正交变换的几何意义及其应用

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施密特正交化的几何意义

施密特正交化的几何意义【摘要】施密特正交化是线性代数中的一个重要概念，通过一系列步骤将原始向量组转化为正交的规范正交基。

这种方法在几何学中具有重要意义，可帮助解决向量空间中的问题并简化计算。

施密特正交化的几何意义在于通过构建正交基来描述向量空间的结构，从而更清晰地理解向量之间的关系。

这种正交化方法也被广泛应用于几何问题的解决和数据分析中，能够提高计算效率和结果的准确性。

施密特正交化也存在一定的局限性，可能会引入舍入误差或导致正交性不完全。

未来，随着数据科学和机器学习的快速发展，施密特正交化方法需要不断改进和适应新的领域需求，以更好地发挥其作用。

施密特正交化的实际意义在于提供一种有效的数学工具，但需要在实践中谨慎使用并充分考虑其局限性和适用性。

【关键词】1. 引言1.1 施密特正交化的重要性施密特正交化是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用价值和理论意义。

在实际问题中，我们常常需要处理高维度的数据，并且这些数据可能存在多重相关性。

而施密特正交化的作用就在于将原始的线性无关的数据转化为正交的基向量，方便进行数据分析和处理。

通过施密特正交化，我们可以更好地理解数据之间的关系，提取出数据中的主要信息，减少数据冗余，从而提高数据处理的效率和准确性。

施密特正交化还可以用来解决各种几何问题，如求解投影、距离等，为几何学和计算几何学提供了重要的数学工具。

施密特正交化在数学理论和实际应用中都有着重要的地位，对于数据分析、几何问题和其他领域的研究具有重要的意义和作用。

1.2 施密特正交化的定义施密特正交化是一种特殊的向量正交化方法，用于将一组线性无关的向量组转化为一组正交化的向量组。

在施密特正交化中，首先选取一个向量作为新的基向量，然后将其他向量投影到这个基向量上，得到一个新的正交向量。

接着选取第二个向量作为新的基向量，重复上述步骤，直到所有向量都被处理过。

最终得到的向量组就是一组正交化的基向量。

施密特正交化的核心思想是通过投影的方式将原始向量组转化为正交向量组，使得向量之间彼此垂直。

paper41：正交变换

paper41：正交变换正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的，包含旋转，及上述变换的复合。

⼏何意义正交变换是保持图形形状和⼤⼩不变的⼏何变换，包含旋转，轴对称及上述变换的复合。

代数定义欧⼏⾥得空间V的线性变换σ称为正交变换，如果它保持向量内积不变，即对任意的α，β∈V，都有(σ(α),σ(β))=(α,β)设σ是n维欧式空间V的⼀个线性变换，于是下⾯4个命题等价1.σ是正交变换2.σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，⼁σ(α)⼁=⼁α⼁3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是标准正交基，那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是标准正交基4.σ在任意⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵正交矩阵定义:n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A'A=E。

(A'表⽰A的转置，E是单位矩阵)分类设A是n维欧式空间V的⼀个正交变换σ在⼀组标准正交基下的矩阵若⼁A⼁=1，则称σ为第⼀类正交变换，若⼁A⼁=-1，则称σ为第⼆类正交变换。

Matlab傅⽴叶变换、余弦变换和⼩波变换1. 离散傅⽴叶变换的 Matlab实现Matlab 函数 fft、fft2 和 fftn 分别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFT 算法；⽽函数 ifft、ifft2 和 ifftn 则⽤来计算反 DFT 。

这些函数的调⽤格式如下：A＝fft(X,N,DIM)其中，X 表⽰输⼊图像；N 表⽰采样间隔点，如果 X ⼩于该数值，那么 Matlab 将会对 X 进⾏零填充，否则将进⾏截取，使之长度为 N ；DIM 表⽰要进⾏离散傅⽴叶变换。

A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS 和 NCOLS 指定对 X 进⾏零填充后的 X ⼤⼩。

别可以实现⼀维、⼆维和 N 维 DFTA＝fftn(X,SIZE)其中，SIZE 是⼀个向量，它们每⼀个元素都将指定 X 相应维进⾏零填充后的长度。

函数 ifft、ifft2 和 ifftn的调⽤格式于对应的离散傅⽴叶变换函数⼀致。

正交变换的应用及数学方法论意义

指导教师:赵峰2012年4 月25 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录引言 (1)1 正交变换的定义 (1)2 正交变换的性质 (2)3正交变换法化二次标准型 (2)3.1正交变换化二次标准型的步骤 (3)3.2正交变换在二次标准型中的应用 (3)4 正交变换在积分中的应用 (7)4.1在多元积分学中的应用 (7)4.2重积分在正交变换下形式不变性 (9)4.3 正交变换在区面积分中的应用 (10)5 正交变换的数学方法论的意义 (12)5.1一般化 (12)5.2代数化 (12)5.3 模型化 (12)结语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)摘要正交变换是欧氏空间中一类重要的变换，是保持度量不变的变换，正因为它有这一特征，使正交变换在高等代数中起着重要的作用．不仅如此，它在其它领域也有着广泛的应用，如在积分应用中，在多重积分及其曲面积分等方面．本文简单的介绍了正交变换的定义及其性质，讨论了正交变换化二次标准型的步骤及其广泛应用，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证，证明了第一类曲面积分和重积分在正交变换下的不变性。

因而可将其应用于简化多元函数积分计算．正交变换的此类应用充分体现了一般化、代数化、模型化的数学方法论。

关键词：正交变换；二次型；变量替换；重积分；曲面积分；数学方法论AbstractThe orthogonal transformation, a transformation that maintains the measure invariable, is one of the most important transformations in the field of euclidean space.Benifiting from this feature, it plays an important role in the advanced algebra. Furthermore，it applies widely in many other fields，such as the applications of integration, like the multiple integrations , the surface integrations and so on.This paper introduces the definition and properties of the orthogonal transformation briefly,it also discusses the procedures and wide applications of the secondary standard of the orthogonal transformation,using the orthogonal transformation to make a variable substitution is a good instance to prove the perfect combination of the mathematical analysis and algebraic approach,it demonstrates the invariance of the the first class of the surface integrations and double integrations under the orthogonal transformation. Thus,the orthogonal transformation can be applied in( the numerical integration of simplifying the function of many cariables.This kind of application of the orthogonal transformation fully embodies such mathematical methodologies as the generalization，the algebraization, and the modeling.Keyword：Orthogonal transformation; Quadratic ；Variable Substitution；Multiple integral；Surface integrals；Mathematical methodology引言随着近代数学的发展,数学的各学科间的相互渗透显得越来越重要,特别是代数的方法运用更为突出,在现行的数学分析教材中,某些内容也注意到代数的方法的运用,但还需进一步加强, 将数学分析与代数方法结合, 是解决问题的途径之一, 更是培养学生数学能力的重要内容，有利于培养学生综合运用基础知识的能力。

施密特正交化的几何意义

施密特正交化的几何意义1. 引言1.1 施密特正交化的背景意义施密特正交化是一种重要的线性代数方法，用于将一个线性空间中的任意一组基变换为一组正交基。

这个方法的背景意义在于，正交基可以更好地描述向量空间的性质，使得计算更加简单且容易理解。

在实际应用中，施密特正交化可以帮助求解线性方程组，求解特征值和特征向量等问题。

正交基的一个重要特点是它们相互独立，这意味着它们可以更好地表示向量空间中的信息，同时也更容易进行计算。

在数学建模和科学计算中，正交基的使用大大简化了问题的求解过程，提高了计算的效率。

施密特正交化的背景意义还在于它与内积空间的关系。

内积空间是一个具有内积运算的向量空间，而正交基是内积空间中的一组特殊基。

通过施密特正交化，我们可以将任意一组基转化为内积空间中的正交基，从而更好地利用内积运算的性质。

1.2 施密特正交化的定义施密特正交化是线性代数中的一种重要概念，用于将任意向量空间中的基向量集合转换为正交基向量集合。

正交基向量集合具有许多优点，例如在计算过程中可以简化运算，减小误差传播等。

施密特正交化的定义如下：对于任意给定的线性无关向量集合\{v_1, v_2, ..., v_n\} ，我们可以通过一定的变换过程得到一个正交基向量集合\{u_1, u_2, ..., u_n\} ，使得这个新的向量集合满足以下两个条件：1. 正交：即\langle u_i,u_j \rangle = 0, i \neq j ，其中\langle \cdot, \cdot \rangle 表示内积运算。

