矩阵秩的不等式性质
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定理２［３］ 设 Ａ 为ｍ ×ｐ 矩阵，Ｂ 为ｐ×ｎ矩 阵．若 ＡＢ ＝０，则秩 Ａ ＋ 秩 Ｂ ≤ｐ．
证明 因为ＡＢ ＝０，所以Ｂ 的ｎ 个列向量都
是 方程组ＡＸ ＝０的解向量．Ｘ 的维数为ｐ，则ＡＸ ＝０的基础解系中恰含（ｐ－ 秩Ａ）个解向量，因而 秩 Ｂ ≤ｐ－ 秩 Ａ，所以秩 Ａ ＋ 秩 Ｂ ≤ｐ，证毕．
推 论１ 设Ａ１，Ａ２ 均为ｎ阶矩阵，且Ａ１Ａ２ ＝ ０，则秩 Ａ１ ＋ 秩 Ａ２ ≤ｎ ＝ （２－１）·ｎ．
推论２ 设 Ａ１，Ａ２，…Ａｍ 均 为ｎ 阶 矩 阵，且 Ａ１Ａ２…Ａｍ ＝０， 则秩 Ａ１ ＋ 秩 Ａ２ ＋ … ＋ 秩 Ａｍ ≤ （ｍ －１）·ｎ．
２ 应用
例１［３－４］ 设４阶矩阵 Ａ 的秩为２，求其伴随 矩阵 Ａ＊ 的秩．
一个重要不等式 性 质，并 给 出 一 种 简 单 明 了 的 证
明方法以及具体的应用．
１ 有关结论
定理１［２－３］ 设 Ａ 为ｎ 阶矩阵，Ａ＊ 为 Ａ 的伴 烄ｎ，秩 Ａ ＝ｎ；
随矩阵，则秩 Ａ＊ ＝ 烅１，秩 Ａ ＝ｎ－１； 烆０，秩 Ａ ＜ｎ－１．
证明 当秩 Ａ ＝ｎ 时，｜Ａ｜≠０，由 ＡＡ＊ ＝ ｜Ａ｜Ｅ 得到秩Ａ＊ ＝ 秩（ＡＡ＊ ）＝ 秩（｜Ａ｜Ｅ）＝ｎ． 当秩 Ａ ＜ｎ－１时，Ａ 中所有ｎ－１阶子式全 为０，即Ａ＊ 中所有元素为零，即Ａ＊ ＝０，故秩Ａ＊ ＝０．当秩 Ａ ＝ｎ－１时，Ａ 中至少有一个ｎ－１阶 子式不等于零，故 Ａ＊ ≠０，从 而 秩 Ａ＊ ≥ １；另 一 方面，因秩 Ａ ＝ｎ－１，故 Ａ 中所有ｎ 阶子式都等 于 零，从而｜Ａ｜＝０，所以 ＡＡ＊ ＝｜Ａ｜Ｅ ＝０，于 是秩 Ａ ＋ 秩 Ａ＊ ≤ｎ（参见定理２）．而秩 Ａ ＝ｎ－ １，故秩 Ａ＊ ≤１．所以秩 Ａ＊ ＝１，证毕．
≤ 秩（Ｅ －Ａ）＋ 秩 Ａ ＝ 秩（Ａ －Ｅ）＋ 秩 Ａ． 从而 秩（Ａ －Ｅ）＋ 秩 Ａ ＝ｎ， 故 秩（Ａ －Ｅ）＝ｎ－ｒ，证毕．
参考文献 ［１］金启胜．由伴随矩阵所联想的几个问题［Ｊ］．科技信息，２００９ （１２）：６８． ［２］北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 代 数 小 组 ．高 等 代 数 ［Ｍ］．北 京 ；高 等 教 育 出 版 社 ，２００２：２０５－２０９． ［３］毛 纲 源 ．线 性 代 数 解 题 方 法 技 巧 归 纳 ［Ｍ］．武 汉 ；华 中 科 技 大 学 出 版 社 ，２０００：１５６－１６６． ［４］杨 永 根 ．线 性 代 数 ．方 法 与 应 用 ［Ｍ］．北 京 ；科 学 出 版 社 ，２００１：９３－９５．
收 稿 日 期 ：２０１２－０４－１１ 基 金 项 目 ：２０１２ 年 安 徽 省 自 然 科 学 研 究 项 目 （ＫＪ２０１２Ｚ２３６）
编 辑 ：文 心
·５·
摘 要：由伴随矩阵秩的等式性质联想到一 般 矩 阵 秩 的 一 个 重 要 不 等 式 性 质 ，给 出 更 为 简 捷 的 证 明 方 法， 并举出实例验证性质的正确性．
