2:y=x2-1(y≥0)连接而成,A,B为C1与C2的公共点(B在原点右侧),过C1上的点D(异于点A,B)的切线l与C2分别相交于M,N两点.(1)若切线l与抛物线y=x2-1在点D处的切线平行,求点D的坐标.(2)若点D(x0,y0)为动点时,求证∠MON恒为钝角.(1)解:设点D的坐标(a,b),由已知B(1,0),又y'=2x,所以切线l的斜率k=2,故=-,且a2+b2=1,解得a=-,b=,于是点D的坐标为-.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),由点D(x0,y0)知切线l方程为x0x+y0y=1,由-⇒y0x2+x0x-y0-1=0,显然Δ>0,有x1+x2=-,x1x2=-1-,所以x1x2+y1y2=x1x2+(-1)(-1)=x1x2+-()+1=x1x2+(x1x2)2-[(x1+x2)2-2x1x2]+1=-1-+1=-<0,由此可知<0,从而∠MON为钝角.4.(2015河南二模,文4,直线与圆的位置关系,选择题)过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是()A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+1=0D.x+y-3=0解析:将圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25,∴圆心坐标C为(3,4),∵M(1,2),∴k CM=--=1,∴k AB=-1,则此时直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.答案:D136椭圆的几何性质11.(2015河南开封二模,文11,椭圆的几何性质,选择题)已知a>b>0,椭圆C1的方程为=1,双曲线C2的方程为=1,C1与C2的离心率之积为,则C1,C2的离心率分别为()A.,3B.C.,2D.,2解析:a>b>0,椭圆C1的方程为=1,C1的离心率为-,双曲线C2的方程为=1,C2的离心率为, ∵C1与C2的离心率之积为,∴-.∴,则C1的离心率e1=-, 则C2的离心率e2=.答案:B16.(2015辽宁鞍山一模,文16,椭圆的几何性质,填空题)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x 轴上,左右焦点分别为F 1,F 2,且它们在第一象限的交点为P ,△PF 1F 2是以PF 2为底边的等腰三角形.若|PF 1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是 .解析:如图,设双曲线的半实轴长,半焦距分别为a 2,c ,椭圆的长半轴长为a 1,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则-⇒ -问题转化为已知1< -<2,求的取值范围.设 -=x ,则c= . ∵1<x<2,∴, 即 .故该椭圆的离心率的取值范围是. 答案:15.(2015河南六市联考一模,文15,椭圆的几何性质,填空题)过椭圆=1的中心任作一直线交椭圆于A ,B 两点,F 是椭圆的一个焦点,则△ABF 面积的最大值是 .解析:=1,a=5,b=4,c=3,如图,S △ABF =S △OBF +S △AOF ,则当直线与y 轴重合时,面积最大, 故最大面积为×3×8=12.答案:12137直线与椭圆的位置关系20.(2015辽宁沈阳一模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知椭圆C :=1(a>b>0),e=,其中F 是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,点A ,B 的中点横坐标为 ,且 =λ(其中λ>1).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求实数λ的值.解:(1)由条件可知c=1,a=2,故b 2=a 2-c 2=3,故椭圆的标准方程是=1.(2)由=λ ,可知A,B,F 三点共线,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时,设方程为y=k(x-1).由-消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①由①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k2+1)>0.所以-因为点A,B的中点横坐标为,所以x1+x2=,所以k2=.将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0,解得x=.又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ,λ=--,解得λ=.20.(2015辽宁大连二模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知定点F1(-1,0),F2(1,0),P为圆F1:(x+1)2+y2=8上一动点,点M满足()·=0,=λ(0≤λ≤1).(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)设点M坐标为(x,y),求证:|MF2|=x;(3)过点F2作直线l交C于A,B两点,求的值.(1)解:∵点M满足()·=0,∴()·()==0,即||=||.又=λ,∴F1,M,P三点共线,由题意知M在线段F1P上,∴|F1M|+|MP|=2.∴|F1M|+|MF2|=2,∴M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为2的椭圆,∴M的轨迹C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(x,y),|F1M|=-,又+y2=1,∴|F1M|=--|x-2|,∴-2≤x≤2,∴|MF2|=x.(3)解:①当直线l斜率不存在时,|AF2|=|BF2|=,∴=2.②当直线l斜率存在时,设直线l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与+y2=1联立得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得,x1+x2=,x1x2=-.由(2)问结论知|AF2|=x1,|BF2|=x2.∴--=--=2.综上,=2.20.(2015河南开封定位模拟,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上,且过点M(,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设点F(-2,0),T为直线x=-3上任意一点,过F作直线l⊥TF交椭圆C于P,Q两点.①证明:OT经过线段PQ中点(O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.解:(1)抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,∴椭圆C的一个焦点为F1(-2,0),即c=2,F2(2,0),且过点M(,1).∴a2=6,b2=2.故椭圆C的方程为=1,(2)①证明:F1(-2,0),T为(-3,m),直线PQ方程为x=my-2,-设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程组得(m2+3)y2-4my-2=0,Δ=16m2+8(m2+3)>0,∵y1+y2=,y1y2=-,∴x1+x2=m(y1+y2)-4=-.∵线段PQ中点M-,k OM=-.T为(-3,m),k OT=-,∴OT经过线段PQ中点M.②|TF|=,|PQ|=-,,当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立.此时最小,点T的坐标为(-3,1)或(-3,-1).20.(2015辽宁丹东二模,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)如图,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率是,A,B分别是C的上、下顶点,点B在直线l:y=-1上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆上异于A,B的任意一点,PQ⊥y轴于Q点,M为线段PQ中点,直线AM交直线l于点D,N为线段BD的中点,求证:MN⊥OM.(1)解:依题意,得,b=1,因为a2-c2=b2,所以a2=4,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设P(x0,y0)(x0≠0),则Q(0,y0),=1.因为M为线段PQ的中点,所以M,又A(0,1),所以直线AM的方程为y=-x+1,令y=-1,得D--,又B(0,-1),N为线段BD的中点,所以N--,所以----,所以--+y0(-1-y0)=--y0-=(1-)·--y0-1=0,所以,即MN⊥OM.20.(2015河南中原名校联盟模拟,文20,直线与椭圆的位置关系,解答题)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆(x-2)2+(y-2)2=相切.(1)求椭圆的方程;(2)设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A,B,与y轴交于点C,且AB中点与FC 的中点重合,求△AOB(O为坐标原点)的面积.解:(1)∵,可得a=c,∴b2=a2-c2=c2,∴椭圆的方程可化为=1.过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为y=x-c,∵此直线与圆(x-2)2+(y-2)2=相切,∴--,解得c=1,∴椭圆的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=k(x-1),C(0,-k),设FC的中点为M(x0,y0),可得M-.由--化为(2k2-1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=--.∴-,解得k2=.∴x1+x2=1,x1x2=-.则|AB|=-=--.点O到直线l的距离d=-.∴S△AOB=|AB|·d=.138双曲线的定义与标准方程10.(2015辽宁锦州一模,文10,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为()A.=1B.y2-=1C.-x2=1D.=1解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0, ∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,∴,∴b=2a.∵P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,∴|FF1|=3,∴c2+4=9,∴c=.∵c2=a2+b2,b=2a,∴a=1,b=2.∴双曲线的方程为y2-=1.答案:B7.(2015天津河北区一模,文7,双曲线的定义与标准方程,选择题)已知双曲线C的中心在原点,焦点在坐标轴上,P(1,2)是双曲线C上的点,且y=x是C的一条渐近线,则C的方程为()A.2x2-=1B.-x2=1C.-x2=1或2x2-=1D.-x2=1或x2-=1解析:由题意设双曲线方程为y2-2x2=λ(λ≠0),把点P(1,2)代入,得λ=2.故双曲线的方程为y2-2x2=2,即-x2=1.答案:B139双曲线的几何性质13.(2015辽宁沈阳一模,文13,双曲线的几何性质,填空题)若双曲线E的标准方程是-y2=1,则双曲线E的渐近线的方程是.解析:双曲线E的标准方程是-y2=1,则a=2,b=1,则渐近线方程为y=±x,即为y=±x.答案:y=±x13.(2015河南洛阳二模,文11,双曲线的几何性质,填空题)双曲线=1(b>0)的离心率为,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.解析:双曲线=1(b>0)的离心率为,即e=,解得b=2,所以双曲线的方程为y2-x2=4.所以焦点为(0,±2),渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点到渐近线的距离为d==2.答案:29.(2015河南洛阳一模,文9,双曲线的几何性质,选择题)设F1,F2分别是双曲线C:=1的左、右焦点,点P在此双曲线上,且PF1⊥PF2,则双曲线C的离心率P等于()A. B. C. D.解析:根据已知条件,得解得--∴a=1,c=.∴双曲线C的离心率为.答案:B10.(2015宁夏银川一中二模,文10,双曲线的几何性质,选择题)以双曲线=1的离心率为半径,以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切,则m的值为()A. B. C. D.解析:由题意知,a2=4,b2=m,c2=m+4.圆的半径等于右焦点(c,0)到其中一条渐近线y=x的距离,根据点到直线的距离公式,得R=.解得m=.答案:C3.(2015河南开封定位模拟,文3,双曲线的几何性质,选择题)已知双曲线4x2-3y2=12,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析:双曲线4x2-3y2=12可化为=1,所以a=,b=2,c=.故离心率e=.答案:B15.(2015河南商丘二模,文15,双曲线的几何性质,填空题)双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则双曲线的离心率为.解析:∵双曲线tx2-y2-1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,∴渐近线的斜率为,∴.∴e=.答案:5.(2015河南商丘一模,文5,双曲线的几何性质,选择题)若双曲线=1(a>0)的离心率为2,则a等于()A.2B.C.D.1解析:∵双曲线=1(a>0)的离心率为2,∴=2,解得a=1.答案:D5.(2015辽宁丹东二模,文5,双曲线的几何性质,选择题)双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,则C的离心率为()A. B. C. D.解析:双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,由题意可得,,即有c=a,故e=.答案:B4.(2015河南中原名校联盟模拟,文4,双曲线的几何性质,选择题)已知圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为,则实数m的值为()A.-1B.-2C.-3D.1解析:圆锥曲线mx2+y2=1为双曲线,即y2--=1,∵圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为,∴e2=1+-=2,∴m=-1.答案:A140抛物线的定义与标准方程4.(2015河南郑州一模,文4,抛物线的定义与标准方程,选择题)已知点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,焦点为F,|PF|=25,则|ab|=()A.100B.200C.360D.400解析:抛物线的准线方程为y=-5,|PF|=b+5=25,∴b=20.又点P(a,b)是抛物线x2=20y上一点,∴a2=20×20,∴a=±20.∴|ab|=400.答案:D11.(2015河南中原名校联盟模拟,文11,抛物线的定义与标准方程,选择题)已知点A-在抛物线C:x2=2py(p>0)的准线l1上,过点A作一条斜率为2的直线l2,点P是抛物线上的动点,则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是()A. B. C.2 D.2解析:由题意,抛物线的焦点为F(0,1),则直线l2的方程为2x-y-4=0,过点F作直线l2的垂线FH,垂足为H,则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P.由抛物线的定义可得,|PF|为点P到直线l1的距离,又|PH|为点P到直线l2的距离,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离d=-,所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是.答案:B141抛物线的几何性质4.(2015辽宁沈阳一模,文4,抛物线的几何性质,选择题)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A.(0,a)B.(a,0)C. D.解析:由题意知,y=4ax2(a≠0),则x2=y,所以抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是.答案:C5.(2015河南洛阳二模,文5,抛物线的几何性质,选择题)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=5,则|BF|=()A. B.1 C. D.2解析:抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x,y),则|AF|=x+1=5,故x=4,此时y=4,即A(4,4).则直线AF的方程为----,即y=(x-1).代入y2=4x,得4x2-17x+4=0,解得x=4(舍去)或x=,故|BF|=+1=.答案:C11.(2015辽宁鞍山一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x,若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|,则m的最大值为()A.3B.2C.D.解析:设P,由题意可得m2=-=1+≤1+=3,当且仅当y2=2时,等号成立.故m的最大值为.答案:C10.(2015辽宁大连一模,文10,抛物线的几何性质,选择题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=(x-1)与C交于A,B(A在x轴上方)两点,若=m,则m的值为()A. B. C.2 D.3解析:如图,联立-解得x1=3,x2=,∵A在x轴上方,∴x A=3,x B=.∴|AF|=x A+1=4,|BF|=x B+1=+1=,由=m,得m==3.答案:D6.(2015宁夏银川一中一模,文6,抛物线的几何性质,选择题)设M(x0,y0)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x0的取值范围是() A.(2,+∞) B.(4,+∞)C.(0,2)D.(0,4)解析:由条件以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,可得|FM|>4,由抛物线的定义|FM|=x0+2>4,所以x0>2.答案:A14.(2015宁夏银川一中二模,文14,抛物线的几何性质,填空题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p=.解析:设直线AB:y=x-,代入y2=2px,得3x2+(-6-2p)x+3=0,又∵,即M为A,B的中点.∴x B+-=2,即x B=2+,得p2+4p-12=0.解得p=2,p=-6(舍去).答案:211.(2015河南六市联考一模,文11,抛物线的几何性质,选择题)已知点A(0,2),抛物线C1:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶,则a的值等于()A. B. C.1 D.4解析:依题意F点的坐标为,设M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,∴|KM|∶|MN|=1∶.则|KN|∶|KM|=2∶1,k FN=--=-,k FN=-=-2,∴=2,解得a=4.答案:D15.(2015河南商丘一模,文15,抛物线的几何性质,填空题)若以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A,B 满足=2,则弦AB的中点到准线的距离为.解析:设BF=m,由抛物线的定义知AA1=2m,BB1=m,∴△ABC中,AC=m,AB=3m,∴k AB=2.直线AB的方程为y=2(x-1),与抛物线方程联立消y得2x2-5x+2=0,∴AB中点到准线距离为+1=.答案:142直线与抛物线的位置关系16.(2015辽宁锦州二模,文16,直线与抛物线的位置关系,填空题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,|AB|=x1+x2+p=p,即有x1+x2=p,由直线l倾斜角为60°,则直线l的方程为y-0=-,即y=x-p,联立抛物线方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1x2=,可得x1=p,x2=p,则=3.答案:39.(2015辽宁大连二模,文9,直线与抛物线的位置关系,选择题)设F为抛物线C:y2=2px的焦点,过F且倾斜角为60°的直线交曲线C于A,B两点(B点在第一象限,A点在第四象限),O为坐标原点,过A作C的准线的垂线,垂足为M,则|OB|与|OM|的比为()A. B.2 C.3 D.4解析:抛物线C:y2=2px的焦点F,准线为x=-,设直线AB:y=-,联立抛物线方程,消去x,可得y2-2py-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1=-p,y2=p,由M-,则|OM|=p,|OB|=p,即有|OB|=3|OM|.答案:C143轨迹与轨迹方程20.(12分)(2015哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学一模,文20,轨迹与轨迹方程,解答题)在平面直角坐标系xOy中,已知动圆过点(2,0),且被y轴所截得的弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C1的方程;(2)过点P(1,2)分别作斜率为k1,k2的两条直线l1,l2,交C1于A,B两点(点A,B异于点P),若k1+k2=0,且直线AB与圆C2:(x-2)2+y2=相切,求△PAB的面积.解:(1)设动圆圆心坐标为(x,y),半径为r,由题可知-∴动圆圆心的轨迹方程为y2=4x.(2)设直线l1的斜率为k,则l1:y-2=k(x-1),l2:y-2=-k(x-1),点P(1,2)在抛物线y2=4x上,联立--消去x得:ky2-4y+8-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),Δ>0恒成立,即(k-1)2>0,有k≠1,∴y1y P=-.∵y P=2,∴y1=-.代入直线方程可得:x1=-,同理可得x2=,y2=-,k AB=-------=-1,不妨设l AB:y=-x+b,∵直线AB与圆C2相切, ∴,解得b=3或1.当b=3时,直线AB过点P,舍去,当b=1时,由-可得x2-6x+1=0,此时Δ=32,∴|AB|==8,∴P到直线AB的距离d=,△PAB的面积为·d·|AB|=4.144圆锥曲线中的范围、最值问题20.(12分)(2015辽宁锦州二模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P-在椭圆上,且=0,☉O是以F1F2为直径的圆,直线l:y=kx+m与☉O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B.(1)求椭圆的标准方程;(2)当=λ,且满足≤λ≤时,求弦长|AB|的取值范围.解:(1)依题意,由=0,可得PF1⊥F1F2,∴c=1.将点P的坐标代入椭圆方程可得=1,又由a2=b2+c2,解得a2=2,b2=1,c2=1.∴椭圆的方程为+y2=1.(2)直线l:y=kx+m与☉O:x2+y2=1相切,则=1,即m2=k2+1.由直线l与椭圆交于不同的两点A,B,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=(4km)2-4×(1+2k2)(2m2-2)>0,化简可得2k2>1+m2,x1+x2=-,x1x2=-,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=--,=x1x2+y1y2==λ,,解得≤k2≤1,|AB|=-=2,设u=k4+k2,则≤u≤2,|AB|=2=2-,u∈,分析易得,≤|AB|≤.20.(12分)(2015辽宁锦州一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且△EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足=t(O为坐标原点),当||<时,求实数t的取值范围.解:(1)由题意知椭圆的离心率e=,∴e2=-,即a2=2b2.又△EGF2的周长为4即4a=4∴a2=2,b2=1.∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由-得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<.根据韦达定理得:x1+x2=,x1x2=-,∵=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x=,y=[k(x1+x2)-4k]=-,∵点P在椭圆C上,∴16k2=t2(1+2k2).