2. 单位长度：即|u_i| = 1 。

通过施密特正交化的过程，我们可以将原始的线性无关向量集合转变为正交基向量集合，从而更好地理解向量空间的结构和性质。

在后续的计算和分析中，正交基向量集合可以大大简化运算步骤，并提高计算的精度和效率。

施密特正交化在线性代数中被广泛应用，并在许多领域发挥着重要作用。

2. 正文2.1 施密特正交化的过程施密特正交化的过程是一种重要的线性代数操作，用于将任意向量空间中的一组线性无关的向量转化为一组正交的向量。

正交变换在几何学中的应用

Ａ＝
æ ｃｏｓθ
ç
è ｓｉｎθ
－ｓｉｎθ ö
÷ꎬ
ｃｏｓθ ø
æ æ ｘ１ ö æ ｘ２ ö ö
æ ｘ２ ö
( σ ( β １ ) ꎬσ ( β ２ ) ) ＝ ç Ａ ç ÷ ꎬＡ ç ÷ ÷ ＝ ( ｘ１ｙ１ ) Ａ′Ａ ç ÷ ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ ( β １ ꎬβ ２ ) ꎬ
è ｙ１ ø
è ｙ２ ø
σ ( β １ ) ＋ σ ( β ２ ) ＝ β １＋ β ２＋２α０ ≠ σ ( β １＋ β ２ ) ꎬ
故平移变换不是线性变换ꎬ所以它不是正交变换.
证毕
平移变换虽然保持向量的长度不变ꎬ保持向量的夹角不变ꎬ但它不是线性变换ꎬ因而平移变换不是
正交变换.
例３设 η 是ｎ维欧式空间Ｖ的一个单位向量ꎬ 对任意 α ∈ Ｖꎬ 定义线性变换 σ ( α ) ＝ α －
(１) Ａ为可逆矩阵ꎬ且Ａ－１＝Ａ′ ꎻ
(２) Ａ′ 也为正交矩阵( 从而Ａ－１也为正交矩阵) ꎻ
(３) 对任意ｎ维列向量Ｘ ꎬ ＡＸ保持向量Ｘ的长度ꎬ即ＡＸ＝Ｘ ꎻ ＡＸ和ＡＹ保持向量Ｘ和Ｙ的内
积ꎬ即 ( ＡＸꎬＡＹ ) ＝ ( ＸꎬＹ ) ꎻ
(４) Ａ的ｎ列( 行) 向量构成Ｒｎ的一个标准正交基.
在直角坐标系下向量的坐标关系式为 ç ÷ ＝ ç
÷ ç ÷ ꎬ证明旋转变换 σ 是正交变换.
ｃｏｓθ ø è ｙ ø
è ｙ′ ø è ｓｉｎθ
证明
σ:Ｒ２ → Ｒ２ ꎬ即 ∀α ＝
æ ｘ１ ö
æ ｘ２ ö

曲面变换之正交变换

曲面变换应用正交变换之详讲摘要：曲面变换之正交变换，保持变换前后的向量内积不变，从而保持向量的长度与夹角不变。

这一刚性性质决定着正交变换有着广泛的应用。

多元函数积分中，运用正交变换进行变量替换是将数学分析与代数方法结合的例证。

本文着重论述正交变换在积分中的应用。

关键词：正交变换变量替换曲线积分曲面积分Surface transform applicationDetails of orthogonal transformation told Abstract：The orthogonal transform, curved transformation of vector before andafter keeping transformation, so as to keep the product remains within the length and Angle vector invariant.This determines a rigid properties of orthogonal transform a wide range of applications.Multivariate function points, the use of orthogonal transform variable replacement is mathematical analysis and algebra to the method and combining with examples.This paper focuses on the application of orthogonal transform in integral.Keywords：Orthogonal transformation Variable replacement Curvilinear integral Surface integral引言：曲线积分和曲面积分中，通过正交变换进行变量替换使得非平面曲线和非平面曲面上的积分化为二维空间上的曲线和曲面积分。

§4正交变换

( A , A ) ( , ) .
再来证明1）与3）等价. ( 1 ) (3 )
,2 , , 设是一组标准正交基，则 1 n 1 ,i j , ( AA , ) (, ) (, i j 1 ,2 , ,n ) . i j i j 0 ,i j A , A , , A 由此可知，也是标准正交基. 1 2 n (3 ) ( 1 ) ,2 , , , A , , 设是一组标准正交基，则 A 1 n 1 2 A n 也是一组标准正交基，于是对于 , V ,设

( A ,) A 2 ( A , A ) ( A , A )
( A A , A A ) ( A ( ) ,( A ) ) ( , ) . ( , ) 2 ( ,) ( ,) ,
再利用 ( 即得 A , A ) ( ,) , ( A , A ) (, )
,2 ,3 建立的直角坐标系是右手式等于 1，则以 1
三维几何空间中的右手系和左手系的概念可以
只是没有了右手法则和左广到一般n维欧氏空间中，
手法则这样直观的表示. 于是我们就直接按过渡矩阵的行列式列的符号（即等于+1还是－1）对n 维欧氏空间中的的标准正交基进行分类. 欧氏空间（也可用于线性空间）中所有的基分为两类：先选取一组基，凡是与它的过渡矩阵大于零的基属于一类，反之，与它的过渡矩阵小于零的基属于另一类.
n
n
n
j 1 n
于是
xi yj (A i , A j )
n
i 1

