PuX+(X=H,O,N,C)的结构与势能函数
1.5双原子分子的势能曲线
1.5 双原子的势能曲线（1.3.1）式是在Born-oppenbeimer 近似下双原子分子中电子的运动方程，其中)(R U 为势能面. 对双原子分子来说，势能面仅是核间距R 的函数，因此在双原子分子情形下，势能面简化为势能曲线.氢分子是最简单的双原子分子，本节将以它为例讨论双原子分子势能曲线的一般特征.1.5.1 Heitler-London 方法以a 和b 分别标记两个氢原子，并同时分别标记它们的s 1轨道，1和2分别标记两个电子，如图1.3所示.图1.3 氢分子的坐标电子运动的Hamilton 算符为Rr r r r r H b b a a 11111121211221212221++----∇-∇-= （1.5.1） 定义2111112a h r =-∇- , 2222112b h r =-∇- （1.5.2） 则有1221121111a b H h h r r r R=+--++ （1.5.3） Schrodinger 方程为ψ=ψE H （1.5.4） 1h 和2h 分别表示电子1和2各自单独在a 核和b 核的势场中运动，即它们分别是两个孤立氢原子的Hamilton 量. 当用微扰法处理时，可将（1.5.3）式的后四项作为微扰. 当两个核相距无穷远时，由图1.3可以看出，（1.5.3）式可简化为012H h h =+ （1.5.5）这时，氢分子的Hamilton 量是两个氢原子的Hamilton 量的直接和，因此（1.5.5）式的解是两个氢原子波函数的直接积. 假定氢原子波函数取1s 轨道,暂时不考虑自旋，由于电子的不可分辨性，这样的直接积有两个，即)2()1(b a (1.5.6)和)1()2(b a (1.5.7)式中ai r a e i s i a -==π1)(1)( , bi r b e i s i b -==π1)(1)( （1.5.8） （1.5.6）和（1.5.7）式是简并的，称为交换简并，氢分子的零级近似波函数应该是二者的线性组合. 有两种组合方法，一种是对称组合，即将两式相加，另一种是反对称组合，即将两式相减. 进一步考虑自旋，电子为费米子，应满足Pauli 原理，即波函数对两个电子的交换是反对称的. 如果空间函数取作对称的，则自旋函数必须是反对称的，这样的反对称自旋函数只有一个，因此总波函数也只有一个，称为单重态，记作ψ1，即)]1()2()2()1([21)]1()2()2()1([1βαβα-+=ψb a b a N （1.5.9）式中，N 为空间波函数的归一因子，)(i α和)(i β分别为电子i 的自旋波函数，)(i α仅在21=i s 处有值，其他处皆为0，而)(i β仅在21-=i s 处有值，i s 为i 电子的自旋值，并且有⎰=1)(2i ds i α， ⎰=1)(2i ds i β， ⎰=0)()(i ds i i βα （1.5.10） 如果空间函数是反对称的，则自旋函数必须是对称的. 对称的自旋函数可以有三个，它们共同构成一个三重态，用ψ3表示, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ψ)2()1()]2()2()2()1([21)2()1()]1()2()2()1(['3βββαβαααb a b a N (1.5.11) 式中'N 为ψ3的空间函数的归一化因子. 不难证明ψ1和ψ3都是总自旋算符2S 和z S 的本征函数，2S 的本征值分别为0和1. 2S 和z S 的定义为2212()S s s =+ , 12z z z S s s =+ （1.5.12）其中i s 为i 电子的自旋算符，而zi s 为i 电子自旋的z 分量算符. 我们常常将算符和它的本正值用同一个符号表示，一般情况下，这样做不会引起混淆. 令(1)(1)ab M a b = （1.5.13）ab M 称为原子轨道a 和b 的重叠积分. 由ψ1和ψ3的归一化条件可得122[2(1)]ab N M -=+，1'22[2(1)]ab N M -=- （1.5.14）将（1.5.9）和（1.5.11）式分别代入（1.5.4）式，因Hamilton 量（1.5.3）式中不含自旋，故可将自旋函数先行积分，得到11121[(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)]1abE H a b H a b a b H b a M =ψψ=++ 21ab Q K M +=+ （1.5.15） 33321ab Q K E H M -=ψψ=- （1.5.16） 式中，)2()1()2()1(b a H b a Q =称为库仑积分，)2()1()2()1(a b H b a K =称为交换积分.在量子化学中，库仑积分和交换积分是两个重要术语，原则上讲，任何二体算符的矩阵元都有库仑积分和交换积分. 这里指的是Hamilton 量的矩阵元，在另外的场合可能指的是其他算符的矩阵元，例如电子排斥积分的矩阵元也分为库仑积分和交换积分. 不论算符如何不同，库仑积分都是指与经典电荷密度相对应的矩阵元，而交换积分都是指与交换电荷密度相对应的矩阵元. 例如上式库仑积分Q 中的电荷密度为)1()1(*a a 和)2()2(*b b ，而交换积分K 中的电荷密度为)1()1(*b a 和)2()2(*a b . 交换电荷密度来自Pauli 原理，是量子力学中特有的，没有经典对应. 以下几章中出现库仑积分和交换积分时，不再一一说明.(1.5.15)和(1.5.16)式表明，E 1和E 3都是核间距R 的函数. 给R 不同的值，逐点计算出Q 和K ，将这些点连结起来就可以得到E 1和E 3随R 变化的曲线，即势能曲线. 本节中我们不介绍计算的具体细节，仅叙述计算结果. 通常取孤立氢原子基态的能量00H ε=,即把两个氢原子相距无穷远时作为能量零点，此时可得如图1.4所示的势能曲线.图1.4氢分子的势能曲线（价键法）图1.4中，1∑和3∑中的左上角数字1和3分别表示单态和三重态，符号∑是点群h D ∞的一维不可约表示的标记（氢分子具有h D ∞对称性），表示电子的总轨道角动量沿原子核连线方向的分量量子数0=m L . 从图中可以看到，对于3∑态，当两个氢原子从无穷远开始相互靠近时，体系的能量一直上升，始终表现为相互排斥；而对于1∑态，当两个氢原子相互靠近时，体系的能量先下降，达到一极小值后再上升，形成一个势阱，两个原子被束缚在势阱中而形成稳定分子. 与能量极小值对应的核间距被称为平衡核间距或平衡键长，势阱深度被定义为结合能. 按（1.5.15）式计算的平衡键长nm R 080.00=，结合能ev D 20.3=，而实验值ev D nm R 75.4 ,074.00==，这表明，计算得到的势阱位置和深度都与实验值有差别. 为便于比较，图1.4中也给出了势能曲线的实验观测结果以及谐振子的势能曲线（抛物线U ）.以上处理氢分子的方法是Heitler －London 首先提出的，因此被称为Heitler －London 方法. （1.5.9）和（1.5.11）被称为Heitler －London 波函数. Heitler －London 方法所得的结果与实验值虽然还有较大差距，但它却提供了许多重要的物理思想，并具有明确的物理图像. 在电子自旋反平行的1∑态，两个氢原子能够形成稳定分子，而在电子自旋平行的3∑态，则不能形成稳定分子. 这一事实表明，两个原子之所以能形成分子，就在于所共用的两个电子自旋反平行配对，从而用量子理论解释了化学键的成因，建立了现代化学键理论的基础. 作为化学键理论一个重要分支的价键理论，就是在Heitler －London 工作的基础上发展起来的.1.5.2分子轨道方法现在用分子轨道理论研究氢分子的势能曲线. 我们仍然假定每个氢原子提供一个s 1原子轨道，并采用上节的记号. 价键法直接由原子轨道构造总电子波函数，而分子轨道法则先由原子轨道组合成分子轨道，然后由分子轨道构造总电子波函数. 将两个原子轨道分别做对称组合和反对称组合可以得到两个分子轨道，分别记作A 和B ，即)A a b =+ （1.5.17） )B a b =- （1.5.18） 式中M 的定义见（1.5.13）式。
化学反应动力学-6
dF (r ) d V (r ) fr = = 2 dr dr 力常数与谐振子振动频率关系为: 力常数与谐振子振动频率关系为:
2
1 νe = 2π
fr
1/ 2
νe:谐振子振动频率 折合质量. :折合质量. = m1 × m2 m1 + m2
Taylor级数展开式: 级数展开式: 级数展开式
V = V ( r , r , R,θ , φ , α )
二,势能面与反应坐标
V = V (q1 , q2 ,K , q f )
为例: 以A + BC → AB + C为例: 为例
V = V (q1 , q2 , q3 )