∵||<,∴|x1-x2|<.∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<.∴(1+k2)--.∴(4k2-1)(14k2+13)>0.∴k2>,∴<k2<.∵16k2=t2(1+2k2),∴t2==8-.又<1+2k2<2,∴<t2=8-<4.∴-2<t<-或<t<2.∴实数t的取值范围为--.20.(12分)(2015河南郑州一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知动点P到定点F(1,0)和直线l:x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).(1)求曲线E的方程.(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ABCD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值,及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点P(x,y),由题意可得,--,整理可得+y2=1.∴曲线E的方程是+y2=1.(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=当m=0时,不合题意.当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切, 可得=1,即m2+1=n2.联立消去y得x2+2mnx+n2-1=0.Δ=4m2n2-4(n2-1)=2m2>0,x1=-,x2=--,所以x1+x2=-,x1x2=-,S四边形ACBD=|AB||x2-x1|=-=.当且仅当2|m|=,即m=±时等号成立,此时n=±.经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.20.(12分)(2015河南商丘一模,文20,圆锥曲线中的范围、最值问题,解答题)已知直线l的方程为y=x-2,又直线l过椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点D(0,1)的直线与椭圆C交于点A,B,求△AOB的面积的最大值.解:(1)∵a>b,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点.∵直线l与x轴的交点为(2,0),∴椭圆的焦点为(2,0),∴c=2.又∵e=,∴a=.∴b2=a2-c2=2.∴椭圆方程为=1.(2)直线AB的斜率显然存在,设直线AB方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3k2+1)x2+6kx-3=0,显然Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-.点D(0,1),|OD|=1,S△AOB=S△AOD+S△BOD=|OD||x1-x2|=-==--.令t=,则t∈(0,1],S△AOB=---,当t=1,即k=0时,△AOB的面积取到最大值.145圆锥曲线中的定值、定点问题18.(12分)(2015河南洛阳二模,文18,圆锥曲线中的定值、定点问题,解答题)设M是焦距为2的椭圆E:=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程;(2)已知椭圆E:=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处切线方程为=1,若P是直线x=2上任意一点,从P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证直线CD恒过定点,并求出该定点坐标.(1)解:设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则=1,即n2=b2·-,由k1k2=-,即=-,-=-,∴a2=2b2.即有-又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.即有椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明:设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两切线方程PC,PD分别为:+y1y=1,+y2y=1,由于P点在切线PC,PD上,故P(2,t)满足+y1y=1,+y2y=1,得x1+y1t=1,x2+y2t=1,故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,即x+ty=1为直线CD的方程.令y=0,则x=1,故CD过定点(1,0).。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习1.4高考模拟卷

第四章三角函数、解三角形诱导公式48同角三角函数的基本关系1.(2015黑龙江大庆二模,文2,同角三角函数的基本关系,选择题)sin α= 5,则sin 2α-cos 2α的值为( ) A.-1 B.-3 C.1 D.3解析:∵sin α= 5,∴cos 2α=1-sin 2α=4,则原式=1−4=-3.答案:B2.(2015甘肃张掖4月模拟,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知α为第二象限角,sin α+cos α= 33,则cos 2α= .解析:∵sin α+cos α= 33,两边平方得1+sin2α=13,∴sin2α=-23.①∴(sin α-cos α)2=1-sin2α=5.∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0. ∴sin α-cos α= 15.②∴cos2α=-(sin α-cos α)(sin α+cos α)= - 153 × 33=- 53. 答案:- 534.(2015山西太原二模,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知sin α+cos α= α∈ -π,π,则tan α= ( ) A.-1B.- 22C. 22D.1解析:把sin α+cos α= 2,①两边平方得(sin α+cos α)2=2, 即1+2sin αcos α=2, 所以2sin αcos α=1.所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=0, 即sin α-cos α=0.②①+②得2sin α= 即sin α=cos α= 2,则tan α=1. 答案:D4.(2015江西九江一模,文4,同角三角函数的基本关系,选择题)已知tan α=-3,则sin 2α=( ) A.1517B.-1517C.-817D.817解析:sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=2× -35 -352+1=-1517.答案:B5.(2015吉林三模,文5,同角三角函数的基本关系,选择题)已知α是第四象限角,且tan α=-3,则sin α=( ) A.-35 B.35 C.45 D.-45 解析:∵α是第四象限角,且tan α=-34,∴sin α<0,sin αcos α=-34,sin 2α+cos 2α=1,解得sin α=-3.答案:A6.(2015江西六校联考二模,文6,同角三角函数的基本关系,选择题)若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于 ( ) A.-75B.75C.-35 D.35解析:∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=13.∴cos2θ+sin2θ=cos 2θ-sin 2θ+2sin θcos θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ+2tan θ1+tan 2θ=1-19+231+19=75.答案:B13.(2015江西新余二模,文13,同角三角函数的基本关系,填空题)已知tan(3π-x )=2,则2cos 2x2-sin x -1= .解析:∵tan(3π-x )=-tan x=2,即tan x=-2,∴原式=cos x -sin x=1-tan x=1+2-2+1=-3. 答案:-33.(2015江西重点中学协作体一模,文3,同角三角函数的基本关系,选择题)已知x ∈ -π2,0 ,且cos x= 32,则tan 2x=( ) A. 3B.- 3C. 3D.- 3解析:∵x ∈ -π,0 ,且cos x= 3,∴sin x=- 1-cos 2x =-1,tan x=sin x=- 3. ∴tan2x=2tan x1-tan x=- 3. 答案:D7.(2015山西朔州怀仁一中一模,文7,同角三角函数的基本关系,选择题)若θ∈ 0,π,sin 2θ=2 2,则cos θ= ( ) A.2B.1C. 6D. 3解析:∵θ∈ 0,π,∴2θ∈ 0,π.∴由sin2θ=2 23,得cos2θ= 1-sin 22θ=13.∴cos θ= 1+cos2θ2= 1+132= 63.答案:C49诱导公式1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文3,诱导公式,选择题)sin 600°等于( ) A. 3B.1C.-1D.- 3解析:sin600°=sin(360°+180°+60°)=-sin60°=- 3. 答案:D3.(2015江西鹰潭二模,文3,诱导公式,选择题)若sin π-α = 2,则cos2π+2α =( )A.-5B.5C.-7D.7解析:∵sin π-α =2,∴cos π+α =cos π- π-α=sin π-α = 2.∴cos 2π+2α =2cos 2 π+α -1=2× 23 2-1=-59.答案:A3.(2015广西南宁一模,文3,诱导公式,选择题)已知sin π-x =3,则cos x +π等于( ) A.-4B.-3C.4D.3解析:cos x +π6 =sin π2- x +π6=sin π3-x =35. 答案:D4.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文4,诱导公式,选择题) 3−1=( )A.4B.2C.-2D.-4 解析:3cos10°−1sin170°= 3cos10°−1sin (180°-10°)= 3cos10°−1sin10°= 3sin10°-cos10°sin10°cos10°=2 32sin10°-12cos10°=2sin (10°-30°)=-2sin20°12·2sin10°cos10°=-4sin20°=-4. 答案:D3.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文3,诱导公式,选择题)已知角α终边与单位圆x 2+y 2=1的交点为P 1,y ,则sin π+2α =( ) A.-1B.1C.- 3D.1解析:由题意可得,cos α=1, 则sin π2+2α =cos2α=2cos 2α-1=2×14-1=-12.答案:A13.(2015江西三县部分高中一模,文13,诱导公式,填空题)已知sin π+α = 3,则sin 3π-α 的值为 .解析:∵ π4+α +3π4-α =π,sin(π-α)=sin α, ∴sin 3π-α =sin π- π+α =sin π+α .又sin π+α = 3,∴sin 3π-α = 3.答案: 350三角函数的定义域、值域、最值14.(2015黑龙江大庆一模,文14,三角函数的定义域、值域、最值,填空题)设函数f (x )=sin π2x +π3(x∈R ),若存在这样的实数x 1,x 2,对任意的x ∈R ,都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为 .解析:∵对任意x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2),∴f (x 1)和f (x 2)分别是函数的最大值和最小值. ∴|x 1-x 2|的最小值为函数的半个周期.∵T=2ππ2=4.∴|x 1-x 2|的最小值为2.答案:25.(2015江西南昌模拟,文5,三角函数的定义域、值域、最值,选择题)设函数f (x )=(sin x+cos x )2+1,若对任意x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,则|x 1-x 2|的最小值为( )A.2πB.πC.πD.π解析:由函数f (x )=(sin x+cos x )2+1=2+sin2x ,f (x 1)≤f (x )≤f (x 2),可得f (x 1)为函数的最小值,f (x 2)为函数的最大值,故|x 2-x 1|的最小值为半个周期,即1·2π=π. 答案:C17.(2015江西上饶一模,文17,三角函数的定义域、值域、最值,解答题)已知函数f (x )=cos π6-2x +cos 2x +π6 +sin 2x +π3 -sin π3-2x . (1)求函数f (x )在 0,π上的值域;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且f (A )=1,a=1,试求△ABC 的面积S 的最大值. 解:(1)因为函数f (x )=cos π6-2x +cos 2x +π6 +sin 2x +π3 -sin π3-2x=2sin 2x +π,又x ∈ 0,π2 ,所以2x+π3∈ π3,4π3 ,即f (x )的值域为[- 3,2].(2)由f (A )=2sin 2A +π3 =1⇒A=π4,又a=1,由余弦定理及均值不等式可得,b 2+c 2-2bc cos A=a 2≥2bc (1-cos A ) ⇒bc ≤2× 1-22 =1+ 22.所以S=1bc sin A ≤1× 1+ 2× 2=2+1.△ABC 的面积S 的最大值为 2+1.12.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文12,三角函数的定义域、值域、最值,选择题)设函数f (x )= 3sin πxm ,若存在f (x )的极值点x 0满足x 02+[f (x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意可得,f (x 0)=± 3,且πx0m =k π+π2,k ∈Z ,即x 0=2k +12m.再由x 02+[f (x 0)]2<m 2,可得当m 2最小时,|x 0|最小,而|x 0|最小为12|m|, 所以m 2>14m 2+3,即m 2>4.求得m>2,或m<-2. 答案:C51三角函数的单调性13.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文13,三角函数的单调性,填空题)函数y=1sin x+ 3cos x ,x ∈ 0,π 的单调递增区间是 .解析:化简可得y=sin x cos π+cos x sin π=sin x +π,由2k π-π≤x+π≤2k π+π,可得2k π-5π≤x ≤2k π+π,k ∈Z , 当k=0时,可得函数的一个单调递增区间为 -5π6,π6 ,由x ∈ 0,π2,可得x ∈ 0,π6.答案: 0,π68.(2015江西上饶重点中学二模,文8,三角函数的单调性,选择题)函数f (x )=cos 2 x -π的单调递增区间是( )A. -π3+kπ,π6+kπ (k ∈Z )B. π+kπ,2π+kπ (k ∈Z ) C. -π3+2kπ,π6+2kπ (k ∈Z ) D. π+2kπ,2π+2kπ (k ∈Z ) 解析:∵f (x )=cos 2x -π6 =1+cos 2 x -π6 2=1+1cos 2x -π ,∴2k π-π<2x-π3<2k π,k ∈Z ,可解得单调增区间是 -π3+kπ,π6+kπ ,k ∈Z .答案:A3.(2015甘肃兰州一中三模,文3,三角函数的单调性,选择题)函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( ) A. 0,π4B. -π,-π2C. 3π,2πD. -π,-π解析:f (x )=sin(-2x )=-sin2x ,由2k π+π≤2x ≤2k π+3π, 得k π+π4≤x ≤k π+3π4,取k=-1,得函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是 -3π4,-π4 ,而 -π,-π ⊂ -3π,-π,故选D .答案:D17.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文17,三角函数的单调性,解答题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且A ,B ,C 成等差数列.(1)若AB·BC=-3,b=3,求a+c的值;(2)求2sin A-sin C的取值范围.解:(1)∵A,B,C成等差数列,∴B=π.∵AB·BC=-3,∴ac cos(π-B)=-3.∴1ac=3,即ac=3.∵b=3,b2=a2+c2-2ac cos B,∴a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3.∴(a+c)2=12,∴a+c=23.(2)2sin A-sin C=2sin2π3-C -sin C=232cos C+12sin C -sin C=3cos C.∵0<C<2π,∴3cos C∈-3,3.∴2sin A-sin C的取值范围是-32,3.52三角函数的奇偶性、周期性和对称性9.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文9,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题)函数f(x)=2cos(ωx+φ),ω≠0,对任意x都有fπ+x =fπ-x ,则fπ等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或0解析:由函数f(x)=2cos(ωx+φ),ω≠0,对任意x都有fπ+x =fπ-x ,可得函数f(x)的图象关于直线x=π对称,故fπ=±2.答案:B4.(2015江西上饶二模,文4,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题)在函数①y=sin |2x|,②y=1-2sin2 x-π6,③y=tanx21-tan2x2,④y=tan x-π3中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②B.②③④C.②③D.③④解析:∵函数①y=sin|2x|不是周期函数,没有最小正周期,不满足条件;②y=1-2sin2 x-π6=cos2x-π3的最小正周期为2π2=π,满足条件;③y=tan x21-tan2x2=12tan x的最小正周期为π,满足条件;④y=tan x-π3的最小正周期为π1=π,满足条件.故②③④都满足条件.答案:B6.(2015江西鹰潭二模,文6,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题)下列关于函数f(x)=3cos 2x+tan x-π4的图象的叙述正确的是()A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线x=π4对称D.关于点π4,0对称解析:由2x=kπ+π,可得x=kπ+π,k∈Z,所以当k=0时,可得y=3cos2x的图象关于点π,0对称.同理由x-π4=kπ2,可得x=kπ2+π4,k∈Z,可得y=tan x-π4的图象关于点π4,0对称.所以函数f(x)=3cos2x+tan x-π4的图象关于点π4,0对称.答案:D13.(2015江西新八校联考一模,文13,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,填空题)已知f(x)=2cos(ωx+φ)+b,对于任意x∈R,f x+π=f(-x),且fπ=-1,则b=.解析:∵f x+π=f(-x),∴函数f(x)关于x=π对称.∵fπ=-1,∴2+b=-1,或-2+b=-1.∴b=-3或b=1.答案:-3或16.(2015山西太原山大附中高三月考,文6,三角函数的奇偶性、周期性和对称性,选择题)已知函数f(x)=a sin x-b cos x(ab≠0,x∈R)在x=π4处取得最大值,则函数y=fπ4-x 是()A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点3π2,0对称C.奇函数且它的图象关于点3π,0对称D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称解析:将已知函数变形f(x)=a sin x-b cos x=2+b2·sin(x-φ),其中tanφ=ba.又f(x)=a sin x-b cos x在x=π处取得最大值,所以π4-φ=π2+2kπ,k∈Z,得φ=-π4-2kπ,k∈Z.所以f(x)= a2+b2sin x+π.所以函数y=fπ4-x =2+b2π2-x =2+b2x.所以函数是偶函数且它的图象关于点3π,0对称.答案:By=A sin(ωx+φ)的图象及应用53三角函数的图象与变换1.(2015吉林省实验中学二模,文14,三角函数的图象与变换,填空题)将函数y=sin 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位,可得到函数y=sin2x+π的图象,则φ的最小值为.解析:将函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y=sin[2(x+φ)]=sin(2x+2φ), 得到函数y=sin2x+π4的图象,即2φ+2kπ=π4,解得φ=2kπ+π8,k∈Z.当k=0时,φmin=π.答案:π3.(2015江西上饶二模,文3,三角函数的图象与变换,选择题)把函数y=5sin2x-π6图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得函数的图象向右平移π3个单位,得到图象的解析式为()A.y=5cos xB.y=-5cos xC.y=5cos 4xD.y=-5cos 4x解析:把函数y=5sin 2x -π图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得函数的解析式为y=5sin x -π,再把所得函数的图象向右平移π3个单位,得到图象的解析式为y=5sin x -π3-π6 =5sin x -π2 =-5cos x.答案:B2.(2015广西柳州一模,文5,三角函数的图象与变换,选择题)设g (x )是将函数f (x )=cos 2x 向左平移π个单位得到的,则g π等于( )A.1B.-1C.0D.-1解析:将函数f (x )=cos2x 向左平移π个单位,得f x +π=cos2 x +π,即g (x )=cos2 x +π3,所以g π6 =cos2 π6+π3 =cos π=-1.答案:D8.(2015江西九江一模,文8,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f (x )=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移π个单位后得到g (x )=cos 2x +π,则φ的值为( )A.-2π3B.-π3C.π3D.2π3解析:∵函数f (x )=sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象向左平移π个单位后可得sin 2 x +π6 +φ=sin 2x +π+φ =cos 2x -π+φ =cos 2x +π6 =g (x ),∴-π6+φ=2k π±π6,k ∈Z .∵|φ|<π,∴可解得φ=π3.答案:C18.(2015江西吉安一模,文18,三角函数的图象与变换,解答题)已知f (x )=-4cos 2x+4 3a sin x cos x ,将f (x )的图象向左平移π4,再向上平移2个单位后,所得图象关于x=π12对称. (1)求实数a 和f (x )的最小正周期,并求f (x )在 -π,π 上的值域;(2)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边的长分别为a ,b ,c ,已知若f (A )=0,b=1,△ABC 的面积S= 3,求c 和sin C 的值.解:(1)∵f (x )=-4cos 2x+4 3a sin x cos x=2 3a sin2x-2cos2x-2,向左平移π,再向上平移2个单位后,得g (x )=2sin2x+2 cos2x ,又g (x )关于x=π12对称,从而可得g (0)=g π6 ,可得2 3a= 3+ 3a ,解得a=1.∴f (x )=4sin 2x -π6 -2. ∴f (x )的最小正周期为π.∵x ∈ -π6,π6 ,∴2x ∈ -π3,π3 ,2x-π6∈ -π2,π6 . ∴-1≤sin 2x -π≤1.∴f (x )在 -π6,π6 上的值域为[-6,0].(2)由f (A )=4sin 2A -π6 -2=0,得A=π6 A =π2舍去 , 又由S △ABC =1bc sin A= ,可得c=4由cos A= 32及余弦定理,可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=1+48-2×1×4 3× 32=37,a= 37,由正弦定理c sin C =a sin A ,可得sin C=12× 3 37=2 11137.15.