正交变换在积分中的应用

目录1．正交变换 (1)1.1正交变换的定义 (1)1.2正交变换的性质 (1)2．正交变换在重积分中的应用 (1)2.1正交变换在二重积分中的应用 (2)2.2正交变换在三重积分中的应用 (3)3．正交变换在曲面积分中的应用 (6)3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用 (6)3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用 (13)4．正交变换在曲线积分中的应用 (15)4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用 (15)4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用 (16)5. 结束语 (18)参考文献 (19)1．正交变换1.1正交变换的定义在解析几何里，允许使用的变换都是保持向量的长度不变的．在欧式空间里，保持长度不变的线性变换——正交变换无疑是重要的．高等代数中给出了一般欧式空间中关于正交变换的定义．欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ξ，都有()ξξσ=．正交变换的另一种定义：欧氏空间V 的一个线性变换σ叫作一个正交变换，如果对于任意的V ∈ηξ,，都有()()〉〈=〉〈ηξησξσ,,．1.2正交变换的性质实际上正交变换是欧氏空间V 到自身的一个同构映射，因而正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换，在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵．如果A 是正交矩阵，则由I AA T =可知12=A 即1±=A ，因此正交变换的行列式等于1或1-．行列式等于1的正交变换称为旋转或称为第一类的；行列式等于1-的正交变换称为第二类的．如果A 是正交矩阵，伴随矩阵*A 也是正交矩阵．若A 是()2>n n 阶正交矩阵时，当1=A 时，*A A T =，即ij ij A a =；当1-=A 时，*A A T -=，即ij ij A a -=．2．正交变换在重积分中的应用在多元函数积分中，变量替换法的选用与否，不只关系着积分计算的快与慢，有时甚至影响着积分的算得出与算不出．如计算⎰⎰≤++-22222)(R y x y xdxdy e ．若要在直角坐标系下化为累次积分计算，则会遇到计算⎰⎰---2222x R dy e dx ey Rx 的问题，但我们无法将⎰-dy e y 2表示成初等函数，计算便无法进行下去．此题若用极坐标变换计算，则易于得出结果．由此可见，变量替换在多元函数积分中的重要作用．多元函数积分中的变量替换法是计算积分的重要方法，变量替换的目的使得被积函数简单或者是积分区域简化，但是实际应用时选择要用的替换有很大的随意性，并且存在一定的难度．因此引入新的积分变量的同时必须要考虑被积函数的性质和积分区域的形状，而对于某些多元函数积分问题应用“正交变换”的有关理论解决是一种较为简便且颇有成效的方法．2.1正交变换在二重积分中的应用引理2.1[1] 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,，则区域D 的面积())(⎰⎰∆=dudv v u J D ,μ．定理2.1[1] 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x ,，()v u y ,在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()()()∆∈≠∂∂=v u v u y x v u J ,,0),(,,，则 ()()()()()⎰⎰⎰⎰∆=dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D,,,,,．例1 进行适当的变量替换，化二重积分()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ，()022≠+b a为一重的．解设()b a ,为二维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,（其中22b a k +=），再将其扩充为二维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k b k a ,，()11,b a 作正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A v u ，这里⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b a k b k a A （1）为正交矩阵，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v u A v u A y x T 1 两边转置得 ()()A v u y x ,,=∴()()1,,2222≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+v u v u AA v u y x y x y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ，于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,±==∂∂=T A v u y x v u J 由（1）知ku by ax =+，于是由二重积分的变量替换公式得：()⎰⎰≤+++122y x dxdy c by ax f ()()⎰⎰≤++=122,v u dudv v u J c ku f()⎰⎰----+=221111u u dv du c ku f()⎰-+-=11212du c ku f u 即()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu此题选用正交变换兼顾了被积函数、积分区域的特点，较用其它的变换来解要简便．2.2正交变换在三重积分中的应用定理2.2[1] 设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=，将uvw 空间中的区域'V 一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x ,,，()w v u y ,,，()w v u z ,,及它们的一阶偏导数在'V 内连续且函数行列式()0,,≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz v z uz w yv y u yw x v x u x w v u J ，()',,V w v u ∈. 则 ()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=VV dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f ',,,,,,,,,,,,，其中()z y x f ,,为V 上可积．例2 对于连续函数()z y x f ,,证明：()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.证明设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A （2）为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222≤++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T又因为1-=A A T 仍是正交矩阵且1±=T A ,于是变换的雅可比行列式为()()()1,,,,,,±==∂∂=T A w v u z y x w v u J 由（2）知ku cz by ax =++，于是由三重积分的变量替换公式得：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++≤++≤++==++111222222222,,w v u w v u z y x dudvdw ku f dudvdw w v u J ku f dxdydz cz by ax f()()()⎰⎰⎰⎰--≤+--==1121111222du ku f u dvdw duku f u w v π其中222c b a k ++=证毕．化重积分为累次积分的变量替换，是计算重积分最常用的方法．但是，我们遇到的积分不一定能用它们算出来，所以有时不得不使用其它数学工具和方法．例3 设()33⨯=ija A 是正定矩阵，证明由椭球V ：1a 31,ij ≤∑=j i j i x x 所围成的体积等于()21-detA 34π．证明（即证()21321det 34-=⎰⎰⎰A dx dx dx Vπ）由于A 是对称正定矩阵，故∑=31,ij a j i j i x x 是正定二次型．由高等代数知，存在一个正交矩阵T ，使 ()321321',,diag 000000λλλλλλ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AT T 这里1λ，2λ，3λ是矩阵A 的三个正特征根．作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y T x x x ，及变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213213211010001u u u U u u u y y y λλλ 则'U U =且I ATU T U =''是三阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321u u u TU x x x 则变换的雅可比行列式为()()()=∂∂=321321321,,,,,,u u u x x x u u u J ()()⋅∂∂321321,,,,y y y x x x ()()321321,,,,u u u y y y ∂∂ ()()()2121321det det det det --==⋅==A U T TU λλλ，又()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=321321321''32132132131,ij ,,,,,,a u u u I u u u u u u ATU T U u u u x x x A x x x x x j i j i 232221u u u ++=于是由三重积分的变量替换公式得：()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤++-≤++==1321211321321321232221232221det ,,u u u u u u Vdu du du A du du du u uu J dxdx dx ()21det 34-=A π 3．正交变换在曲面积分中的应用3.1正交变换在第一型曲面积分中的应用定理3.1[1] 设有光滑曲面S ：()y x z z ,=，()D y x ∈,，()z y x f ,,为S 上的连续函数，则()()()⎰⎰⎰⎰++=SDy x dxdy z z y x z y x f dS z y x f 221,,,,,.定理3.2[1] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,则在S 上的第一型曲面积分的计算公式为()()()()()⎰⎰⎰⎰-=SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,，其中 222u u u z y x E ++=，v u v u v u z z y y x x F ++=，222v v v z y x G ++=. 这里还要求雅可比行列式()()v u y x ,,∂∂，()()v u z y ,,∂∂，()()v u x z ,,∂∂中至少有一个不等于零. 定理3.3[3] 设有光滑曲面S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,v u z z v u y y v u x x ()D v u ∈,,在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332312322211312111111之下变成曲面'S ：()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,111111v u z z v u y y v u x x则对于S 上的连续函数()z y x f ,,有()()⎰⎰⎰⎰=SSdSX A f dS X f ''1'(3)证明因为A 是正交矩阵，所以'212121222E z y x z y x E u u u u u u =++=++=, '111111F z z y y x x z z y y x x F v u v u v u v u v u v u =++=++=,'212121222G z y x z y x G v v v v v v =++=++=，因此()⎰⎰SdS X f ()()()()()⎰⎰⎰⎰-==SDdudv F EG v u z v u y v u x f dS z y x f 2,,,,,,,=()()()()⎰⎰-D dudv F G E v u z v u y v u x f 2'''111,,,,,()⎰⎰=''111,,S dS z y x f ()⎰⎰=''1'S dS X A f例1 证明普阿松公式()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．证明设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222111c b a c b a k c k b k a A 为正交矩阵，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-w v u A w v u A z y x T1 两边转置得 ()()A w v u z y x ,,,,=∴()()1,,,,222222=++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++w v u w v u AA w v u z y x z y x z y x T由公式（3）得()()⎰⎰⎰⎰=++=++=++11222222z y x w v u dS ku f dS cz by ax f于是 ()D v u v u w ∈--=,,1222；w u u w -=∂∂，wvv w -=∂∂ 2222221111vu w v w u v w u w --=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==++=++=++Dz y x w v u dudv vu ku f dS ku f dS cz by ax f 221111222222令u u =，θsin 12u v -=，其中11≤≤-u ，πθ20≤≤. 于是 ()()()⎰⎰⎰⎰⎰--=--=--ππθθθ20112211222cos 1cos 111du ku f d u u du ku f dudv vu ku f D即 ()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π.得证．例2 设()ds x m x m x m f n n n +++-⎰⎰⎰22111是展布在n 维空间中单位球面上的一曲面积分，则()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==113221111121212du uku f n ds x m f I n n n i i i n x n i i π（当3≥n 时）此处，令∑==ni imk 12，设函数()u f 当k u ≤时连续，其中()x Γ为Gamma 函数．证明这里只要证： ()()()()⎰∑∑⎰⎰⎰----=-=-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=1123221112121111121212112du uku f n x dx dx dx x m f n n n i i n n i i i n x n i i π即可.设正交变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n u u u a a a a a a a a a x x x 2121222121211121 其中2n 个系数受制于()2121+=+n n C C n n 个条件：⎩⎨⎧=∑=,0,11nji a a τττ nj n i j i j i ,2,1,,2,1,==≠= 于是 11212==∑∑==n i i n i i x u ，∑-=-±=1121n i i n u u今取121,,,-n u u u 作为新的变量，系数选择的任意性很大，因此我们令()n i km a ii ,2,11==，同时我们可进一步要求由变换系数组成的行列式的值等于1，在这种假设下，对应于行列式任一元素的代数余子式等于元素的本身．