矩阵秩的不等式性质

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矩阵乘积秩的不等式

矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式矩阵是现代数学理论中非常重要的一个分支领域。

矩阵运算是实际应用中极其常见的过程。

矩阵乘积秩的不等式是矩阵理论中一个基本的定理，本文将详细讲解这一定理。

一、矩阵的定义矩阵是一个矩形的数表，其中的数被称为矩阵元素。

矩阵可以表示为$m\times n$矩阵形式，其中$m$表示矩阵的行数，$n$表示矩阵的列数。

例如，下面的矩阵是一个$3\times2$矩阵：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix} $$二、矩阵的乘积两个矩阵的乘积是指对两个矩阵逐一对应的行和列进行数乘，并将结果求和得到的一个新的矩阵。

如果矩阵$A$是一个$m\times n$矩阵，矩阵$B$是一个$n\times p$矩阵，那么乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C_{ij} = \sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj} $$其中，$i\in[1,m]$，$j\in[1,p]$。

例如，若有以下两个矩阵$A$和$B$：$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} $$那么它们的乘积矩阵$C$可以表示为：$$ C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 & 8\\ 9 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25 & 28\\ 57 & 64\\ 89 & 100 \end{bmatrix} $$三、矩阵乘积秩的不等式矩阵乘积秩的不等式是指两个矩阵的乘积的秩不超过这两个矩阵秩的乘积。

分块矩阵初等行变换求秩的不等式

在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。

通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。

接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。

一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。

一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。

通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。

一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别是子矩阵。

这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。

二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。

我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。

对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。

对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 $A_{11}$、$A_{12}$、$A_{21}$、$A_{22}$ 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。

通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。

三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。

根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，$rank(A)$ 和 $rank(B)$ 分别表示矩阵 $A$ 和 $B$ 的秩，$n$ 表示矩阵的列数。

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。

关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。

利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。

本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。

一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。

当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。

当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ）因此秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解所以有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。

关于矩阵秩的几个重要不等式

第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。

关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。

在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。

在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。

考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。

此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。

关于矩阵秩_不_等式的分块矩阵构造证明

r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) - r( B)
(1)
证明显然 (1) 等价于 r( B) + r( AB C) Ε r( AB ) + r( B C) ,故令 M = B 0 . 对 M 进行 0 AB C
广义初等变换 :
B 0 →B
0 → B - BC → BC B
0 AB C
i =1
0
At
定理 2 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t , t Ε 2. 则
A1
3
t
∑r( A i ) Φ r
i =1
A2
ω
t
∑ Φ min r( A i ) + m j i = 1 ,2 , …, t j =1 j ≠i
0
At
证明对 t 用数学归纳法证明左侧不等式.
矩阵的广义初等变换证明矩阵秩的 (不) 等式.
在本文中 ,设 F 为一般的数域 , In 表示 n 阶单位矩阵 , r( M) 表示矩阵 M 的秩. 首先 , 关于分块
矩阵的秩 ,下列结论是基本的.
定理 1 分块矩阵的下列结论成立 :
(1) 设 A i ∈ Fmi ×ni , i = 1 , 2 , …, t. 则
r( B A + C) = n - r( A )
(4)
证明由 A ( BA + C) = 0 及矩阵秩的基本性质得 r( A) + r( BA + C) Φ n. 又由 r( C) = n 及
BA + C 0 → BA + C BA → C BA
0
A
0
A
-A A

高等代数矩阵秩的等式与不等式

. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故

( 秩A
) B
=
秩
Er
Es

= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).

矩阵的几个不等式

矩阵的几个不等式1. 矩阵的不等式定义：矩阵的不等式指的是一组矩阵的元素之间的比较，它可以是大于、小于或等于关系。

矩阵的不等式可以表示为A≤B，其中A和B分别是两个矩阵，A≤B表示A中的每个元素都小于等于B中的对应元素。

## 2. 矩阵的不等式性质1. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥A；2. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤2A；3. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠A；4. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠2A；5. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥2A；6. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤A；7. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠0；8. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≠-A；9. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≥0；10. 对于任意的n阶矩阵A，有A+A≤-A。

3. 矩阵的不等式应用矩阵的不等式应用可以用于多种情况，如矩阵的范数估计、矩阵的特征值估计、矩阵的迹估计、矩阵的奇异值估计、矩阵的乘积估计等。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于求解线性方程组、求解矩阵的逆等问题。