(2015吉林三模,文15,三角函数的图象与变换,填空题)把函数f (x )= 3sin x cos x+1cos 2x 的图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位,得到函数g (x )=sin 2x 的图象,则φ的最小值为 . 解析:∵f (x )= 3sin x cos x+12cos2x= 32sin2x+12cos2x=sin 2x +π6 ,又f (x )向右平移φ(φ>0)个单位,得到函数g (x )=sin2x 的图象,∴sin 2(x -φ)+π =sin 2x +π-2φ =sin2x. ∴2φ-π=2k π.∴φ=k π+π,k ∈Z . ∴φ的最小值为π12.答案:π15.(2015广西梧州一模,文15,三角函数的图象与变换,填空题)函数f (x )=cos(2x+φ) |φ|<π2 的图象向左平移π个单位后关于原点对称,则当函数f (x )在 0,π上取得最小值时,x= . 解析:函数f (x )=cos(2x+φ) |φ|<π的图象向左平移π个单位后得到的函数解析式为y=cos 2 x +π6 +φ =cos 2x +π3+φ ,∵函数图象关于原点对称,∴可得π+φ=k π+π,k ∈Z . ∵|φ|<π2,∴可解得φ=π,即f (x )=cos 2x +π.由x ∈ 0,π2 ,得2x+π6∈ π6,7π6 .∴cos 2x +π6 ∈ -1, 32 ,即当2x+π6=π,即x=5π12时,函数f (x )=cos 2x +π6 在区间 0,π2 上取最小值为-1. 答案:5π124.(2015江西上饶一模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)如果两个函数的图象仅经过平移或对称变换后能够重合,则称这样的两个函数为“同胞函数”.现在给出下列函数:①f (x )=sin x cos x ;②f (x )= 2sin 2x+1;③f (x )=2sin -x +π4 ;④f (x )=sin x+ 3cos x.其中是“同胞函数”的有( ) A.①②B.①④C.②③D.③④解析:①f (x )=sin x cos x=1sin2x.②f (x )= 2sin2x+1.③f (x )=2sin -x +π.④f (x )=sin x+ 3cos x=2sin x +π.只有③④的振幅相同,不需要伸缩变换,且由三角函数的性质知,③④只需平移变换即可.答案:D5.(2015山西太原五中二模,文5,三角函数的图象与变换,选择题)将函数f (x )=sin(2x+θ) -π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P 0, 32 ,则φ的值可以是( ) A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析:函数f (x )=sin(2x+θ) -π<θ<π向右平移φ个单位,得到g (x )=sin(2x+θ-2φ),因为两个函数都经过P 0, 32 ,所以sin θ= 3-π<θ<π ,θ=π.所以g (x )=sin 2x +π3-2φ ,sin π3-2φ = 32,φ>1,所以π3-2φ=2kπ+π3,φ=-kπ,与选项不符,舍去,π3-2φ=2kπ+2π3,k∈Z,当k=-1时,φ=5π6.答案:B4.(2015甘肃兰州一中模拟,文4,三角函数的图象与变换,选择题)要得到函数y=sin 2x的图象,只需将函数y=cos2x-π的图象()A.向右平移π个单位长度B.向左平移π6个单位长度C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度解析:因为函数y=cos2x-π3=sin2x+π6,所以可将函数y=cos2x-π3的图象,沿x轴向右平移π12,得到y=sin2 x-π12+π6=sin2x,即函数y=sin2x的图象.答案:C10.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文10,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=cos 2x+1的图象向右平移π个单位,再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为()A.y=sin 2xB.y=sin 2x+2C.y=cos 2xD.y=cos2x-π4解析:把函数y=cos2x+1的图象向右平移π个单位,得y=cos2 x-π+1=cosπ-2x +1=sin2x+1, 再向下平移1个单位,得y=sin2x+1-1=sin2x.所以将函数y=cos2x+1的图象向右平移π4个单位,再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为y=sin2x.答案:A4.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=sin2x+π的图象向右平移π个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,所得新图象的函数解析式是()A.y=sin 4xB.y=sin xC.y=sin4x-πD.y=sin x-π解析:将函数y=sin2x+π6的图象向右平移π6个单位,可得y=sin2x-π3+π6=sin2x-π6,再纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到y=sin x-π6.答案:D7.(2015吉林实验中学六模,文7,三角函数的图象与变换,选择题)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位得到函数y=cos 2x的图象,再将函数y=f(x)的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=()A.-sin 4xB.cos 4xC.sin xD.-cos x解析:由题意可得,把函数y=cos2x的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)=cos2 x+π2=-cos2x的图象.再将函数y=f(x)=-cos2x的图象的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=-cos x的图象.答案:D3.(2015甘肃河西五地二模,文3,三角函数的图象与变换,选择题)函数y=sin(π-x)-1的图象()A.关于x=π对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x=π对称解析:由于函数y=sin(π-x)-1=sin x-1,当x=π时,函数取得最大值,故函数的图象关于直线x=π2对称.答案:A10.(2015甘肃兰州二诊,文10,三角函数的图象与变换,选择题)定义运算: a 1 a 2a 3 a 4=a 1a 4-a 2a 3,若将函数f (x )= 3 sin x 1 cos x 的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.5πB.πC.πD.2π解析:将函数f (x )= 3 sin x 1 cos x= 3cos x-sin x=2cos x +π6 的图象向左平移m (m>0)个单位长度后,所得图象对应的函数的解析式为y=2cos x +m +π. 再根据所得图象关于y 轴对称,可得m+π=k π,即m=k π-π6,k ∈Z , 则m 的最小值是5π.答案:A11.(2015甘肃庆阳一诊,文11,三角函数的图象与变换,选择题)已知函数f (x )=12sin 2x sin φ+cos 2x cos φ-12sin π2+φ (0<φ<π),将函数f (x )的图象向左平移π12个单位后得到函数g (x )的图象,且g π4 =12,则φ=( ) A.π6B.π4C.π3D.2π3解析:∵f (x )=12sin2x sin φ+cos φ cos 2x -12=1sin2x sin φ+1cos φcos2x =1cos(2x-φ),∴g (x )=12cos 2x +π6-φ .∵g π=1,∴2×π+π-φ=2k π,k ∈Z ,即φ=2π3-2k π,k ∈Z .∵0<φ<π,∴φ=2π3.答案:D4.(2015甘肃张掖一模,文4,三角函数的图象与变换,选择题)为了得到函数y=cos(2x+1)的图象,只需将函数y=cos 2x 的图象上所有的点( ) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度解析:∵y=cos(2x+1)=cos2 x +1 ,∴将函数y=cos2x 的图象上所有的点向左平移1个单位长度, 可得函数y=cos(2x+1)的图象. 答案:A54函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用1.(2015山西太原一模,文6,函数y=sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f (x )=sin ωx +π4(ω>0)的最小正周期为π,则函数f (x )的图象( )A.关于直线x=π4对称 B.关于直线x=π对称 C.关于点 π,0 对称D.关于点 π,0 对称解析:由函数f (x )=sin ωx +π4 ,ω>0的最小正周期为π,可得2πω=π,求得ω=2,f (x )=sin 2x +π . 由于当x=π8时,函数f (x )取得最大值为1,故函数f (x )的图象关于直线x=π8对称.答案:B2.(2015江西赣州一模,文11,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)如图是函数f (x )=A sin(2x+φ) A >0,|φ|≤π2 图象的一部分,对不同的x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)= 3,则φ的值为( ) A.π B.π C.π4D.π3解析:根据函数f (x )=A sin(2x+φ) A >0,|φ|≤π 图象的一部分,可得A=2,周期为2π=π,所以b-a=π.由f (x 1)=f (x 2),可得函数的图象关于直线x=x 1+x 22=a +b2对称,故a+b=x 1+x 2.由五点法作图可得2a+φ=0,2b+φ=π,所以a+b=π2-φ.结合f (a+b )=f π-φ =2sin(π-2φ+φ)=2sin φ=f (x 1+x 2)= 3, 可得sin φ= 32,所以φ=π3.答案:D3.(2015甘肃张掖4月模拟,文10,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)把函数y=sin x +π6 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再将图象向右平移π3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( )A.x=-πB.x=-πC.x=π8D.x=π4解析:y=sin x +π图象上各点的横坐标缩短到原来的1倍(纵坐标不变),得到函数y=sin 2x +π.再将图象向右平移π个单位,得函数y=sin 2 x -π+π=sin 2x -π,根据对称轴处一定取得最大值或最小值,可知x=-π是其图象的一条对称轴方程. 答案:A4.(2015贵州贵阳二模,文4,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)函数f (x )=sin x -π的图象的一条对称轴方程为( ) A.π3B.-π3C.π2D.5π6解析:对于函数f (x )=sin x -π ,令x-π=k π+π,k ∈Z ,求得x=k π+5π,k ∈Z ,即函数f (x )=sin x -π 的图象的对称轴方程为x=k π+5π,k ∈Z ,当k=0时,对称轴方程为x=5π.答案:D5.(2015黑龙江大庆一模,文5,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)将函数y=sin x 的图象上所有点向右平行移动π个单位长度,再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y=sin 2x -π10B.y=sin 2x -πC.y=sin x-π D.y=sin x 2-π10解析:将函数y=sin x 的图象上所有点向右平行移动π10个单位长度,可得函数y=sin x -π10 的图象.再把所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式y=sin 12x -π10. 答案:D9.(2015江西重点中学协作体二模,文9,函数y=A sin(ωx+φ)的图象及性质的应用,选择题)已知函数①y=sin x+cos x ,②y=2 2sin x cos x ,则下列结论正确的是( ) A.两个函数的图象均关于点 -π4,0 成中心对称 B.两个函数的图象均关于直线x=-π4对称 C.两个函数在区间 -π,π上都是单调递增函数D.可以将函数②的图象向左平移π个单位得到函数①的图象解析:∵函数①y=sin x+cos x= 2sin x +π4 ,②y=2 2sin x cos x= 2sin2x ,由于①的图象关于点 -π,0 成中心对称,②的图象不关于点 -π,0 成中心对称,故A 不正确. 由于函数①的图象不可能关于直线x=-π成轴对称,故B 不正确. 由于这两个函数在区间 -π,π上都是单调递增函数,故C 正确.由于将函数②的图象向左平移π个单位得到函数y= sin2 x +π,而y= 2sin2 x +π4 ≠ 2sin x +π4,故D 不正确.答案:C3.(2015江西红色六校二模,文3,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π和x=5π是函数f (x )=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4解析:因为直线x=π4和x=5π4是函数f (x )=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,所以T=2× 5π-π=2π.所以ω=1,并且sin π+φ 与sin5π+φ 分别是最大值与最小值,0<φ<π. 所以φ=π.答案:A11.(2015山西四校联考三模,文11,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f (x )=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 的部分图象如图所示,则y=f x +π6取得最小值时x 的集合为( )A. x x =kπ-π,k ∈ZB. x x =kπ-π,k ∈ZC. x x =2kπ-π,k ∈ZD. x x =2kπ-π3,k ∈Z 解析:由图可知,T 4=7π12−π3=π4,则T=π,所以ω=2π=2.由五点作图的第二点知,2×π3+φ=π2,所以φ=-π6.所以f (x )=sin 2x -π6 ,则y=f x +π=sin 2 x +π -π=sin 2x +π.由2x+π=-π+2k π, 得x=k π-π3,k ∈Z .所以y=f x +π6 取得最小值时x 的集合为 x x =kπ-π3,k ∈Z . 答案:B5.(2015江西三县部分高中一模,文5,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ) A >0,ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,则f (x )的解析式是( )A.f (x )=2sin 2x +π3B.f (x )=2sin x +π3C.f (x )=2sin 2x +πD.f (x )=2sin x +π解析:由图象知函数的最大值为2,即A=2,函数的周期T=47π6-2π3 =2π=2πω, 解得ω=1,即f (x )=2sin(x+φ), 由五点对应法知2π3+φ=π,解得φ=π3, 故f (x )=2sin x +π.答案:B12.(2015黑龙江绥化一模,文12,函数y=A sin(ωx+φ)图象及性质的应用,选择题)若函数f (x )=-sin 2ωx-6sin ωx cos ωx+3cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π,若对任意x ∈R 都有f (x )-1≤|f (α)-1|,则tan α的值为( ) A.3B.2C.-3D.-2解析:f (x )=-sin 2ωx-6sin ωx cos ωx+3cos 2ωx=-(sin 2ωx+cos 2ωx )-6sin ωx cos ωx+4cos 2ωx=-1-3sin2ωx+4×1+cos2ωx2=2cos2ωx-3sin2ωx+1= 13ωx 13ωx +1,设cos θ=13,sin θ= 13,则tan θ=32,则函数f (x )= 13cos(2ωx+θ)+1,θ为参数, 则函数的周期T=2π2ω=2π,则ω=12, 即f (x )=2cos x-3sin x+1= 13cos(x+θ)+1, 若对任意x ∈R 都有f (x )-1≤|f (α)-1|, 则f (α)为函数f (x )的最值, 即α+θ=k π,则α=-θ+k π, 则tan α=tan(-θ+k π)=-tan θ=-3.答案:C56含条件的求值、求角问题17.(2015江西新余二模,文17,含条件的求值、求角问题,解答题)已知两直线l 1:x cos α+12y-1=0;l 2:y=x sin α+π6 ,在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,a=2 3,c=4,且当α=A 时,两直线恰好相互垂直. (1)求A 值;(2)求b 和△ABC 的面积. 解:(1)当α=A 时,直线l 1:x cos α+12y-1=0,l 2:y=x sin α+π6 的斜率分别为:k 1=-2cos A ,k 2=sin A +π6 ,两直线相互垂直.所以k 1k 2=-2cos A sin A +π=-1,即cos A sin A +π=1.可得cos A sin A cos π6+cos A sin π6 =12. 所以 32sin A cos A+12cos 2A=12.所以 3sin2A+1 1+cos2A =1, 即 3sin2A+1+cos2A =1, 即sin 2A +π =1.因为0<A<π,0<2A<2π, 所以π6<2A+π6<13π6. 所以2A+π=5π. 所以A=π.(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,a=2 3,c=4,A=π, 所以a 2=b 2+c 2-2bc cos π3,即12=b 2+16-12·8b ,解得b=2.所以△ABC 的面积为S △ABC =12bc sin A=2 3.9.(2015江西新八校联考一模,文9,含条件的求值求角问题,选择题)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对边的边长,若cos A+sin A-2cos B +sin B =0,则a +bc 的值是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2解析:由cos A+sin A-2cos B +sin B=0,整理得(cos A+sin A )(cos B+sin B )=2,即cos A cos B+sin B cos A+sin A cos B+sin A sin B =cos(A-B )+sin(A+B )=2,所以cos(A-B )=1,sin(A+B )=1.所以A-B=0,A+B=π, 即A=B=π,C=π.利用正弦定理a sin A =b sin B =csin C =2R ,得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,则a+bc =2R sin A+2R sin B2R sin C=sin A+sin Bsin C =22+221=2.答案:B57两角和与差公式的应用1.(2015吉林省实验中学二模,文18,两角和与差公式的应用,解答题)已知函数f(x)=23sin x2+π4cos x2+π4-sin(x+π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移π个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.解:(1)∵f(x)=3sin x+π2+sin x=3cos x+sin x=212sin x+32cos x =2sin x+π3,∴f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移π个单位,得到函数g(x)的图象, ∴g(x)=f x-π=2sin x-π+π=2sin x+π6.∵x∈[0,π]时,x+π∈π,7π,∴当x+π=π,即x=π时,sin x+π=1,g(x)取得最大值2.当x+π6=7π6,即x=π时,sin x+π6=-12,g(x)取得最小值-1.2.(2015江西上饶重点中学一模,文3,两角和与差公式的应用,选择题)已知tan α=3,tan(α-β)=1,则tan β=()A.211B.-211C.2D.-2解析:∵tanα=3,tan(α-β)=tanα-tanβ=34-tanβ1+34tanβ=1,∴可解得tanβ=2.答案:A3.(2015广西柳州一中一模,文14,两角和与差公式的应用,填空题)已知sinπ6+α =35,π3<α<5π6,则cosα=.解析:∵已知sinπ+α =3,π<α<5π,∴π2<π6+α<π,cosπ6+α =-45.∴cosα=cosπ+α -π=cosπ+α cosπ+sinπ+α sinπ=-4×3+3×1=3-43.答案:3-4311.(2015贵州黔东南州一模,文11,两角和与差公式的应用,选择题)若函数f(x)=3sin2x+cos2x,其中x∈-π6,a ,若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是()A.-π6,π6B.-π6,π3C.π6,π2D.π6,5π6解析:化简可得f(x)=3sin2x2+cos2x2=sin 2x +π,∵x ∈ -π,a ,∴2x+π∈ -π,2a +π. ∵f (x )的值域是 -1,1 , ∴π≤2a+π≤7π,解得π≤a ≤π. 答案:C17.(2015吉林三模,文17,两角和与差公式的应用,解答题)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,设S 为△ABC 的面积,满足S= 34(a 2+c 2-b 2).(1)求B ;(2)若b= 3,设A=x ,y=( 3-1)a+2c ,求函数y=f (x )的解析式和最大值.解:(1)∵S=1ac sin B ,cos B=a 2+c 2-b2,S= 3(a 2+c 2-b 2),∴12ac sin B= 34·2ac cos B.∴tan B= 3.又B ∈(0,π),∴B=π3.(2)由(1)知B=π,△ABC 的内角和A+B+C=π, 又A>0,C>0,得0<A<2π3,由正弦定理,知a=b sin A = 3sin x sin π3=2sin x ,c=b sin C =2sin 2π-x , ∴y=( 3-1)a+2c=2( 3-1)sin x+4sin 2π3-x=2 3sin x+2 3cos x=2 6sin x +π 0<x <2π.故当x+π=π,即x=π时,y 取得最大值28.(2015江西红色六校一模,文8,两角和与差公式的应用,选择题)△ABC 的三个内角为A ,B ,C ,若3cos cos A -3sin A=tan 5π,则sin B ·sin C 的最大值为( )A.34B.1C.12D.2 解析:∵ 3cos cos A - 3sin A=tan 5π6,∴cos A=0.∵A ∈(0,π),∴A=π2.∴sin B ·sin C=sin B ·sin π2-B =sin B cos B=12sin2B ≤12,当且仅当B=π4时取等号.答案:C5.(2015江西景德镇二模,文5,两角和与差公式的应用,选择题)已知tan(α+β)=1,tan α-π=1,则tan β+π的值为( ) A.23B.12C.34D.45解析:因为tan(α+β)=1,tan α-π =1,所以tan β+π=tan (α+β)- α-π=tan (α+β)-tan α-π3 1+tan (α+β)tan α-π3=1-131+1×13=24=12.答案:B11.(2015广西梧州一模,文11,两角和与差公式的应用,选择题)已知α∈ π2,π ,且tan α+π4 =-17,则sin(2α-π)=( ) A.-2425 B.2425C.-2 5 D.2 5解析:tan α+π =-1,α∈ π,π ,可得1+tan α1-tan α=-17,解得tan α=-43.sin(2α-π)=-sin2α=-2tan α1+tan 2α=-2× -43 1+ -432=24.答案:B3.(2015江西新八校联考一模,文3,两角和与差公式的应用,选择题)sin 135°cos(-15°)+cos 225°sin 15°等于 ( ) A.- 32B.-12C.1D. 3 解析:原式=sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin(45°-15°)=sin30°=12.答案:C13.(2015江西上饶一模,文13,两角和与差公式的应用,填空题)已知sin π-x =3,则sin 2x 的值为 . 解析:sin2x=cos π-2x =1-2sin 2 π-x =7. 答案:7257.(2015江西红色六校二模,文7,两角和与差公式的应用,选择题)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则sin 2θ+π4 的值为( )A.