所以雅可比行列式：()()121121,,,,,,--∂∂n n u u u x x xn n nn n n n nn n nnn n n n n n nn nn n n n n n n n n u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u ua a u u a a u u a a u u a a 111121121111121222221212111121211111---------------------=nn nn n n n n n n n nu x a u u a u ua u u a =++++=--112211 ()()()()nn n n n n x du du du u u u x x x ku f x dx dx dx ku f 12112112111211,,,,,,----∂∂=⋅⋅⋅∴ ()()∑-=---=⋅=1121211121111n i in n n n n u du du du ku f du du du x u x ku f ，从而()()∑⎰⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤--=--≤--∑=-∑=-=-=12221132211111112121111121212212112n i in n u u n i in n u u u du du du du ku f u du du du ku f I n i in i i对里面2-n 重积分实行变量替换：设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22121212113210010001n n tt t u u u u u u，则()()()()2212211321,,,,,,----=∂∂n n n u t t t u u u⇒ ()()∑⎰⎰⎰∑⎰⎰⎰-=---≤-=---≤--∑=--∑-=-=212221232121122211212111121212212n i in n n t n i in n u u t dt dt dt u u u du du du n i i n i i，再设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====------3421234213321321211sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos n n n n n n r t r t r t r t r t ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ其中10≤≤r ，πϕϕϕ≤≤-421,,0n ，πϕ203≤≤-n ．()()42514331221sin sin sin ,,,,,,------=∂∂n n n n n n r r t t t ϕϕϕϕϕ∑⎰⎰⎰-=--≤-∑-=212221211212n i in n t t dt dt dt n i i⎰⎰⎰⎰⎰-=------12320304402251141sin sinsindr rr d d d d n n n n n n ππππϕϕϕϕϕϕϕ⎰⎰⎰⎰-⋅=------12320442225211441sin sinsin22dr rr d d d n n n n n n πππϕϕϕϕϕϕπ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⋅⋅=---102344121,2221,2421,232122dr rrn n n n n π()⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫⎝⎛ΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=-10231232112421252321242221232dr r r n n n n n n n π ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--1234122212dr r r n n n π（设v r =2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----⎰22,2122211222141024214n n dv v v n n n n ππ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=----21212121212221222112334n n n n n n n n n n πππππ()()()()⎰----⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ=∴11232211212du uku f n I n n π若令λcos =u ()πλ≤≤0，则有()()()⎰--⎪⎭⎫⎝⎛-Γ=πλλλπ0221sin cos 212d k f n I n n 当3=n 时，且令c m b m a m ===321,,,z x y x x x ===321,,，得到著名的普阿松公式：()()⎰⎰⎰-++=++Sdu c b a u f dS cz by ax f 112222π，其中S 为单位球面1222=++z y x ．运用正交变换仿上述命题推理过程可简快明了地处理以下n 重积分()2≥n 问题：一、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫⎝⎛∑=1121221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i π，其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k u ≤上连续，1≥n . 特别当3=n 时，设c m b m a m ===321,,，z x y x x x ===321,,有()()()⎰⎰⎰⎰-≤++-=++11211222du ku f u dxdydz cz by ax f z y x π其中222c b a k ++=.二、对连续函数()n x x x f ,,,21 ，证明：()()()()⎰∑⎰⎰⎰---=≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=111221211112112du u ku f n dx dx dx x m f n n n n i i i n x n i i ωπω其中012≥=∑=ni i m k ，()u f 在k ku ≤+ω上连续.当2=n 时，设,,,21c b m a m ===ωy x x x ==21,，有()=++⎰⎰≤+122y x dxdy c by ax f ()⎰-++-1122212du c u b afu3.2正交变换在第二型曲面积分中的应用定理3.4[4] 设S 为三维欧式空间内的光滑曲面，()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为S 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'S 为S 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''333231232221131211cos cos cos cos cos cos S S dS a a a a a a a a a R Q P A dS R Q P γβαγβα (4)其中1±=A 是正交变换()A 的行列式，()γβαcos ,cos ,cos 和()'''cos ,cos ,cos γβα分别为S 和'S 的单位法向量.证明设S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr z z r y y r x x ()D r ∈θ,, 则'S 的参数方程为()()()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,,,,θθθr w w r v v r u u 记()3,2,1321=++=i R a Q a P a F i i i i ，则θθθθθθθθθw v u w v u F F F A a a a a a a a a a w v u w v u F F F z y x z y x R Q P r r rr r r r r r 321332313322212312111321⋅=⋅= 于是()⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛Dr r rD r r rSdrd w v u w v u F F F A drd z y x z y x R Q P dS R QPθθγβαθθθθθθ321cos cos cos()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''''321cos cos cos S dS F F F A γβα ()⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='''''333231232221131211cos cos cos S dS a a a a a a a a a R Q P A γβα例3 计算第二型曲面积分()⎰⎰++SdS z y x γβαcos cos cos其中S 为球面4222=++z y x 介于1≥++cz by ax 的外表面．解设()c b a ,,为三维空间的一个向量，它的单位向量为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,（其中222c b a k ++=），再将其扩充为三维空间的一个标准正交基，设为⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,，()111,,c b a ，()222,,c b a 作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x A w v u ，这里⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k c kb ka cb ac b a A 222111（5），为正交矩阵，则由（5）知()cz by ax c b a w ++++=2221.变换将S 变为'S ，它为球面4222=++w v u 介于2221cb a w ++≥的外表面．由于正交变换保持向量的内积不变，故'''cos cos cos cos cos cos γβαγβαw v u z y x ++=++记222214cb a R ++-=，由（4）式得 ()()⎰⎰⎰⎰++=++'''''cos cos cos cos cos cos S SdS w v u dS z y x γβαγβα ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∂∂-∂∂-=222224R v u dudv v u v w v u w u ⎰⎰≤+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+=22222222244R v u dudv v u v u v u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=--=⎰⎰≤+2222212844222c b a v u dudvR v u π 4．正交变换在曲线积分中的应用4.1正交变换在第一型曲线积分中的应用定理4.1[1] 设有光滑曲线()()()⎪⎩⎪⎨⎧===，，，：t z t y t x L χψϕ []βα,∈t ，函数()z y x f ,,为定义在L 上的连续函数，则()()()()()()()()⎰⎰++=βαχψϕχψϕdt t t t t t t f ds z y x f L2'2'2',,,,.定理4.2[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211 ()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,为P 与变换()A 的复合函数，则()()⎰⎰='',,,,LLds w v u P ds z y x P （6）.例1 计算第一型曲线积分()⎰-Lds y x ,其中L 为曲线()()3222223y x zx yz xy z y x -=+++++，02=++z y x ，上从点()0,0,0到点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+32,3221,3221的一段弧.解 L 是一条平面曲线，但是不易写出其参数方程．为此，作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 62616131313102121，此变换将平面02=++z y x 变成坐标面0=w .由于()zx yz xy z y x +++++23222()()()()222222222242323144243222231w v z y x z y x zx yz xy z y x zx yz xy z y x +=+++-+=++++++--+++=()3342u y x =-，且当()()0,0,0,,=z y x 时，()()0,0,0,,=w v u ；当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=32,3221,3221,,z y x 时，()()0,2,1,,=w v u ，故变换将曲线L 变为'L ：324u v =，0=w 从()0,0,0到()0,2,1的弧．于是由（6）式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-⎰⎰⎰⎰15131025812491212210102''du u u du du dv u uds ds y x L L4.2正交变换在第二型曲线积分中的应用定理4.3[4] 设L 为三维欧式空间内的光滑曲线,()z y x P ,,，()z y x Q ,,，()z y x R ,,均为L 上的连续函数，而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u a a a a a a a a a z y x 333231232221131211()A为欧式空间中的正交变换；'L 为L 在上述变换()A 下的象，()w v u P ,,,()w v u Q ,,,()w v u R ,,分别为P ,Q ,R 与变换()A 的复合函数，则()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dw dv du a a a a a a a a a R QP dz dy dx R QPLL333231232221131211' （7）.例2 计算第二型曲线积分⎰Lxdy ，其中L 为圆周()34222=-++++zx yz xy z y x ，3=+-z y x ，从x 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．解作正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x w v u 31313161626121021 则w v u x 316121++=,w v y 3162-=且()()()zxyz xy z y x z y x zx yz xy z y x 222234222222222+--++-++=-++++()()()()2222222222236323wv u ww vuz y x z y x -+=-++=+--++=这样，由（7）式得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='3162316121L L w v d w v u xdy 其中'L 为圆周3422==+w v u ，，从w 轴正向看去，圆周是沿逆时针方向进行的．因此⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++='6216121L L dv v u xdy πθθθθθθππ34cos 34cos 2621sin 261cos 22120220==⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅=⎰⎰d d5. 结束语上述诸例足以说明利用正交变换的方法去处理重积分和曲面积分的某些问题是卓有成效的（对于曲线积分亦是如此），并且不受空间维数的限制．而正交变换在物理学上、几何上、概率论上等学科有着广泛的应用前景，同时数学问题的代数化的方法是值得重视的．参考文献[1]华东师范大学数学系编．《数学分析》[M]，高等教育出版社，2001[2]张禾瑞，郝鈵新编.《高等代数》[M]，高等教育出版社，2007.6[3]邹晓范. 正交变换在多元函数积分中的应用[J]，佳木斯大学学报(自然科学版), 2003,21(4):494-496[4]林元重. 正交变换在曲线、曲面积分计算中的应用[J]，数学通报, 1996,(12):27-29。

