10梁模型法

b
h
A
ba
C
B
解：设A点的挠度为d
ABC与ACD的相对转角为q :
q d cot a cot b 5 d
AC
2 AC
jd
ACD与CD的相对转角为j: j d
a
内力功Wi ： 外力功We ： Wi We
Wi 2MPq AC M pja 6M Pd We Pd
Pl 6M P
例题2：边长为 a,b 的矩形薄板，一边自由、三边简支，板上受均布载荷 q 作用，塑性铰线如图，板的塑性极限弯矩为： Mp ，求：x=? 破坏 载荷取最小值，此最小值为多少？
三、板的平衡方程 dQ( x) q( x) dx
d rQr qr
dr
d (rM r dr
)
rQr
Mq
d 2rQr 2qr
dr
d(2rM r
dr
)
2rQr
2Mq
dM( x) Q( x) m dx
梁
q(x) 板
梁计算模型
q(r)
o
xo
r
x
m
r
Mx
Qx
m
q(x)
极限条件：
Mmax Mp
2rMr 2rQr 2Mq
i 1
i 1
外力P 做的外力功We ： We Pd
We Wi
n
Pl M P cot a i cot b i i 1
正多边形：a i
bi
(n 2)
2n
2
n
n
Pl M P cot a i cot b i i 1
正多边形（集中力作用在板中心）：
ai
bi
(n 2)
2n
2n
n
Pl
2rq(r)
❖ 若梁和圆板的边界条 件在形式上相同，可 通过求解变量转换后 梁的问题得到圆板的 解答。
四、 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷的步骤
1. 结构转换
o
r
o
r
r
r
z
z
圆板的半径 外边界支承圆板
梁计算模型的跨度 （只研究右半部）
梁计算模型的左端为自由端 右端与板的支承形式相同。
圆板的对称轴
（4）集中力作用下，塑性铰线交于载荷作用点。
二、周边简支的多边形板 在O 处受集中力P 作用
A
O
ai bi
C O
a
OA=li B
b
P
d
破坏机构：角锥体
a li tan a i b li tan b i
d
q1
q2
qi ：相对转角
qi q1 q2
tan q1 tan q 2
d d
ab
qi
d
ji
d
hi
固支边上形成塑性铰线
内力功Wi ：
n
Wi M Pd cot a i cot b i
i 1
nd
M P i1 ai hi
ai hi
cot a i
cot b i1
n
Wi 2M Pd cot a i cot b i
i 1
外力功We ： We Pd
n
Pl 2M P cot a i cot b i i 1
r
o
r
oa
解：
z
r
a
z
m= 2Mp
2rM r
2rM p
r 2rq
2
r 3
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
Mp
Mp
Mp
qa2 6
简支圆板：
Mr ra 0
ql
6
Mp a2
ql
12
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单
位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。
q
2rq
r
o
r
ob
a
解：
z
b
r a
z
m= 2Mp
2rM r
2 r
bM p
2bq
r
b2
2
r
b 2
2rq
2bq
r
b 3
Mr
1
b r
M
p
r
b2 r
6r
2b q
Mr ra 0
ql
a
6M p
ba
2b
固支环板：Mr
r a
Mp
ql
6M p 2a b a b2 a 2b
例题3：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，在半径为 c 的圆周上作用线 分布载荷 p，总值为 P ，单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极 限载荷。
圆板中 r 处的弯矩Mr
梁计算模型上： 2r Mr
3. 求塑性极限载荷 （梁右端边界条件）
r=a 处简支：M＝0
r=a 处固支：M＝－
Mp
2a Mr ＝0 2a Mr ＝ － 2a Mp
例题1：半径为 a 的固支圆板，受均布载荷 q 作用，圆板单位塑性极限弯