-7 210B.7 210C.- 210D. 210解析:由题意可得,tan θ=2,sin 2θ+π= 2sin2θ+ 2cos2θ= 2·2sin θcos θ+cos 2θ-sin 2θ22= 2·2tan θ+1-tan 2θ2 = 22·4+1-44+1= 210. 答案:D5.(2015江西赣州兴国一模,文5,两角和与差公式的应用,选择题)已知角α在第一象限且cos α=3,则1+ 2cos 2α-π4 sin α+π2 等于( )A.2B.7C.14D.-2解析:因为角α在第一象限且cos α=3,利用sin 2α+cos 2α=1得到sin α=4,则原式=1+ 2cos 2α-π4sin α+π2=1+cos2α+sin2αcos α=2cos 2α+2sin αcos αcos α=2×(cos α+sin α)=2× 35+45 =145. 答案:C9.(2015吉林实验中学六模,文9,两角和与差公式的应用,选择题)已知α,β∈ 3π2,2π ,满足tan(α+β)-2tan β=0,则tan α的最小值是( )A.3 2B.- 24C.-3 24D. 24解析:∵tan(α+β)-2tan β=0,∴tan(α+β)=2tan β.∴tan α+tan β1-tan αtan β=2tan β.∴2tan αtan 2β-tan β+tan α=0.①∴α,β∈ 3π,2π .∴方程①有两负根,tan α<0. ∴Δ=1-8tan 2α≥0. ∴tan 2α≤1.∴tan α≤- 24.∴tan α的最大值是- 24.答案:B(二倍角)58三角函数式的化简、求值8.(2015江西鹰潭一模,文8,三角函数式的化简、求值,选择题)已知函数f (x )=a sin x- 3cos x 的一条对称轴为x=-π,且f (x 1)·f (x 2)=-4,则|x 1+x 2|的最小值为 ( ) A.π3B.π2C.2π3D.4π3解析:f (x )=a sin x- 3cos x=2+3sin(x+θ),由于函数的对称轴为x=-π,所以f -π6 =-12a-32.则 -1a -3 = a 2+3,解得a=1. 所以f (x )=2sin x -π3 .由于f (x 1)·f (x 2)=-4,所以函数必须取得最大值和最小值, 所以x 1=2k π+5π或x 2=2k π-π. 所以|x 1+x 2|=4k π+2π3. 当k=0时,最小值为2π3.答案:C16.(2015江西六校联考二模,文16,三角函数式的化简、求值,填空题)已知函数f (x )=12sin x- 32cos x (x ∈[a ,b ])的值域为 -12,1 ,设b-a 的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= . 解析:∵f (x )=1sin x- 3cos x=sin x -π ,值域为 -1,1 , ∴定义域一定在一个周期之内,且a 在最高点的左边,b 在最高点的右边,a ,b 至少有一点能使函数值为-12.令f (x )=sin x -π=-1,在原点附近的周期 -π+π,π+π内,可得x=-π或x=π,且最高点为x=π. 当a=-π3,b=π时,为最大值M=4π3,当a=π3,b=π时,为最小值m=2π3 或者a =-π3,b =π3时也能取得 ,∴M+m=2π.答案:2π14.(2015贵州贵阳二模,文14,三角函数式的化简、求值,填空题)已知tan α-π4 =13,则sin 2α的值等于 .解析:tan α-π=1=tan α-1,解得tan α=2.故sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan αtan 2α+1=45. 答案:46.(2015贵州贵阳一模,文6,三角函数式的化简、求值,选择题)已知sin 2α=1,则cos 2 α-π=( )A.3B.2C.4D.5解析:∵sin2α=1,∴cos2α-π4=1+cos 2α-π22=1+sin2α2=1+132=23.答案:B10.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文10,三角函数式的化简、求值,选择题)若cos2αsin α-π4=- 2,则cos α+sinα的值为( ) A.- 72B.-12C.12D. 72解析:∵cos2αsin α-π4=22 22(sin α-cos α)=- (sin α+cos α)=- 2,∴cos α+sin α=1.答案:C13.(2015甘肃兰州一模,文13,三角函数式的化简、求值,填空题)已知α∈ 0,π2 ,cos α=45,则sin(π-α)= .解析:∵cos α=45,α∈ 0,π2,∴sin(π-α)=sin α= 1-cos 2α=35.答案:360三角变换的综合问题17.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文17,三角变换的综合问题,解答题)已知函数f (x )=2 3sin x cos x+2cos 2x ,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间 0,π上的最大值和最小值;(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位,再向上平移1个单位,得到函数g (x )的图象,求g (x )的对称轴方程和对称中心坐标.解:(1)∵f (x )=2 3sin x cos x+2cos 2x= 3sin2x+1+cos2x ,∴f (x )=2sin 2x +π+1.∵x ∈ 0,π2 ,∴2x+π6∈ π6,7π6 . ∴f (x )的最大值为3.(2)∵f (x )=2sin 2x +π +1,将函数f (x )的图象向左平移π个单位,再向上平移1个单位,得到函数g (x )的图象,∴g (x )=2cos2x+2.∴由2x=k π,k ∈Z 可得对称轴为直线x=kπ2,k ∈Z .由2x=k π+π,k ∈Z 可得对称中心为 π+kπ,2 ,k ∈Z . 14.(2015甘肃河西五地一模,文14,三角变换的综合问题,填空题)若tan θ+1tan θ=4,则sin 2θ= .解析:若tan θ+=4,则sin2θ=2sin θcos θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=2tan θ+1tan θ=24=12.答案:11.(2015山西太原一模,文17,利用正弦定理、余弦定理解三角形,解答题)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的角A ,B ,C 所对的边,且c=2,C=π.(1)若△ABC 的面积等于 3,求a ,b ;(2)若sin C+sin(B-A )=2sin 2A ,求A 的值.解:(1)∵c=2,C=π,由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴4=a 2+b 2-ab.∵1ab sin π= 3,化为ab=4,联立 a 2+b 2-ab =4,ab =4,解得a=2,b=2.(2)∵sin C=sin(B+A ),sin C+sin(B-A )=2sin2A , ∴sin(A+B )+sin(B-A )=2sin2A , 2sin B cos A=4sin A cos A.当cos A=0时,解得A=π2.当cos A ≠0时,sin B=2sin A , 由正弦定理可得b=2a ,联立 a 2+b 2-ab =4,b =2a ,解得a=2 33,b=4 33,∴b 2=a 2+c 2.∴B=π.又C=π,∴A=π.综上可得A=π2或A=π6.2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文15,利用正弦定理、余弦定理解三角形,填空题)在△ABC 中,A=45°,AB=2,BC=3,则AC= . 解析:∵A=45°,AB=2,BC=3,∴由余弦定理可得BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB cos C ,即9=AC 2+4-4AC cos45°, 整理得AC 2-2 2AC-5=0.∴AC= 2− 7(舍去)或AC= 2+ 7. 答案: 2+ 73.(2015广西桂林、防城港联合调研,文5,利用正弦定理、余弦定理解三角形,选择题)已知a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边,若a=2 3,b=2 2,A=60°,则角B 等于( )。

2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷一

滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南商丘三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3},N={3,4,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.(2016山东实验中学检测)不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,33),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=x 13C.y=1x3D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∂x0∈R,x03−x02-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+1xC.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是()A.(0,4]B.32,4C.32,3D.32,+∞7.(2016山西孝义模拟)设函数f(x)=5x-m,x<1,2x,x≥1,若f f45=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.128.函数y=e sin x(-π≤x≤π)的大致图象为()9.(2016湖南高考冲刺卷)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.12C.1D.210.(2016四川,理5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg 2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=log214·f log214,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.(2016河北唐山二模)已知函数f(x)=xx-1+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2 〚导学号37270658〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.15.如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是.〚导学号37270659〛16.已知函数f(x)=x2+2x ,g(x)=12x-m.若∀x1∈[1,2],∂x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.〚导学号37270660〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.18.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?〚导学号37270662〛19.(12分)(2016河南平顶山二模摘选)已知函数f(x)=ln x-ax+b(a,b∈R),且对任意x>0,都x=0.有f(x)+f1x(1)求a,b的关系式;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且x1<x2,求a的取值范围.〚导学号37270663〛20.(12分)已知函数f(x)=e xax+x+1,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.〚导学号37270664〛21.(12分)(2016上海,理22)已知a∈R,函数f(x)=log21x+a .(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.〚导学号37270661〛22.(12分)(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).,e上有解,求实(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在1e数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).证:f'x1+x22〚导学号37270665〛参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.C解析由题意可画出Venn图如下,结合Venn图可知,集合{1,2}=M∩(∁U N),故选C.2.B解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B解析设幂函数解析式为y=xα,则33=3α,故α=1,即y=x13.故选B.4.D解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.5.C解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)内不是单调函数,故选C.6.C解析y=x2-3x-4= x-32−25.当x=0或x=3时,y=-4,故3≤m≤3.7.B解∵f f45=8,∴f(4-m)=8.若4-m<1,即3<m,可得5(4-m)-m=8,解得m=2,舍去.若4-m≥1,即m≤3,可得24-m=8,解得m=1.故选B.8.D解析取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;当0<x<π2时,y=sin x是增函数,y=e x也是增函数,故y=e sin x也是增函数,排除B,故选D.9.D解析∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(-1)=f(1)=1,f(-2017)=f(2017)=f(1)=1,∴f(-1)+f(-2017)=1+1=2.10.B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n>200,∴1.12n>200,两边取常用对数得n lg1.12>lg200,∴n>lg2-lg1.3≈0.30-0.11=3.8.∴n≥4,故选B.11.A解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)内单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0<logπ2<1,log214<0,即30.2>logπ2>log214,所以F(30.2)<F(logπ2)<F log214,即a<b<c.12.D解析可知f(x)=xx-1+sinπx=1+1x-1+sinπx.记g(x)=1x-1+sinπx,则当x∈[0,1)时,g(2-x)=12-x-1+sinπ(2-x)=11-x-sinπx=-1x-1+sinπx =-g(x),即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f(x)关于点(1,1)中心对称,故m+n=2.13.e2解析因为函数f(x)的导数为f'(x)=1x ,所以切线斜率k=f'(x0)=1x0,所以切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x0=2,解得x0=e2.14.1解析设f(x)=x3-6x2+9x-10,f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-6<0,极小值为f(3)=-10<0,故方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.15.1解析依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于1 0(x-x2)d x=23x32-13x3|1=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率是13.16. -52,+∞ 解析∀x 1∈[1,2],∂x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2+2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上的最小值.因为f'(x )=2x-2x 2=2(x 3-1)x 2≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2+2x 在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=12+2=3. 因为g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上单调递减,所以g (x )min =g (1)=1-m , 所以1-m ≤3,即m ≥-5.17.解(1)因为f (x+2)=-f (x ),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ).所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2=-2x-x 2, 又f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2, 所以f (x )=x 2+2x.又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f (x )是周期为4的周期函数,所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x 2-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-6x+8. (3)f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1. 又f (x )是周期为4的周期函数, 所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)=f (4)+f (5)+f (6)+f (7)=…=f (2008)+f (2009)+f (2010)+f (2011) =f (2012)+f (2013)+f (2014)+f (2015)=0. 所以f (0)+f (1)+f (2)+…+f (2015) =0. 18.解(1)连接OB ,因为AB=x cm,所以OA= 900-x 2cm .设圆柱的底面半径为r cm, 则 900-x 2=2πr ,即4π2r 2=900-x 2, 所以V=πr 2x=π·900-x 24π2·x=900x -x 34π,其中0<x<30.(2)由(1)知V=900x -x 34π(0<x<30),则V'=900-3x 24π.由V'=900-3x 24π=0,得x=10 3,可知V=900x -x 34π在(0,10 3)内是增函数,在(10 3,30)内是减函数.所以当x=10 3时,V 有最大值.19.解(1)令x=1,可得f (1)+f 11 =0,故f (1)=-a+b=0,即a=b.(2)由(1)可知f (x )=ln x-ax+ax ,且x>0,则f'(x )=1x -a-a x 2=-ax 2+x -ax 2. 令g (x )=-ax 2+x-a ,要使f (x )存在两个极值点x 1,x 2,则y=g (x )有两个不相等的正数根,因此,a >0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a <0 或a <0,12a>0,Δ=1-4a 2>0,g (0)=-a >0, 解得0<a<1或无解, 故a 的取值范围是0<a<1.20.解(1)当a=0时,函数f (x )=e x x +1的定义域为{x|x ∈R ,且x ≠-1},f'(x )=x e x(x +1)2.令f'(x )=0,得x=0.当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞). 故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.函数f (x )无极大值.(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下:由题意,函数g (x )=e xx 2+x +1-1.因为x 2+x+1= x +12 2+34>0,所以函数g (x )的定义域为R .求导,得g'(x )=e x (x 2+x +1)-e x (2x +1)(x 2+x +1)2=e x x (x -1)(x 2+x +1)2,令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1,当x:故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞). 当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0;当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e3-1.因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0.因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 27-1>0,所以函数g(x)在(1,+∞)内有且仅有一个x0,使得g(x0)=0, 故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).21.解(1)由log21x +5>0,得1x+5>1,解得x∈-∞,-14∪(0,+∞).(2)1+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.当a≠3且a≠4时,x1=1a-4,x2=-1,x1≠x2.x1是原方程的解当且仅当1x1+a>0,即a>2;x2是原方程的解当且仅当1x2+a>0,即a>1.于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)当0<x1<x2时,1x1+a>1x2+a,log21x1+a >log21x2+a ,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log21t +a -log21t+1+a ≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈12,1成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间12,1上单调递增,t=12时,y有最小值34a-12,由3a-1≥0,得a≥2.故a的取值范围为23,+∞.22.(1)解由f'(x)=2-2x+a,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f(x)=2ln x-x2+2x.由f(x)≥2x+m,得m≤2ln x-x2.∵不等式f(x)≥2x+m在1e,e上有解,∴m≤(2ln x-x2)max.令g(x)=2ln x-x2,则g'(x)=2-2x=-2(x +1)(x -1)x .∵x ∈ 1e ,e ,∴当g'(x )=0时,x=1.当1<x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1).(2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,∴ 2ln x 1-x 12+ax 1=0,2ln x 2-x 22+ax 2=0,∴a=(x 1+x 2)-2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2.又f'(x )=2-2x+a ,∴f' x 1+x22=412-(x 1+x 2)+a=4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2.下证4x 1+x 2−2(ln x 1-ln x2)x 1-x 2<0,即证2(x 2-x 1)12+ln x12<0.设t=x1x 2,∵0<x 1<x 2,∴0<t<1.即证μ(t )=2(1-t )t +1+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t )=1t −4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2,又0<t<1,∴μ'(t )>0,∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0,故4x 1+x 2−2(ln x1-ln x 2)x 1-x 2<0,x1+x2 2<0成立.即f'。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习1.2高考模拟卷