线性代数课件7-3正交变换

05
正交变换在信号处理中的应用
信号分解与合成原理介绍
信号分解
将复杂信号分解为一系列简单信号的过程，这些简单信号通常是正交基函数的线性组合。
信号合成
将分解得到的简单信号按照一定规则重新组合，以恢复或逼近原始信号的过程。
正交基函数
一组满足正交性条件的函数，用于表示信号空间中的任意信号。常见的正交基函数包括正弦函数、余弦函数、小波基函数等。
曲线和曲面形状描述及性质分析
曲线形状描述
通过正交变换可以对曲线进行形状描述，如曲线的弯曲程度、拐点等性质可以通过正交变换进行
分析。
曲面形状描述
正交变换也可以用于曲面的形状描述，如曲面的弯曲程度、法线方向等性质可以通过正交变换进行分析。
性质分析
通过正交变换可以分析曲线和曲面的性质，如曲线的长度、曲面的面积等性质可以通过正交变换进行计算和分析。
小波变换原理及实现方法
小波变换原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移小波基函数来匹配信号的局部特性。与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频分辨率和局部化特性，适用于非平稳信号的分析和处理。
实现方法
小波变换的实现包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）两种方法。CWT 通过连续变化的小波基函数对信号进行匹配，可以得到信号的时频分布；DWT则通过离散化的小波基函数对信号进行分解和重构，可以实现信号的压缩和去噪等应用。
通过正交变换得到的标准型具有唯一性，即不依赖于正交矩阵的选择。
02
正交变换的求解方法
施密特正交化过程
01 选择一组线性无关的向量作为起始向量组。
02
对起始向量组进行施密特正交化，得到一组正交向量组。

高等代数9.4 正交变换

的标准正交基.
事实上由正交变换的定义及标准正交基的性质
即有，
( i ), ( j )
( i , j )
1 0
i j i j
2).若线性变换使V的标准正交基 1, 2 ,, n 变成
标准正交基 (1), ( 2 ),, ( n ) ，则为V的正交
在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证明：" " 设 1, 2 ,, n 为V的标准正交基，且
1,2,,n 1,2,,n 1,2,,n A
当是正交变换时，由1知，1, 2 ,, n 也是V
的标准正交基，而由标准正交基 1, 2 ,, n 到标准正交基1, 2 ,, n的过渡矩阵是正交矩阵.
d ( ), ( ) ( ) ( )
( ) 根据２）
故 3）成立.
d( , )
3) 2) : 若 d ( ), ( ) d , , , V
则有， d ( ), (0) d ,0, V
作业
• P396 15
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 §8 酉空间介绍
距离─最小二乘法小结与习题
一、一般欧氏空间中的正交变换二、n 维欧氏空间中的正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换如果保持向量的内积不变，
即，
( ), ( ) ( , ), , V
则称为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.