关 键 词 ：矩 阵 ；秩 ；向 量
［中 图 分 类 号 ］Ｏ１５１．２１ ［文 献 标 志 码 ］Ａ ［文 章 编 号 ］１００３－６１８０（２０１２）０３－０００５－０１
２０１２ 年 第 ３ 期 （总 第８０ 期 ）
牡 丹 江 师 范 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．３，２０１２ Ｔｏｔａｌ Ｎｏ ８０
Leabharlann Baidu
矩阵秩的不等式性质
金 启 胜 ，包 翠 莲
（安 庆 职 业 技 术 学 院 ，安 徽 安 庆 ２４６００３）
解 因为秩 Ａ ＝２ ＜ ３，由定理 １ 可知，秩 Ａ＊ ＝０．
例 ２［３－４］ 设 Ａ 为ｎ 阶矩阵，且 Ａ２ ＝ Ａ．若秩 Ａ ＝ｒ，证明：秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ－ｒ，其中Ｅ 为ｎ 阶单 位矩阵．
证明 因为 Ａ２ ＝ Ａ，所以 Ａ（Ａ －Ｅ）＝０， 由定理２可知，秩 Ａ ＋ 秩（Ａ －Ｅ）≤ｎ． 又因为 Ｅ ＝ Ｅ －Ａ ＋Ａ， 所以 ｎ ＝ 秩 Ｅ ＝ 秩（Ｅ －Ａ ＋Ａ）
矩 阵 的 秩 是 一 个 重 要 、基 本 的 数 学 概 念 ．在 矩 阵 的 变 换 、向 量 组 的 线 性 关 系 、线 性 方 程 组 解 的 判
定和求解等方面 应 用 十 分 广 泛．其 中 伴 随 矩 阵 的 性质有许多数学 工 作 者 进 行 了 深 入 的 研 究，得 出 了不少有价值的结论［１－２］．这里就伴随矩阵 秩 的 一 个等式性质进行 引 申 和 拓 展，得 出 一 般 矩 阵 秩 的
证明 因为ＡＢ ＝０，所以Ｂ 的ｎ 个列向量都
是 方程组ＡＸ ＝０的解向量．Ｘ 的维数为ｐ，则ＡＸ ＝０的基础解系中恰含（ｐ－ 秩Ａ）个解向量，因而 秩 Ｂ ≤ｐ－ 秩 Ａ，所以秩 Ａ ＋ 秩 Ｂ ≤ｐ，证毕．
推 论１ 设Ａ１，Ａ２ 均为ｎ阶矩阵，且Ａ１Ａ２ ＝ ０，则秩 Ａ１ ＋ 秩 Ａ２ ≤ｎ ＝ （２－１）·ｎ．
推论２ 设 Ａ１，Ａ２，…Ａｍ 均 为ｎ 阶 矩 阵，且 Ａ１Ａ２…Ａｍ ＝０， 则秩 Ａ１ ＋ 秩 Ａ２ ＋ … ＋ 秩 Ａｍ ≤ （ｍ －１）·ｎ．
２ 应用
例１［３－４］ 设４阶矩阵 Ａ 的秩为２，求其伴随 矩阵 Ａ＊ 的秩．
一个重要不等式 性 质，并 给 出 一 种 简 单 明 了 的 证
明方法以及具体的应用．
１ 有关结论
定理１［２－３］ 设 Ａ 为ｎ 阶矩阵，Ａ＊ 为 Ａ 的伴 烄ｎ，秩 Ａ ＝ｎ；
随矩阵，则秩 Ａ＊ ＝ 烅１，秩 Ａ ＝ｎ－１； 烆０，秩 Ａ ＜ｎ－１．
证明 当秩 Ａ ＝ｎ 时，｜Ａ｜≠０，由 ＡＡ＊ ＝ ｜Ａ｜Ｅ 得到秩Ａ＊ ＝ 秩（ＡＡ＊ ）＝ 秩（｜Ａ｜Ｅ）＝ｎ． 当秩 Ａ ＜ｎ－１时，Ａ 中所有ｎ－１阶子式全 为０，即Ａ＊ 中所有元素为零，即Ａ＊ ＝０，故秩Ａ＊ ＝０．当秩 Ａ ＝ｎ－１时，Ａ 中至少有一个ｎ－１阶 子式不等于零，故 Ａ＊ ≠０，从 而 秩 Ａ＊ ≥ １；另 一 方面，因秩 Ａ ＝ｎ－１，故 Ａ 中所有ｎ 阶子式都等 于 零，从而｜Ａ｜＝０，所以 ＡＡ＊ ＝｜Ａ｜Ｅ ＝０，于 是秩 Ａ ＋ 秩 Ａ＊ ≤ｎ（参见定理２）．而秩 Ａ ＝ｎ－ １，故秩 Ａ＊ ≤１．所以秩 Ａ＊ ＝１，证毕．