q1 = rAB, q2 = rBC, q3 = rAC 或 α
A
rAB
B rBC α C
V(r) 0 r 无相互作用质点模型
V(r) 0 d0 r
弹性刚球模型
PV = nRT
V(r) 0 r
P (V b) = RT
V(r) 0
d1
d2
四方阱模型
r 与中心距离反比的吸引或 排斥的势能模型
V(r) 0
V(r) 0 d 0 rm
d0
r
r
叠加以中心吸引的 弹性刚球( 弹性刚球(Van der Waals)模型 )
H O H O
个原子组成的分子, 非线性的 N 个原子组成的分子,描述原子 间相对位置独立的构型坐标数目: 间相对位置独立的构型坐标数目: f = 3N – 6
r H
O θ
O
_
r H
f=3×3-6=3
V = V ( r , r ,θ )
O R_ φ φ C _ r r H H θ
UN、UN2分子的结构和势能函数
2))1?)9?2B * 收稿日期： 基金项目： 本课题受中国工程物理研究院预研基金资助 （9B)C@@） 作者简介： 王红艳 （19B) V ） ， 女， 四川大邑县人， 博士， 主要从事分子结构、 分子势能函数和分子反应动力学研究。
第 19 卷第 2 期
王红艳等： UN、 UN2 分子的结构和势能函数
近年来， 铀原子与大气气氛的气相反应成为研 究热点， 在质谱和红外光谱分析中， 铀原子与氮气的
［2］ 。3 M .2 反 反应生成 3. 或 .3. 引起了一定重视
3. 分子和 3.2 分子可能的各种构型 . V 3 V .， 3V 得到了 3. 分子和 3.2 分子 . V . 等进行优化计算， 的平衡几何构型。 3. 分子的平衡核间距为 Re ) W 能量最小值为—1)A . 1AL L2B @ P . E . ； ) . 1B9 C) RX， . 能量 V 3 V . 分子的平衡核间距 R) e W ) . 1BB B9 RX， 线性 3 V . V . 分子的平 E W V 1A) . B92 A12 L P . E . ； 衡核间距 R) R) 3. W ) . 199 C1C L RX， .. W ) . 121 C)1 @ 能量 E W V 1C9 . @C9 L1) L P . E . ； 角型的 C2 v 和 Cs RX， 构型未优化出。所以 3.2 分子的最稳定构型为线 性 .V 3V . （ DY h） ， 与 ;FTTP ;ZZTT[ 等人对 3.2 分 子的 PG . HRH\Ho 计算相近， 在 ,7 水平上， R) e W ) . 1AL 2
与光谱数据即表 2：
UN 分子光谱数据和力常数
Be / cm- 1 0 . 392 67
ωe / cm
高考备考必考知识：弹性势能的表达式
2019年高考备考必考知识：弹性势能的表达式下面是编辑老师整理的2019高考备考必考知识弹性势能表达式，希望对您提高学习效率有所帮助.一、弹性势能：1、定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，叫做弹性势能。
说明：1、弹性形变弹力的相互作用2、由于整个物体都发生了形变，各部分之间都有弹力3、这种能量归结为势能对比：重力势能是由于有重力的相互作用，具有对外做功本领而具有的一种能量引导：弹性势能和重力势能一样大小都和相对位置有关。
下面我们就来研究弹性势能的大小，我们研究最简单的，弹簧的弹性势能大小。
2、研究弹性势能的出发点弹性势能与重力势能都是物体凭借其位置而具有的能。
在讨论重力势能的时候，我们从重力做功的分析入手。
同样，在讨论弹性势能的时候，则要从弹力做功的分析入手。
弹力做功应是我们研究弹性势能的出发点。
二、探究弹簧弹性势能的大小1、猜想，并进行定性研究弹性势能表达式中相关物理量的猜测弹性势能的表达式可能与哪些物理量有关呢?①可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关。
这是因为，与重力势能相类比，重力势能与物体被举起(或下降)的高度有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关。
重力势能与高度成正比，但是弹性势能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度则不一定成正比，在地球表面附近可认为重力不随高度变化，而弹力在弹簧形变过程中则是变力。
②可能与弹簧的劲度系数有关。
这是因为，不同弹簧的软硬程度不同，即劲度系数不同，使弹簧发生相同长度的形变所需做的功也不相同。
2、探究弹性势能表达式1)弹性势能与拉力做功的关系当弹簧的长度为原长时，我们设它的弹性势能为0，弹簧被拉长或缩短后就具有了弹性势能。
我们研究弹簧被拉长的情况，那么弹簧的弹性势能应该与拉力所做的功相等。
可见，研究弹性势能的表达式，只需研究拉力做功的表达式。
2019高考备考必考知识弹性势能表达式已经呈现在各位考生面前，更多精彩尽在高考频道!。
PuO分子势能函数与垂直电离势的量子化学计算-四川师范大学学报
5
-
V = -D e ( 1 +a 1 ρ +a 2 ρ +a 3 ρ ) exp( -a 1 ρ ) , ( 1) 其中 , ρ= R -R e , R 为核间距 , R e 为 R 的平衡值 .
5 -
R e nm
0. 188 0. 183 0. 188 0. 196
平衡能量 aJ
640 . 890 4 639 . 977 2 637 . 626 4
a1 nm -1
33 . 526 3 28 . 131 23 . 091 40 . 955
a2 nm -2
311 . 24 140 . 93 -82 . 60 494 . 94
采用 Pu 原子的 RECP 近似 , O 原子的 6 -311G ＊ 全电 子 基 函 数 , 用 B3LYP 方 法 对 PuO 分 子 基 态 X , PuO 分子离子基态 X 和 PuO
5 + 6 2+
1 基本原理
双原子 分子 的 势能 函 数较 好 的一 种 形式 是 MurrellSorbie( MS) 函数
0 引言
金属钚有活泼的化学性质 , 极易与 O2 , H2 , CO 等 物质发生化学反应 . PuO 分子是金属钚表面腐蚀的起 点 , PuO 气态和固态均存在 , 并已测定了部分光谱数 据
[ 1]
通过 ab initio 计算 , 优化出平衡核间距 R e 以及不同 R 时的能量值 , 然后用最小二乘法拟合出 M-S 势能 函数 , 再计算出力常数和光谱数据 . ( 1)式中参数 a 1 , a 2 , a 3 , D e 与力常 数的关系 为: f2 =( a 1 -2 a 2) De , f 3 = 6( a1 a 2 4 2
高中物理必修二课件-7.5探究弹性势能的表达式9-人教版
5 探究弹性势能的表达式
课堂小结
本堂课你有什 1、弹性势能:发生弹性形变的物体的各部分之间
，由于有弹力的相互作用，也具有势能、弹性势能的表达式: E弹＝ 21k Δl 2
3、科学方法:猜想与假设、设计方案、逻 辑推理、对假说进行修正与推广。类比、 迁移、微元法、图像法
匀 变 速 直 线 运
动
位
拉力（变力）做功的计算方法：
F拉
拉力所做 的功等于
F5 F4
图线与横 F3
W拉＝
1 2
kΔl
2
轴所围的 F2
面积
F01
ll
Δl1 Δl2 Δl3 Δl4 Δl5
l
F = kΔl
F
弹簧的弹性势能的表达式
E弹
=
1 2
k
l
2
说明：一般规定弹簧在原长时，弹簧的弹性势能为零
思维拓展： 弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系
谢谢
弹性势 能与K 和x有关
弹性势能 与弹力做 功的关系
分析弹力 做功
求出弹性 势能的表 达式
问题3：在物体升降的过程中，重力是否发生变 化？而弹簧的拉力在拉伸过程中是否发生变化？
重力势能与高度 成正比, 弹性势 能与形变量成正
比吗?
问题4：怎样计算拉力所做的功？
W弹→E弹？
F弹
F弹=F =k l
Δl1Δl2Δl3Δl4Δl5
如图：弹簧处于原长，用力F作 用在物体上使体在光滑
的水平面上缓慢向左移动L， 1.此过程中弹簧的弹力对物体做 什么功？弹簧的弹性势能怎么变
化？ 2.向左推动L后撤去F后，弹簧
向右恢复原长的过程中弹 簧的弹力对物体做什么功？弹簧
PuN和PuN2基态分子的结构与势能函数
化学学报
ACTA CHIMICA 30～1933
PuN 和 PuN2 基态分子的结构与势能函数
李 权 Ξ , a 王红艳 b 朱正和 b
( a 四川师范大学化学学院 成都 610066) ( 四川大学原子分子物理所 成都 610065)
四川省教育厅自然科学基金资助项目 .
No. 12
李 权等 :PuN 和 PuN2 基态分子的结构与势能函数
1931
和 PuN2 分子的结构与基态势能函数进行了理论计算 .