此外，矩阵的不等式应用还可以用于矩阵的正定性判断、矩阵的正交性判断等。

#### 4. 矩阵的不等式推导1. 对于矩阵A，若A的行列式不为零，则有A的逆矩阵存在；2. 若A的行列式为零，则A的逆矩阵不存在；3. 对于任意矩阵A，有A+A的逆矩阵存在；4. 对于任意矩阵A，有A*A的逆矩阵存在；5. 对于任意矩阵A，有A*A+A的逆矩阵存在；6. 对于任意矩阵A，有A*A*A的逆矩阵存在；7. 对于任意矩阵A，有A*A*A+A的逆矩阵存在；8. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A的逆矩阵存在；9. 对于任意矩阵A，有A*A*A*A+A的逆矩阵存在。

5. 矩阵的不等式变换：矩阵的不等式变换是指将一个矩阵中的不等式变换为另一个矩阵，这样可以更容易地解决矩阵的不等式问题。

变换的方法有很多，比如可以使用行列式，矩阵乘法，矩阵加法，矩阵转置等。

数学本科毕业论文《矩阵不等式的证明及其应用》

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。

浅谈矩阵秩的等式与不等式证明

块矩阵，利用分块矩阵的初等变换及分块矩阵的秩的相关
定理去求解．要善于观察，构造分块矩阵是难点，如结论１Ｏ．
矩阵的分块方法是矩阵论的一种重要方法，选择合适
的分块方法可使一些证明变得简单明了．在学习线性代数
时，许多问题都可尝试用分块方法解决．本文在对部分矩阵秩的等式与不等式证明过程中利用
了矩阵的分块方法．思路６应用方程组解的相关理论求解，如结论１１的
证明．思路７灵活运用常见的秩的等式与不等式进行证明．
在证明矩阵秩的不等关系时，经常用到关于两矩阵和与乘积的秩的关系，如结论５、结论６、结论７、结论１１等．
对于有一些稍难的结论，许多教材并没有给出证明．本文把
分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，并归纳整理
出若干常用有效的证明思路，帮助学生掌握这一难点．
二、预备知识及证明思路
定义对于ｍ × 矩阵Ａ，若阶子式不为０，且
数即为矩阵的秩．
思路２初等变换不改变矩阵的秩．利用初等变换将矩
阵化为阶梯形，阶梯形矩阵非零行的行数即为矩阵的秩．矩
阵的初等变换是研究矩阵的秩的重要方法．
思路３证秩相等，可考虑证同解方程组．
构造（Ｉ）ＡＸ＝０，（Ｕ）ＢＸ＝０．（Ａ，Ｂ列数相同）
若（Ｉ）（Ⅱ）同解，则（Ｉ）与（ＩＩ）基础解系等价，从而
●
．

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。

11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1）简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换：（1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）；（2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；（3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上）对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。

矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式定理1：设,m n A R ∈，,n s B R ∈，则{}()()()min (),()r A r B n r AB r A r B +-≤≤。

证明：由于0Bx =的解一定是0ABx =的解，因此0Bx =的基础解系为0ABx =的基础解系的一部分。

于是，()()s r B s r AB -≤-，即()()r AB r B ≤。

()()()()()()T T T T r AB r AB r B A r A r A ==≤=。

这样，我们就证明了()()r AB r A ≤，()()r AB r B ≤，故{}()min (),()r AB r A r B ≤。

我们假设1x ，2x ，……，()s r B x -，()1s r B x -+，……，()s r AB x -为0ABx =的基础解系。

其中，0i Bx =，1()i s r B ≤≤-；0j Bx ≠，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

下面，我们来证明向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+是线性无关的。

事实上，假设数j k ， ()1()s r B j s r AB -+≤≤-，使得()()1()s r AB j j j s r B k Bx -=-+∑，于是()()10s r AB j j s r B B x -=-+=∑。

这样，()()10s r AB j j s r B x -=-+=∑为0Bx =的解。

于是，存在数j k ，1()j s r B ≤≤-，使得 ()()()11()s r AB s r B j j j j s r B j x k x --=-+==-∑∑，即()10s r AB j j j k x -==∑。