正交变换的应用

正交变换的应用刘铮摘要：正交变换对于研究数学的内部结构和实际应用都很重要，我们在学习过程中许多方面都要用到正交变换. 本文系统的论述了正交变换在重积分、第一型曲面积分、多元函数Taylor公式这三种情况中的应用.关键词：正交变换；曲面积分；多元函数Taylor公式近代数学及其应用对科学技术的发展有着重要的作用,它需要对一些分析问题做出数学解答,而这些问题通常只有在代数化后才能解决,因此代数方法的意义也越来越引起人们的重视.某些问题在开始应用代数方法以后,也变得明显和易于理解,问题也就迎刃而解.正交变换方法就是在近代数学及其应用方面经常用到的一种方法.正交变换是代数学的基本内容,在欧氏空间的线性变换中,正交变换是一个很重要的线性变换.它是保持点之间的距离不变的变换.欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不变,即对于Vξ,,都有∀η∈()()η()()ξσσ,ηξ,=.本文通过不断的学习思考,结合许多学者对正交变换的研究成果,对进行正交变换的各种应用进行全面的探讨,更深层的理解,较全面的总结了正交变换在数学各方面的应用.1 正交变换的定义及性质]1[正交变换就是保持点之间的距离不变的变换.在一般欧式空间中,我们有：定义1欧式空间V的线性变换σ称为正交变换,如果它保持向量的内积不ξ,,都有变,即对于V∈∀η()()η()()ξσ,σηξ,=.根据正交变换的定义,它具有如下性质:设σ是欧式空间V的一个变换,则下列条件是等价的:①σ是V的正交变换;②σ保持向量的内积不变;③σ保持向量的长度和夹角不变;④对V ∈∀ηξ,,()()ηξησξσ+=+;⑤σ保持向量的长度不变且满足条件:对V ∈∀ηξ,有()()()ησξσηξσ+=+;⑥σ保持向量的距离不变且对任意的V ∈ξ,()()ξσξσ-=-.根据正交变换的定义和性质,现在我们来系统的研究一下它在近代数学中的应用.2 正交变换的应用2.1 正交变换在重积分中的应用]2[]3[在计算重积分时常用到变量替换,而一般的变量替换随意性很大,它要考虑被积函数和积分区域等,因此积分起来较困难.在有些情形下,利用正交变换不失为变量替换的一种有效方法.定理1 设A 是为正交矩阵,且其行列式为1.右手系坐标()Tz y x P ,,=在正交变换AP Q =形成另一右手坐标系下的()Tw v u Q ,,=,原坐标系下的区域P V 相应变换成新坐标系下的曲面Q V ,则:()()dudvdwQ A f dxdydz P f QP⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=1.证明：由AP Q =,得Q A Q A P '==-1,而雅可比行列式()(),1det ,,,,='=∂∂=A w v u z y x J 所以可证得该式.例 1 计算三重积分dxdydz e I xz xy z y x ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞---++-=)44465(222.解令xz xy z y x z y x f 44465),,(222--++=,它对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----402062225,容易判定它是一个正定矩阵,设其特征值为321,,λλλ,则01>λ,02>λ,03>λ且080321>==A λλλ取正交变换,使232221),,(w v u z y x f λλλ++=由正交变换的性质可得:dxdydz eI xz xy z y x ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞---++-=)44465(222=dudvdw e w v u⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-++-)(232221λλλ=⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞--+∞∞--dw edv edu ew v u 232221λλλ=321λπλπλπ⋅⋅=803π. 所以在平时的学习中,我们可以利用正交变换就一个复杂的重积分化归为一个已经能解决的,或比较容易解决的问题加以解答. 2.2 正交变换在第一型曲面积分中的应用]5[由于第一型曲面积分在正交变换下形式不变性,因此正交变换在也可用在曲面积分中.设光滑曲面S :()v u x x ,=,()v u y y ,=,()v u z ,=;()D v u ∈,.在正交变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z y x a a a a a a a a a AX z y x X 3332312322211312111111 之下变成曲面S ':()v u x x ,11=,()v u y y ,11=,()v u z z ,11= 则对于S 上连续函数()z y x f ,,有：()()S d X A f dS X f S S''=⎰⎰⎰⎰'(1)例 2 证明普阿松公式()()d u c b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S是单位球面1222=++z y x .证明若0===c b a 等式显然成立,否则令222c b a k ++=(因为,⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++z k c y k b x k ak cz by ax 若令k a =αc o s ,k b =βcos ,k c =γcos 有1cos cos cos 222=++γβα,则考虑用正交变换).以单位向量⎪⎭⎫⎝⎛k c k b k a ,,扩充成一个三阶正交矩阵A .作正交变换：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x A w v u 由公式(1),得到：()()⎰⎰⎰⎰=++=++=++11222222w v u z y x dS ku f dS cz by ax f于是2221v u w --=,()D v u ∈,;wvv w w u u w -=∂∂-=∂∂, 2222221111vu w v w u v w u w --=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ dudv vu dS 2211--=()()dudv vu ku f dS ku f Dw v u 22111222--=⎰⎰⎰⎰=++令u u =,θsin 12u v -=,其中11≤≤-u ,πθ20≤≤,于是：()()()du ku f d u u du ku f dudv vu ku f D⎰⎰⎰⎰⎰--=--=--11202211222cos 1cos 111πθθθπ即()()d u c b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π,得证.以上是正交变换在积分运算中的应用,它在近代数学的其它方面也有许多应用.2.3 正交变换在多元函数Taylor 公式中的应用]6[众所周知,求多元函数()n x x x f ,......,21在某点领域内的Taylor 公式,困难在于求混合偏导数.但如果我们及时引入正交变换,就可使求混合偏导数变得简单,甚至可以避免求混合偏导数.多元函数的Taylor 公式是指:若()n x x x f ,......,21在点()02010,......,n x x x P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则对()0P V 内任一点()n n h x h x h x +++0202101,...,有 f ()n n h x h x h x +++0202101,...,=()00201,...,n x x x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂n n h x h x h x (2)211()0201,...,n x x x f +…+nn n h x h x h x n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂...!12211()00201,...,n x x x f +()()n n n n n h x h x h x f h x h x h x n θθθ+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++∂∂+∂∂++020210112211,...,...!11 )10(<<θ下面引入正交变换：设()nn ija A ⨯=为正交矩阵,则有1,=='A E A A (右旋)令()T n x x x x ,...,21=,()Tn y y y y ,...,21=.则正交变换Ax y =可得y A x '=,再转置即有()n x x x ,...,21在某点某点领域内正交变换后的Taylor 公式,我们需要下面两个显而易见的定理.定理2 在正交变换Ax y =下有()()y A f x f '=,那么函数()x f 在点()002010,......,n x x x P 的值等于()y A f '在点()02010,...,ny y y w 的值.其中0w 是由变换Ax y =对应的方程在x 于点0P 取值时所惟一确定的值.定理3 若()n x x x f ,......,21在点0P 的某领域()0P V 有直到()1+n 阶连续偏导数,则在正交变换后,()y A f '在点0w 的领域()0w U 亦有()1+n 阶连续偏导数.其中()0w U 是在Ax y =变换下,()0P V 所对应的领域.有这两个定理作保证,在求多元函数Taylor 公式时,可大胆运用正交变换.我们得到变换后的Taylor 公式后,若想回到原变量,只需在公式中作逆变换即可.例 3 求()()2sin ,,z y x z y x f ++=在点()0,0,0的Taylor 公式.解我们知道0=++z y x 的法向量为()1,1,1,单位长度为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31,取此方向为变换后的u 轴,另再取两轴w v ,使它们两两正交如取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,21v ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62,61,61w .此三向量可构成正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=62616102121313131A 作正交变换()()TTz y x A w v u ,,,,=则知()()0,0,0,,=z y x 时,()()0,0,0,,=w v u .由于()()T w v u A z y x ,,,,'=,则得u z y x 3=++，这样,求()2sin z y x ++在点()0,0,0的Taylor 公式,变成求()23sin u 在点()0,0,0的Taylor 公式（即求在0=u 的Taylor 公式）这是一元函数问题,有现成公式套用.()()()()()()()()122212215232223!123cos 1!1231 (5)33333sin +--+-+--+-+-=n nn n u n u n u u u uu θ )10(<<θ由于333z y x u ++=()()()()()()()()()[]()()24224110622!12cos 1!121...!5!3sin +--+++++-+-++-+-+++++-++=++n nn n z y x n z y x n z y x z y x z y x z y x z y x θ )10(<<θ若求多元函数Taylor 公式用于近似计算,求极值等目的,变换后的变量就不必回到原变量,因此正交变换可以运用到各种数学模型的计算中. 3 结束语本文系统的论述了正交变换在多元函数Taylor 公式、重积分等中的诸多应用,并且就不同的应用给出了不同的方法.最后还对正交变换进行了推广,将其推广到更一般的形式,这对于锻炼学生的逻辑思维能力以及解题能力是非常有好处的.参考文献:[1] 陈黎钦.关于正交变换的若干问题[J],福建商业高等专科学校学报,30(6):110-113, 2006[2] 杨宁.积分计算中的正交变换[J],工科数学,西南交通大学, 13(3):43-49,1991[3] 姚云飞.论二次型与正交变换在重积分中的某些应用[J],工科数学,阜阳师范学院, 9(25):90-102,2002[4] 高伟.正交变换的几个等价条件[J],南通纺织职业技术学院学报,8(2):17-18,2008[5] 谢蜀忠.正交变换的若干应用[J],天津职业技术师院,2(45):158-159,1994[6] 樊启毅,梅汉飞.正交变换的推广[J],数学理论与应用,4(23):102-104,2003[7] 张国辉,罗欢.正交变换的应用[J],衡阳师范学院学报,30(3):29-32,2009[8] 王庆东,谢勰.正交变换的应用及其数学方法论意义[J],高等数学研究,1(11):82-84, 2008[9] 张禾瑞, 郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1999[10] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.The application of orthogonal transformationZheng LiuAbstract :Orthogonal transformation has an extreme significance for the study of mathematical internal structure and practical applications. And we can use it in all walks of the process of our study.The paper discusses systematically the application of orthogonal transformation in re-integration,the fist surface integration, Taylor formulation of multivariate function and2 distribution.Also,we have extended to more general orthogonal transformation of the second rthogonal transformation. Keywords:Orthogonal transformation; surface integration; Taylor formulation of multivariate function;。

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,
即保持向量夹角不变.
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14பைடு நூலகம்
但 | ( ) || k || k || || |
故不是正交变换.
几何意义是明显的,数乘变换只可能改变向量的长度,而不改变向量的夹角.
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结束
15
(1 ), ( 2 ),, ( n )的过渡矩阵,因而A是正交阵.
反之,若A是正交阵, 因1 , 2 ,, n是标准正交
基,故 ( 1 ), ( 2 ),, ( n )也是标准正交基.
综上,1), 2), 3),4)等价.
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9
因为正交矩阵是可逆的,所以正交变换是可逆的.由定义可知,正交变换实际上就是一个欧氏空间到它自身的同构映射. 因而还有以下结论: 正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换. 因在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应, 故有: 正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
( ( i ), ( j )) ( i , j )
于是
1, 当i j ( ( i ), ( j )) ( i , j 1, 2,, n) 0, 当i j
所以 ( 1 ), ( 2 ),, ( n )是V的标准正交基.
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有
( ( ), ( )) ( ), ( ) arccos | ( ) || ( ) |
( , ) , arccos | || |
所以 ( ), ( ) , .
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( ( ), ( )) (( x1 cos y1 sin )( x2 cos y2 sin ) ( x1 sin y1 cos )( x2 sin y2 cos )

