16巩固练习_《推理与证明》全章复习与巩固_提高

黑的圆列， 因为 36÷5＝7 余 1，所以第 36 个圆应与第 1 个圆颜色相同，即白色．
2．【答案】D 【解析】所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述
推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．
3．【答案】D 【解析】当 n＝1 时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选 D．
C．a，b 不都能被 5 整除
D．a 不能被 5 整除
6． 函数 f(x)由下表定义：
x25314
f(x) 1 2 3 4 5
若 a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0,1,2，…，则 a2 009＝ ( )
A．1
B．2
C．4
D．5
二、填空题
7． 已知 f n＝1＋1 + 1 ++ 1 (n∈N*)，用数学归纳法证明 f 2n n 时，f(2k＋1)－f(2k)
a2
一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有
4
两个棱长均为 a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的 体积恒为________．
三、解答题
11．用数学归纳法证明12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) ， (n N ) ． 6
15．在数列an 中， a1 2，an1 an n1 (2 )2n (n N ) ，其中 0 ． （Ⅰ）求数列an 的通项公式； （Ⅱ）求数列an 的前 n 项和 Sn ；
2
（Ⅲ）证明存在 k N ，使得 an1 ≤ ak1 对任意 n N 均成立．
an
ak
【答案与解析】
1．【答案】A 【解析】由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为 5 的三白二
只要 2an1 ( 2 4)an (n≥ 2) ，
因为 ( 2 4)an ( 2 4)(n 1) n ( 2 1)2n 4· (n 1) n 4 2n 4(n 1) n1 2n2
≥ 2n n1 2n2 2an1，n ≥ 2 ．
所以③式成立．
因此，存在 k 1 ，使得 an1 ≤ ak1 a2 对任意 n N 均成立．
以下用数学归纳法证明．
（1）当 n 1 时， a1 2 ，等式成立． （2）假设当 n k 时等式成立，即 ak (k 1) k 2k ， 那么 ak1 a1 k1 (2 )2k
5
(k 1) k 2k k1 2k1 2k
[(k 1) 1] k1 2k1 ．
这就是说，当 n k 1 时等式也成立． 根据（1）和（2）可知，等式 an (n 1) n 2n 对任何 n N 都成立．
23 n
2
＝________．
8．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合 A 中元素之间 的一个关系“ ”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意 a A ，都有 a a ；
1
（2）对称性：对于 a，b A ，若 a b ，则有 b a ；
（3）传递性：对于 a，b，c A ，若 a b ， b c ，则有 a c ．
4． 已知 c＞1， a＝ c+1 c ， b＝ c c 1 ，则正确的结论是( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a、b 大小不定
5． 用反证法证明命题：“a、b∈N，ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”
时，假设的内容应为 ( )
A．a，b 都能被 5 整除
B．a，b 都不能被 5 整除
an
ak a1
7
只需证 SC⊥平面 AEF，
只需证 AE⊥SC(因为______)，
只需证______，
只需证 AE⊥BC(因为________)，
只需证 BC⊥平面 SAB，只需证 BC⊥SA(因为______)．
由 SA⊥平面 ABC 可知，上式成立．
10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形，其中
（2）假设当 n k 时，原式成立，即12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
当 n k 1 时，12 22 32 k 2 (k 1)2 k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(2k 2 7k 6)
项和
Sn
(n
1) n2 n n1 (1 )2
2
2n1
2
．
当
1 时，Tn
n(n 1) 2
．
这时数列an 的前
n
项和
Snຫໍສະໝຸດ Baidu
n(n 1) 2
2n1
2．
（III）通过分析，推测数列
an1
的第一项
a2
最大，下面证明：
an
a1
an1 a2 2 4 , n≥ 2 ③
an a1
2
6
由 0 知 an 0 ，要使③式成立，
4．【答案】B 【解析】
5．【答案】B 【解析】假设的内容应为命题结论“a，b 中至少有一个能被 5 整除”的否定：a，b 都不能
被 5 整除．
6．【答案】B
