柯布道格拉斯生产函数

• 即劳动投入超过 l = 40时，产出将减少
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两种投入生产函数
• 为得到平均产出, 我们假设k=10并进行求 解
APl = q/l = 60,000l - 1000l2
• APl 达到最大值当
APl/l = 60,000 - 2000l = 0
l = 30
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两种投入生产函数
• 事实上, 当l = 30时,无论APl还是 MPl 均等 于 900,000 • 所以, 当 APl 为最大值时, APl与MPl相等
dk RTS (l 替代 k ) dl MPl MPk
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q q0
边际技术替代率和边际产出
• 由于 MPl 和MPk 均非负, RTS 也为正 (或0) • 但是，单单假设边际产出递减往往并不能 推导出边际技术替代率递减。
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边际技术替代率和边际产出
• 为了证明等产量线为凸, 我们希望得到 d(RTS)/dl < 0 • 因为 RTS = fl/fk
• 为得到 MPl和APl, 我们必须先设定k的值
令 k = 10
• 产出函数就变为
q = 60,000l2 - 1000l3
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两种投入生产函数
• 边际产出函数为
MPl = q/l = 120,000l - 3000l2
随 l 增加递减 • 这就意味着 q 有最大值:
120,000l - 3000l2 = 0 40l = l2 l = 40
第4讲 生产者理论
• 目标：获得单个厂商供给曲线 • 方法：利润最大化
– 厂商的利润为π＝PQ-wL-rK，服从约束为生 产函数Q=f(L,K)（第7章） – 令Q=Q0，求取C(Q)（第8章） – π＝PQ-C(Q)，求得最优Q（第9章）
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生产函数
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生产函数
• 厂商关于某种商品(q)的 生产函数 表示了 资本(k) 和劳动 (l)不同组合所能生产的最 大的商品数量
– 我们必须考虑 flk，其始终大于 0
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平均产出
• 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率
产出 q f (k , l ) APl 劳动投入 l l
• 注意 APl 还取决于所用的资本量
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两种投入生产函数
• 假设厂商的生产函数可被表示为
q = f(k,l) = 600k 2l2 - k 3l3
• 对于这种生产函数而言
MPl = fl = 1200k 2l - 3k 3l 2 MPk = fk = 1200kl 2 - 3k 2l 3
– 当kl < 400时， k 和 l 的边际生产率将为正
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递减的边际技术替代率
• 因为
fll = 1200k 2 - 6k 3l fkk = 1200l 2 - 6kl 3
dRTS (fk2fll 2fk fl fkl fl 2fkk ) 3 dl ( fk )
• 由于我们已假设 fk > 0, 所以分母为正 • 由于 fll 和 fkk 均被假设为负, 如果fkl 为正的 话，那么分子为负
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边际技术替代率和边际产出
• 直觉上,fkl 和flk 应该相等且为正
dRTS d (fl / fk ) dl dl
dRTS [fk (fll flk dk / d l ) fl (fkl fkk dk / d l )] dl ( fk ) 2
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边际技术替代率和边际产出
• 在一条等产量线上 dk/dl = -fl/fk ，且存在 Young定理 (fkl = flk)
dk RTS (l 替代 k ) dl
q q0
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边际技术替代率和边际产出
• 对生产函数进行全微分:
f f dq d l dk MPl d l MPk dk l k
• 在同一条等产量线上 dq = 0, 所以
M Pl d l M Pk dk
q = f ( k ,l)
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边际产品
• 为了研究单一投入的变动，我们将在保持 其他投入要素不变的情况下，增加一单位 某一要素所增加的产出量称为边际产品
q 资本的边际产品 MPk fk k q 劳动的边际产品 MPl fl l
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边际生产率递减
• 一种要素的边际产出取决于投入的要素量 • 一般而言，我们假设边际生产率递减
MPk 2f 2 fkk f11 0 k k MPl 2f 2 fll f22 0 l l
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边际生产率递减
• 由于边际生产率递减，19世纪经济学家托马 斯.马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率 产生不良影响。 • 但是一段时间内，劳动的边际产出还取决于 其他要素（例如资本）投入的变动。
这一生产函数就意味着k 和 l 足够大时， 边际生产率递减
– fll 和 fkk < 0 如果 kl > 200
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பைடு நூலகம்
递减的边际技术替代率
• 对任一生产函数求二阶交叉导数得
fkl = flk = 2400kl - 9k 2l 2
仅当 kl < 266时，为正
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边际技术替代率(RTS)
• 等产量线的斜率表示l 可以在多大程度上 替代k
k 每期
- 斜率 = 边际技术替代率 (RTS)
RTS > 0 随着劳动投入的增多 递减
B
q = 20
kA kB
A
l 每期
lA lB
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边际技术替代率(RTS)
• 边际技术替代率表示在保持产出不变的 情况下，即在同一条等产量线上，劳动 可以在多大程度上替代资本。
– 如果工人们有更多的资本，他们就能有更多的 产出
• 但是有些生产函数中，超出一定投入界限 后，fkl < 0 • 当我们假设边际技术替代率递减时，我们 便认为MPl 和 MPk 递减足够快以抵补任何 可能的负的交叉生产率效应。
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递减的边际技术替代率
• 假设生产函数为
q = f(k,l) = 600k 2l 2 - k 3l 3
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等产量曲线图
• 为更好地表示一种投入对另一种可能的 替代关系，我们引入等产量曲线图 • 一条产量线表示生产给定产量产出 (q0) 所需k和l 的不同组合 f(k,l) = q0
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等产量曲线图
• 每条等产量线代表一个产出水平
– 越往右上方平移，产出越高
k 每期
q = 30 q = 20
l 每期