第8讲：有理数的混合运算-学案

知识讲解：
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.考点一：有理数的混合运算顺序 【例题】
1、计算下列各题： （1）（+45）+（－92）+5+（－8）
（2）2
2(5)23⨯-+-÷
12
（3）4
2-+︱6－10︱－2014
3(1)⨯-
（4）()()423332
2
-+-⨯+-÷-
2、计算：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-÷+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--4142405353132
2
【练习】
1、计算：
（1）2＋（－3）－（－5）
（2）
（3）()241113332⎛⎫
---÷⨯-- ⎪⎝⎭
；
2、计算题：
（1）
)14(612-++-）（
（2）543+--
（3
（4
（5）423592
÷---⨯
-）（）（
（6
3、计算：
（1）13)18()14(20----+-；
（2）（—121）×（—43）÷（—
（3） 2
342293⎛⎫
-÷⨯- ⎪⎝⎭
；
（4
（5） （－96）×（－0．125）＋9696
（6
4、计算：
（1
（2
考点二：有理数混合运算的常用技巧 【例题】
1、计算：
（1）()()()1007023506-++-++-； （2）2312
543535
--+--+.
2、计算： （1）77372522512381258512⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
；
（2）()()35026700261050+-+++-.
3、计算：
（1）()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭； （2）()25172436128⎛⎫
-+-⨯- ⎪⎝⎭
.
4、计算： （1）11121303652⎛⎫⎛⎫
-÷+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）711112254384236
⎛⎫⎛⎫+-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）1111112620304256
+++++；
【练习】
1、计算下列各题： （1）41401 3.23⎛⎫--+-
+- ⎪
；
（2）214339⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
（3）()2
118623⎛⎫
-÷-⨯- ⎪⎝⎭
；
（4）()()222310.24-+-⨯-÷-+-；
（5）()()2
2
2172363⎛⎫
-+⨯---÷- ⎪⎝⎭
；
（6）()()()11
5551010
---⨯÷⨯-；
（7）()32
211012333⎛⎫⎡⎤----÷⨯- ⎪⎣
⎦⎝
⎭
；
（8）()2
2013
1321111362234912⎛⎫⎛⎫---÷⨯-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（9）()2241122112323⎡⎤
⎛⎫-÷----⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
（10）()()24
110.51333⎡⎤---⨯⨯--⎣
⎦
2、计算： （1）893+---）（ （2）13
(1)(48)64
-+⨯-
（3） －14
×（－216）＋（－5）×216＋4×136
（4）2
211130.41⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⨯-⨯-+÷-⎢⎥ ⎪ ⎪
3、计算：
（1
（2
（3
（4
4、①－15―[―1－(4－20)]；
② (1
2
－3＋
57
612
-)÷(－
1
36
)；
③ 4×(－7 2
5
)＋(－2)2×5－4÷(－
5
12
)
④ (－3
5
)7×(－6)×(1
2
3
)8―(―23)÷4×(－
1
4
)
考点三：利用有理数的混合运算解决实际问题
【例题】
1、某巡警车在一条南北大道上巡逻，某天巡警车从岗亭A处出发，规定向北方向为正，当天行驶记录如
下（单位：千米）
10,9,7,15,6,5,4,2
+-+-+-+-
（1）最终巡警车是否回到岗亭A处？若没有，在岗亭何方，距离岗亭多远？
（2）巡警车行驶1千米耗油0.2升，够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
2、某一天巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，向北为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）：
10,9,7,15,6,14,4,2
+-+-+-+-
（1）A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？
（2）若摩托车行驶10千米耗油0.5升，且最后返回岗亭，这时摩托车共耗油多少升？
【练习】
1、股民小杨上星期五买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）：
（1）星期三收盘时，该股票涨或跌了多少元？
（2）本周内该股票的最高价是每股多少元？最底价是每股多少元？
（3）已知小杨买进股票时付了15‰的手续费，卖出时还需要付成交额的15‰的手续费和1‰的交易税如
2、某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与
(1）根据记录的数据可知该厂星期五生产自行车_____________辆；
(2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_____________辆；
(3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
3、出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的城中路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：
+8， -7， +10， -6， +3， -5， +9， -6
（1）小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在出发地的什么方向？距下午出发地有多远？
（2）如果汽车耗油量为0．5升/千米，油箱容量为26升，若出发时油箱装满汽油,请你判断途中是否需要补充汽油？
4、小红家粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成，用了某种涂料150升，购买涂料费用为4800 元，粉刷面积是150 m2，最后计算时，有以下几种方案：
方案一：按工计算，每个工30元（1个人干一天是1个工）；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元：
请你帮小红家出主意，选择最合算的付钱方案，是元．
下：＋8，－3，＋12，－7，－10，－3，－8，＋1，0，＋10．
(1) 这10名同学中最高分是多少?最低分是多少 ?
(2) 这10名同学的平均成绩是多少 ?
6、某服装店老板以60元的单价购进20件流行款的女服装，老板交代销售小姐以80元为标准价出售．针对不同的顾客，销售小姐对20件服装的售价不完全相同，她把超过80元的记为正数，其销售结果如下表所示：
该服装店在售完这20件服装后，请你通过计算说明该服装店老板是赚钱还是亏本？如果赚钱，那么赚了多少钱？如果亏本，那么亏了多少钱？
7、十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如左下表：
（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3．8千米，下降2．9千米，再上升1．6千米。

