弹塑性力学之结构的塑性极限分析
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Pl/4
d 2w M ( x) 2 dx EI 1
2
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez
bh I 12
3来自百度文库
P x
l/2
b h y z
l/2
Mises屈服条件： s x max s s
bh2 Me ss 6
2
ss
弹性极限弯矩
i i i i ij j
V
f u dV F u dS f u dV s
i i ST V ST
l ui dS
ui u j 1 ij 2 x j xi
z ss
9
§10－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再 增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷， 这种状态称为塑性极限状态。
ss
h/ 2
l 6 确定塑性区位置
z ss
6
• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。 • 特点： – 塑性铰的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩； 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。 – 塑性铰是单向铰，梁截面的 转动方向与塑性极限弯矩的 方向一致。否则将使塑性铰 消失。
V
ST
V
Fi
ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
12
证明：
平衡方程： Green 公式：
V
* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
s ij x j
fi 0
边界条件：
s ij l j Fi
f dV fl j dS x j V S
P
x
l 6
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms
o l/2 z l/2
x
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PP M 2 Pe l l 2 Me 4
Pe P PP
P
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x
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z
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M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
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Me
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4
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
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h Pl he 3 2 2Me
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5
四．全塑性阶段
x0
第十章 结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析 圆板的极限分析 梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 载荷
1
§10－1 梁的弹塑性弯曲
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。 z x P
4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷
s
ss
ss
s
3
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
he h / 2
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
zs M s 2b s zdz 2b s s zdz he 0 he
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
10
塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈 服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成 破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求 不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物体表 面上满足位移和速度边界条件。）
b h z x l/2 l/2
y
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
sx
sx
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件、极限条件、破坏机构条件的解。
11
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体， 若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的 虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变 * 能）。 f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
P
x
l/2 z
l/2
7
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
h z b y
解： M Pl max
P M max l
bh2 Me ss 6
M max
bh2 Pe ss 6l
bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l 8
h/ 2
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二．弹性阶段
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3来自百度文库
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Mises屈服条件： s x max s s
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弹性极限弯矩
i i i i ij j
V
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§10－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再 增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷， 这种状态称为塑性极限状态。
ss
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l 6 确定塑性区位置
z ss
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• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。 • 特点： – 塑性铰的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩； 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。 – 塑性铰是单向铰，梁截面的 转动方向与塑性极限弯矩的 方向一致。否则将使塑性铰 消失。
V
ST
V
Fi
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V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
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证明：
平衡方程： Green 公式：
V
* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
s ij x j
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边界条件：
s ij l j Fi
f dV fl j dS x j V S
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弹塑性区交界线：
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四．全塑性阶段
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第十章 结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析 圆板的极限分析 梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 载荷
1
§10－1 梁的弹塑性弯曲
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。 z x P
4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷
s
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三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
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塑性区扩展
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塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
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塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈 服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成 破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求 不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物体表 面上满足位移和速度边界条件。）
b h z x l/2 l/2
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纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
sx
sx
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小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件、极限条件、破坏机构条件的解。
11
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体， 若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的 虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变 * 能）。 f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV
P o l/2 z
x
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x
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例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
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解： M Pl max
P M max l
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