2019年上海高考数学第一轮复习 第42讲 排列组合

第42讲 排列与组合

[基础篇]

一、乘法原理和加法原理：

（1）乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，

，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =种不同的方法.

（2）加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.

二、排列组合：

（1）排列的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m

n P 表示. （2）排列数公式：!(1)(2)(1)(,*,)()!

m n n P n n n n m m n N m n n m =---+=∈≤-，!n n P n =，规定：0!1=. （3）组合的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m

n C 表示. （4）组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m m

n n

m m P n n n n m n C P m m n m ---+===- （5）组合的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=

[技能篇]

例题1

(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？

(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？

(3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？

例题2 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？

（1）排成一排；

（2）排成前排4人，后排5人；

（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻；

（4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻；

（5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾；

（6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；

（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减；

（8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个.

例题3 （1）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数的个数.

（2）求用1,2,3,4四个数字组成四位数的个数.

（3）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.

（4）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.

（5）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.

例题4 (1)2

2361212

x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .

(3) 173213n n n n C C -++= .

例题5 有15本不同的书，其中6本是数学书，问：

（1）分给甲4本，且都不是数学书；

（2）平均分给3人；

（3）若平均分为3份；

（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本；

（5）1人2本，1人7本，1人6本.

例题6 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问:

(1)从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？

例题7 设A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形。

例题8 某校准备参加2015年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.

例题9 将一四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种。

例题10 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有_______种．

例题11 设有编号1、2、3、4、5的五个球和编号1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投放入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为

例题12 30030能被 个不同的偶数整除。

例题13 从小于50的自然数中，取两个不同的数，使两数之和恰好是3 的倍数，不同的取法有 种？

例题14 将5本不同的书分给4名同学，则有 种不同的分配方法。

[技能篇]

一、填空题：

1、王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现 种不同的情形。

2、书架上有4本故事书，7本科普书，小华从书架上任取一本故事书和科普书，一共有 种不同的取法。

3、设a N *∈，且27a <，则(27)(28)(34)a a a ---等于

4、从6名运动员中选4人参加4100⨯米接力，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么共有 种不同的参赛方法。

5、编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上则至多有两人的编号与座位编号一致的坐法种数为

6、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一 共有 种不同的取法？

7、将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 种。

8、6个不同的小球放人三个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个，有 种方法。

9、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有

10、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

二、解答题：

11、用0,1,23,4,5，这六个数字，问：

（1）可以组成多少个数字不重复的三位数；

（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数；

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数；

（4）可以组成多少个数字不重复的小于10000的自然数；

（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数.

1

3 2 5 4