若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
考点四：利用混合运算玩“二十四点”游戏
【例题】
1、现有四个有理数3，4，-6，10，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，（只需写出一个算式）．
【练习】
1、现有四个有理数
2、
3、7、9，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算使其结果等于24，请你写出3个符合条件的算式：①；
②；③ .
--”四个数，每个数只用一次进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式2、现有“2,3,4,5
（只写一个即可） =24.
-，每个数只用一次，进行加减乘除四则运算，结果等于24，运算式可以是什3、现有四个数，2,3,6,10
么？列三种.
4、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个有理数，将四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，可以使用括号，使其结果等于24.例如对1,2,3,4，可作如下运算：()
123424
++⨯=
①现有四个有理数4,5，-7，-8，运算表达式为：；
②另有四个有理数3，-5,7，-11，运算表达式为：；
5、有一种“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至10之间的自然数，将这四个数（每个数都要用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.现有四个数3，4，6，10.运用上述规则写出运算式，使其结果等于24，运算如下： .
6、现有四个有理数：-1、-3、4、4，将这4个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果为24，请你写出这样的一个算式.
7、现有四个有理数2，4，-9，10，将这四个数（每个数只能用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，请写出一个运算式子： .
8、现有有理数3,6，-9,2，将这四个数（每个数只能用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24，请你写出一个符合条件的算式： .
9、有一种“24点”游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1,2,3,4可作运算（1+2+3）×4.[注意上述运算与4×（1+2+3）应视作相同方法的运算]
（1）现有四个有理数2,4，-6,10，请你运用上述规则写出三种不同的运算式；
（2）另有四个数3,-5,9，-12，试写出一个算式使其结果等于24.
（3）请用3,2,7，-1，写出一个算式使其结果等于24.
（4）请用3,4，-6,10，写出一个算式使其结果等于24.
（5）请用3，-5,7，-13，写出一个算式使其结果等于24.
（6）请用2,-3，4，-6，写出一个算式使其结果等于24；
（7）请用2,3，-4，-9，写出一个算式使其结果等于24；
考点五：与绝对值、相反数、倒数的综合应用 【例题】
1、已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 是绝对值等于3的负数，则m 2
＋（cd ＋a ＋b ）×m ＋（cd ）2009
的值为 ．
2、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a b c d 、、、，且24d a -=，则数轴的原点应是（ ）
A 、点A
B 、点Ｂ Ｃ、点Ｃ Ｄ、点Ｄ ３、若35x -与42y -互为相反数，求23x y -的值．
４、有理数a b 、在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①0ab ＜；②0a
b
-＞；③a b ＜；④a b --＞；⑤
0a b
b a
--＞，成立的有（ ）
Ａ、２个 Ｂ、３个 Ｃ、３个 Ｄ、４个 ５、若()28,20,,.a b a b a b a b ==+=-+-且求的值
【练习】
１、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 到原点的距离为2，则代数式|m|－cd+
a b
m
+的值为 ． ２、已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值是3，求-2x x cd b a )(++2014
)(b a ++2014
)(cd -+的值．
３、若a b 、互为倒数，x y 、互为相反数，3m =．求下列各式的值： （１）238x y
ab m x
--+-；
（２）54ab m x y -+-+；
（３）55x ab y -+．
４、数a b c 、、在数轴上对应的点的位置如图所示．
化简：a b c b -++-．
考点六：利用混合运算解决图表信息题 【例题】
1、现规定一种运算：a*b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则3*5的值为（ ） A 、13 B 、12 C 、11 D 、14
2、如图所示是计算机程序计算，若开始输入1-=x ，则最后输出的结果是 ．
3、一跳蚤在一直线上从O 点开始，第一次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依次规律跳下去，当它跳第2015次落下时，落点处离O 点的距离是 个单位． YES
NO
<5-
×4
输入
—（—1）
输出
【练习】
1、如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为36，我们发现第
1次输出的结果为18，第2次输出的结果为9，……第2014次输出的结果为___________．
2、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数都为
1
n
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（）.
1
4
1
12
1
12
1
4
1
6
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
A.
60
B．
168
C．
1
252
D．
1
280
3、规定一种新的运算：,1
+
-
+
⋅
=
*b
a
b
a
b
a如1
4
3
4
3
4
*
3+
-
+
⨯
=，请计算：________
)3
(*
4
4
*)3
(=
-
+
-．
4、如果规定“Φ”为一种新的运算：aΦ2
2b
a
ab
b-
+
=．
例如：3Φ5
16
9
12
4
3
4
3
42
2=
-
+
=
-
+
⨯
=，请仿照例题计算：
（1）2
-Φ3（2）)2
(-Φ)3
[(-Φ]1
5、为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，•则解密得到的明文为（）
A．4，5，6 B．2，6，7 C． 6，7，2 D．7，2，6
6、如图是计算机某计算程序，若开始输入x＝－2，则最后输出的结果是__________．
7、如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为4时，则输出的结果为．
8、如图是一个数值转换机，输出的结果应为6，那么a 的值为___________________。

9、按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为 ．
10、阅读解题：
1111212=-⨯，3121321-=⨯，4131431-=⨯， ... 计算：+⨯+⨯+⨯431321211 (200520041)
⨯+
=+-+-+-4332211 (2005)
2004-+ =120051-
=2005
2004 理解以上方法的真正含义，计算： （1）111
(10111112100101)
+++
⨯⨯⨯
（2）
(2007)
20051
531311⨯++⨯+⨯。