第二章函数概念与基本初等函数12函数的值域1.(2015广西柳州一中一模,文15,函数的值域,填空题)设函数f(x)=若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)=当x>2时,f(x)=2x+a,在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(4+a,+∞);当x≤2时,f(x)=x+a2,在(-∞,2]上为增函数,f(x)∈(-∞,2+a2].若f(x)的值域为R,则(-∞,2+a2]∪(4+a,+∞)=R,则2+a2≥4+a,即a2-a-2≥0,解得a≤-1或a≥2,则实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)16.(2015江西景德镇二模,文16,函数的值域,填空题)函数f(x)=lo x-log2x2,则函数f(x)在区间上的值域是.解析:函数的定义域为(0,+∞),则f(x)=lo x-log2x2=lo x-2log2x,设t=log2x,则函数等价为y=t2-2t=(t-1)2-1.当x∈,则t∈[-1,1],则-1≤y≤3,即函数的值域为[-1,3].答案:[-1,3]12.(2015广西南宁一模,文12,函数的值域,选择题)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是()A. B. C.[3,+∞) D.(0,3]解析:设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,由题意可知A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],所以--所以a≤.又a>0,所以0<a≤.答案:A16.(2015黑龙江绥化一模,文16,函数的值域,填空题)设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤k(k>0),则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“k度和谐函数”,[a,b]称为“k度密切区间”.设函数f(x)=ln x与g(x)=-在上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是.解析:∵函数f(x)=ln x与g(x)=-在上是“e度和谐函数”,∴对任意的x∈,都有|f(x)-g(x)|≤e,即有-≤e,即m-e≤ln x+≤m+e.令h(x)=ln x+,h'(x)=-当x>1时,h'(x)>0,当x<1时,h'(x)<0,当x=1时,h(x)取极小值1,也为最小值,∴h(x)在上的最小值是1,最大值是e-1.∴m-e≤1且m+e≥e-1,即-1≤m≤e+1.答案:-1≤m≤1+e13函数的解析式1.(2015广西柳州一模,文16,函数的解析式,填空题)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-e x]=e+1成立,则f(2)的值为.解析:设t=f(x)-e x,则f(x)=e x+t,则条件f[f(x)-e x]=e+1等价为f(t)=e+1,令x=t,则f(t)=e t+t=e+1,∵函数f(x)为单调递增函数,∴函数为一对一函数,解得t=1.∴f(x)=e x+1.∴f(2)=e2+1.答案:e2+18.(2015江西新余二模,文8,函数的解析式,选择题)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin xB.f(x)=C.f(x)=x cos xD.f(x)=x·--解析:依题意函数是奇函数,排除D,函数图象过原点,排除B,图象过,显然A不正确,C正确.答案:C14分段函数1.(2015吉林省实验中学二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-∈∈函数g(x)=a sin x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是() A.- B.C. D.解析:当x∈时,y=x,值域是;当x∈时,y=,y'=>0恒成立,故为增函数,值域为,则当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],g(x)=a sin x-2a+2(a>0),为增函数,值域是--.因为存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以[0,1]∩--≠⌀.若[0,1]∩--=⌀,则2-2a>1或2-<0,即a<或a>.所以a的取值范围是.答案:B2.(2015吉林省实验中学二模,文15,分段函数,填空题)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=-则f+f=.解析:函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=-则f+f=f-+f-=f-+f-=-f-f=---sin=-.答案:9.(2015江西上饶二模,文9,分段函数,选择题)已知函数f(x)=--若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数列,则实数a的取值范围是() A. B. C. D.解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,解得<a<.答案:C4.(2015江西红色六校一模,文4,分段函数,选择题)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=∈-∈则不等式f(x)≤的解集为()A.--B.--C.--D.解析:当x≥0时,若x∈,则πx∈,由不等式f(x)≤,可得cos πx≤,可得≤πx≤,即≤x≤,它的解集为.若x>,不等式f(x)≤,即2x-1≤,它的解集为.综上可得,当x≥0时,不等式的解集为,再根据f(x)为偶函数,可得在R上,不等式的解集为或--.答案:B12.(2015江西六校联考二模,文12,分段函数,选择题)已知f(x)=--若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为() A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,0)解析:函数f(x)=--的图象如图:|f(x)|的图象如图:因为|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,所以y=ax的图象应在y=|f(x)|的图象的下方,故斜率为负,或为0.当斜率为负时,排除答案A,C;当a=0时,y=0满足要求,排除D.答案:B5.(2015江西上饶三模,文5,分段函数,选择题)设f(x)=则f()=4,则f(3)=()A.2B.4C.6D.8解析:f(x)=f()=4,可得()t=4,解得t=4,所以f(3)=log4(9+7)=2.答案:A12.(2015广西梧州一模,文12,分段函数,选择题)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=-g(x)=-x2+4x-4(x≥0),若存在实数a,使得f(a)<g(b)成立,则实数b的取值范围是()A.(-1,1)B.-C.(-3,-1)∪(1,3)D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:∵f(x)为奇函数,且f(x)=-∴f(x)的图象关于原点对称(如图所示),当x>0时,f(1)取最大值,且为1;当x<0时,f(-1)最小,且为-1.∵g(x)为偶函数,且g(x)=-x2+4x-4(x≥0),∴g(x)的图象关于y轴对称(如图所示),且g(x)=-x2+4|x|-4.∵存在实数a,使得f(a)<g(b)成立,∴g(b)>-1,即-b2+4|b|-4>-1.∴b2-4|b|+3<0,即1<|b|<3.∴1<b<3或-3<b<-1.∴b的取值范围是(1,3)∪(-3,-1).答案:C9.(2015山西四校联考三模,文9,分段函数,选择题)已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图象为()解析:当x=0时,y=3,故排除A,D;当1-x≤1,即x≥0时,f(1-x)=31-x>0,故此函数在x>0时函数值为正,排除B.答案:C14.(2015江西赣州兴国一模,文14,分段函数)已知函数f(x)=--若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则a的取值范围为.解析:∵函数f(x)=--∴作出函数f(x)的图象如图所示.∵方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,∴函数y=f(x)的图象与y=a的图象有三个不同的交点.根据图象可知,a的取值范围为0<a<1.答案:0<a<110.(2015甘肃河西五地二模,文10,分段函数,选择题)设函数f(x)=--若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,1]解析:函数f(x)=--当m>0时,f(m)>f(-m),即为-ln m>ln m,即ln m<0,解得0<m<1;当m<0时,f(m)>f(-m),即为ln(-m)>-ln(-m),即ln(-m)>0,解得m<-1.综上可得,m<-1或0<m<1.答案:B13.(2015甘肃庆阳一诊,文13,分段函数,填空题)设f(x)=--则f(f(5))=.解析:由题意知,f(x)=--则f(5)=log24=2,∴f(f(5))=f(2)=22-2=1.答案:112.(2015甘肃张掖二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)解析:作出函数f(x)的图象如图,不妨设a<b<c,则-lg a=lg b=-c+6∈(0,1),ab=1,0<-c+6<1,故abc=c∈(10,12).答案:C15确定函数的单调性(或单调区间)6.(2015广西南宁一模,文6,确定函数的单调性(或单调区间),选择题)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是()A.y=ln xB.y=x2C.y=cos xD.y=2-|x|解析:y=ln x不是偶函数,排除A;y=cos x是周期函数,在区间(0,+∞)上不单调递减,排除C;y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,排除B.答案:D3.(2015贵州贵阳一模,文3,确定函数的单调性(或单调区间),选择题)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=lg |x|D.y=-x2+1解析:y=为奇函数,故排除A;y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,+∞)时,单调递增, 所以y=lg |x|在(0,+∞)上不单调,故排除C;y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减.答案:D16函数的最值1.(2015江西赣州一模,文16,函数的最值,填空题)设函数f(x)=min{2,|x-2|},其中min{a,b}=若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3的范围为.解析:作出函数f(x)的图象如下图所示:由-解得A(4-22),由图象可得,当直线y=m与f(x)图象有三个交点时,m的范围为0<m<2-2.不妨设0<x1<x2<2<x3,则由2=m得x1=,由|x2-2|=2-x2=m,得x2=2-m,由|x3-2|=x3-2=m,得x3=m+2,且2-m>0,m+2>0,所以x1+x2+x3=+(2-m)+(2+m)=+4,当m=0时,+4有最小值为4,当m=2-2时,+4有最大值8-2,所以x1+x2+x3的取值范围是(4,8-2.答案:(4,8-2)12.(2015江西鹰潭二模,文12,函数的最值,选择题)已知函数f(x)=ln,g(x)=e x-2,对于∀a∈R,∃b∈(0,+∞),使得g(a)=f(b)成立,则b-a的最小值为() A.ln 2 B.-ln 2 C.2-3 D.e2-3解析:不妨设g(a)=f(b)=m,即e a-2=ln=m,整理得a-2=ln m,b=2·-,故b-a=2·--ln m-2,(m>0),令h(m)=2·--ln m-2,h'(m)=2·-,易知h'(m)在(0,+∞)上是增函数,且h'=0,故h(m)=2·--ln m-2在m=处有最小值,即b-a的最小值为ln 2.答案:A12.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文12,函数的最值,选择题)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值是()A.2B.4C.8D.16解析:设A,B,C,D各点的横坐标分别为x A,x B,x C,x D,则-log2x A=m,log2x B=m,-log2x C=,log2x D=,所以x A=2-m,x B=2m,x C=-,x D=.所以a=|x A-x C|,b=|x B-x D|.所以------=2m·.又m>0,所以m+≥2=4(当且仅当m=2时等号成立).所以≥24=16.答案:D16.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文16,函数的最值,填空题)若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为.解析:由题意,f(x)==t+,显然函数g(x)=是奇函数.∵函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,∴M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,∴t=2.答案:217单调性的应用1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文4,单调性的应用,选择题)已知a=,b=log2,c=log32,则()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b解析:∵a=>1,b=log2<0,0<c=log32<1,∴a>c>b.答案:D16.(2015贵州黔东南州一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)在R上满足--=0(λ≠0),且对任意的实数x1≠x2(x1>0,x2>0)时,有-->0成立,如果实数t满足f(ln t)-f(1)≤f(1)-f,那么t 的取值范围是.解析:根据已知条件及偶函数,增函数的定义可知f(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,所以由f(ln t)-f(1)≤f(1)-f,得f(ln t)≤f(1).所以|ln t|≤1,-1≤ln t≤1.所以≤t≤e.所以t的取值范围为.答案:15.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文15,单调性的应用,填空题)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是.解析:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0,∴不等式f(x-2)≥0等价为f(|x-2|)≥f(1),即|x-2|≥1,即x-2≥1,或x-2≤-1,即x≥3或x≤1.故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}.答案:{x|x≥3或x≤1}11.(2015江西上饶二模,文11,单调性的应用,选择题)对于任意的x∈R,不等式2x2-a+3>0恒成立,则实数a的取值范围是()A.a<2B.a≤2C.a<3D.a≤3解析:先从2x2-a+3>0分离出参数a,即a<恒成立.下面只要求y=的最小值即可,令=t(t≥1),则x2=t2-1,∴y==2t+.∵y=2t+在[1,+∞)单调递增,∴当t=1时,y有最小值3.故a<3.答案:C16.(2015江西重点中学协作体二模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)为R上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数x,y满足f(x2-2x+9)+f(y2-2y)≤0,则的取值范围是.解析:∵函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称,∴f(x+3)=-f(3-x),即f(x+6)=-f(-x),即f(-x+6)=-f(x).∵f(x2-2x+9)+f(y2-2y)≤0,∴f(x2-2x+9)≤-f(y2-2y)=f[6-(y2-2y)].∵函数y=f(x)是定义在R上的增函数,∴x2-2x+9≤6-(y2-2y),化简配方得(x-)2+(y-1)2≤1.∴圆心为(,1),半径为1.的几何意义为圆上动点到原点的斜率,设k=,则y=kx,即kx-y=0,则满足圆心到直线的距离d=≤1,平方得k2-k≤0,解得0≤k≤,∴0≤.∴的取值范围是[0,].答案:[0,]16.(2015江西宜春高安四校一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,则实数b的取值范围是.解析:∵函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,∴cos x-b2≥sin2x-b-3≥-4.∴cos x-sin2x≥b2-b-3,且sin2x≥b-1.∵cos x-sin2x=-,sin2x∈[0,1],∴b2-b-3≤-,且b-1≤0.∴实数b的取值范围是-.答案:-21.(2015山西太原山大附中高三月考,文21,单调性的应用,解答题)已知函数f(x)的定义域(0,+∞),若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“一阶比增函数”;若y=在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“二阶比增函数”.把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A1,把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2.(1)已知函数f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈A1,且f(x)∉A2,求实数h的取值范围;(2)已知f(x)∈A2,且存在常数k,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<k,求k的最小值.解:(1)∵f(x)∈A1,且f(x)∉A2,即g(x)==x2-2hx-h在(0,+∞)上为增函数,∴h≤0.而F(x)==x--2h在(0,+∞)上不是增函数,且F'(x)=1+,当F(x)是增函数时,有h≥0,所以当F(x)不是增函数时,h<0,综上,h<0.(2)先证明f(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)成立,假设存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,记=m>0,因为f(x)∈A2,所以f(x)为“二阶比增函数”,即是增函数.所以当x>x0>0时,=m,即f(x)>mx2.所以一定存在x1>x0>0,使得f(x1)>m>k成立,这与f(x)<k对任意的x∈(0,+∞)成立矛盾,所以f(x)≤0对任意的x∈(0,+∞)都成立.再证明f(x)=0在(0,+∞)上无解,假设存在x2>0,使得f(x2)=0,∵f(x)为“二阶比增函数”,即是增函数,∴一定存在x3>x2>0,使得=0成立,这与上述的证明结果矛盾.所以f(x)=0在(0,+∞)上无解,综上所述,当f(x)∈A2时,对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0成立,所以当常数k≥0时,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<k;故k的最小值为0.11.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文11,单调性的应用,选择题)已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,且2a+b≤4,则的取值范围为()A. B. C. D.解析:已知函数f(x)=log a(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,而函数t=2x+b-1是R上的增函数,故有a>1.再根据t>0恒成立可得b≥1.又2a+b≤4,所以1≤b<2,2a≤3.所以1<a≤<1.所以<2,即的取值范围为.答案:A2.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文2,单调性的应用,选择题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f(0)=0,则f(x+1)>0的解集为() A.(1,+∞) B.(-1,1)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由f(x)的图象关于x=1对称,f(0)=0,可得f(2)=f(0)=0,当x+1≥1时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(2),由f(x)在[1,+∞)上单调递减,可得,x+1<2,解得x<1,即有0≤x<1, ①当x+1<1即x<0时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(0),由f(x)在(-∞,1)上单调递增,可得,x+1>0,解得x>-1,即有-1<x<0, ②由①②,可得解集为(-1,1).答案:B8.(2015吉林实验中学六模,文8,单调性的应用,选择题)已知函数f(x)=--满足对任意的实数x1≠x2都有--<0成立,则实数a的取值范围为() A.(-∞,2) B.-C.(-∞,2]D.解析:∵对任意的实数x1≠x2都有--<0成立,∴当x1<x2时,f(x1)>f(x2),可得函数f(x)是定义在R上的减函数,因此,①当x≥2时,函数f(x)=(a-2)x为一次函数且为减函数,有a<2.(*)②当x<2时,f(x)=-1也是减函数.同时,还需满足:2(a-2)≤-1,解之得a≤,再结合(*)可得实数a的取值范围是-.答案:B9.(2015黑龙江绥化一模,文9,单调性的应用,选择题)若不等式4x2-log a x<0对任意x∈恒成立,则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析:∵不等式4x2-log a x<0对任意x∈恒成立,∴x∈时,函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方,∴0<a<1.再根据它们的单调性可得4×≤log a,即log a≤log a,∴,∴a≥.综上可得,≤a<1.答案:A18奇偶性的判断1.(2015江西赣州一模,文5,奇偶性的判断,选择题)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析:由奇函数的定义:f(-x)=-f(x)验证:①f(|-x|)=f(|x|),故为偶函数;②f[-(-x)]=f(x)=-f(x),为奇函数;③-xf(-x)=-x·[-f(x)]=xf(x),为偶函数;④f(-x)+(-x)=-[f(x)+x],为奇函数.可知②④正确.答案:D3.(2015江西南昌模拟,文3,奇偶性的判断,选择题)在下列函数中.在[0,3]上是增函数且是偶函数的函数是()A.y=3x+3-xB.y=-|x-3|C.y=log2-D.y=cos x解析:y'=ln 3(3x-3-x),∵x∈[0,3],∴3x≥1,3-x≤1.∴y'≥0.∴该函数在[0,3]上是增函数,并且该函数是偶函数.∴A选项正确.设y=f(x),f(-1)=-4,f(1)=-2,显然该函数不是偶函数,∴B选项错误.设y=f(x),则f(-x)=log2-=-log2-=-f(x).∴该函数不是偶函数,∴C选项错误.y=cos x在[0,π]上是减函数,∴该函数在[0,3]上是减函数,∴D选项错误.答案:A2.(2015江西赣州兴国一模,文2,奇偶性的判断,选择题)设函数f(x)=3x+3-x,g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则()A.f(x)与g(x)均为奇函数B.f(x)与g(x)均为偶函数C.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数解析:∵定义在R上的函数f(x)=3x+3-x,∴f(-x)=3-x+3x=f(x).∴f(x)为偶函数.∵定义在R上的函数g(x)=3x-3-x,∴g(-x)=3-x-3x=-g(x).∴g(x)是奇函数.答案:D19奇偶性的应用1.(2015吉林省实验中学二模,文5,奇偶性的应用,选择题)下列函数是偶函数,且在[0,1]上单调递增的是()A.y=cosB.