对于通道 ( a ) , Pu 原子的基态 [10 ,11 ] 7 Fg 和 N2 分子基态 [12 ]
题 [1～8 ] . 但使用 DFT 方法处理镧系和锕系化合物分子的研 究报道近年才出现 ,国内这方面的研究报道不多见 . 本文用 GAUSSIAN 98 程序 , 在 Pu 的相对论有效原子实 势 ( Relativistic Effective Core Potential , RECP) [1 ] 近似下 ,N 用 62
Structure and Analytic Potential Energy Function for Ground State of PuN and PuN2 Molecule
LI , Quan Ξ , a WANG , Hong2Yan b ZHU , Zheng2He b
( a College of Chemistry , Sichuan Normal University , Chengdu 610066) ( b Institute of Atomic and Molecular Physics , Sichuan University , Chengdu 610065 )
一种基于余弦函数的普适性双原子分子解析势能函数
一种基于余弦函数的普适性双原子分子解析势能函数于长丰【摘要】提出了一种构造解析势能函数的新方法，得到了一种既适用于中性双原子分子又适用于带电双原子分子离子的解析势能函数。
用8种基本类型的双原子分子，即同核中性基态双原子分子H2-X1∑＋g ，同核中性激发态双原子分子C2-d1∑＋u ，同核带电基态双原子分子离子O＋2-X2∏ g ，同核带电激发态双原子分子离子N＋2-B2∑＋u ，异核中性基态双原子分子PuO-X1∑＋g ，异核中性激发态双原子分子PbS-A1∑＋，异核带电基态双原子分子离子（BC ）--X3∏，异核带电激发态双原子分子离子CS＋-A2∏共25个算例对势能函数进行了验证，并与RKR（Rydberg-Klein-Rees）等实验数据进行了比较，计算结果与RK R数据相符性好。
%A new method on constructing analytical potential energy functions is presented ,and an analytical po-tential energy function applied to both neutral diatomic molecules and charged diatomic molecular ions is ob-tained .The potential energy function is examined by 25 examples of eight different basic kinds of diatomic mole-cules or ions ,namely homonuclear ground-state for neutral diatomic molecules H 2-X1 ∑+g ,homonuclear excita-tion-state for neutral diatomic molecule C 2-d1 ∑ +u ,homonuclear ground-state for charged diatomic molecules O +2-X2 ∏ g ,homonuclear excitation-state for charged diatomic molecules N +2-B2 ∑ +u ,heternuclear ground-state for neutral diatomic molecules PuO-X1 ∑+g ,heternuclear excitation-state neutral diatomic molecular ion PbS-A1 ∑ + , heternuclear ground-state for charged diatomic molecules (BC )-X3∏ ,heternuclear excitation-state for charged diatomic molecules CS +-A2∏ ,etc .T he theoretical values of the vibrational energy level of molecules calculated by the potential energy function are compared with RKR (Rydberg-Klein-Rees)or experimental data .As a conse-quence ,all the results are in high-precision consistent with RKR data .【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】7页(P355-361)【关键词】势能函数;双原子分子和离子;RKR方法;力常数;光谱参数【作者】于长丰【作者单位】西安工程大学理学院，陕西西安710048【正文语种】中文【中图分类】O561.1;O561.30 引言双原子分子解析势能函数在材料科学、分子光谱、原子分子反应动力学、分子振转能级结构、激光与物质相互作用、光离化等方面的理论研究有着重要应用［1－6］.迄今所提出的有代表性的解析势能函数有Morse势［7］、Rydberg势［8］、Murrell－Sorbie势（M－S势）［9］和 Huxley－Murrell－Sorbie势（HMS 势）［10］］等.上述势能函数一般用于描述某种类别的双原子分子或离子.目前，M－S解析势能函数应用最为广泛，适用于大部分基态双原子分子，但M－S势在描述激发态双原子分子方面误差较大.本文用余弦形式的势函数作为基本势能函数，通过理论推导给出了一种适用于8种基本类型的双原子分子——同核中性基态双原子分子、同核中性激发态双原子分子、同核带电基态双原子分子离子、同核带电激发态双原子分子离子、异核中性基态双原子分子、异核中性激发态双原子分子、异核带电基态双原子分子离子和异核带电激发态双原子分子离子的较为普适的解析势能函数.利用25个双原子分子算例对该势能函数进行验证，同时与RKR （Rydberg－Klein－Rees）实验数据进行比较，结果证明该势能函数优于M－S 势.1 基本假设和解析势能函数的导出假设双原子分子和离子的基本势能函数满足文献［11］所给物质粒子之间的相互作用势，其形式如下：其中，A，B为待定常数.φ是2个相互作用原子之间的等效相位差［11］，Re是平衡核间距.推导可得描述双原子分子的普适性解析势能函数［12］式中a，b，c为待定参数，可由双原子分子或离子的光谱参数实验值（ωe，ωeχe，αe，Be）求出.例如当n＝0，1，3时，由式（2）可得2 由光谱参数实验值确定参数a，b，c根据a，b，c与各阶力常数的关系，解线性方程组求出a，b，c.各阶力常数与光谱参数的关系为式中各阶力常数取n＝1，3时，由式（4）和（5）可得方程组（10）和（11）均为线性方程组，其解具有唯一性，且为实数解.虽然Murrell－Sorbie势是最优秀的势能函数之一，但在用光谱参数实验值确定势能函数中的待定参数时，其解不具有唯一性（四组解），且包含复数解，解的选择问题参见文献［13］.Murrell－Sorbie势函数形式如下：参数a1，a2和a3与各阶力常数为3 RKR（Rydberg－Klein－Rees）反演方法RKR反演方法是一种纯理论方法，采用此方法得出的分子振动能级数据与实际实验数据有着极高的符合精度（见表4）.在无实验数据的情况下，常用RKR数据检验势能函数.RKR数据的计算方法如下［12－14］：其中，rmax和rmin为最大和最小核间距经典转换点，U为势能值，υ为量子数.由式（18）和（19）可知，光谱参数ωe，ωeχe，αe，Be确定后就可计算出f 和g，其单位分别为cm和cm－1.进而由式（16）和（17）可计算出rmax和rmin，由此便可绘制出势能曲线U（r）.4 解析势能函数的验证为了验证势能函数式（3）～（5），本文对25种中性双原子分子或带电荷的双原子分子离子进行了考察，并与RKR数据、Murrel－Sorbie势或分子振动能级实验值等进行了比较，利用Origin6.0绘制势能曲线，如图1所示.表1，2分别给出了部分双原子分子的光谱参数实验值和分子势能参数.表3为异核中性激发态双原子分子PbS－A1Σ＋分子振动能级和经典转换点（为便于与RKR数据比较，计算振动能级时须对式（4）和（12）加上离解能De，即势能曲线向上平移De.文献［15］给出的均为基态离解能D0，D0与零点离解能De 的关系为：De ＝D0＋ωe／2－ωeχe／4）.为了检验势能函数式（3）～（5）的计算精度，表4给出了17种电子态势能函数值与RKR数据比较的均方根误差和相对均方根误差，并与Murrel－Sorbies势函数计算结果作了比较.势能值的均方根误差（RMSE）和相对均方根误差（RRMSE）为表1 双原子分子光谱参数实验值电子态ωe／cm－1 ωeχe／cm－1 Be／cm－1 αe／cm－1 Re／nm De／cm－1 K2－B1∏u［15］75.000 0.387 6 0.048 20.000 24 0.423 5 4 183.4 Na2－X1∑＋g［16］ 159.12 0.726 0 0.154 7 0.000 87 0.307 9 5 886.5 O＋2－X2∏g［17］ 1 905.30 16.304 0 1.690 5 0.018 90 0.111 7 54 681.0 N＋2－B2∑＋u［15］ 2 419.84 23.190 0 2.083 0 0.019 50 0.107 5 52 350.7 PuO－X1∑＋g［18］ 822.28 2.500 0 0.336 5 0.001 460.183 0 59 182.0 PbS－A1∑＋［15］ 261.090 0.365 0 0.085 0.000 30 0.2665 38 040.7 BC－－X3∏［19］1 301.40 9.820 0 1.418 0 0.015 50 0.144 5 45 073.0续表1 双原子分子光谱参数实验值注：原文献给定的De单位为eV，表中已转换为cm－1.1eV＝8 066.01cm－1电子态ωe／cm－1 ωeχe／cm－1 Be／cm－1 αe／cm－1 Re／nm De／cm－1 CS＋－A2∏［20］1 013.79 6.780 0 0.718 4 0.006 50 0.164 0 39 475.9 He＋2－X2∑＋u［21］ 1 698.52 35.300 0 7.211 0 0.224 00 0.108 0 19 963.0 AlBr－A1∏［15］ 297.20 6.400 0 0.155 5 0.002 16 0.232 2 19 505.0 BeD－X2∑＋［22］ 1 530.32 20.710 0 5.687 0 0.122 50 0.134 2 31 401.0 H2－X1∑＋g［23］ 4401.21 121.3409 60.809 0 3.062 00 0.074 1 38 289.0 C2－d1∑＋u［16］ 1829.57 13.970 0 1.833 4 0.020 400.123 8 29 949.0表2 部分双原子分子势能参数电子态本文n a b c Murrel－Sorbie 势a1／nm－1 a2／nm－2 a3／nm－3 N＋2－B2∑＋u1－3.605 15 3.353 31－0.870 55 64.712 8 913.860－818.509 PuO－X1∑＋g3－0.642 42 0.495 89－0.119 76 30.346 8 207.143 800.688 