施密特正交化的几何意义

施密特正交化的几何意义1. 引言1.1 施密特正交化的定义施密特正交化是一种通过一系列向量的线性组合得到一组相互正交的向量的方法。

具体而言，给定一个向量空间V和其内积结构，施密特正交化可以将V中的一组线性无关的向量基变换成一组相互正交的向量基。

这种方法通过一系列正交投影操作来实现，最终得到的向量基能够更好地描述向量空间的几何结构。

在施密特正交化中，每一步都是通过计算向量在已有的正交向量基上的投影来实现的。

这样做的好处是可以消除原始向量基中的线性相关性，使得新的向量基更加稳定和表示力强。

通过施密特正交化，我们可以更加清晰地理解向量之间的关系，从而更好地进行向量运算和解决实际的几何问题。

施密特正交化是一种非常重要的数学工具，它在几何学和线性代数中都具有重要应用。

在接下来的我们将进一步探讨施密特正交化的方法、几何意义、应用以及它与线性代数和向量的关系。

通过对这些内容的深入理解，我们可以更好地把握施密特正交化的重要性和优势，为未来的数学研究和应用提供更多的可能性。

1.2 施密特正交化的重要性施密特正交化在几何学中扮演着至关重要的角色。

通过对向量空间进行施密特正交化，我们可以得到一组正交基，这组基可以确保向量空间中的每个向量都可以由这组基线性表示。

这种表示方法不仅简洁高效，而且方便计算和分析。

施密特正交化还能帮助我们更好地理解向量空间的几何结构。

通过施密特正交化，我们可以将向量空间中的向量表示为正交基的线性组合，从而更直观地看出向量之间的关系，帮助我们更好地理解和研究向量空间的性质和特点。

施密特正交化还在实际应用中发挥着重要作用。

在图像处理、信号处理、机器学习等领域，施密特正交化被广泛应用于数据降维、特征提取、信息压缩等方面。

利用施密特正交化可以将复杂的问题简化为基础的线性代数问题，从而更方便地进行分析和处理。

施密特正交化在几何学中的重要性不言而喻。

它不仅能够简化向量空间的分析和计算，还能帮助我们更好地理解向量空间的几何结构，并在实际应用中发挥着重要作用。

正交变换的几何意义

正交变换的几何意义
正交变换是指在平面或空间中对向量进行线性变换时，保持向量长度和相互垂直关系不变的变换。

它是一种非常重要的线性变换，因为它可以保持向量之间的几何关系和其长度不变，从而在许多应用中具有很大的优越性。

以下是正交变换的几何意义：
1. 保持长度不变
正交变换可以保持向量长度不变。

这意味着在进行正交变换后，向量仍然具有相同的大小和方向。

这种特性对于许多应用非常有用，比如在计算机图形学中，可以使用正交变换来旋转三维模型，而不会改变其大小。

2. 保持向量之间的垂直关系不变
正交变换可以保持向量之间的垂直关系不变。

这意味着在进行正交变换后，向量之间仍然保持垂直关系。

这种特性对于许多应用非常重要，比如在机器学习中，可以使用正交变换来减少特征之间的相关性，从而提高模型的精度。

3. 提供基变换
正交变换可以提供一组基变换。

这意味着可以使用正交变换将一组基向量变换为另一组基向量，从而使矩阵的表示更简单。

这种特性对于许多数学应用非常有用，比如在线性代数中，可以使用正交变换来将一个矩阵对角化。

总之，正交变换是一种非常有用的线性变换，它可以保持向量之间的几何关系和其长度不变。

在许多应用中，正交变换都具有很大的优越性，并且在数学和工程学科中都有广泛的应用。

正交变换

《正交变换的分类》一．概述正交变换是一种保持长度不变的线性变换（数域F中一个空间V 到自身的映射），在解析几何平面内保持这种关系或是等价关系或是全等关系。

其中包括平移、旋转、对折、或者是其中的组合等。

那么在欧氏空间（基本理论中有其概念）中，也会有如此的形式将一个向量经过某种途径将其变化而保持其长度不变。

在欧氏空间中实现这一变化和几何平面中几乎相同，它包括反射，旋转和这两种的组合，有限维数（两维以上）的空间中，这一变化可以实现，但是，实践起来并不容易。

以一个简单例子引入，如图：αβ向量βα,在平面上采取了反射（或对称）变换使得βα=，这是平面中的实例。

那么在欧氏空间中，实现正交变换（反射，旋转还有而者的组合）会在论文中从二维和三维空间中步步引入。

二．基础知识与理论基础 1. 正交变换的定义欧氏空间V 的一个线性变换叫δ作一个正交变换，如果对于任意V ∈ξ都有：|)(ξδ|=|ξ|2. 欧氏空间的概念设V 是实数域R 上一个向量空间。

如果对于V 中任意一对向量ηξ,有一个确定的记作<ηξ,>的实数与他们对应，叫作向量ξ与η的内积（或标量积），并且下列条件被满足:(i)<ηξ,>=<ξη,>(ii)<ζηξ,+>=<ζξ,>+<ζη,> (iii)<a ηξ,>=a<ηξ,> (iv)当0≠ξ时，<ξξ,>>0这里ζηξ,,是V 中任意向量，a 是任意实数，那么V 叫作这个内积来说的一个欧氏空间。

3. 正交矩阵n 维欧氏空间一个规范正交基到另外一个规范正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵。

有以下结论：UU T =U T U=I, U -1=U T4. 特征多项式定义设A=（a ij ）是数域F 上一个n 阶矩阵。

行列式:f A (x)=det(XI-A)=1...312111an a a a x ----annx n a na n a ----................3...............2..............1.............. 叫作矩阵A 的特征矩阵多项式。

正交变换原理讲解PPT

信号压缩可以把信息数据压下来，以压缩形式存储和传输，既节约了存储空间，又提
高了通信干线的传输效率，同时也可使计算机实时处理音频、视频信息，以保证播放出高
质量的视频、音频节目成为可能。用于声音图象数据压缩的编码方法甚多。
13
第一组
感谢观看
用这些少量的数据同样表述原有的信息。对这些系数进行量化、编码，就
可以达到压缩编码的目的。
正交变换应是可逆的，但是由于利用系数分布集中的特点，当舍去集
中区域外的那些系数后的逆变换就会产生一定的误差。一个好的正交变换，
舍去集中区域外的系数值后，进行的逆变换得到的图象和声音与原先图象
和声音质量相差不大。这就达到了在基本保质的前提下较大的提高数据压
那么称为正交矩阵，简称正交阵。
4. 若为正交矩阵，则线性变换 = 称为正交变换。设
= 为正交变换，则
有
y =
= = = .
由于表示向量的长度，相当于线段的长度，
因此 y = 说明经正交变换线段长度不变。
4
Part 01
1.2 数字信号处理中的正交变换：
低次分量之中（M<N）。
（3）最佳特性
K-L变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换，其失真为被略去的各分量之和。
由于这一特性，K-L变换被称为最佳变换。许多其他变换都将K-L变换作为性能上比较的
参考标准。
（4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。
这是K-L变换的一个缺点，是K-L变换实际应用中的一个很大障碍。
正
交
变
换
的
性
质
1. 正交变换的基向量即是其对偶基向量。
2. 展开系数是信号在基向量上的准确投影。

施密特正交化的几何意义

施密特正交化的几何意义1. 引言1.1 施密特正交化的重要性施密特正交化是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们将一个向量空间中的基底按照一定的方法正交化，从而使得这些基底变得更加规范和方便使用。