由于向量组{}()1s r AB j j x -=线性无关，因此，0j k =，()1()s r B j s r AB -+≤≤-。

于是，向量组{}()()1s r AB j j s r B Bx -=-+线性无关。

矩阵秩的基本不等式

矩阵秩的基本不等式第一篇：矩阵秩的基本不等式矩阵秩的基本不等式定理1：设A∈Rm,n，B∈Rn,s，则r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

证明：由于Bx=0的解一定是ABx=0的解，因此Bx=0的基础解系为ABx=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(B)≤s-r(AB)，即r(AB)≤r(B)。

r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(AT)=r(A)。

这样，我们就证明了r(AB)≤r(A)，r(AB)≤r(B)，故r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

我们假设x1，x2，……，xs-r(B)，xs-r(B)+1，……，xs-r(AB)为ABx=0的基础解系。

其中，Bxi=0，1≤i≤s-r(B)；Bxj≠0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

下面，我们来证明向量组{Bxj}s-r(AB)j=s-r(B)+1是线性无关的。

事实上，假设数kj，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，使得s-r(AB)j=s-r(B)+1s-r(AB)∑s-r(AB)kj(Bxj)，于是Bj=s-r(B)+1∑xj=0。

这样，s-r(AB)j=s-r(B)+1j=s-r(B)+1s-r(B)s-r(AB)j=1∑xj=0为Bx=0的解。

于是，存在数kj，1≤j≤s-r(B)，使得∑∑(-kx)，即∑jjj=1kjxj=0。

由于向量组{xj}s-r(AB)j=1线性无关，因此，kj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)。

于是，向量组{Bxj}线性无关。

j=s-r(B)+1s-r(AB)又由于A(Bxj)=ABxj=0，s-r(B)+1≤j≤s-r(AB)，因此{Bxj}为j=s-r(B)+1s-r(AB)Ax=0的基础解系的一部分。

于是，s-r(AB)-[s-r(B)+1]+1=r(B)-r(AB)≤n-r(A)即r(AB)≥r(A)+r(B)-n。

推论1：若A∈Rm,n，B∈Rn,s满足AB=0，则r(A)+r(B)≤n。

关于矩阵秩不等式证明的一种新方法

关于矩阵秩不等式证明的一种新方法
《关于矩阵秩不等式证明的一种新方法》
矩阵秩不等式是一种重要的数学定理，它可以帮助我们证明一些复杂的数学推理。

最近，研究人员提出了一种新的矩阵秩不等式证明方法，它可以更有效地证明复杂的数学推理。

这种新方法基于一种叫做“矩阵秩不等式”的基本定理，它指出，对于任何一个矩阵A，有rank(A)≤min(m,n)，其中m,n分别是A的行数和列数。

这种定理的证明是基于矩阵的秩定义，以及矩阵的可分解性。

新方法的关键是，它可以有效地证明矩阵秩不等式，而不必考虑矩阵的可分解性。

它的基本思想是，对于任意矩阵A，我们可以将A分解成两个矩阵B和C，其中，
rank(A)=rank(B)+rank(C)。

因此，我们可以证明rank(A)≤min(m,n)，而不必考虑矩阵的可分解性。

这种新方法可以更有效地证明复杂的数学推理，它可以节省大量的时间和精力。

它的实用性和可行性也得到了广泛的认可，成为现代数学证明中不可或缺的一部分。

秩不等式证明总结

秩不等式证明总结秩不等式证明是初中高中数学中常见的一道题目，对于广大学生而言，掌握它的证明方法可以提高解题的效率，同时也可以深入理解向量和矩阵的重要性质。

以下是一篇关于秩不等式证明的总结。

一、初始条件秩不等式证明的各项变量有$A_{m\times n}$，$B_{n\times p}$和$C_{m\times p}$，且$rank(A_{m\times n})=m$，$rank(B_{n\times p})=n$。

需证明$rank(C_{m\times p})\leqslant n$。

二、辅助条件由于$rank(A_{m\times n})=m$，则$A_{m\times n}$各行向量线性无关。

设$A_{m\times n}$的前$k$列为$A_k$，$k\leqslant n$，则$A_k$的各行向量线性无关。

同理，$rank(B_{n\times p})=n$可得，$B_{n\times p}$的前$l$列为$B_l$，$l\leqslant p$，$B_l$的各列向量线性无关。