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|解析:y=cos=-sin x是奇函数,A选项不合题意;y=1-2cos22x不满足单调递增,B选项不合题意;y=-x2在[0,1]上单调递减,C选项不合题意;y=|sin(π+x)|=|sin x|是偶函数,在[0,1]上单调递增,D选项符合题意.答案:D2.(2015吉林省实验中学二模,文11,奇偶性的应用,选择题)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1,满足f[f(a)]=的实数a的个数为()A.2B.4C.6D.8解析:令f(a)=x,则f[f(a)]=变形为f(x)=;当x≥0时,f(x)=-(x-1)2+1=,解得x1=1+,x2=1-;∵f(x)为偶函数,∴当x<0时,f(x)=的解为x3=-1-,x4=-1+.综上所述,f(a)=1+,1-,-1-,-1+.当a≥0时,f(a)=-(a-1)2+1=1+,方程无解;f(a)=-(a-1)2+1=1-,方程有2解;f(a)=-(a-1)2+1=-1-,方程有1解;f(a)=-(a-1)2+1=-1+,方程有1解;故当a≥0时,方程f(a)=x有4解,由偶函数的性质,易得当a<0时,方程f(a)=x也有4解,综上所述,满足f[f(a)]=的实数a的个数为8.答案:D3.(2015甘肃张掖4月模拟,文16,奇偶性的应用,填空题)已知函数f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2a·g(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由已知得g(x)+h(x)=2x, ①所以g(-x)+h(-x)=2-x.又g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,所以-g(x)+h(x)=2-x.②①②联立解得h(x)=(2x+2-x),g(x)=(2x-2-x).代入不等式2a·g(x)-h(2x)≥0得:a(2x-2-x)-(22x+2-2x)≥0在[1,2]上恒成立.令t=2x-2-x∈,则22x+2-2x=t2+2.则原式可化为a≥,t∈恒成立.显然当t=时,右式取得最大值为,即a≥.答案:a≥12.(2015江西鹰潭一模,文12,奇偶性的应用,选择题)函数f(x)=x3+sin x+2x的定义域为R,数列{a n}是公差为d的等差数列,且a1+a2+a3+a4+…+a2 015<0,记m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 015),关于实数m,下列说法正确的是()A.m恒为负数B.m恒为正数C.当d>0时,m恒为正数;当d<0时,m恒为负数D.当d>0时,m恒为负数;当d<0时,m恒为正数解析:∵函数f(x)=x3+2x+sin x的定义域为R,是奇函数,且它的导数f'(x)=x2+1+cos x≥0,故函数f(x)在R上是增函数.∵数列{a n}是公差为d的等差数列,分3种情况讨论:①当d>0时,数列为递增数列,由a1+a2 015<0,可得a2 015<-a1,∴f(a2 015)<f(-a1)=-f(a1).∴2f(a1 008)=f(a1)+f(a2 015)<0.同理可得,f(a2)+f(a2 014)<0,f(a3)+f(a2 013)<0,….故m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 012)+f(a2 014)=f(a1)+f(a2 015)+f(a2)+f(a2 014)+f(a3)+f(a2 013)+…+f(a1 008)<0.②当d<0时,数列为递减数列,同理求得m<0.③当d=0时,该数列为常数数列,每一项都小于0,故有f(a n)<0,综上,有m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 014)+f(a2 015)<0.答案:A15.(2015黑龙江大庆一模,文15,奇偶性的应用,填空题)奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(3)=.解析:∵奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,∴f(3)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:-2.11.(2015江西宜春高安四校一模,文11,奇偶性的应用,选择题)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数.当x≥0时,f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.--B.--C.----D.(-3,-1)解析:作出f(x)=的图象如下,∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,∴x2+ax+b=0的两根分别为x1=,1<x2<或0<x1≤1,1<x2<.由韦达定理可得,x1+x2=-a;若x1=,1<x2<,则<-a<3,即-3<a<-.若0<x1≤1,1<x2<,则1<-a<,即-<a<-1.综上可得,-3<a<-或-<a<-1.答案:C3.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文3,奇偶性的应用,选择题)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2解析:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+,∴f(-1)=-f(1)=-2.答案:A12.(2015山西朔州怀仁一中一模,文12,奇偶性的应用,选择题)已知f(x)为奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1-2-,当x∈(-∞,-1],f(x)=1-e-1-x,若关于x的不等式f(x+m)>f(x)有解,则实数m的取值范围为()A.(-1,0)∪(0,+∞)B.(-2,0)∪(0,+∞)C.---∪(0,+∞)D.--∪(0,+∞)解析:若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],则f(-x)=1-2--=1-2,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=1-2=-f(x),则f(x)=2-1,x∈[-1,0].若x∈[1,+∞),则-x∈(-∞,-1],则f(-x)=1-e-1+x=-f(x),则f(x)=e-1+x-1,x∈[1,+∞),作出函数f(x)的图象如图:当m>0时,x+m>x,此时当x≥1时,不等式成立.当m<0时,x+m<x.①当x≥1时,有1+m≤x+m,不等式有解只需要1+m>0即可,解得m>-1;②当0≤x<1时,有m≤x+m<1+m,不等式有解,只需1+m>0即可,解得m>-1;③当-1<x<0时,有m-1<x+m<m,不等式有解,只需m>-1即可;④当x≤-1时,有x+m<m-1<-1,此时不等式一定无解.综上,m的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).答案:A11.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文11,奇偶性的应用,选择题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,不等式f(x)+xf'(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b解析:构造函数h(x)=xf(x),由函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数可得h(x)=xf(x)是R上的偶函数,因为当x∈(-∞,0)时,h'(x)=f(x)+xf'(x)<0,所以函数h(x)在x∈(-∞,0)时的单调性为单调递减函数.所以h(x)在x∈(0,+∞)时的单调性为单调递增函数.又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,从而h(0)=0,因为log3=-2,所以f=f(-2)=-f(2).又0<logπ3<1<30.3<30.5<2,所以h(logπ3)<h(30.3)<h(2)=f,即b<a<c.答案:B20周期性及其应用1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文6,周期性及其应用,选择题)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时有f(x)=2x,则f(2 015)=() A.-1 B.-2 C.1 D.2解析:∵f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x),∴周期为T=4.又函数为奇函数,∴f(2 015)=f(504×4-1)=f(-1)=-f(1)=-2.答案:B9.(2015贵州黔东南州一模,文9,周期性及其应用,选择题)设函数f0(x)=-sinx,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2 015(x)=()A.cos xB.-sin xC.sin xD.-cos x解析:由题意f0(x)=-sin x,f1(x)=f'0(x)=-cos x,f2(x)=f'1(x)=sin x,f3(x)=f'2(x)=cos x,f4(x)=f'3(x)=-sin x,由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从0开始计,周期是4, 因为2 015=4×503+3,所以f2 015(x)=f3(x)=cos x.答案:A4.(2015江西三县部分高中一模,文4,周期性及其应用,选择题)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2)时,f(x)=--,则f-=()A. B. C.- D.-解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(x)=f(x+2).∴f--.∵当x∈[0,2)时,f(x)=--,∴f=-1.∴f-=-.答案:D12.(2015吉林实验中学六模,文12,周期性及其应用,选择题)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:数列{x n}满足:x1=1,且对于任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+…+x2 015= () A.7 554 B.7 549 C.7 546 D.7 539解析:∵数列{x n}满足x1=1,且对任意n∈N*,点(x n,x n+1)都在函数y=f(x)的图象上,∴x n+1=f(x n).∴由图表可得x1=1,x2=f(x1)=3,x3=f(x2)=5,x4=f(x3)=6,x5=f(x4)=1.∴数列是周期为4的周期数列.∴x1+x2+…+x2 015=503(x1+x2+x3+x4)+x1+x2+x3=503×15+9=7 554.答案:A22指数函数的图象及应用14.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文14,指数函数的图象及应用,填空题)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边过直线x=1与曲线y=2x的交点,则cos 2θ=.解析:∵直线x=1与曲线y=2x的交点为(1,2),∴x=1,y=2,则r=,∴sin θ=.∴cos 2θ=1-2sin2θ=1-=-.答案:-23指数函数的性质及应用11.(2015甘肃兰州一中三模,文11,指数函数的性质及应用,选择题)已知函数f(x)=|2x-1|,f(a)>f(b)>f(c),则以下情况不可能发生的是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c解析:∵函数f(x)=|2x-1|,当x≤0时,函数f(x)=1-2x,f(x)递减;当x≥0时,函数f(x)=2x-1,f(x)递增.若f(a)>f(b)>f(c),则可能为a<b<c≤0,也可能为a<c≤0<b,且a<-b<c≤0,也可能为b<c≤0<a,且-a<b<c≤0,只有b<a<c不可能.答案:D5.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文5,指数函数的性质及应用,选择题)设x>0,且1<b x<a x,则()A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b解析:∵1<b x,∴b0<b x.∵x>0,∴b>1.∵b x<a x,∴>1.∵x>0,∴>1.∴a>b.∴1<b<a.答案:C5.(2014甘肃兰州二诊,文5,指数函数的性质及应用,选择题)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.x3>y3B.sin x>sin yC.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.解析:∵实数x,y满足a x<a y(0<a<1),∴x>y.对于A,当x>y时,x3>y3,恒成立;对于B,当x=π,y=时,满足x>y,但sin x>sin y不成立.对于C,若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2>y2不成立.对于D,若,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2<y2不成立.答案:A24对数的运算1.(2015江西赣州一模,文10,对数的运算,选择题)已知a=log42,b=log63,c=lg 5,则()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a解析:a=log42=,b=log63>log6,c=lg 5>,∵b-c=log63-lg 5=-lg 5=---=-=<0.∴b<c,故a<b<c.答案:A4.(2015贵州黔东南州一模,文4,对数的运算,选择题)已知正项等差数列{a n}满足:-a n+1-a n-1=0(n≥2),等比数列{b n}满足:b n+1·b n-1-2b n=0(n≥2),则log2(a n+b n)=()A.-1或2B.0或2C.1D.2解析:由-a n+1-a n-1=0(n≥2),得=a n+1+a n-1,∵{a n}是正项等差数列,∴=a n+1+a n-1=2a n.∴a n=2(n≥2).∵b n+1·b n-1-2b n=0(n≥2),∴b n+1·b n-1=2b n(n≥2).∵{b n}是等比数列,∴b n+1·b n-1==2b n(n≥2).∴b n=2(n≥2).∴log2(a n+b n)=log2(2+2)=log24=2.答案:D12.(2015江西红色六校一模,文12,对数的运算,填空题)已知数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则log3(a5+a7+a9)的值是.解析:∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1(n∈N*),∴3a n=a n+1.∴数列{a n}是等比数列.则公比为q=3.∵a2+a4+a6=9,∴a5+a7+a9=q3(a2+a4+a6)=27×9=35.则log3(a5+a7+a9)=log335=5.答案:53.(2015广西防城港、桂林一模,文3,对数的运算,选择题)已知4a=,lg x=a,则x=()A.10B.100C.D.1解析:∵4a=,∴a=.又lg x=a,∴x==1.答案:D26对数函数的性质及应用13.(2015甘肃张掖一模,文13,对数函数的性质及应用,填空题)已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:令t=x2-ax+a,则由函数f(x)=g(t)=lo t在区间[2,+∞)上为减函数,可得函数t在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0,故有-解得a≤4,故实数a的取值范围是a≤4.答案:a≤427幂函数的图象与性质8.(2015江西吉安一模,文8,幂函数的图象与性质,选择题)若幂函数f(x)的图象经过点,则函数g(x)=+f(x)在上的值域为()A. B.C. D.[0,+∞)解析:设f(x)=xα,∵f(x)的图象过点,∴3α=,解得α=-.∴f(x)=-.∴函数g(x)=+f(x)=-.当x∈时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=,∴函数g(x)在x∈上的值域是.答案:A9.(2015贵州贵阳二模,文9,幂函数的图象与性质,选择题)函数y=a x(a>0,a≠1)与y=x b的图象如图,则下列不等式一定成立的是()A.b a>0B.a+b>0C.a b>1D.log a2>b解析:由图象可知,a>1,b<0,故log a2>0,故log a2>b.答案:D1.(2015江西上饶重点中学一模,文12,函数图象的辨识,选择题)如图,圆x2+y2=1上一定点A(0,1),一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周,并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为α,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图象大致为()解析:当x由0→π时,t从-∞→0,且单调递增,当x由π→2π时,t从0→+∞,且单调递增,∴排除B,C,D.答案:A2.(2015黑龙江大庆二模,文10,函数图象的辨识,选择题)方程-lg(x2+y2-1)=0所表示的曲线图形是()解析:方程-lg(x2+y2-1)=0,即x=1(y≠0),或x2+y2=2(x≥1)表示一条直线x=1(去掉点(1,0))以及圆x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分.答案:D12.(2015江西吉安一模,文12,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=-的大致图象是()解析:∵f(-x)=----=-x-=-x---=-x---=-=f(x), ∴f(x)为偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,D.∵f'(x)=---,设g(x)=e2x-2x e x-1,∴g'(x)=2e x(e x-x-1)>0,∴g(x)>g(0)=0.∴f'(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除C.答案:B7.(2015吉林三模,文7,函数图象的辨识,选择题)现有三个函数:①y=-,②y=--,③y=---的图象(部分)如下:则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是() A.①②③ B.③①② C.③②① D.②①③解析:对于①,f(-x)=-=f(x),故①为偶函数,所以对应的图象为中间的图象.对于②,y=--,当x→+∞时,e x→+∞,e-x→0,所以当x→+∞时,y→+∞,所以对应的图象为最左边的图象.对于③,y=---=1-,当x→+∞时,e2x→+∞,所以当x→+∞时,y→+1,所以对应的图象为最右边的图象.所以按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是②①③.答案:D10.(2015江西景德镇二模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数y=---的图象大致为()解析:函数有意义,需使e x-e-x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D,因为y=----=1+-,所以当x>0时函数为减函数,故选A.答案:A8.(2015江西赣州兴国一模,文8,函数图象的辨识,选择题)如图中阴影部分的面积S是h的函数(其中0≤h≤H),则该函数的大致图象为()解析:∵当h=H时,对应阴影部分的面积为0,∴排除A与B.∵当h=时,对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半,且随着h的增大,S随之减小,减少的幅度不断变小,∴排除C.从而得到答案D.答案:D10.(2015山西太原五中二模,文10,函数图象的辨识,选择题)如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是()解析:由函数的图象可知,几何体具有对称性,选项A,B,D,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y,在中线位置前,都是先慢后快,然后相反.选项C,后面是直线增加,不满足题意.答案:C10.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=2x-4sin x,x∈-的图象大致是()解析:∵函数f(x)=2x-4sin x,∴f(-x)=-2x-4sin(-x)=-(2x-4sin x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.∴函数f(x)=2x-4sin x的图象关于原点对称,排除A,B,函数f'(x)=2-4cos x,由f'(x)=0得cos x=,故x=2kπ±(k∈Z),∴x=±时函数取极值,排除C.答案:D9.(2015甘肃庆阳一诊,文9,函数图象的辨识,选择题)函数y=的图象可能是()解析:函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,y==ln x,=-ln(-x),当x<0时,y=--此时函数图象与当x>0时函数y==ln x的图象关于原点对称.答案:B8.(2015黑龙江绥化一模,文8,函数图象的辨识,选择题)在同一个坐标系中画出函数y=a x,y=sin ax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是()解析:正弦函数的周期公式T=,∴y=sin ax的最小正周期T=.对于A,T>2π,故a<1,因为y=a x的图象是减函数,故错;对于B,T<2π,故a>1,而函数y=a x是增函数,故错;对于C,T=2π,故a=1,∴y=a x=1,故错;对于D,T>2π,故a<1,∴y=a x是减函数,故对.答案:D8.(2015甘肃张掖一模,文8,函数图象的辨识,选择题)函数y=x+cos x的大致图象是()解析:∵f(x)=x+cos x,∴f(-x)=-x+cos x.∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x).故此函数是非奇非偶函数,排除A,C.又当x=时,x+cos x=x,即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为,排除D.答案:B30函数图象的变换10.(2015甘肃河西五地一模,文10,函数图象的变换,选择题)定义行列式运算:=a1a4-a2a3.若将函数f(x)=--的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m的最小值是()A. B. C. D.解析:由定义的行列式运算,得f(x)=--=(-)×(-sin x)-1×cos x=sin x-cos x=2-=2sin-.将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后, 所得图象对应的函数解析式为y=f(x+m)=2sin-.由该函数为奇函数,得2sin-=0,所以m-=kπ(k∈Z),则m=kπ+(k∈Z).当k=0时,m有最小值.答案:C31函数图象的应用12.(2015贵州贵阳二模,文12,函数图象的应用,选择题)已知函数f(x)=--,g(x)=-,下列结论错误的是()A.函数f(x)的图象关于原点对称,函数g(x)的图象关于y轴对称B.在同一坐标系中,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C.函数g(x)的值域是[1,+∞)D.g(2x)=2f(x)g(x)在(-∞,+∞)恒成立解析:对于A,∵f(-x)=--=---=-f(x),∴函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称.同理,g(x)是偶函数,图象关于y轴对称, ∴A正确;对于B,∵f(x)-g(x)=---=-2-x<0,∴f(x)的图象在g(x)的图象下方,B正确;对于C,∵g(x)=--=1,当且仅当x=0时取“=”,∴g(x)的值域是[1,+∞),C正确;对于D,∵g(2x)=-,2f(x)g(x)=2·-----,∴只有当x=0时,g(2x)=2f(x)g(x),D错误.答案:D1.(2015山西太原一模,文9,函数零点所在区间的判断,选择题)已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:∵a>1,∴函数f(x)=a x+x-b为增函数.又0<b<1,∴f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0.∴函数f(x)=a x+x-b在(-1,0)内有零点.答案:B8.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文8,函数零点所在区间的判断,选择题)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是()A. B.(1,2)C. D.(2,3)解析:由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得0<b<1,f(1)=0,从而-2<a<-1,而g(x)=ln x+2x+a在定义域内单调递增,g=ln+1+a<0,由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,结合抛物线的对称轴得到0<-<1,解得-2<a<0,所以g(1)=ln 1+2+a=2+a>0.所以函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是.答案:C。