施密特正交化的重要性主要体现在以下几个方面：施密特正交化可以将原始的线性无关的基底转换成一组正交的基底。

这对于计算和分析来说是非常有益的，因为正交基底之间的内积为0，简化了向量的计算过程，同时也使得向量的性质更加清晰明了。

施密特正交化可以将一个基底扩展为一个正交基底。

这对于高维空间的表示和计算是非常重要的，通过施密特正交化，我们可以将高维空间中的向量表示成一组正交基底的线性组合，从而简化了高维空间的分析问题。

施密特正交化还可以用来解决线性相关性和线性无关性问题。

通过施密特正交化，我们可以将线性相关的向量转换成线性无关的正交基底，从而更好地理解向量空间中的结构和性质。

施密特正交化的重要性在于它可以帮助我们更好地理解和利用向量空间中的基础概念，简化向量的计算和分析过程，同时也为高维空间中的问题提供了一种简洁的表示方法。

施密特正交化在线性代数和几何学中起着重要的作用。

1.2 施密特正交化的基本概念施密特正交化是一种基于向量空间中的正交化过程，通过将一组线性无关的向量正交化，从而得到一组相互垂直的基向量。

这个过程可以帮助我们将原始向量组成的空间转换为一个更易处理的正交空间，从而简化问题的分析与求解。

在施密特正交化中，我们首先要找到一个起始向量作为基向量组的第一个元素，然后通过对每一个后续的向量依次进行正交化来构建出一组正交基。

这个过程包括了投影和减法操作，通过投影将当前向量在已有基向量上的投影去除，从而得到一个与已有基向量正交的新基向量。

施密特正交化的基本概念就是通过一系列的正交化操作，将原始向量组成的空间转换为一个正交基组成的空间。

这样的正交基组具有许多优良的性质，包括简化向量空间的表达、减少计算量、方便处理等。

施密特正交化的几何意义

施密特正交化的几何意义施密特正交化是将一个向量空间中的一组线性无关的向量变为一组正交的向量的过程。

它的几何意义是通过对向量进行投影操作，将其分解为正交的分量，从而得到一组相互垂直的向量。

当我们在三维空间中观察施密特正交化的几何意义时，可以将其理解为将原始的向量组合变换为一个新的坐标系。

在这个新的坐标系中，原始的向量组合被表示为正交的坐标轴。

这样的变换可以使得向量的表示更加简洁和方便，从而帮助我们更好地理解和推导向量之间的关系。

具体而言，施密特正交化的过程包括两个步骤：正交化和单位化。

我们从原始的向量组合中选择一个基向量作为标准的基准向量，可以是任意一个向量。

然后，我们将其他的向量进行正交化操作，即通过对其进行投影，得到一个与标准基向量垂直的分量。

这个分量就是这个向量在标准基向量上的投影长度，也就是它在标准基向量上的分量。

这样，在投影后，我们得到的向量与标准基向量垂直，也就是正交的关系。

接下来，我们需要对这个正交化的向量进行单位化操作，即将其长度归一化为1。

这个长度归一化的过程是通过将向量除以自身的长度来实现的。

这样，我们得到的单位向量与标准基向量具有相同的方向，但长度为1。

这样的单位向量被称为正交基向量。

v1 = (1,0,0)v2 = (2,1,0) - proj(v2, v1) = (2,1,0) - (2,0,0) = (0,1,0)v3 = (0,1,1) - proj(v3, v1) - proj(v3, v2) = (0,1,1) - (0,0,0) - (0,1,0) = (0,0,1)接下来，我们将这些向量单位化，得到一组正交基向量：这样，我们就将原始的向量组合进行施密特正交化，得到了一组正交的基向量。

这个过程在向量分析和线性代数中具有重要的应用，可以帮助我们在处理向量之间的关系和进行向量运算时更加简单和直观地进行计算。

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ｌ
ｌ＝（ＴＹ，Ｔｒ）＝￣／（Ｙ，ｙ）＝ｌｌ，ｌ
正交变换保持了向量的内积和长度不变，也就保
标系下做正交变换Ｘ＝ＴＹ（１ｌ：１）的充要条件是对坐标系Ｏｘｙｚ绕原点进行一定角度的旋
通过矩阵这个工具，与形象的几何图形联系起
来．
［兰兰篓篓］，：）由实对称矩阵的性质，
存在正交矩阵Ｔ，使得ＴＡＴ：｝０Ａ０Ｉ，这
１正交变换与二次型
在三维欧式空间中，向量的内积为（Ｘ，ｙ）＝ｙ，其中Ｘ＝（，ｙ，ｚ），Ｙ＝（。，Ｙ。，ｚ。），相应
标系。下可以令・：
［］Ｊ＝［曩］，－＝
【摘要】阐述正交变换与二次型的关系，以形象的分析给出正交变换的几何意义，并说明此几何意义在判断二次齐次方程型曲面类型中的应用，并将此类应用
推广到一般的二次曲面表达式．
【关键词】二次型；正交变换；二次曲面
０引言
在线性代数中，由二次型知道，对于任何一
地，向量的长度为ＩＩ＝￣／，（，Ｘ），设有正交变换＝ＴＹ，则由正交变换定义有
（ＴＹ。，ｙ２）＝（ｙ。，ｙ２），
２正交变换的几何意义
定理１设有空间直角坐标系Ｏｘｙｚ，则此坐
第３Ｏ卷第３期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＳＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
正交变换的几何意义及其应用
杜美华，孙建英
（青岛理工大学）
转．
持了向量的夹角不变，而向量与点是等价的，所以正交变换保持了点的位置关系不变，从而也就保持了图形的不变性．设有三元二次型
厂（，），，）＝ａｌｌ＋ａ２２ｙ＋ａ３３Ｚ＋２口ｌ２ｙ＋
ｌ＝
（２）在平面上，直角坐标系逆时针旋转角度０后，这种变换也是正交变换，新旧坐标的关系为
Ｙ
（一）由于平面坐标系旋
转后，轴与轴、Ｙ轴与Ｙ轴的夹角相同，从而
在正交矩阵Ｔ：ｆｃ０一ｎ１的主对角线上都＼ｓｉｎＯｃｏｓＯ／
阵Ｔ＝Ｊ
，ｆ，并且ＩＴＩ＝１，在空间坐
到底是Ａ，Ａ：，Ａ，的取值特性就可以判断曲面的类型，并且利用几何意义就可以知道图
形的由来．结合二次型与正交变换的几何意义，
（１）
第３期
正交变换的几何意义及其应用
３７
定的角度，旋转之后新旧坐标系相应坐标轴的夹
角分别为ａｒｃｃｏｓ１，ａｒｃｃｏｓ２，ａｒｃｃｏｓ．
，
［］－＝［］，七－［］
（３）需要注意的是，旋转变换要求Ｉｌ＝１，而正交变换Ｘ＝中，也可能Ｉ７１Ｉ＝一１，但是
这种正交变换不是旋转变换，是反射变换，通过这种正交变换，虽然图形形状没有发生任何变
化，但是将坐标系变为左手系，不是右手系．如果
得到的正交矩阵ｌｌ＝一１，则只需在矩阵的
任何一列（行）乘以一１或者任意互换两列（行）
交且为单位向量，令＝ｌ
：，ｌ，则为
即可．
３应用
正交变换的这种几何特性，对于解决复杂的二次曲面（线）的形状问题，具有很大的优越性．对于像（１）式的二次曲面，直接看不出它的图形
个二次齐次多项式，通过配方法、合同变换法或正交变换法，将二次齐次多项式化为只含有平方项的标准型，其中最常用的正交变换法，具有很
好的几何意义，在解决二次曲线及二次曲面的图形中，起到了非常重要的作用，将枯燥的代数式，
２ａ１３船＋２０２３
收稿日期：２０１４— ０３— ０５
证明充分性．设有空间直角坐标系Ｏｘｙｚ，
与轴、ｙ轴、ｚ轴同方向的单位向量分别为ｆ、，、ｋ，现将坐标系Ｏｘｙｚ绕着原点０旋转到另一个位
置，在此位置建立新的坐标系，记作０Ｙｌｚ，，与
而（ｉ。×Ｊｔ）・ｋ：ｌ
是ｃｏｓＯ，无论是在平面还是空间中，正交变换的这种几何特点是一致的，并且可以推广到抽象的
ｎ维空间中．
ｌ
从而有』：：ｆ＝１，并且ｉ。 √ 『－、ｋ。两两正