三、证明过程1.构造辅助矩阵$D_{k\times l}$，$D_{k\times l}=A_kB_l$，即$D_{k\times l}$的第$i$行第$j$列元素为$A_k$的第$i$行向量与$B_l$的第$j$列向量的内积。

2.对$D_{k\times l}$的各行向量做线性组合，得到：$$(t_1,t_2,\cdots,t_k)D_{1\timesl}+(t_1',t_2',\cdots,t_k')D_{2\timesl}+\cdots+(t_s,t_{s+1},\cdots,t_k)D_{s\times l}=0$$ 其中，$t_1,t_2,\cdots,t_k$不全为零。

3.设$C_{m\times p}$的前$s$列为$C_s$，$s\leqslant p$。

由于$B_l$的各列向量线性无关，因此可知$D_{1\times l},D_{2\times l},\cdots,D_{s\times l}$的各列向量线性无关，即它们的秩为$s$。

分块矩阵的秩的不等式

分块矩阵的秩的不等式哎呀，今天我们要聊聊“分块矩阵的秩的不等式”，一听就觉得这事儿有点儿高深，对吧？不过别急，我们一点一点来，慢慢捋清楚。

其实这玩意儿说白了，就是数学里的一道难题，但咱们不妨把它当成一场小小的冒险，别把自己弄得太紧张。

就像在厨房里做饭，可能一开始有点儿手忙脚乱，但掌握了火候，嘿，做出来的菜肴一定美味可口。

咱们先说说什么是“分块矩阵”。

矩阵，大家可能都不陌生，数学里经常见到的东西。

就像是一张表格，里面有数字或者元素。

分块矩阵其实也是矩阵的一种，简单来说，它就是把一个大的矩阵分成几个小块，每个小块可以是一个子矩阵。

就好比把一个大蛋糕切成几块小块，每块可能大小不一，但最终合起来就是那整个蛋糕。

别小看这些小块，它们在数学里可是有大作用的。

接着呢，说到矩阵的秩，很多人可能会皱眉，想说：“秩？那不就是个陌生的数学名词嘛。

”秩这个概念也不难理解。

它代表了矩阵的“力量”，就是这个矩阵能表达多少独立的信息。

秩越大，矩阵越“有料”，也能解决更多复杂的问题。

反过来，秩小的话，矩阵可能就有点“空洞”，只能处理一些比较简单的情况。

你可以把秩想象成一个团队的战斗力，队员多了，力量大了，战斗力也就强了。

分块矩阵的秩有什么不等式呢？呵呵，这就有意思了。

很多时候，分块矩阵的秩和它的小块们的秩之间是有关系的。

这个关系可以通过不等式来表示。

直白点说，就是一个大的分块矩阵的秩，不可能超过它各个小块的秩之和。

好比一个人想要拉得了全家福，得看家里每个人的能力。

如果家里有一个力大无比的壮汉，那肯定能帮助大家一起搬个大箱子；但如果家里都是些力气不够的朋友，想搬个大箱子就难了。

大箱子的重量就是那个分块矩阵的秩，小块们的能力就是每个子矩阵的秩。

简单来说，分块矩阵的秩，永远不会超过它子矩阵秩的总和，这就像一个上限。

但是！这也不是说每个分块矩阵的秩都得等于子矩阵秩的总和。

哎，有时候它可能会小一些，原因是这些小块之间可能有某种联系，或者说它们之间的信息是重复的，冗余的。

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矩阵的秩是一个重要、基本的数学概念．在矩阵的变换、向量组的线性关系、线性方程组解的判
定和求解等方面应用十分广泛．其中伴随矩阵的性质有许多数学工作者进行了深入的研究，得出了不少有价值的结论［１－２］．这里就伴随矩阵秩的一个等式性质进行引申和拓展，得出一般矩阵秩的