2018年高中文科数学优化设计第一轮复习1.12高考模拟卷

第十二章算法初步、复数167条件结构1.(2015甘肃张掖4月模拟,文4,条件结构,选择题)某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()A.f(x)=x2B.f(x)=sin xC.f(x)=e xD.f(x)=解析:∵A:f(x)=x2,C:f(x)=e x,不是奇函数,故不满足条件f(x)+f(-x)=0.又∵D:f(x)=的函数图象与x轴没有交点,故不满足条件f(x)存在零点.而B:f(x)=sin x既是奇函数,而且函数图象与x也有交点,故B:f(x)=sin x符合输出的条件.答案:B8.(2015江西重点中学协作体二模,文8,条件结构,选择题)执行如图的程序框图,如果输入的a=log32,b=log52,c=log23,那么输出m的值是()A.log52B.log32C.log23D.都有可能解析:由程序框图知:算法的功能是求a,b,c三个数中的最小数,由对数函数的性质可得log52<log32<1<log23,所以b<a<c.则输出m的值是log52.答案:A13.(2015甘肃河西五地一模,文13,条件结构,填空题)定义某种运算,S=a b的运算原理如图,则式子53+24=.解析:由框图知S=a b=--∴53+24=5×(3-1)+4×(2-1)=14.答案:14168循环结构1.(2015江西上饶重点中学一模,文5,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出s的值是()A. B. C. D.解析:模拟执行程序框图,可得i=1,s=1,i=2,s=,不满足条件i≥5,i=3,s=,不满足条件i≥5,i=4,s=,不满足条件i≥5,i=5,s=,满足条件i≥5,退出循环,输出s的值为.答案:B2.(2015山西太原一模,文5,循环结构,选择题)某程序框如图所示,若输出的S=57,则判断框内应为()A.k>6?B.k>5?C.k>4?D.k>3?解析:模拟执行程序,可得S=1,k=1,k=2,S=4,不满足条件,k=3,S=11,不满足条件,k=4,S=26,不满足条件,k=5,S=57,此时,应该满足条件,退出循环,输出S的值为57.故对比各个选项,判断框内应为k>4.答案:C3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文7,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,该程序运行后输出S 的值是()A.25B.55C.72D.110解析:模拟执行程序框图,可得此程序的功能是求i=1,3,5,7,9,11时,2i的值的和,故输出的S=2+6+10+14+18+22=72.答案:C4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文9,循环结构,选择题)已知实数x∈[0,8],执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于55的概率为()A. B. C. D.解析:设实数x∈[0,8],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2,经过第二循环得到x=2(2x+1)+1,n=3,经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4,此时输出x,输出的值为8x+7,令8x+7≥55,得x≥6,由几何概型得到输出的x不小于55的概率为:-.答案:A5.(2015广西柳州一模,文4,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x 的值为()A.33B.31C.29D.27解析:由程序框图知:当a=3时,第一次循环x=2×3+1=7,n=1+1=2;第二次循环x=2×7+1=15,n=2+1=3;第三次循环x=2×15+1=31,n=3+1=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出x=31.答案:B6.(2015广西柳州一中一模,文7,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则()A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6解析:模拟执行程序,可得S=1,k=1,不满足条件k>a,S=,k=2,不满足条件k>a,S=,k=3,不满足条件k>a,S=,k=4,由题意,此时满足条件4>a,退出循环,输出S的值为.答案:A7.(2015黑龙江大庆二模,文4,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,输出的T=()A.29B.44C.52D.62解析:执行程序框图,有S=3,n=1,T=2,不满足条件T>2S,S=6,n=2,T=8,不满足条件T>2S,S=9,n=3,T=17,不满足条件T>2S,S=12,n=4,T=29,满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为29.答案:A8.(2015江西赣州一模,文6,循环结构,选择题)某同学想求斐波那契数列0,1,1,2,…(从第三项起每一项等于前两项的和)的前10项的和,他设计了一个程序框图,那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是()A.b=c,i≤10B.c=a,i≤10C.b=c,i≤9D.c=a,i≤9解析:由题意,斐波那契数列0,1,1,2,…,从第三项起每一项等于前两项的和,分别用a,b来表示前两项,c 表示第三项,S为数列前n项和,故空白矩形框内应为b=c.第1次循环:a=0,b=1,S=0+1=1,i=3,求出第3项c=1,求出前3项和S=0+1+1=2,a=1,b=1,满足条件,i=4,执行循环;第2次循环:求出第4项c=1+1=2,求出前4项和S=0+1+1+2=4,a=1,b=2,满足条件,i=5,执行循环;…第8次循环:求出第10项c,求出前10项和S,此时i=10,由题意不满足条件,退出执行循环,输出S 的值.故判断框内应为i≤9.答案:C5.(2015贵州黔东南州一模,文5,循环结构,选择题)如图,如果输入a=3,那么输出的n值为()A.2B.4C.3D.5解析:模拟执行程序框图,可得a=3,P=0,Q=1,n=0,满足条件P≤Q,P=1,Q=3,n=1,满足条件P≤Q,P=4,Q=7,n=2,满足条件P≤Q,P=13,Q=15,n=3,满足条件P≤Q,P=40,Q=31,n=4,不满足条件P≤Q,退出循环,输出n的值为4.答案:B5.(2015山西太原二模,文5,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,若a=7.则输出的S=()A. B. C. D.解析:若a=7,模拟执行程序框图,可得第一次循环:1>7不成立,S=1+,k=2,第二次循环:2>7不成立,S=1+,k=3,第三次循环:3>7不成立,S=1+,k=4,第四次循环:4>7不成立,S=1+,k=5,第五次循环:5>7不成立,S=1+,k=6,第六次循环:6>7不成立,S=1+,k=7,第七次循环:7>7不成立,S=1+,k=8,满足条件8>7,退出循环,输出S=1+=1+1-+…+=2-.答案:B4.(2015江西鹰潭一模,文4,循环结构,选择题)如图所示程序框图的输出的所有值都在函数()A.y=x+1的图象上B.y=2x的图象上C.y=2x的图象上D.y=2x-1的图象上解析:依程序框图可知输出的点为(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),经验证可知四个点皆满足y=2x-1.答案:D7.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文7,循环结构,选择题)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的S为,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6B.n<6C.n≤6D.n≤8解析:模拟执行程序框图,可得S=0,n=2,满足条件,S=,n=4,满足条件,S=,n=6,满足条件,S=,n=8,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为,故判断框中填写的内容可以是n≤6.答案:C8.(2015吉林三模,文8,循环结构,选择题)已知执行如图所示的程序框图,输出的S=485,则判断框内的条件是()A.k<5?B.k≤5?C.k>7?D.k≤6?解析:模拟执行程序框图,可得k=1,S=1,满足条件,S=5,k=2,满足条件,S=17,k=3,满足条件,S=53,k=4,满足条件,S=161,k=5,满足条件,S=485,k=6,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为485,故判断框内的条件是k≤5?答案:B13.(2015江西上饶二模,文13,循环结构,填空题)已知程序框图如图,则输出的i=.解析:S=1,i=3不满足条件S≥100,执行循环体,S=1×3=3,i=3+2=5,不满足条件S≥100,执行循环体,S=3×5=15,i=5+2=7,不满足条件S≥100,执行循环体,S=15×7=105,i=7+2=9,满足条件S≥100,退出循环体,此时i=9.答案:96.(2015江西红色六校一模,文6,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-3,3],则输出的S属于()A.[-6,2]B.[-3,16]C.[-4,5]D.[-6,0]解析:若0≤t≤3,则不满足条件,输出S=t-3∈[-3,0],若-3≤t<0,则满足条件,此时t=2t2+1∈(1,19],此时不满足条件,输出S=t-3∈(-2,16],综上,S=t-3∈[-3,16].答案:B8.(2015江西六校联考二模,文8,循环结构,选择题)运行如图所示的程序框图,若输出结果为,则判断框中应该填的条件是()A.k>5B.k>6C.k>7D.k>8解析:由题意知,算法是求1++…+的和,由数列中的拆项求和得,1++…+=1+1-+…+=2-,由2-,得k=6,从判断框下面的执行框看,k=6还是要执行的,k>6时结束循环,输出S.答案:B6.(2015江西景德镇二模,文6,循环结构,选择题)执行以下程序框图,所得的结果为()A.1 067B.2 100C.2 101D.4 160解析:模拟执行程序,可得s=0,n=1,s=3,n=2,不满足条件n>10,s=9,n=3,不满足条件n>10,s=20,n=4,不满足条件n>10,s=40,n=5,不满足条件n>10,s=77,n=6,不满足条件n>10,s=147,n=7,不满足条件n>10,s=282,n=8,不满足条件n>10,s=546,n=9,不满足条件n>10,s=1 067,n=10,不满足条件n>10,s=2 101,n=11,满足条件n>10,退出循环,输出s的值为2 101.答案:C9.(2015广西南宁一模,文9,循环结构,选择题)如图所示的程序框图中输出的结果为()A.2B.-2C.D.-解析:程序在运行过程中,可得,当i=4时,a=2.此时应该结束循环体并输出a的值为2.答案:A5.(2015贵州贵阳二模,文5,循环结构,选择题)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于()A.18B.20C.21D.40解析:由程序框图知:算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值,∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9<15,S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.答案:B10.(2015黑龙江大庆一模,文10,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填()A.n≤7B.n>7C.n≤6D.n>6解析:当n=1时,S=0+3=3,a=3+2=5;当n=2时,S=3+5=8,a=5+2=7;当n=3时,S=8+7=15,a=7+2=9;当n=4时,S=15+9=24,a=9+2=11;当n=5时,S=24+11=35,a=11+2=13;当n=6时,S=35+13=48,a=13+2=15;当n=7时,S=48+15=63.此时有n=7>6,算法结束,所以判断框中的条件应填n>6,这样才能保证进行7次求和.答案:D16.(2015江西上饶三模,文16,循环结构,填空题)已知函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线与直线x+3y+2=0垂直.执行如图所示的程序框图,输出的k值是.解析:∵f(x)=x2-ax,∴f'(x)=2x-a.∴根据导数的几何意义,y=f(x)的图象在点A(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)=2-a.∵函数f(x)=x2-ax的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线x+3y+2=0垂直,∴(2-a)×-=-1,∴a=-1.∴f(x)=x2+x,∴.从而模拟程序运行,可得程序框图的功能是求S=+…+--+…+-=1-时k的值,可解得:k>14.答案:157.(2015广西梧州一模,文7,循环结构,选择题)如图所示,该程序框图的运算结果是()A.-4B.-7C.-10D.-13解析:模拟执行程序,可得S=2,x=2,S=4,不满足条件S≤-10,x=-1,S=3,不满足条件S≤-10,x=-4,S=-1,不满足条件S≤-10,x=-7,S=-8,不满足条件S≤-10,x=-10,S=-18,满足条件S≤-10,退出循环,输出x的值为-10.答案:C6.(2015江西新余二模,文6,循环结构,选择题)如图,给出的是计算+…+的值的程序框图,其中判断框内应填入的是()A.i≤2 021B.i≤2 019C.i≤2 017D.i≤2 015解析:根据流程图,可知第1次循环:i=2,S=;第2次循环:i=4,S=;第3次循环:i=6,S=……第1 008次循环:i=2 016,S=+…+;此时,i=2 018,设置条件退出循环,输出S的值.故判断框内可填入i≤2 016.对比选项,故选C.答案:C7.(2015贵州贵阳一模,文7,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,则输出的b=()A.7B.9C.11D.13解析:模拟执行程序框图,可得a=1,b=1,满足条件a≤4,b=3,a=2,满足条件a≤4,b=5,a=3,满足条件a≤4,b=7,a=4,满足条件a≤4,b=9,a=5,不满足条件a≤4,退出循环,输出b的值为9.答案:B8.(2015江西南昌零模,文8,循环结构,选择题)如图所示是一个算法的流程图,则输出p的值是()A. B. C. D.解:执行算法流程,有p=1,n=2,满足条件n<2 014,p=,n=3,满足条件n<2 014,p=,n=4,满足条件n<2 014,p=,n=5,满足条件n<2 014,p=,n=6,…满足条件n<2 014,p=×…×,n=2 014,不满足条件n<2 014,输出p的值为:.答案:B7.(2015江西重点中学协作体一模,文7,循环结构,选择题)计算机执行如图的程序框图设计的程序语言后,输出的数据是,则判断框内应填()A.n≤3B.n≤4C.n≤5D.n≤6解析:模拟执行程序框图,可得x=1,y=1,n=1,z=2,满足条件,x=1,y=2,n=2,z=3,满足条件,x=2,y=3,n=3,z=5,满足条件,x=3,y=5,n=4,z=8,满足条件,x=5,y=8,n=5,z=13,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出的值为,则判断框内应填:n≤4.答案:B8.(2015江西新八校联考一模,文8,循环结构,选择题)在求2+5+8+…+2 015的程序框图中(如图),正整数m的最大值为()A.2 015B.2 016C.2 017D.2 018解析:模拟执行程序框图,可得i=2,S=0,S=2,i=5,满足条件i<m,S=2+5=7,i=8,满足条件i<m,S=2+5+8=15,i=11,…满足条件i<m,S=2+5+…+2 012,i=2 015,满足条件i<m,S=2+5+…+2 015,i=2 018,由题意,此时不满足条件2 018<m,退出循环,输出S的值为2+5+…+2 015.答案:D3.(2015江西上饶一模,文3,循环结构,选择题)程序框图如下:如果上述程序运行结果S的值比2 015小,且使输出的S最大,那么判断框中应填入()A.K≤10B.K≥10C.K≤9D.K≥9解析:第一次循环时S=1×12=12,K=12-1=11;第二次循环时,S=12×11=132,K=11-1=10;第三次循环时,S=132×10=1 320,K=10-1=9;第四次循环时,S=1 320×9=11 880,K=9-1=8;此时,显然S>2 015,不符合题意,故应循环了三次,因此,循环三次后必须终止,所以判断框中应填入的为“K≤9”.答案:C6.(2015江西上饶重点中学二模,文6,循环结构)如图是某算法的程序框图,当输出的结果T>70时,正整数n的最小值是()A.3B.4C.5D.6解析:由程序框图知:第一次循环K=1,T=1;第二次循环K=2,T=4;第三次循环K=3,T=3×4+22=16;第四次循环K=4,T=4×16+23=72>70;∴跳出循环的T值为72,∴条件为K=4<n.故正整数n的最小值是4.答案:B6.(2015江西红色六校二模,文6,循环结构,选择题)阅读下边程序框图,为使输出的数据为30,则判断框中应填入的条件为()A.i≤4B.i≤5C.i≤6D.i≤7解析:所以当i≤4时,输出的数据为30.答案:A5.(2015江西宜春高安四校一模,文5,循环结构,选择题)若执行如图所示的程序框图,输出S的值为3,则判断框中应填入的条件是()A.k<6?B.k<7?C.k<8?D.k<9?解析:根据程序框图,故如果输出S=3,那么只能进行六次循环,故判断框内应填入的条件是k<8.答案:C8.(2015山西四校联考三模,文8,循环结构,选择题)如果执行如图的程序框图,那么输出的值是()A.2 016B.2C.D.-1解析:执行程序框图,可得S=2,k=0,满足条件k<2 016,S=-1,k=1,满足条件k<2 016,S=,k=2,满足条件k<2 016,S=2,k=3,满足条件k<2 016,S=-1,k=4,…观察可知S的取值周期为3,由2 016=672×3,满足条件k<2 016,S=,k=2 015,满足条件k<2 016,S=2,k=2 016,不满足条件k<2 016,退出循环,输出S的值为2.答案:B4.(2015江西赣州兴国一模,文4,循环结构,选择题)阅读如图程序框图,输出的结果是()A.i=3B.i=4C.i=5D.i=6解析:执行程序框图,有i=1,s=0,i=2,不满足条件i是奇数,s=5,满足条件s<12,i=3,满足条件i是奇数,s=8,满足条件s<12,i=4,不满足条件i是奇数,s=9,满足条件s<12,i=5,满足条件i是奇数,s=12,不满足条件s<12,输出i的值为5.答案:C6.(2015山西太原五中二模,文6,循环结构,选择题)已知实数x∈[1,10],执行如图所示的程序框图,则输出x的值不小于55的概率为()A. B. C. D.解析:设实数x∈[0,10],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2,经过第二次循环得到x=2(2x+1)+1,n=3,经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4,此时输出x,输出的值为8x+7.令8x+7≥55,得x≥6,.由几何概型得到输出的x不小于55的概率为:--答案:C10.(2015甘肃兰州一中模拟,文10,循环结构,选择题)执行如图程序框图,如果输入的正实数x与输出的实数y满足y=x,则x=()A. B. C. D.解析:第一次执行循环体后,n=2,y=,不满足输出条件,再次执行循环体后,n=3,y=,,再次执行循环体后,n=4,y=,满足输出条件,故=x,将A,B,C,D四个答案代入验证可得D答案符合要求.答案:D9.(2015甘肃兰州一中三模,文9,循环结构,选择题)如图是某算法的程序框图,若程序运行后输出的结果是27,则判断框①处应填入的条件是()A.n>2B.n>3C.n>4D.n>5解析:由框图的顺序,S=0,n=1,S=(S+n)n=(0+1)×1=1;n=2,依次循环S=(1+2)×2=6,n=3;n=3,依次循环S=(6+3)×3=27,n=4,此刻输出S=27.故判断框①处应填入的条件是n>3.答案:B8.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文8,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,若输出S=15,则框图中①处可以填入()A.n≥4?B.n≥8?C.n≥16?D.n<16?解析:第一次执行循环体后,S=1,n=2,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=3,n=4,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=7,n=8,不满足退出循环的条件;再次执行循环体后,S=15,n=16,满足退出循环的条件;故判断框中的条件应为n≥16?.答案:C3.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文3,循环结构,选择题)执行如图程序框图其输出结果是()A.29B.31C.33D.35解析:第一次执行循环体后,a=3,不满足输出条件,再次执行循环体后,a=7,不满足输出条件,再次执行循环体后,a=15,不满足输出条件,再次执行循环体后,a=31,满足输出条件,故输出结果为31.答案:B10.(2015吉林长春实验中学三模,文10,循环结构,选择题)程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是()A. B.-3 C.- D.2解析:模拟执行程序框图,可得S=2,i=1,满足条件i≤2 014,S=-3,i=2,满足条件i≤2 014,S=-,i=3,满足条件i≤2 014,S=,i=4,满足条件i≤2 014,S=2,i=5,满足条件i≤2 014,S=-3,i=6,…观察可得S的取值周期为4,由2 014=503×4+2,可得,满足条件i≤2 014,S=-3,i=2 014,满足条件i≤2 014,S=-,i=2 015,不满足条件i≤2 014,退出循环,输出S的值为-.答案:C14.(2015山西朔州怀仁一中一模,文14,循环结构,填空题)执行如图所示的程序框图,若输入p的值为31,则输出的k的值为.解析:故S=15时,满足条件S<p,S=31时,不满足条件S<p,故输出的k的值为5.答案:55.(2015吉林实验中学六模,文5,循环结构,选择题)执行如图所示的程序框图,输出的T=()A.29B.44C.52D.62解析:执行程序框图,有S=3,n=1,T=2,不满足条件T>2S,S=6,n=2,T=8,不满足条件T>2S,S=9,n=3,T=17,不满足条件T>2S,S=12,n=4,T=29,满足条件T>2S,退出循环,输出T的值为29.答案:A15.(2015甘肃河西五地二模,文15,循环结构,填空题)当输入的实数x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是.解析:设实数x∈[2,30],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2,经过第二次循环得到x=2(2x+1)+1,n=3,经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4,此时输出x,输出的值为8x+7,令8x+7≥103,得x≥12,.由几何概型得到输出的x不小于103的概率为P=--答案:8.(2015甘肃兰州一模,文8,循环结构,选择题)如图所示的程序的输出结果为s=132,则判断框中应填()A.i≥10?B.i≥11?C.i≤11?D.i≥12?解析:由题意,s表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积,由于12×11=132,故此循环体需要执行两次,所以每次执行后i的值依次为11,10.由于i的值为10时,就应该退出循环,再观察四个选项,B符合题意.答案:B8.