9-5 电场强度与电势梯度的关系

qE dl q[U (U dU)] qdU 即： E dl dU
ˆ) (dxi ˆ) ˆ Ey ˆ ˆ dyˆ E dl ( Exi j Ez k j dzk
Ex dx Ey dy Ez dz
又因电势是空间坐标的函数U=U(x,y,z)，因此，对 电势的微分可表示为：
课堂练习：利用场强与电势梯度的关系，计 算均匀带电圆盘中心轴线上的场强。
dr
R
r
o
x
P
x
Up
R
2rdr
4 0
0
2 2 [ R x x] 2 2 2 0 r x
U Ex x
U Ey y
U Ez z
U x Ex [1 ] 2 2 x 2 0 R x
例、在x－y平面上，各点的电势满足下 面的式子：
ax b U 2 2 2 2 x y (x y )
式中的x、y为任一点的坐标，a、b为常 数。求任一点电场强度的Ex和Ey分量。
U Ex x
U Ey y
2
U Ez z
U a 2ax bx Ex 2 2 2 2 2 2 2 3/ 2 x x y (x y ) (x y )
U ˆ U ˆ U ˆ 在数学上，我们将 ( i j k) x y z
定义为电势U的梯度，用gradU或U表示，即：
U ˆ U ˆ U ˆ gradU U i j k x y z
“梯度”是指一个物理量的空间变化率，电 势梯度当然就是指电势的空间变化率。注意： 电势梯度是矢量,其大小等于电势变化最快 的方向上的电势变化率，方向与等势面正交 且指向电势升高的方向。
例．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带 电细圆环轴线上一点的场强。
dq
y
r
R
x
p x z
Up (q ຫໍສະໝຸດ 2R)dl 4 0 R 2 x 2

q 4 0 R 2 x 2
U Ex x
U Ey y
U Ez z
U qx Ex 2 2 3/ 2 x 4 0 ( R x )
将上述两式代入： E dl dU
U U U dU dx dy dz x y z
可得：
U U U Ex dx E y dy Ez dz ( dx dy dz) x y z
由于dx、dy、dz为任意，故两边它们的系数应分 别相等，即：
9-5 电场强度与电势梯度的关系 一、 等势面
等势面 ： 电场中电势相等的点所构成的曲面。
下面我们来看几种典型的等势面。
正点电荷的等势面
+
负点电荷的等势面
－
电偶极子的等势面
+
等势面的性质
（1）等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降落
的方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等势面
上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能不变。 （2）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差必须 相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所需的距离
U Ex x
U Ey y
U Ez z
这样，场强E就可表示为：
U ˆ U ˆ U ˆ E ( i j k) x y z
U dU
U
a
dn
n
dl

b
E
从图中可以看出，在两等势面之间，由a点出发沿不同的方向 电势变化率显然不同。其中沿着与等势面正交的方向 n ，电势 的变化率最大，即沿着此方向电势变化得最快。我们通常就将 沿着与等势面正交且指向电势升高的方向的电势变化率定义为 电势梯度，即沿着电势变化最快的方向的电势变化率。
U 2axy by Ey 2 2 2 2 2 3/ 2 y ( x y ) ( x y )
小，而场强小的地方产生相同的电势差所需的距离大，
这样就会形成场强大的地方等势面密集，而场强小的地 方等势面稀疏。
二、场强与电势梯度的关系
如图所示，在电场取两个靠的 很近的等势面，电势分别为U 和U+dU，场强方向和等势面的 法线方向如图所示。
U dU
U
n
dl
E l qa
b
q
E

现在我们将一正电荷q从 a到 b，由于两等势面靠的很 近，因此，可近似认为从a到b的过程中，场强不变， 这样电场力所作的功:
这样就有：
U ˆ U ˆ U ˆ E ( i j k ) gradU U x y z
即电场任意一点的场强等于该点电势梯度的负值。
总结：
（1）电势梯度是一个矢量，它的大小为电势 沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等 势面法线方向且指向电势增大的方向。
（2）电场中任意一点的电场强度等于该点 电势梯度的负值。