高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法

摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。

（一）、二面角定义的回顾：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l AO ⊥,β--l 的平面角。

α

β

(二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角；

2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。

4、空间坐标法求二面角的大小

5、平移或延长（展）线（面）法

6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ

7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。

例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.

解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。

∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а

同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB.

∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角.

O

A

B

O A

B l

P

O

B

A

在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 三垂线定理（逆定理）法

由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。

例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.

解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中

由三垂线定理可得： CD CE=1, DE=

5

3、找（作）公垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。

解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

E

O

CO

DE O C C ，连结，作过点⊥11DE

CO ⊥的平面角

为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形

是边长为又2ABCD ΘCO

DE CE CD S CDE Rt CDE ⋅=⋅=∆∆2

1

21中，在1

1=CC Θ又5

52tan 1=

∠∴OC C 5

52tan arg 1=∠∴OC C 5

5

2=

∴CO

又CD⊥AD，故CD⊥平面PAD． A D

而CD平面PCD， B C

所以平面PCD⊥平面PAD．

同理可证平面PAB⊥平面PAD．

因为平面PCD∩平面PAD＝PD，平面PAB∩平面PAD＝PA，所以PA、PD与所求二面角的棱均垂直，即∠APD为所求二面角的平面角，且∠APD＝45°．

5、平移或延长（展）线（面）法

将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展），以其得到二面角的两个平面的交线。

例3、正三角形ABC的边长为10，A∈平面α，B、C在平面α的同侧，且与α的距离分别是4和2，求平面ABC与α所成的角的正弦值。

解：设E、F分别为B、C的射影，连EF并延长交BC延长线于D，连AD；AE

∵E、F是B、C射影∴BE丄α；

1， B

∵CF丄α∴BE∥CF 又CF：BE=

2

∴C是BD的中点∴BC=DC，C

∵ΔABC是正三角形∴∠B=∠BCA=∠BAC=60°，

又∠ACB+∠ACD=180° ， E F D

∴∠ACD=120°又AC=DC ，A

∴∠CAD=∠CDA=30°，又∠BAD=∠BAC+∠CAD ，

∴∠BAD=90°，∴BA丄AD ，

又∵AE是AB在平面α上的射影，

∴AE ⊥AD 又 BA ⊥AD ，平面ABC ∩平面α=A ， ∴∠BAE 是平面ABC 与α所成的角，

∴BE ⊥平面α，∴ BE ⊥AE ， ∴ΔABC 是 Rt Δ

Sin ∠BAE=BE ：AB=52

，即平面ABC 与α所成角的正弦值为5

2

。

6、射影公式

由公式S 射影=S 斜面cos θ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

例4、如图，设M 为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面BMD 与底面ABCD 所成的二面角的大小。

解：∵D 1D ⊥面ABCD ，C 1C ⊥面ABCD ，∴ ∆BMD 1在底面上的射影为∆BDC ，

设正方体的棱长a ，则S ∆BCD =21a 2

，BD 1=3a

所以∴MH=22a ，S ∆BMD1=4

6a 2

由S ∆BDC =S ∆BMD1cos θ得θ=arccos

3

6

7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

例6、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．

(1) 求证:A 1C ⊥平面AEF ；

若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间