≤ 秩（Ｅ －Ａ）＋ 秩 Ａ ＝ 秩（Ａ －Ｅ）＋ 秩 Ａ． 从而 秩（Ａ －Ｅ）＋ 秩 Ａ ＝ｎ， 故 秩（Ａ －Ｅ）＝ｎ－ｒ，证毕．
参考文献 ［１］金启胜．由伴随矩阵所联想的几个问题［Ｊ］．科技信息，２００９ （１２）：６８． ［２］北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 代 数 小 组 ．高 等 代 数 ［Ｍ］．北 京 ；高 等 教 育 出 版 社 ，２００２：２０５－２０９． ［３］毛 纲 源 ．线 性 代 数 解 题 方 法 技 巧 归 纳 ［Ｍ］．武 汉 ；华 中 科 技 大 学 出 版 社 ，２０００：１５６－１６６． ［４］杨 永 根 ．线 性 代 数 ．方 法 与 应 用 ［Ｍ］．北 京 ；科 学 出 版 社 ，２００１：９３－９５．
收 稿 日 期 ：２０１２－０４－１１ 基 金 项 目 ：２０１２ 年 安 徽 省 自 然 科 学 研 究 项 目 （ＫＪ２０１２Ｚ２３６）
编 辑 ：文 心
·５·
摘 要：由伴随矩阵秩的等式性质联想到一 般 矩 阵 秩 的 一 个 重 要 不 等 式 性 质 ，给 出 更 为 简 捷 的 证 明 方 法， 并举出实例验证性质的正确性．
关 键 词 ：矩 阵 ；秩 ；向 量
［中 图 分 类 号 ］Ｏ１５１．２１ ［文 献 标 志 码 ］Ａ ［文 章 编 号 ］１００３－６１８０（２０１２）０３－０００５－０１
２０１２ 年 第 ３ 期 （总 第８０ 期 ）
牡 丹 江 师 范 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｕｄａｎｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｎｏ．３，２０１２ Ｔｏｔａｌ Ｎｏ ８０
Leabharlann Baidu
矩阵秩的不等式性质
金 启 胜 ，包 翠 莲
（安 庆 职 业 技 术 学 院 ，安 徽 安 庆 ２４６００３）
解 因为秩 Ａ ＝２ ＜ ３，由定理 １ 可知，秩 Ａ＊ ＝０．
例 ２［３－４］ 设 Ａ 为ｎ 阶矩阵，且 Ａ２ ＝ Ａ．若秩 Ａ ＝ｒ，证明：秩（Ａ－Ｅ）＝ｎ－ｒ，其中Ｅ 为ｎ 阶单 位矩阵．
证明 因为 Ａ２ ＝ Ａ，所以 Ａ（Ａ －Ｅ）＝０， 由定理２可知，秩 Ａ ＋ 秩（Ａ －Ｅ）≤ｎ． 又因为 Ｅ ＝ Ｅ －Ａ ＋Ａ， 所以 ｎ ＝ 秩 Ｅ ＝ 秩（Ｅ －Ａ ＋Ａ）
矩 阵 的 秩 是 一 个 重 要 、基 本 的 数 学 概 念 ．在 矩 阵 的 变 换 、向 量 组 的 线 性 关 系 、线 性 方 程 组 解 的 判
定和求解等方面 应 用 十 分 广 泛．其 中 伴 随 矩 阵 的 性质有许多数学 工 作 者 进 行 了 深 入 的 研 究，得 出 了不少有价值的结论［１－２］．这里就伴随矩阵 秩 的 一 个等式性质进行 引 申 和 拓 展，得 出 一 般 矩 阵 秩 的