PbS－A1∑＋ 1 －0.374 01 0.162 66 －0.035 36 19.547 8 117.409 567.400 H2－X1∑＋g0－2.055 26 0.206 23－0.019 46 39.636 6 406.938 3 585.130 BC－－X3∏ 1 －0.221 01 0.006 89 0.007 01 27.892 5 71.896 635.581 CS＋－A2∏ 3 －0.568 56 0.398 98 －0.089 49 29.300 5 92.541 749.213 He＋2－X2∑＋－u 1 －0.313 41 0.089 85 －0.011 04 32.547 8 100.364 596.149 AlBr－A1∏ 3 －1.236 14 1.349 75 －0.409 94 9.102 95 －93.526 2 050.170 BeD－X2∑＋ 2 －0.658 50 －4.464 66 －0.094 99 21.818 0 55.939 425.910 C2－d1∑＋u3－0.602 14 0.467 27－0.114 10 79.005 2 2 126.73026 539.800表3 异核中性激发态双原子分子PbS－A1∑＋分子振动能级和经典转换点υ R KR 数据U／cm－1 rmin／nm rmax／nm本文U（rmin）／cm－1 U（rmax）／cm－1 Murrel－Sorbies 势U（rmin）／cm－1 U（rmax）／cm－1 0 130.454 0.259 913 0.273 569 130.381 130.379 130.370 130.380 1 390.814 0.255 384 0.279 065 390.536 390.656 390.536 390.733 2 650.444 0.252 405 0.283 013 649.869 650.248 649.505 650.545 3 909.344 0.250 066 0.286 325 908.267 909.253 907.451 909.953 4 1 167.51 0.248 102 0.289 264 1 165.71 1 167.55 1 164.22 1 168.86 5 1 424.95 0.246 392 0.291 952 1 422.17 1 425.22 1 419.74 1 427.37 6 1 681.66 0.244 869 0.294 457 1 677.53 1 682.34 1 673.90 1 685.57 7 1 937.64 0.243 491 0.296 819 1 931.73 1 938.69 1 926.60 1 943.25 8 2 192.89 0.242 228 0.299 068 2 185.06 2 194.44 2 178.13 2 200.609 2 447.41 0.241 062 0.301 225 2 437.05 2 449.70 2 428.00 2 457.73 10 2 701.20 0.239 978 0.303 303 2 687.64 2 704.242 676.16 2 714.41表4 电子态势能函数值与RKR数据比较的均方根误差和相对均方根误差电子态 N 本文排斥支RMSE／cm－1 RRMSE／%吸引支RMSE／cm－1 RRMSE／%Murrel－Sorbies势排斥支RMSE／cm－1 RRMSE／%吸引支RMSE／cm－1 RRMSE／%Na2－X1∑＋g 21 145.1 2.77 52.59 1.00 369.9 7.41 243.3 5.15 O ＋2－X2∏g21 1326 4.65 50.73 0.24 859.7 3.00 171.9 0.65 N＋2－B2∑＋u19 763.7 1.97 380.4 0.90 4 069 10.0 1183 2.94 PuO－X1∑＋g26 452.2 2.74 154.5 0.99 73.67 0.45 50.91 0.33 PbS－A1∑＋ 36 143.6 1.92 24.12 0.33 223.6 3.03 91.12 1.27 BC－－X3∏ 26 206.1 0.82 588.9 2.51 489.8 2.20 102.1 0.43 CS＋－A2∏ 26 814.0 4.10 33.25 0.22 394.2 2.00 54.85 0.27 C2－X1∑＋g22 832.2 2.79 97.49 0.32 938.8 3.19 735.6 2.56 C2－d1∑＋u19 1900 7.59 605.3 2.53 3 158 12.8 3434 20.7 Li2－B1∏＋u17 199.6 4.96 76.45 1.92 2 057 52.3 796.5 21.2 N2＋－X2∑＋g26 884.0 2.19 325.1 0.81 1 828 4.62 2509 6.40 He2＋－X2∑＋u11 442.5 3.45 286.8 2.27 441.0 3.46 62.19 0.54 NaLi－X1∑＋g25 253.3 5.43 12.27 0.37 218.8 4.79 230.0 5.09 BeF－X2∑＋ 17 151.0 0.82 453.2 2.27 70.19 0.40 151.6 0.77 AlBr－A1∏ 11 362.2 16.2 138.1 6.35 533.8 23.8 751.8 33.3 O＋2－A2∏u19 1 119 10.0 82.09 0.93 1 278 11.5 198.4 1.91 BaO－A1∑ 61 264.5 1.12 102.8 0.63 639.1 2.82 247.6 1.14平均值603.3 4.31 203.5 1.45 1 037 9.09 692.5 6.14表5 8种基本电子态平均均方根误差和平均相对均方根误差的统计电子态统计个数本文排斥支RMSE／cm－1 RRMSE／%吸引支RMSE／cm－1 RRMSE／%Murrel－Sorbies 势排斥支RMSE cm－1 RRMSE／%吸引支RMSE／cm－1 RRMSE／%同核中性基态双原子分子3 447.0 3.81 142.5 1.86 481.1 4.28 363.83.24同核中性激发态双原子分子 4 724.1 8.32 320.5 1.83 1 596 21.6 1 370 19.1同核带电基态双原子分子离子 3 884.2 3.43 220.9 1.11 1 043 3.69 914.4 2.53同核带电激发态双原子分子离子 2 941.4 6.00 231.2 0.92 2 674 10.8 691.0 2.47异核中性基态双原子分子 5 640.3 3.28 498.4 1.88 198.5 1.58 279.5 1.82异核中性激发态双原子分子 4 417.6 6.23 72.43 3.00 864.6 10.7 526.6 10.6异核带电基态双原子分子离子 1 206.1 0.82 588.9 2.51 489.8 2.20 102.1 0.43异核带电激发态双原子分子离子2 629.5 3.90 370.8 2.92 1 102 8.60 2 020 16.5从表3～5和图1可以看出，本文给出的势能函数能精确地描述双原子分子在平衡核间距附近很大范围内的相互作用行为；由表4和表5来看，本文给出的势能函数在描述激发态双原子分子，如N＋2－B2∑＋u、PbS－A ∑ 、CS －A ∏、AlBr －A ∏、Li2－B ∏u、C2－d∑u 、O2 －A ∏u 方面明显优于 M－S势.图1 双原子分子的势能曲线—◦—RKR势能曲线；——本给出的势能曲线；┈┈Murrel－Sorbie势能曲线5 结束语本文用余弦形式的基本势函数V（r）＝Acos（φ＋arccos（Re／r））＋B构造出用于描述双原子分子及离子的新的解析势能函数，并取得良好效果.该势能函数具有较好的普适性，适用于描述8种基本类型的双原子分子——同核中性基态双原子分子、同核中性激发态双原子分子、同核带电基态双原子分子离子、同核带电激发态双原子分子离子、异核中性基态双原子分子、异核中性激发态双原子分子、异核带电基态双原子分子离子、异核带电激发态双原子分子离子，其势能计算值均与RKR数据或实验数据相符性好.在描述上述双原子分子方面优于目前应用最为广泛的M－S势能函数.【相关文献】［1］ YIANNOPOULOU Alexandra，JEUNG Gwang－Hi，PARK Su Jin，et al.Undulation of the 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高中物理必修二 7-5探究弹性势能的表达式课件
探究弹性势能的表达式
学 习 目 标
学习重点 理解弹性势能的概念及意义 探究弹性势能与哪些因素有关，能总结出弹性 势能表达式 体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法， 领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力 的思想方法
考查热度 ★★ ★★★
★★★
基 础 梳 理
一、弹性势能 弹性势能：发生弹性形变的物体，由于有弹力的相互作用而 具有的势能．
物理量 内容 表达式 单位 标矢性 1 2 Ep＝ kx 2 焦耳∶J 标量 Ep＝ mgh 焦耳∶J 标量 弹性势能 重力势能
弹性势能与零势能位置选 相对性 取有关，通常选自然长度 时能面 的选取有关，但变化量与 零势能面的选取无关
弹性势能是弹簧本身具有 重力势能是物体与地球这 的能量 一系统所共有的
3．探究弹性势能表达式的方法 (1)微元法：把位移分成很多小段，化变力为恒力，求各小段 做功之和． (2)类比法：Fx 图像与 vt 图像 类比可知，Fx 图像与 x 轴所围的面 积表示弹力的功，如图所示：求此面 1 1 积得到 W 弹＝－ kx· x＝－ kx2. 2 2 1 2 (3)弹性势能的大小： Ep＝－ W 弹＝ kx . 2
三、有关弹性势能常考的模式 1．初态弹性势能、末态弹性势能有一个为零，则弹性势能 的变化的绝对值为末态弹性势能或初态弹性势能． 2．初、末态均有弹性势能，但初末态弹性势能相等 (弹性势 能的大小与弹簧是拉伸还是压缩无关 )，弹性势能的变化为零， 弹簧弹力做功为零． 3．初末态均有弹性势能，但初、末态均为压缩形变或拉伸 形变． 4．初末态均有弹性势能，但一个是压缩形变一个是拉伸形 变．
【答案】 BC
)
B．弹簧的劲度系数 D．弹簧的原长
1 【解析】 弹簧的弹性势能的表达式为 Ep＝ kx2 ，其中 k 为弹 2 簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量，故 B、C 项正确．
高中物理 第七章 机械能守恒定律 第五节 探究弹性势能的表达式课件 新人教版必修2
(2)弹性势能的大小． 1 2 Ep＝－W 弹＝ kx . 2
特别说明 1．对于同一个弹簧伸长和压缩相同的长度时弹性势 能是一样的． 2．形变量 x＝0 时，弹簧为原长，弹性势能为零，此 时弹性势能最小．
【典例 1】 弹簧原长 l0＝15 cm，受拉力作用后弹 簧逐渐拉长，当弹簧伸长到 l1＝20 cm 时，作用在弹簧上 的力为 400 N，问： (1)弹簧的劲度系数 k 为多少？ (2)在此过程中弹力做了多少功？ (3)弹簧的弹性势能变化了多少？
第七章
机械能守恒定律
第五节 探究弹性势能的 表达式
学 习 目 标 1.知道探究弹性势能表 重点 达式的思路. 2.理解弹性势能的概念， 会分析决定弹性势能大 小的相关因素. 难点 3.体会探究过程中的猜 想、分析和转化的方法. 4.领悟求弹力做功时通 过细分过程化变力为恒 力的思想方法.