(2015甘肃庆阳一诊,文8,循环结构,选择题)执行如图所示程序框图所表达的算法,若输出的x值为48,则输入的x值为()A.3B.6C.8D.12解析:模拟程序的执行情况如下:x=2x,n=1+1=2,满足n≤3,执行循环体;x=2×(2x)=4x,n=2+1=3,满足n≤3,执行循环体;x=2×(4x)=8x,n=3+1=4,不满足n≤3,退出循环体,由8x=48即可得x=6.则输入的x值为6.答案:B6.(2015甘肃张掖二模,文6,循环结构,选择题)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为()A.3B.4C.5D.6解析:该程序框图是循环结构,经第一次循环得到i=1,a=2;经第二次循环得到i=2,a=5;经第三次循环得到i=3,a=16;经第四次循环得到i=4,a=65,满足判断框的条件,输出4.答案:B10.(2015甘肃张掖一模,文10,循环结构,选择题)某程序框图如图所示,则输出的n的值是()A.21B.22C.23D.24解析:执行程序框图,有p=1,n=2,第1次执行循环体,有n=5,p=11,不满足条件p>40,第2次执行循环体,有n=11,p=33, 不满足条件p>40,第3次执行循环体,有n=23,p=79, 满足条件p>40,输出n的值为23.答案:C170条件语句5.(2015江西吉安一模,文5,条件语句,选择题)阅读程序图,如果输入x=π,则输出结果y为() INPUT xIF x<0THENy=2sin x÷3ELSEIF x>0THENy=2cos x-3ELSEy=0END IFEND IFPRINT yA.3B.0C.-3D.-5解析:模拟执行程序框图可得其功能为求分段函数y=-的值,∵x=π>0,∴y=2cos π-3=-2-3=-5.答案:D1.(2015江西上饶重点中学一模,文1,复数的有关概念,选择题)已知i为虚数单位,a∈R,若a2-1+(a+1)i 为纯虚数,则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由a2-1+(a+1)i为纯虚数,得-解得a=1.∴z=a+(a-2)i=1-i.则复数z=a+(a-2)i在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.答案:D2.(2015广西桂林、防城港联合调研,文2,复数的有关概念,选择题)已知复数z=1+i,则等于()A.4B.2C. D.解析:复数z=1+i,则.答案:C3.(2015黑龙江大庆二模,文13,复数的有关概念,填空题)-的共轭复数为.解析:∵---i,∴-的共轭复数为i.答案:i2.(2015贵州贵阳二模,文2,复数的有关概念,选择题)设复数z=1+a i(a是正实数),且|z|=则z(1+i)等于() A.-1+3i B.1-3iC.1+3iD.-3+i解析:∵复数z=1+a i(a是正实数),且|z|=,∴,解得a=2.则z(1+i)=(1+2i)(1+i)=-1+3i.答案:A2.(2015江西新余二模,文2,复数的有关概念,选择题)若复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是()A.-B.±C.±iD.解析:复数z的实部为1,设z=1+b i.由|z|=2,可得2,解得b=±.复数z的虚部是±.答案:B2.(2015山西四校联考三模,文2,复数的有关概念,选择题)已知复数z=-(i为虚数单位),则z的共轭复数是() A.i B.1+iC.-iD.1-i解析:∵复数z=----=-i,则z的共轭复数为i.答案:A1.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文1,复数的有关概念,选择题)已知复数f(n)=i n(n∈N*),则集合{z|z=f(n)}中元素的个数是()A.4B.3C.2D.无数解析:复数f(n)=i n(n∈N*),可得f(n)=--k∈Z.集合{z|z=f(n)}中元素的个数是4.答案:A173复数的几何意义1.(2015吉林实验中学二模,文2,复数的几何意义,选择题)i为虚数单位,复数在复平面内对应的点到原点的距离为()A. B. C.1 D.解析:--.∴复数在复平面内对应的点的坐标为.∴复数在复平面内对应的点到原点的距离为.答案:B2.(2015贵州黔东南州一模,文2,复数的几何意义,选择题)已知a是实数,若复数-(i为虚数单位)在复平面内对应的点在虚轴上,则a的值为()A.1B.C.-1D.-解析:由--=--i,∵复数-在复平面内对应的点在虚轴上,∴-是纯虚数.则-解得a=1.答案:A2.(2015山西太原五中二模,文2,复数的几何意义,选择题)如图,复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等,若复数z所对应的点为Z1,则复数z:i(i是虚数单位)的共轭复数所对应的点为()A.Z1B.Z2C.Z3D.Z4解析:由题意可知复数z所对应的点为Z1,是虚部大于0的纯虚数,则复数是正实数,对应点在x正半轴,即Z4,共轭复数是Z2.答案:B174复数的代数运算1.(2015山西太原一模,文1,复数的代数运算,选择题)计算:=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析:--=1+i.答案:A2.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文2,复数的代数运算,选择题)复数的共轭复数是()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:--=1+i,其共轭复数为1-i.答案:C3.(2015广西柳州一模,文1,复数的代数运算,选择题)在复平面内,复数z=-对应的点位于下列哪个象限() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵z=-------=--i,∴复数z=-对应的点的坐标为--,位于第三象限.答案:C4.(2015江西赣州一模,文2,复数的代数运算,选择题)在复平面内,复数-对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵---=3+2i,∴复数-对应的点的坐标为(3,2),在第一象限.答案:A5.(2015甘肃张掖4月模拟,文2,复数的代数运算,选择题)复数z=-(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解:∵z=---i,∴复数在复平面对应的点的坐标是-.∴它对应的点在第四象限.答案:D1.(2015山西太原二模,文1,复数的代数运算,选择题)已知(1-2i)z=5(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点所在象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由(1-2i)z=5,则z=--=1+2i.∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2),位于第一象限.答案:A2.(2015江西九江一模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z=-,则z=()A.iB.iC.1-3iD.1+3i解析:∵z=-----i.答案:A1.(2015江西鹰潭一模,文1,复数的代数运算,选择题)设复数z=1-,则z的共轭复数=()A.1+B.1+iC.1-D.1-i解析:z=1-=1---=1+i,∴z的共轭复数=1-i.答案:D2.(2015江西吉安一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数z=-(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为() A.-- B.--C.--D.-解析:∵z=------=-i,∴z在复平面上对应的点的坐标为--.2.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z=1+i(i是虚数单位),则=()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i解析:--=1-i.答案:A2.(2015吉林三模,文2,复数的代数运算,选择题)已知i为虚数单位,则-=()A. B. C. D.解析:由-----i,得--.答案:D1.(2015江西上饶二模,文1,复数的代数运算,选择题)若x为复数,则方程x4=1的解是()A.1或-1B.i或-iC.1+i或1-iD.1或-1或i或-i解析:因为x4-1=(x2+1)(x2-1)=(x+i)(x-i)(x-1)·(x+1),所以x4-1=0,即(x+i)(x-i)(x-1)(x+1)=0.解得x=1,-1,i,-i.即在复数集中,方程x4=1的解为1,-1,i,-i.答案:D1.(2015江西红色六校一模,文1,复数的代数运算,选择题)=()A.-iB.-iC.iD.i解析:化简可得--=---i.答案:C2.(2015江西六校联考二模,文2,复数的代数运算,选择题)复数-等于()A.-iB.iC.12-13iD.12+13i解析:复数--=i.答案:B2.(2015江西景德镇二模,文2,复数的代数运算,选择题)i为虚数单位,则-=()A.1B.-iC.iD.-1解析:-------=-i.答案:B2.(2015江西鹰潭二模,文2,复数的代数运算,选择题)复数z=-在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵复数z=----=-i,∴复数对应的点的坐标是--.∴复数在复平面内对应的点位于第三象限.1.(2015广西南宁一模,文1,复数的代数运算,选择题)复数z=-的实部是()A.-2B.-1C.1D.2解析:∵z=----=-1-i,∴复数z=-的实部是-1.答案:B2.(2015黑龙江大庆一模,文2,复数的代数运算,选择题)已知复数z=i-(其中i是虚数单位),则=()A.0B.iC.-2iD.2i解析:∵复数z=i-=i+i=2i,则=-2i.答案:C2.(2015江西上饶三模,文2,复数的代数运算,选择题)已知i是虚数单位,若-2i z=1-i,则z所表示的复平面上的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:-2i z=1-i,∴z=----.则z所表示的复平面上的点在第一象限.答案:A2.(2015广西梧州一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数(2-z)(1+i)=4+2i,则=()A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i解析:∵(2-z)(1+i)=4+2i,∴2-z=---=3-i.∴z=2-3+i=-1+i.∴=-1-i.答案:C2.(2015贵州贵阳一模,文2,复数的代数运算,选择题)已知i为虚数单位,复数z=i(2-i),则|z|=()A. B. C.1 D.3解析:复数z=i(2-i)=2i+1,则|z|=.答案:A2.(2015江西南昌零模,文2,复数的代数运算,选择题)已知z1=2-i,=-1-i,在复平面内复数所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵z1=2-i,=-1-i,∴z2=-1+i.∴--------=--=-.对应点的坐标为--,位于第三象限.答案:C2.(2015江西重点中学协作体一模,文2,复数的代数运算,选择题)若复数z满足:=-,则z的虚部为()A.-iB.iC. D.-解析:∵=-,∴z=---=-i,∴z的虚部为.答案:C2.(2015江西重点中学协作体二模,文2,复数的代数运算,选择题)设i是虚数单位,若复数z=->0,则a的值为()A.0或-1B.0或1C.-1D.1解析:由z=--=->0,得-解得a=-1.答案:C2.(2015江西新八校联考一模,文2,复数的代数运算,选择题)-的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1解析:∵---=1+i,∴-的虚部为1.答案:C2.(2015江西上饶一模,文2,复数的代数运算,选择题)已知i为虚数单位,则=()A.-B.C.-iD.i解析:∵i4=1,∴i2 015=(i4)503·i3=-i,∴-=-i.答案:C1.(2015江西上饶重点中学二模,文1,复数的代数运算,选择题)若复数z满足z·(2-i)=1(i为虚数单位),则|z|=()A. B. C. D.解析:∵复数z满足z·(2-i)=1,∴z=--i.则|z|=.答案:D1.(2015江西红色六校二模,文1,复数的代数运算,选择题)复数z=-(i是虚数单位)的共轭复数为()A.iB.-iC.iD.-i解析:∵z=-=i,∴z的共轭复数为-i.答案:B2.(2015广西防城港、桂林一模,文2,复数的代数运算,选择题)复数-=()A.1B.-1C.iD.-i解析:∵复数--=i,∴复数-=i.答案:C2.(2015江西宜春高安四校一模,文2,复数的代数运算,选择题)已知复数z1=2+a i(a∈R),z2=1-2i,若为纯虚数,则|z1|=()A. B. C.2 D.解析:∵z1=2+a i(a∈R),z2=1-2i,∴--,由为纯虚数,则-解得a=1,则z1=2+i,∴|z1|=.答案:D3.(2015江西赣州兴国一模,文3,复数的代数运算,选择题)若复数z=2i+,其中i是虚数单位,则复数z的模为() A. B. C. D.2解析:∵复数z=2i+=2i+--=2i+1-i=1+i,∴|z|=.答案:B2.(2015甘肃兰州一中模拟,文2,复数的代数运算,选择题)设i是虚数单位,那么使得-=1的最小正整数n的值为()A.2B.3C.4D.5解析:因为-=-i,所以---=-=1.故-=1.答案:B2.(2015山西太原山大附中高三月考,文2,复数的代数运算,选择题)若复数z满足(2-i)z=|1+2i|,则z的虚部为()A.-B.C.D.-解析:设复数z=a+b i(a,b∈R),∵复数z满足(2-i)z=|1+2i|.∴(2-i)(a+b i)=∴2a+b+(2b-a)i=∴-解得b=.答案:B2.(2015甘肃兰州一中三模,文2,复数的代数运算,选择题)已知(1+i)·z=2i,那么复数z对应的点位于复平面内的() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由(1+i)·z=2i,得z=--=1+i.∴复数z对应的点的坐标为(1,1),位于复平面内的第一象限.答案:A2.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文2,复数的代数运算,选择题)设复数z=--,则z·=() A.1 B. C.2 D.4解析:复数z=------=-1+i,所以z·=(-1+i)(-1-i)=(-1)2-(i)2=1+1=2.答案:C2.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文2,复数的代数运算,选择题)已知复数z=1+i+i2+…+i10,则复数z在复平面内对应的点为()A.(1,1)B.(1,-1)C.(0,1)D.(1,0)解析:∵i2=-1,i3=-i,i4=1,∴1+i+i2+i3=0,i4+i5+i6+i7=i4(1+i+i2+i3)=0,i8+i9+i10=i8(1+i+i2)=(1+i-1)=i,∴z=1+i+i2+…+i10=i,其在复平面内对应的点为(0,1).答案:C2.(2015吉林长春实验中学三模,文2,复数的代数运算,选择题)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-C.4D.解析:∵复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,∴z=--i,故z的虚部等于.答案:D3.(2015江西三县部分高中一模,文3,复数的代数运算,选择题)复数z=1-i,则+z对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵复数z=1-i,∴+z=-+1-i=-+1-i=+1-i=i对应的点-所在的象限为第四象限.答案:D2.(2015山西朔州怀仁一中一模,文2,复数的代数运算,选择题)已知复数z=,则|z|=()A. B. C. D.解析:∵z=-=-----=-,∴|z|=--.答案:A2.(2015吉林实验中学六模,文2,复数的代数运算,选择题)在复平面内,复数z=-的共轭复数的虚部为()A. B.- C.i D.-i解析:∵z=------=-i, ∴i.。

2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检十

单元质检十算法初步、统计与统计案例(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2016河南中原学术联盟仿真)执行如图所示的程序框图,则输出的i的值为()A.2B.3C.4D.52.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是()A.300B.400C.500D.6003.(2016安徽江淮十校5月模拟)某校共有2 000名学生,各年级男、女生人数如表所示.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.18.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为()A.12B.16C.18D.244.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据某地某日早7点到晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位:毫克/立方米)列出的茎叶图如图所示,则甲、乙两地PM2.5的方差较小的是( ) A.甲 B.乙 C.甲、乙相等 D.无法确定5.某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机调查了24名笔试者的成绩,如下表所示:据此估计允许参加面试的分数线是( ) A.75 B.80 C.85D.906.由下列表格中的数据求得的线性回归方程为y ^=0.8x-155,则实数m 的值为( )A.8B.8.2C.8.4D.8.5二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)7.若一组样本数据2,3,7,8,a 的平均数为5,则该组数据的方差s 2= .8.某高中1 000名学生的身高情况如下表,已知从这批学生随机抽取1名,抽到偏矮男生的概率为0.12,若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取50名,偏高学生有名.9.(2016河北唐山一模改编)执行如图所示的程序框图,输出S 的值为 .三、解答题(本大题共3小题,共37分)10.(12分)(2016内蒙古赤峰模拟)从某校随机抽取200名学生,获得了他们的一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据的频数分布表和频数分布直方图(如图).续表(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.11.(12分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(1)求y 关于t 的线性回归方程y ^=b ^t+a ^;(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程y ^=b ^t+a ^中,b ^=∑i =1nt i y i -nty∑i =1nt i2-nt 2,a ^=y −b ^t .12.(13分)(2016山东泰安二模)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:分钟)进行调查,将收集到的数据分成[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]六组,并作出频率分布直方图(如图).将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.(1)请根据频率分布直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?(2)现从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,再从这5名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查,求抽取的这2人课外体育锻炼时间都在[40,50)内的概率.附参考公式与数据:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考答案单元质检十算法初步、统计与统计案例1.C解析第一次执行循环体:i=1,S=9;第二次执行循环体:i=2,S=7;第三次执行循环体:i=3,S=4; 第四次执行循环体:i=4,S=0;满足条件S ≤1,退出循环,输出i 的值为4.故选C .2.D 解析依题意得,题中的1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1000×(0.035+0.015+0.010)×10=600,故选D.3.B 解析由题意可得二年级的女生的人数为2000×0.18=360,则一、二年级学生总数363+387+360+390=1500,故三年级学生总数是2000-1500=500.因此,用分层抽样法在三年级抽取的学生数为64×500=16.故选B .4.A 解析从茎叶图上可以观察到:甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中,因此甲地PM2.5的方差较小.5.B 解析因为参加笔试的400人中择优选出100人,所以每个人被择优选出的概率P=100=1.因为随机调查24名笔试者,所以估计能够参加面试的人数为24×1=6.观察表格可知,分数在[80,85)的有5人,分数在[85,90)的有1人,故面试的分数线大约为80分,故选B . 6.A 解析x =196+197+200+203+204=200,y=1+3+6+7+m=17+m. 样本中心点为 200,17+m ,将样本中心点 200,17+m代入y ^=0.8x-155,可得m=8.故A 正确. 7.26解析∵2+3+7+8+a=5,∴a=5. ∴s 2=1[(2-5)2+(3-5)2+(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=26. 8.11 解析由题意可知x=1000×0.12=120,所以y+z=220.所以偏高学生占学生总数的比例为220=11,所以随机抽取50名学生中偏高学生有50×11=11(名).9.ln 4 解析根据题意,模拟程序框图的运行过程,可得i=1,S=0;满足条件i<4,S=ln2,i=2;满足条件i<4,S=ln2+ln3-ln2=ln3,i=3; 满足条件i<4,S=ln3+ln4-ln3=ln4,i=4;不满足条件i<4,退出循环,输出S 的值为ln4.10.解(1)由频率分布表可知该周课外阅读时间不少于12小时的频数为12+4+4=20,故可估计该周课外阅读时间少于12小时的概率为1-20=0.9.(2)由频率分布表可知数据在[4,6)的频数为34,故这一组的频率为0.17,即a=0.085,数据在[8,10)的频数为50,故这一组的频率为0.25,即b=0.125.(3)数据的平均数为1(12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4)=7.68(小时),故样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组. 11.解(1)列表计算如下:这里n=5,t =1n ∑i =1n t i =155=3,y =1n ∑i=1n y i =365=7.2. 又∑i =1nt i 2-n t 2=55-5×32=10,∑i =1nt i y i -n ty =120-5×3×7.2=12,从而b ^=∑i =1nt i y i -nty∑i =1n t i 2-nt 2=1210=1.2,a ^=y −b ^t =7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y ^=1.2t+3.6.(2)将t=6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为y ^=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).12.解(1)根据频率分布直方图,得“课外体育达标”的学生数为200×(0.020+0.005)×10=50.又由2×2列联表可知“课外体育达标”的男生人数为30,女生人数为20. 补全2×2列联表如下:计算K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(60×20-90×30)2≈6.061<6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关;(2)从“课外体育达标”学生中按分层抽样抽取5人,其中课外锻炼时间在[40,50)内有5×0.0200.020+0.005=4人,分别记为a,b,c,d;在[50,60]上有1人,记为E.从这5人中抽取2人,总的基本事件有ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE共10种,其中2人都在[40,50)内的基本事件有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种,故所求的概率为6=0.6.。