≤ 秩（Ｅ－Ａ）＋秩Ａ＝秩（Ａ－Ｅ）＋秩Ａ．从而秩（Ａ－Ｅ）＋秩Ａ＝ｎ，故秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ－ｒ，证毕．
参考文献［１］金启胜．由伴随矩阵所联想的几个问题［Ｊ］．科技信息，２００９（１２）：６８．［２］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数［Ｍ］．北京；高等教育出版社，２００２：２０５－２０９．［３］毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］．武汉；华中科技大学出版社，２０００：１５６－１６６．［４］杨永根．线性代数．方法与应用［Ｍ］．北京；科学出版社，２００１：９３－９５．
摘要：由伴随矩阵秩的等式性质联想到一般矩阵秩的一个重要不等式性质，给出更为简捷的证明方法，并举出实例验证性质的正确性．
关键词：矩阵；秩；向量
［中图分类号］Ｏ１５１．２１［文献标志码］Ａ［文章编号］１００３－６１８０（２０１２）０３－０００５－０１
定理２［３］设Ａ为ｍ ×ｐ矩阵，Ｂ为ｐ×ｎ矩阵．若＝０，所以Ｂ的ｎ个列向量都
是方程组ＡＸ＝０的解向量．Ｘ的维数为ｐ，则ＡＸ＝０的基础解系中恰含（ｐ－秩Ａ）个解向量，因而秩Ｂ ≤ｐ－秩Ａ，所以秩Ａ＋秩Ｂ ≤ｐ，证毕．
推论１设Ａ１，Ａ２均为ｎ阶矩阵，且Ａ１Ａ２＝０，则秩Ａ１＋秩Ａ２ ≤ｎ＝（２－１）·ｎ．
推论２设Ａ１，Ａ２，…Ａｍ均为ｎ阶矩阵，且Ａ１Ａ２…Ａｍ＝０，则秩Ａ１＋秩Ａ２＋ … ＋秩Ａｍ ≤ （ｍ－１）·ｎ．
２应用
例１［３－４］设４阶矩阵Ａ的秩为２，求其伴随矩阵Ａ＊的秩．
收稿日期：２０１２－０４－１１基金项目：２０１２年安徽省自然科学研究项目（ＫＪ２０１２Ｚ２３６）
编辑：文心
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２０１２年第３期（总第８０期）
牡丹江师范学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭｕｄａｎｊｉａｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．３，２０１２ＴｏｔａｌＮｏ８０
矩阵秩的不等式性质
金启胜，包翠莲
（安庆职业技术学院，安徽安庆２４６００３）
解因为秩Ａ＝２＜３，由定理１可知，秩Ａ＊＝０．
例２［３－４］设Ａ为ｎ阶矩阵，且Ａ２＝Ａ．若秩Ａ＝ｒ，证明：秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ－ｒ，其中Ｅ为ｎ阶单位矩阵．
证明因为Ａ２＝Ａ，所以Ａ（Ａ－Ｅ）＝０，由定理２可知，秩Ａ＋秩（Ａ－Ｅ）≤ｎ．又因为Ｅ＝Ｅ－Ａ＋Ａ，所以ｎ＝秩Ｅ＝秩（Ｅ－Ａ＋Ａ）
一个重要不等式性质，并给出一种简单明了的证
明方法以及具体的应用．
１有关结论
定理１［２－３］设Ａ为ｎ阶矩阵，Ａ＊为Ａ的伴烄ｎ，秩Ａ＝ｎ；
随矩阵，则秩Ａ＊＝烅１，秩Ａ＝ｎ－１；烆０，秩Ａ＜ｎ－１．
证明当秩Ａ＝ｎ时，｜Ａ｜≠０，由ＡＡ＊＝｜Ａ｜Ｅ得到秩Ａ＊＝秩（ＡＡ＊）＝秩（｜Ａ｜Ｅ）＝ｎ．当秩Ａ＜ｎ－１时，Ａ中所有ｎ－１阶子式全为０，即Ａ＊中所有元素为零，即Ａ＊＝０，故秩Ａ＊＝０．当秩Ａ＝ｎ－１时，Ａ中至少有一个ｎ－１阶子式不等于零，故Ａ＊ ≠０，从而秩Ａ＊ ≥ １；另一方面，因秩Ａ＝ｎ－１，故Ａ中所有ｎ阶子式都等于零，从而｜Ａ｜＝０，所以ＡＡ＊＝｜Ａ｜Ｅ＝０，于是秩Ａ＋秩Ａ＊ ≤ｎ（参见定理２）．而秩Ａ＝ｎ－１，故秩Ａ＊ ≤１．所以秩Ａ＊＝１，证毕．