重 点 难 点 1.探究弹性势能表达式 的过程及方法. 2.弹力做功与弹性势能 的关系．
4．弹性势能表达式． (1)弹力随形变量 x 的变化图线及围成面积的意义． 类比 v－t 图象的面积表示“位移”， F－x 图象的面 积表示“功”．弹力 F＝kx，对同一弹簧 k 一定，F 与 x 成正比，作图如图所示．当发生位移为 x 时，弹力做功为 1 1 2 W 弹＝－ kx·x＝－ kx . 2 2
F 400 解析：(1)k＝ ＝ N/m＝8 000 N/m. Δx 0.2－0.15
(2)由于 F＝kx，作出 F－x 图象如图所示，求出图中 阴影面积，即为弹力做功的绝对值，由于在伸长过程中弹 力 F 方向与位移 x 方向相反，故弹力 F 在此过程中做负 功．由图可得：
F 400 W＝－ (l1－l0)＝－ ×0.05 J＝－10 J. 2 2 (3)ΔEp＝－W＝10 J，即弹性势能增大 10 J. 答案：(1)8 000 N/m (2)－10 J (3)增大了 10 J
CuC、CuN分子基态的结构与分析势能函数
[Article]物理化学学报(Wuli Huaxue Xuebao )Acta Phys.鄄Chim.Sin .,2007,23(7)：1075-1079July Received:Octorber 23,2006;Revised:December 5,2006;Published on Web:May 21,2007.∗Corresponding authors.Email:qiangyongxu@,xmgao@;Tel:+86551⁃5593174ⒸEditorial office of Acta Physico ⁃Chimica SinicaCuC 、CuN 分子基态的结构与分析势能函数许永强∗高晓明∗张为俊(中国科学院安徽光学精密机械研究所环境光谱学实验室,合肥230031)摘要：在Cu 的有效核势近似下,运用密度泛函(B3LYP)方法,对Cu 采用基集合LANL2DZ,但对其价电子基组的p 轨道函数部分做了必要的修改,而对C 、N 采用基集合6⁃311+G(d ),对CuC 和CuN 分子的微观结构进行了理论计算.优化并计算了两分子基态的能量,平衡结构和谐振频率.根据原子分子反应静力学原理,导出了CuC 和CuN 分子基态的合理离解极限和离解能.应用密度泛函(B3LYP)方法扫描了CuC 和CuN 分子基态的势能曲线,并采用最小二乘法拟合了两分子基态的Murrell ⁃Sorbie 势能函数及其在平衡位置附近的Dunham 展开式.同时根据Herzberg 和Dunham 的公式,计算了CuC 和CuN 分子基态的光谱参数.关键词：CuC;CuN;分析势能函数中图分类号：O641Structure and Analytical Potential Energy Function ofthe Ground State of CuC and CuN MoleculesXU Yong ⁃Qiang ∗GAO Xiao ⁃Ming ∗ZHANG Wei ⁃Jun(Laboratory of Environment Spectroscopy,Anhui Institute of Optics and Fine Mechanics,Chinese Academy of Sciences,Hefei 230031,P.R.China )Abstract ：Based on effective core potential of Cu atom,the LANL2DZ basis set for Cu atom and the 6⁃311+(d )basis set for C and N atoms were used.At the same time,the necessary modification was made for the section of p orbit function of valence electrons basis set of Cu atom.The energies,equilibrium structure ,and harmonic frequency of the ground state of CuC and CuN molecules were calculated using density functional theory (B3LYP)method.Based on the theory of atomic and molecular statics,the reasonable dissociation limit and dissociation energy for the ground state of CuC and CuN molecules were derived.The potential energy curve scan for the ground state of CuC and CuN molecules was carried out with density function theory (B3LYP)method.Murrell ⁃Sorbie analytical potential energy function and its Dunham expansion around equilibrium position were also derived with nonlinear least ⁃square fit.At the same time,the spectroscopic constants for the ground state of CuC and CuN molecules were calculated following the formula of Herzberg and Dunham.Key Words ：CuC;CuN;Analytical potential energy function分子势能函数是研究原子分子碰撞和分子反应动力学的基础,也是研究分子稳定性的依据.它在辐射化学、激光化学等方面有广泛应用.过渡金属碳化物和氮化物的双原子分子,由于其在天文、催化反应等领域所处的重要地位,已经颇受人们关注,特别是近年来,随着激光技术以及计算软件和硬件的发展和革新,对它们进行高分辨率的光谱分析和高精度的从头计算日益增多,有不少关于这方面的文献报道.如Cheung 等[1]用高灵敏的CRLAS(cavity ring ⁃down laser absorption spectroscopy)技术获得了IrC 分子波长在445-500nm 之间的吸收谱.Rixon 等[2]通过高分辨率的LIF(laser induced fluorescence)光谱1075Acta Phys.鄄Chim.Sin.,2007Vol.23的转动分析,表明ZrC分子的基态是3Σ+,得到了核的超精细结构.Han等[3]用THz⁃TDS(Terahertz time domain spectroscopy)技术首先观察到了在过渡金属锆化物(ZrN、ZrC、ZrO2、ZrF4)的低频振动光谱中吸收峰的移动.Steimle等[4]测量了WN和ReN分子的高分辨率的激光诱导荧光光谱,报道了两分子的永久电偶极矩.朱瑜等[5]在Pd的RECP近似下,运用密度泛函(B3LYP)方法,对PdN和PdN2分子的分子结构和分析势能函数进行了理论计算.李权等[6]对PuX+(X=H,O,C,N)分子离子体系进行了理论研究,得到了相应的几何性质、力学性质和光谱数据.李赣等[7]采用密度泛函B3LYP方法和相对论有效原子实模型优化了PuC和PuC2分子的稳定构型,导出了基态PuC和PuC2分子的分析势能函数.但是,到目前为止,对于CuC和CuN分子,还未见实验结果的报道.理论方面,Daoudi等[8]对CuN和CuN+的势能曲线和电子结构进行了系统的从头计算,但还未见有关其分析势能函数的报道.用量子力学从头计算,可以获得完整的分子结构和光谱数据,在计算小分子和轻分子时,能够很好地与实验结果吻合[9-12],且可以补充和完善实验无法得到的数据.在应用于重元素时,要采用有效原子实势和相对论有效原子实势.目前,这种方法已经广泛应用于过渡金属和镧系、锕系的重金属化合物的计算[13-16].本文应用Gaussian03程序,用有效原子实势的从头算方法对CuC、CuN分子进行研究.1CuC、CuN分子的基态和离解极限分子的性质与分子的电子结构有关,主要决定于分子的外层电子结构,而分子的轨道能级分布决定了分子的电子结构.C、N的2s和2p与Cu的3d 和4s价轨道之间的相互作用组成了CuC和CuN 分子的7σ、8σ、9σ、10σ、3π、4π和1δ轨道[17].7σ轨道主要具有C、N的2s轨道的特征.8σ轨道和3π轨道是Cu的3dσ和3dπ与C、N的2pσ和2pπ的成键轨道.1δ是非键轨道,几乎完全由3dδ轨道组成.9σ主要具有非键轨道的特征,主要由Cu的4sσ轨道组成.10σ和4π是8σ和3π的反键轨道.按照分子能级由低到高的顺序排列依次为7σ、8σ、3π、1δ、9σ、4π和10σ轨道.由能量最低原理,CuC和CuN基态的电子组态分别为7σ28σ23π41δ49σ24π1和7σ28σ23π41δ49σ24π2,其中CuN增加的1个电子进入不同的π轨道,故CuC和CuN分子的基态分别为X2Π和X3Σ-.分子势能函数对应一定的电子态,为了准确表达体系的势能函数,必须确定正确的离解极限和可能的电子态.根据原子分子反应静力学中的分离原子法[18,19],能确定可能的电子状态.Cu和C、N的基电子态分别为2S g,3P g和4S u,属于SU(n)群,CuC、CuN 属于C∞v群.Cu(2S g)、C(3P g)和N(4S u)分别分解为C∞v 群的不可约表示的直和为2S g=2Σ+,3P g=3Σ-⊕3Π,4S u=4Σ-组合2S g+3P g和组合2S g+4S u的直积分别为2Σ+⊗(3Σ-⊕3Π)=2,4Σ-⊕2,4Π,2Σ+⊗4Σ-=3,5Σ-可见分别含有两分子的基电子态.