矩为： Mp ，求塑性极限载荷。
2rq
q
p
p c
r
ob
a
解：
z
o
b
c a
z
P
r
m= 2Mp
2rM r
2
2 r bM p r bM p Pr
c
b r c cra
Mr ra 0
Pl
2 a bM p
ac
10－7 多边形板的塑性极限载荷（机动法）
一、薄板的破坏机构
1. 基本假设：
1) 在薄板最大弯矩处形成塑性铰线（直线段）。 2) 沿塑性铰线的单位长度上作用着塑性极限弯矩Mp ，不计扭矩
li
cot a i
cot
bi
塑性极限弯矩：MP
在塑性铰线 li 上做的内力功：
qi
d
li
cot a i
cot
bi
M pliq i M Pd cot a i cot b i
M pliq i
n 多边形，总的内力功Wi ：
n
n
Wi M pliq i M Pd cot a i cot b i
MP
2 tan
i 1
n
Pl 2nMP tan n
n 3 : Pl 10.39M P n 4 : Pl 8M P n 5 : Pl 7.27M P n 6 : Pl 6.93M P
三、周边固支的多边形板 在O 处受集中力P 作用
C
AC=ai OD=hi
A
D
bi-1
ai
bi
O
DO
d
ji ：板块AOC相对AC的转角
n
Pl 2M P cot a i cot b i i 1
正多边形（集中力作用在板中心）：
ai
bi
(n 2)
2n
2n
Pl 4nMP tan n
例题1：边长为 a 的正方形薄板，一边固支、两边简支，自由边中点A受集 中载荷 P 作用，板的塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。
Da
E
梁计算模型上的坐标原点
距圆板的对称轴为 r 处的圆截面
坐标为 r 的梁截面
2. 载荷与内力转换
圆板单位面积上的载荷q(r)
梁计算模型上的分布载荷 2rq(r)
圆板某一半径上的载荷P
梁计算模型相应位置处的集中力 P
圆板中的环向弯矩： Mq = Mp （极限条件）
梁计算模型上的附加均布弯矩 2 Mp
方向与外载荷在梁中产生的弯矩方向相反
和剪力的作用。 3) 不计弹性变形。
2. 破坏机构的确定规则： （1）薄板的破坏机构由若干板块组成，板内塑性铰线是相邻两板 块的转动轴。 ➢ 有塑性铰线的固支边、简支边、过支承板中心的线都是板块的 转动轴。 ➢ 板块数目等于支承边界的数目。
（2）塑性铰线在板内相交。
（3）终止在自由边界上的塑性铰线，其延长线交于相邻两板块转 动轴的交点上。该交点可能位于无穷远处。
a2
4x2 ax
M pd
4b 4x a Wi
M Pd
a2
4bx ax
外力功We ：
We
x 0
q
z adz x
x x
z
d
a
2
2
q b
x
wk.baidu.com
2 xy
dy
a 2
y
d
0
a
a 2
D
z adz
xB
F yA
C
z (b x 2x y)dy E
x
a
b
We
qad
6
x 2 qad
12
3b 2x
a/2
a/2
We
qad
6
3b
x
Wi
M Pd
a2
4bx ax
6(a 2 4bx) Wi We ql M P a 2 x(3b x)
dql dx
a2 0 x
4b
b2
1 12 a2
1
ql
min
48b2 M P a2 (6b2 a2 a a2 12b2 )
D
abB a
b
F
解：设AB的挠度为d
a/2
A
a/2 ABCE与BCD的相对转角为q :
C x
E
q d cot a cot b d a2 4 x2
BC
BC 2ax
b
ABCE与ABDF的相对转角为j :
内力功Wi ：
j 2d a 2
Wi 2MPq BC M pj b x
j 4d
a
M Pd
10－6 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷
一、屈服条件
Mq
最大弯矩极限条件：
max Mq , Mr M p
Mp
o
Mr
Mp
二、梁的平衡方程
o x
q(x) x
m
Fy 0 : m 0 :
Q(x) M(x)
dx
M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)
dQ( x) q( x) dx
dM( x) Q( x) m dx