虚位移原理

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虚位移
在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移 (virtual displacement)。在非定常约束的情况下, 虚位移是约束被‘冻结’后的可能位移。
定常约束
δr δr '
z dr' dr○ u δr
○
t+dt t y
非定常约束
约束方程:
z－ut = 0 dz = udt
x
可能位移dr在z方向 的投影等于udt。 虚位移δr在z方向的投影等于零。
由题意
• •
x = (x1+ x2 )/2
• • •
y = (y1+ y2)/2
•
•
y = (y1+ y2)/2
y/ x = (y1－y2)/(x1－x2 )
故非完整约束方程为 (y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1－y2)/(x1－x2 )
11.2 广义坐标及自由度
适当选取的唯一确定质点系位置的的一组独立 变量称为广义坐标(generalized coordinate)。对于 完整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即 为系统的自由度(degree of freedom)。 z θ r z=b (x,y) y x
例3 图示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。 试求:(1)支座B 的约束反力;(2)DB 杆的内力。
C
○
A
Dห้องสมุดไป่ตู้
B
○ ○
F
○
提示: 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之 对应的约束,代之以约束力,并将该约束力当作主 动力看待。
解: (1) 铰B解除约束,代之以约束反力FB, B和D的 虚位移如图示。由虚功原理可得 F δrD – FB δrB = 0 而 δrB=2δrD FB = F/2
F1 δr A A θ+φ M φ δφ O
θ δr B
F2 sin(θ + ϕ ) M ( 2 F1 sin ϕ + − )δrA = 0 cos θ R RF2 sin(θ + ϕ ) M = 2 RF1 sin ϕ + cos θ
○
例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金 属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接, 如图所示,试求平衡时的α角。 C D 30° α F1 l E 60° B
F2
yD = (AC – l cos α)/2
同理可得
1 δy D = l sin α δα 2
3 δy E = − l cos α δα 2
3 yE = ( BC − l sin α ) 2
1 δy D = l sin α δα 2 3 δy E = − l cos α δα 2
– F1 δ yD – F2 δ yE = 0
11.4 虚位移原理 11.4.1 虚位移的计算
本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系, 仅研究定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。
■
几何法 在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一 个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可 用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间 的关系, 这就是几何法的主要思路。
O θ1 l1 A
○
y
xA = l1cos θ1 yA = l1sin θ1 xB = l1cos θ1+ l2cos θ2 yB = l1sin θ1+ l2sin θ2
θ2 x
l2 B
○
xA = l1cos θ1 yA = l1sin θ1 xB = l1cos θ1+ l2cos θ2 yB = l1sin θ1+ l2sin θ2 δxA=－l1sin θ1·δθ1
如果质点系所受的约束力在任意虚位移上 的元功总和为零,则该约束称为理想约束(ideal constraint)。 这是理想约束的一般定义,显然,在定常约束 的情况下,它与原有的定义没有区别。但在非 定常约束的情况下,它们是不同的。
11.4.3 虚位移原理的应用
∑F
i
i •
δri = 0
虚位移原理特别适合于解以下几类静力学问题: 在机构的平衡问题中求主动力之间的关系; 求系 统的平衡位置; 求系统平衡时的个别约束力。 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的 约束, 代之以约束力, 并将该约束力当作主动力看 待。此外, 非理想约束的约束力(例如摩擦力)必须 全部视为主动力, 并计入其虚功。
沿水平直线纯 滚的圆盘
A
vA x
dx A dϕ =r dt dt
上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为 有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可 积分的运动约束称为完整约束(holonomic constraint)。这里‘可积分’的意思是不依赖于运动 方程而单独积分成有限形式。不可积分的运动约 束称为非完整约束(nonholonomic constraint) 。
∑F
i
i •
δri = 0
虚位移原理是分析静力学的基本原理,因为 力在虚位移上的功称为虚功,故虚位移原理也 称为虚功原理(principle of virtual work)。
关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明: (1) 虚功原理常常被认为是更普遍的原理; (2) 虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。 ■ 理想约束
例1 图示曲柄连杆机构, 已知F1 、 F2 、θ和φ, OA=AD=R, 试求平衡力矩M。
D
○
F1
○
F2
B θ
A
M φ O
解: A、B和D的虚位移如 图示。由虚功原理可得
δr D D
○
F1 δrD sinφ+F2 δrB – M δφ = 0
F2 δφ = δrA /R δrD = 2δrA δrB = δrA sin(θ+φ)/ cos θ 因为 B
柔绳连接 的单摆
单面约束
l
约束方程: m
x2 + y2 + z2 ≤ l2
■ 定常约束与非定常约束
约束方程不显含时间t的约束称为定常约束或 稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束 方程显含时间t, 则称为非定常约束或不稳定约束 (rheonomic constraint) 。
○
drA
drA' drB O
drB'
○
1-1.bmp
实位移 在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生 的位移称为实位移(actual displacement)。 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动 微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时 刻,系统的实位移是唯一的,并且是可能位移之一。 但反过来,任意一组可能位移则不一定是实位移。
冰刀在水平冰面上的运动﹡
y v
• M (x, y)
○
A(x1, y1)
○
两质点用长为l的刚性轻 杆连接,在水平面上运动,杆 中点M的速度只能沿杆向。 几何约束方程为:
B (x2, y2)
O
• • •
x
(x1－x2 )2 +(y1－y2)2 = l2
杆的中点坐标为:
x = (x1+ x2 )/2
• •
■
解析法 解析法是将各质点的坐标表示为广义坐标的 函数,然后再求变分,得到用广义坐标的独立变分 表示的虚位移。
例1 图示曲柄连杆机 构,已知θ和φ,OA=AD, 试确定A、B和D的虚 位移之间的关系。 解: 系统的自由度为 1,独立的虚位移只有 一个。A、B和D的虚 位移如图示。根据相 应的速度关系可得 B
广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、 柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能 唯一确定系统位形的独立变量就行。
11.3 虚位移
本节将引入可能位移、实位移和虚位移的概念,研究它 们之间的关系,以及它们要满足的条件。
■ 可能位移(possible displacement) ——是指约 束所允许的系统的任何一组无限小位移。 dr A dr' B
○
B l
曲柄连杆机构 xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yB－yA)2 = l2
○
r O
A x
O l1 A
○
y
双数学摆
约束方程:
xA2 + yA2 = l12
l2 B
(xB－xA )2 +(yB－yA)2 = l22
○
x
与几何约束相对应的是运动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程 是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分 方程。
δz=uδt=0
等时变分运算与微分运算相同,但δt≡0。
注意:
(1) 可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉 及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。 实位移是系统真实运动产生的位移,是可能位移 中的一个。 (2) 一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的, 在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但 实位移却是唯一的。 (3) 在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致, 实位移是虚位移中的一个。在非定常约束的情 况下,虚位移是约束被‘凝固’后的可能位移,实位 移是可能位移中的一个,但不是虚位移中的一个。
A
F2
提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置, 考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变 分(例如δα)的函数。
解: 取y轴铅直向上, 由虚功原理有 – F1 δyD – F2 δyE = 0 因为 yD = AD sin 30° 而 AD = AC – l cos α A
y