计算得到Cu,C 原子基电子态2S g,3P g的能量分别为-196.1166799 hartree,-37.8572668hartree,两者之和为-233.9739467 hartree与X2Π势能曲线的渐进线能量值-233.97396 hartree一致.故CuC分子X2Π态的离解极限为CuC(X2Π)➝Cu(2S g)+C(3P g),同理可得CuN分子基态的离解极限为CuN(X3Σ-)➝Cu(2S g)+N(4S u)2计算方法对于过渡金属来说,最外层s轨道之外的p轨道虽然没有占据电子,但对过渡金属配合物的结构却有重大的影响.而高斯内部的基组,如这里我们采用的LANL2DZ基组,对p轨道的描述未能涉及到外层未占据的p轨道,所以在研究与过渡金属有关的性质和反应时,对价电子基组做修改是有必要的.本文在Cu的有效核势近似下,运用B3LYP方法,对Cu采用基集合LANL2DZ,但对其价电子基组的p轨道函数部分做了必要的修改.而C、N采用基集合6⁃311+G(d),分别对CuC和CuN分子基态进行了理论计算.为了确定修改的必要性,同时采用B3LYP方法以及修改后的价基集合对Cu2分子基态进行了计算.并把计算结果与文献[20]在B3LYP/ LANL2DZ水平对Cu2分子的计算结果和实验值[21]进行了比较,如表1所示.表中三个光谱常数分别为平衡键长R e,谐性频率ωe和离解能D e.可见,采用修改后的基组的计算结果更接近实验值.对于CuC和CuN分子,由于没有实验值作参考,在此就不再进行一一比较.其中未修改与修改后的LANL2DZ价基集合p轨道函数部分如表2所示[22].表2中P指P壳层,是高斯基组输入的一种定义.1076No.7许永强等：CuC 、CuN 分子基态的结构与分析势能函数3CuC 、CuN 分子基态的势能函数和光谱参数3.1分析势能函数首先,分别对CuC 和CuN 分子的基态进行了几何优化和谐振频率分析,所得结果如表3所示.然后,分别对CuC 和CuN 分子的基态进行单点能扫描.扫描过程中使用的各种参数除两原子之间的距离在不断变化外,其它参数均与结构优化时保持严格一致.对于绝大多数的双原子分子,Murrell ⁃Sorbie(M ⁃S)函数均能描述分子的短程和长程作用区域,是目前最好的分析势能函数之一.当通过势能面扫描得到CuC(X 2Π)和CuN(X 3Σ-)分子基态的一系列单点势能值之后,用最小二乘法拟合其M ⁃S 函数:V =-D e (1+a 1ρ+a 2ρ2+a 3ρ3)exp(-a 1ρ)式中ρ=r -R e ,r 和R e 分别为核间距和平衡核间距.D e为离解能,a 1、a 2、a 3为拟合系数.拟合结果见表4.此外,M ⁃S 函数在平衡位置附近可以做Dunham 展开[23]V =b 0ξ2(1+b 1ξ+b 2ξ2+b 3ξ3+b 4ξ4+b 5ξ5+b 6ξ6)式中ξ=r /R e -1,b 0,…,b 6为拟合系数,结果一并列于表4中.3.2CuC 和CuN 分子基态的光谱数据M ⁃S 势能函数的系数与各阶力常数的关系如下:f 2=D e (a 21-2a 2)f 3=6D e (a 1a 2-a 3-a 31/3)f 4=3D e (a 41-4a 21a 2+8a 1a 3)f 2、f 3、f 4分别为二阶、三阶和四阶力常数,使用以下公式可以计算光谱参数:B e =h /8π2ucR 2e αe =-(6B 2e /ωe )(f 3R e /3f 2+1)ωe χe =(B e /8)[-f 4R 2e /f 2+15(1+ωe αe /6B 2e )2]ωe =(f 2/4π2uc 2)1/2式中,B e 和αe 分别是平衡转动常数和振动⁃转动耦R e /nmωe /cm -1D e /eV Ref.[20]0.2260276.1 2.883This work 0.2258257 2.041Expt.[21]0.22195264.552.078表1Cu 2分子基态的光谱参数Table 1Spectroscopic parameters of the groundstate of Cu 2moleculeunmodifiedmodified P31.000.000000000000P31.000.0000000000000.2563000000D+02-0.4891730019D ⁃010.2563000000D+02-0.4891730019D ⁃010.3166000000D+010.6272854025D+000.3166000000D+010.6272854025D+000.1023000000D+010.4716188019D+000.1023000000D+010.4716188019D+00P 11.000.000000000000P41.000.0000000000000.8600000000D ⁃010.1000000000D+010.2563000000D+020.7662860000D ⁃02P11.000.0000000000000.3166000000D+01-0.1180690800D+000.2400000000D ⁃010.1000000000D+010.1023000000D+01-0.3073332000D ⁃010.8600000000D ⁃010.8698353200D+00P11.000.0000000000000.2400000000D ⁃010.1949682400D+00表2未修改与修改后的LANL2DZ 价基集合p 轨道函数部分Table 2The section of p orbit function of the unmodified and modified LANL2DZ valence electron basisMolecule State R e /nm ωe /cm -11030μ/C ·m E (hartree)CuC X 2Π0.18545565.44569.7371-234.0501045CuNX 3Σ-0.1827541.150912.4860-250.7851576表3CuC 和CuN 分子基态的优化计算结果Table 3Optimization calculations of the groundstate of CuC and CuN moleculesM ⁃S D e /eV a 1/nm -1a 2/nm -2a 3/nm -31016f 2/(J ·nm -2)1015f 3/(J ·nm -3)1014f 4/(J ·nm -4)X 2Π 2.08919.693-115.726273.721 2.07-10.22537.406X 3Σ- 1.85223.275-81.524403.472 2.088-11.56348.47Dunham b 0b 1b 2b 3b 4b 5b 6X 2Π20.465-3.126 6.637-11.25312.827-8.086 2.096X 3Σ-20.681-3.4117.502-12.65414.431-9.2302.444表4CuC(X 2Π)和CuN(X 3Σ-)分子基态分析势能函数的系数和力常数Table 4Coefficients and force constants of analytical potential energy functions for the ground state ofCuC(X 2Π)and CuN(X 3Σ-)molecules1077Acta Phys.鄄Chim.Sin.,2007Vol.23合常数,ωe χe 和ωe 分别为非谐性频率和谐性频率,u 为分子的约化质量,c 为光速.由M ⁃S 势能函数的系数、力常数与光谱常数之间的关系,计算得到的光谱数据见表5.其它文献报道的结果也一并列入.可见,对于CuC,这里采用修改的LANL2DZ 基函数和文献[24]采用收缩价基计算结果吻合得较好.至于CuN,本文结果与文献[8]的报道差别稍微大一些,这是由于它们是在不同的理论模型和基组下得到的,而计算结果强烈地依赖所选择的理论模型和基组.方法和基组的选择对于精确的光谱性质的计算是非常重要的.至于选择那一种理论模型和基组更符合CuN 分子,有待于实验的进一步验证.由M ⁃S 势能函数系数与光谱常数的关系只能计算薛定谔方程的能量本征值的低阶修正的光谱参数,为了得到更高阶修正的光谱参数,可以根据Herzberg [25]和Dunham [23]的公式进行理论计算.由Herzberg 和Dunham 关系式得到的光谱数据见表6.综观表3、表5和表6发现,对于ωe ,M ⁃S 势能函数拟合值与表3的计算结果有大约4%的误差,而Dunham 势能函数拟合值与其吻合的较好.这是由于两者所采用的曲线拟合范围不同造成的.一般说来,拟合范围越靠近平衡位置附近,拟合数值与计算值越接近.然而Dunham 势能函数不能描述长程作用区域,对于长程作用区域的描述,M ⁃S 势能函数是目前最好的分析势能函数之一.但是,M ⁃S 函数也不是完全精确的双原子分子分析势能函数,更好的分析势能函数,有待于在实践中进一步研究.3.3CuC 和CuN 分子基态的势能曲线图1、图2分别给出了CuC 、CuN 分子基态的M ⁃S 势能曲线和Dunham 势能曲线.图中离散点为理论计算势能值,实线为这些单点的拟合势能曲线,由图可见,扫描得到的势能曲线与拟合曲线符合的很好,这说明M ⁃S 和Dunham 势能函数能正确反映CuC 、CuN 分子基态的势能函数.