【解析】由 a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0,1,2，…，得 a1＝f(a0)＝f(5)＝2； a2＝f(a1)＝f(2)＝1； a3＝f(a2)＝f(1)＝4； a1＝f(a3)＝f(4)＝5； a5＝f(a4)＝f(5)＝2； ……
6
6
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
∴ n k 1 时，原式成立
∴对于任意的 (n N ) ，原式成立．
12． 【证明】
ac ac abbc abbc
ab bc ab
bc
2 b c a b 2 2 b c a b 4 ， (a b c)
ab bc
ab bc
解法二：由 an1 an n1 (2 )2n (n N ) ， 0 ，
可得
an1 n1
2
n1
an n
2
n
1，
所以
an n
2
n
为等差数列，其公差为
1，首项为
0，
故
an n
2
n
n 1，
所以数列an 的通项公式为 an (n 1) n 2n ．
（Ⅱ）设Tn 2 23 3 4 (n 2) n1 (n 1) n ， ①
所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．
以上推理运用的推理规则是( )
A．类比推理
B．演绎推理
C．不完全归纳推理
D．完全归纳推理
3． 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋＋(n＋3)＝n+3n+4 n N* 时，验证 n＝1， 2
左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
【解析】分析法证明.
a3
10．【答案】
8
【解析】本题考查类比推理知识．可取特殊情况研究，当将一个正方体的一个顶点垂直放
1
a3
在另一个正方体的中心时，易知两正方体的重叠部分占整个正方体的 ，故其体积为 .
8
8
11．【证明】（1）当 n 1 时，左边 1 ，右边 (11)(2 1) 1 ，左=右，原式成立 6
【巩固练习】
一、选择题
1． 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○ ，按
这种规律往下排，那么第 36 个圆的颜色应是 ( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
2． 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；
直角三角形的面积等于底乘高的一半；
钝角三角形的面积等于底乘高的一半；
说明递推数列 a0＝5，an＋1＝f(an)是周期为 4 的数列．a2 009＝f(a2 008)＝f(5)＝2．
7．【答案】
1 2k +1
+
1 2k +2
+
+
1 2k +1
3
【解析】
8．【答案】不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条 件”等等
【解析】严格根据“-”的定义。 9．【答案】EF⊥SC； AE⊥平面 SBC；AE⊥SB；AB⊥BC
a c a c 4, 1 1 4 .
ab bc
ab bc ac
13．【解析】
4
14．【证明】假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为 P ， 全部序列为 2,3,5, 7,11,13,17,19,..., P 再构造一个整数 N 2 35 7 11... P 1， 显然 N 不能被 2 整除， N 不能被 3 整除，…… N 不能被 P 整除， 即 N 不能被 2,3,5, 7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除， 所以 N 是个质数，而且是个大于 P 的质数，与最大质数为 P 矛盾， 即质数序列 2,3,5, 7,11,13,17,19, ……是无限的．
15．【解析】
（Ⅰ）解法一： a2 2 2 (2 )2 2 22 ， a3 ( 2 22 ) 3 (2 )22 23 23 ， a4 (23 23 ) 4 (2 )23 3 4 24 ．
由此可猜想出数列an 的通项公式为 an (n 1) n 2n ．
Tn 3 2 4 35 (n 2) n (n 1) n1 ② 当 1时，①式减去②式，
得 (1 )Tn
2
3
n
(n
1) n1
2 n1 1
(n
1) n1 ，
Tn
2 n1 (1 )2
(n 1) n1 1
(n 1) n2 n n1 (1 )2
2
．
这时数列an 的前 n
12． 已知 a b c ， 求证： 1 1 4 . ab bc ac
13． 我们知道，在△ABC 中，若 c2＝a2＋b2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若 cn＝an＋bn(n＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？
14． 求证：质数序列 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, ……是无限的．
则称“ ”是集合 A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不
是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：__
____．
9． 如图所示，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂
线，垂足为 F.
求证：AF⊥SC.
证明：要证 AF⊥SC，