图1CuC 和CuN 分子基态的M ⁃S 势能曲线Fig.1Murrell ⁃Sorbie potential energy curves forthe ground state of CuC and CuN molecules表5CuC(X 2Π)和CuN(X 2Σ-)分子基态的光谱常数Table 5Spectroscopic constants of the ground state of CuC(X 2Π)and CuN(X 2Σ-)moleculesStateB e /cm -1αe /cm -1ωe /cm -1ωe χe /cm -1R e /nm D e /eV this work X 2Π0.486 4.93×10-3589.779 4.720.18545 2.089Ref.[24]5850.1843 2.04(D 0)this work X 3Σ-0.4414.98×10-3555.62 5.130.1827 1.852Ref.[8]613.90.18161.203表6应用Herzberg 和Dunham 公式计算得到的CuC(X 2Π)和CuN(X 3Σ-)分子基态的光谱常数Table 6Spectroscopic constants of the ground state of CuC(X 2Π)and CuN(X 3Σ-)moleculescalculated using the formula of Herzberg and DunhamThe unit for spectroscopic constants is cm -1,Y l ,m is the coefficients of the energy levels expression of Dunham,E v ,J /h =l ,m移Y l ,m (ν+1/2)l J m (J +1)m ,h is Planckconstant,νis the vibrational quantum number,J is the rotational quantum number.The connection between the Y l ,m and the spectroscopic constants is asfollows:Y 10-ωe ,Y 20--ωe χe ,Y 30-ωe y e ,….Item Y 00Y 10(ωe )Y 20(-ωe χe )Y 30(ωe y e )Y 40(ωe Z e )X 2Π0.1707565.437-4.0670.014-7.263×10-4X 3Σ-0.1183541.145-4.6580.0149-6.224×10-4Y 01(Be)Y 11(-αe )Y 21(γe )Y 31Y 02(D )X 2Π0.486-5.33×10-3 2.47×10-5-9.214×10-7-1.436×10-6X 3Σ-0.441-5.20×10-31.30×10-5-5.887×10-7-1.172×10-6Y 12(βe )Y 22Y 03(F e )Y 13Y 04(H e )X 2Π4.475×10-9-1.751×10-10-5.347×10-133.424×10-14-2.705×10-18X 3Σ--3.289×10-9-0.844×10-10-12.787×10-6-1.088×10-14-8.077×10-181078No.7许永强等：CuC 、CuN 分子基态的结构与分析势能函数4结论根据原子、分子反应静力学原理推导了CuC 和CuN 分子基态的电子状态和离解极限.应用Gaus ⁃sian 03程序,在Cu 的有效核势近似下,运用B3LYP 方法,对Cu 采用基集合LANL2DZ ,但对其价电子基组的p 轨道函数部分做了必要的修改,而C 、N 采用基集合6⁃311+G(d ),对CuC 和CuN 分子基态进行了理论计算.分别对两分子的基态进行了几何优化和谐振频率分析,给出了它们的电子基态的分析势能函数,由此进一步计算了CuC 和CuN 分子的光谱参数.由计算得到的CuC 和CuN 分子势能函数解析式反映了它们的结构特征和能量变化,为分子光谱的实验研究提供了参考数据.致谢：作者感谢四川大学原子分子物理研究所高涛老师在论文写作过程中给予的指导和帮助.References1Ma,T.M.;Leung,J.W.H.;Cheung,A.S.C.Chem.Phys.Lett.,2004,385:2592Rixon,S.J.;Chowdhury,P.K.;Me.J.J.Mol.Spectro.,2004,228:5543Han,J.G.;Wan,F.;Zhu,Z.Y.;Liao,Y.;Ji,T.;Ge,M.;Zhang,Z.Y.Appl.Phys.Lett.,2005,87:1721074Steimle,T.C.;Virgo,W.L.J.Chem.Phys.,2004,121:124115Zhu,Y.;Jiang,G.;Fang,F.;Yu,G.F.;Zhu,Z.H.Acta 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2019年高中物理第七章第5节探究弹性势能的表达式课件新人教版必修2
2．弹性势能与重力势能同属于势能，由此，影响弹性
势能的因素猜想如下：
重力势能
弹性势能
与物体被举起的高度 h 可能与弹簧的形变量 l 有关
影响 有关
因素 不同质量物体的高度相 形变量相同但劲度系数 k 不
3．使用范围 在弹簧的弹性限度之内，该式总是成 立的，与系统所受其他力的情况无关，与 系统的运动状态无关。 4．与重力势能对比 弹性势能与弹力做功的关系，重力势 能与重力做功的关系遵从同样的规律，这 一规律对于其他形式的势能也是适用的。
[典型例题] 例 2.在水平地面上放一竖直轻弹簧，弹 簧上端与一个质量为 2.0 kg 的木块相连，若 在木块上再作用一个竖直向下的力 F，使木 块缓慢向下移动 0.10 m，力 F 做功 2.5 J。 此时木块再次处于平衡状态，力 F 的大小 为 50 N，如图所示，g 取 10 m/s2，求：
[解析] 所有发生弹性形变的物体都具 有弹性势能，A 错误；弹簧伸长和压缩时都 具有弹性势能，B 错误；根据弹性势能的表 达式 Ep＝12kx2，C 正确；火车车厢底下的弹 簧比自行车车座底下的弹簧劲度系数大，所 以压缩相同长度时火车车厢底下的弹簧具 有的弹性势能大，D 错误。
[答案] C
[点评] 关于弹性势能的两点提醒 (1)对于同一个弹簧，伸长和压缩相 同的长度时弹性势能是相同的。 (2)弹性势能表达式 Ep＝21kx2。高考 中不作要求，但熟记公式可迅速判断弹性 势能的大小及弹性势能的变化。
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量 成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力 做的功不相等
C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
势函数
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
式中，rij=| rij |。表示i和j两个原子之间的距离；ψij是对势。 不包括任何内聚力的最简单的经典对势就是硬球模型．即：
ij rij 0
r r
ij ij
r0
r0
(7.2)
式中，r0是截断半径，这里相当于硬球半径。 既包含排斥作用又包含吸引作用的较光滑的势就是所谓的 勒纳德-琼斯势，它是针对惰性气体的研究而发展起来的。
7.2 经验性对势模型和弱赝势模型
对立方系金属在取各向同性极限时 C1122-C2323=C2323/2≠0 对于六角和三角系金属，其柯西关系为 C1133=C2323和3C1212=C1111 存在于金属晶体弹性常数之间的柯西偏差，当且仅当所用 模型附加有晶格常数小于其平衡值的边界条件，才能得到 与实验值相符合的结果。第二类对势所描述的经典经验性 原子间作用力，在其中引入了赝势，并且含有较大的与平 均密度相关的贡献。然而，对模拟晶格缺陷来说，这种均 匀密度假说通常是不正确的。
7.3 各向同性多体对泛函势
各种各向同性多体或简单的对泛函势是一类改进完善的经 验或半经验势。这些模型中的大多数都具有这样一个原则： 原子内聚能主要由该原子所在格座处的局域电于密度决 定。局域电子密度来自于目标原子格座的近邻原子的负 献。 减聚能主要由反映静电排斥作用的对势贡献来解释。 各向同性多体势既可用于研究那些更严格的方法所难以处 理的复杂系统，也可用于不太依赖于能量关系细节的那些 普通性质的研究。
1 N Etot 2 i 1 j
j 1i
r U
N ij ij
(7.5)
探究弹性势能的表达式PPT精品课件
解决措施——跨流域调水 修建水库
练习2
（（12））写年出径图流中总字量母最代大表的的洲大是洲＿名＿称＿：＿；年径流总量最小的洲是＿ A＿. ＿＿＿＿。＿＿＿ C．＿＿＿＿＿ B（. 3＿）＿从＿降＿水＿量来D．看＿，＿非＿洲＿比＿北美洲＿＿＿＿，但从年径流总量来 看，非洲比北美洲＿＿，原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
不要让我们的眼泪成为最后一滴水！
练习1 、读下面“世界七大洲年径流总量分布图”，回答下列问题
（1）世界各大洲江河年径流总量是由 量和
量决定的。
（洲（2年）3径）非总亚洲量洲面比年积非径比洲流南大总美？量洲最大大，，而为且什赤么道近都年穿来过亚两洲大许洲多，国为家什闹么“南水美 荒”？试从自然因素和社会因素分析原因。
缺水的原因
• 全球真正有效利用的淡水资源少
自然原因
• 分布不均（时间和空间）
• 人口增长
• 水污染严重 • 水的重复利用率低
人为原因
• 森林破坏严重
缺水的原因——人为原因
工业废水处理率和排放达标率
80 60 40 20
0 1991
1993
1995
年份
工业废水处理率 （%） 工业废水排放达标 率（%）
有关。 “弹性势能”会与什么因素有关？
问题与思考
6、重力做的功等于重力势能增量的负值； 重力做正功：重力势能减少 重力做负功：重力势能增加
弹簧弹力的功与弹性势能的改变有何关系?
5-5 探究弹性势能的表达式
一、弹性势能的定义 发生弹性形变的物体的各部分
之间，由于有弹力的相互作用而具 有的势能
二、弹性势能的表达式中可能涉及到
非洲
亚洲
30
12
势能参数的确定与估算
势能参数的确定与估算势能是物体在位移过程中所具有的能量。
在物理学中，势能常常与势函数相关联，即物体在一些位置的势能等于该位置的势函数值。
势能参数的确定与估算是一个重要的问题，本文将从理论和实践两方面进行讨论。
一、理论方法的势能参数估算1.势函数的形式：首先需要确定势函数的形式，常见的势函数有平方势函数、线性势函数、斥力势函数等。
根据系统的特点选择合适的势函数形式。
2. 物理原理和方程：利用物理原理和方程来确定势能的参数。
以重力势能为例，根据重力定律和引力势能的定义，可以得到重力势能的表达式为Ep = mgh，其中m为物体质量，g为重力加速度，h为高度。
这个表达式中的参数都是已知的，所以可以通过测量和计算得到重力势能。
3.实验数据：通过实验数据来估算势能参数。
例如，在弹簧振子的问题中，弹簧势能可以用劲度系数k和位移量x来表示，可以通过测量弹簧劲度系数和位移量的变化来确定势能参数。
4.能量守恒原理：利用能量守恒原理也可以确定势能参数。
当物体在势能和动能之间交换时，它们的总和保持不变。
通过观察物体在不同位置的势能和动能变化情况，可以利用能量守恒原理来估算势能参数。
二、实践中的势能参数估算1.弹簧形变能：在实践中，弹簧的形变能通常是通过弹簧的劲度系数k和形变量x计算得到的。
当弹簧形变时，劲度系数k不变，因此可以根据弹簧劲度系数和形变量来估算弹簧的形变能。
2.电势能：电势能是电荷在电场中具有的能量。
在实践中，可以通过测量电势差和电荷量来估算电势能。
根据电势能的定义，电势差乘以电荷量即为电势能的大小。
3.位移和力的关系：在有些情况下，可以通过测量位移和受力大小来估算势能参数。
例如，当物体在重力场中垂直上抛时，可以测量物体的高度和速度来估算重力势能的大小。
综上所述，势能参数的确定与估算可以通过理论方法和实践经验来进行。
在理论方面，可以利用物理原理和方程来确定势能的参数；在实践中，可以通过测量实验数据和利用能量守恒原理来估算势能参数。
2020-2021学年高中物理必修2人教版课件：7.5 探究弹性势能的表达式
机械能守恒定律
5.探究弹性势能的表达式
学习目标
1.知道探究弹性势能表达式的思路。 2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹簧 弹性势能大小的因素。 3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的 方法。 4.领悟求弹力做功时通过细分过程，化变 力为恒力的思想方法。源自思维导图研读教材·自主学习
知识点一 弹性势能 阅读教材第 67 页内容。 1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有_弹__力__的相互作用而具 有的势能。 2．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为_原__长__时，弹性势能为 0。弹簧被_拉__长__ 或被_压__缩__时，就具有了弹性势能。
两根等长的软、硬弹簧 压缩程度相同 硬弹簧把木块弹出得________
(2)根据上述实验，试分析弹性势能的产生需要什么条件？
(3)试分析木块被弹出的过程中能量是怎样转化的？ 提示： (1)越远 更远
(2)①弹性 ②弹力
(3)被压缩的弹簧对木块做功，把自身的弹性势能转化为木块的动能。
[归纳总结] 1．弹性势能的产生及影响
2．弹性势能的表达式：Ep＝12kl2，l 为弹簧的伸长量或压缩量。 3．系统性：弹性势能是发生弹性形变的物体上所有质点因相对位置改变而 具有的能量，因此弹性势能具有系统性。 4．相对性：弹性势能的大小与选定的零势能位置有关，对于弹簧，一般规 定弹簧处于原长时的势能为零势能。
(2019·海淀区高一检测)如图所示，质量不计的弹簧，一端固定在地面
考点二 弹力做功与弹性势能的关系 [问题探究] 如图所示，将固定于竖直弹簧下端的小球由平衡位置 O(小球原来静止位置) 向下拉至位置 M 由静止释放，则从释放点 M 到最高点 N(此时小球加速度小于 g) 过程中： (1)重力做什么功？重力势能怎么变化？ (2)弹力做什么功？弹性势能怎么变化？ (3)若距离 MO＝ON，则小球位于 M 和 N 位置时，弹簧的弹性势能相同吗？
势能公式_精品文档
势能公式引言势能公式是物理学中的一个重要概念，用于描述系统的势能与其位置和状态之间的关系。
它在各个领域都有广泛的应用，例如在力学、电磁学、量子力学等领域中，势能公式都起着关键的作用。
本文将重点介绍势能公式的概念、定义和应用。
一、势能的概念在物理学中，势能是描述物体或者系统在某种场或者力的作用下所具有的能量。
它与物体所处的位置有关，而不仅仅是与运动状态有关。
势能可以分为两种类型：重力势能和弹性势能。
重力势能是物体在地球重力场中的势能，而弹性势能则是物体由于被压缩或拉伸而具有的势能。
二、势能公式的定义势能公式是描述势能与位置和状态之间关系的数学表达式。
对于重力势能，可以用公式PE = mgh来表示，其中PE表示重力势能，m表示物体的质量，g表示重力加速度，h表示物体相对于参考点的高度差。
对于弹性势能，可以用公式PE = 1/2kx^2来表示，其中PE表示弹性势能，k表示弹簧的劲度系数，x表示弹簧的伸长或压缩量。
三、势能公式的应用1. 力学中的应用在力学中，势能公式广泛应用于描述物体在不同位置的势能差和力的变化。
例如，利用重力势能公式，我们可以计算物体在不同高度之间的势能差，从而得到物体下落时的动能转化情况。
同时，利用弹性势能公式，我们可以计算物体被弹簧压缩或拉伸时的势能变化，从而推导得到物体受到弹簧力时的运动规律。
2. 电磁学中的应用在电磁学中，势能公式用于描述带电物体在电场或磁场中的势能。
对于带电粒子在电场中的势能，可以利用公式PE = qV来表示，其中PE表示电势能，q表示物体的电荷量，V表示电势。
对于带电粒子在磁场中的势能，可以利用公式PE = -μ·B来表示，其中PE表示磁势能，μ表示物体的磁矩，B表示磁场强度。
3. 量子力学中的应用在量子力学中，势能公式被用于描述粒子在势场中的运动和态的变化。
根据薛定谔方程，势能可以影响粒子的能量和波函数。
例如，当粒子受到势能的限制时，它的能量将受到约束，并且存在特定的能级。
PuH分子的势能函数与垂直电离势的理论计算
PuH分子的势能函数与垂直电离势的理论计算
李权;吴开映;卢红
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(025)002
【摘要】用密度泛函B3LYP方法计算得到PuH分子基态X8Σ-,PuH+分子离子基态X7Σ-和PuH2+分子离子基态X8Σ-的势能函数、力常数与光谱数据,并算出PuH分子的垂直电离势.
【总页数】2页(P189-190)
【作者】李权;吴开映;卢红
【作者单位】四川师范大学,化学与生命科学学院,四川,成都,610066;四川师范大学,化学与生命科学学院,四川,成都,610066;四川师范大学,化学与生命科学学院,四川,成都,610066
【正文语种】中文
【中图分类】O561.1
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