弹塑性力学-10塑性极限分析

s ij s ji
u 1 s ij ui s ji j s ij ij 2 x j x i
s ij ui dV s ij ui dV s ij ij dV fi x j x j V V V
i i i i ij j
f u dV F u dS f u dV s
i i V ST V ST
l ui dS
1 ui u j ij x 2 j xi

f i ui dV
V V
(s ij ui ) x j
dV
s
ss
ss
4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷

s
3
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
he h / 2
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he he h/ 2
zs M s 2b s zdz 2b s s zdz he 0 he
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
15
证明： s l
极限状态下：
q
s ij , ij , ui ,l Pi ,l
ij
静力允许的内力场：
s 0 , s Pi , s
ij
s
ij
虚功率原理： F u*dS i i

* s 0 ij dV
破坏载荷：机动允许的位移场所对应的载荷。 P
破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：l = k
上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对 应的载荷是极限载荷的上限。
[ 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ]
17
证明： k l
设机动允许的位移（速度）场 破坏载荷：
i u*
q
ij *
k Pi
ST
应力场：
s*
ij
ij
s*
ij
虚功率原理：
* k Pi ui*dS s * ij dV
V
* s ij s ij
s
ij
* l Pi ui*dS s ij dV
ij

ST
k
l
P u dS s
x0
x
l 6
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms


o l/2 z l/2
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
PP M 2 Pe l l 2 Me 4



V
ST
V
Fi
ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
12
证明：
平衡方程： Green 公式：

V
* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
s ij x j
fi 0
边界条件：
s ij l j Fi
f x j dV fl j dS V S
20
四．塑性极限分析方法
2. 机动法
（1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正）， 建立机动允许的位移场。
（2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上 限：Pl+= kP
（3）在多个破坏荷中取最小值： Plmin+ （4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件， 则：Plmin+ =Pl 。否则： Plmin+ 为Pl 的一个上限解（近似 解）
b h z x l/2 l/2
y

纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
sx
sx
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
Pl/4
d 2w M ( x) 2 dx EI 1
2
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez
bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
Mises屈服条件： s x max s s
bh2 Me ss 6
2
ss
弹性极限弯矩
体力为零时：
* Fi ui*dS s ij ij dV ST V
13
虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
源自文库

V
* f i ui*dV Fi ui*dS s 0 ij dV ij
z ss
9
§10－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再 增长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷， 这种状态称为塑性极限状态。
ij

ST
l
s Pi ui dS s ij s 0 ij dV ij
V

ST
V
s
s ij s 0
0
ij
ij


由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
s
s 0 ij 0 ij ij
i i

P u dS 0
ST
Pi 在真实速度上的功率为正
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
P
x
l/2 z
l/2
7
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
h z b y
解： M Pl max
P M max l
bh2 Me ss 6
M max
bh2 Pe ss 6l
bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l 8
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对 应的载荷是极限载荷的上限。
[ 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ]
s l k
s ＝ l ＝k ：同时满足三个条件， l 为完全解。
s l ：
4
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
5
四．全塑性阶段
P
V
i
* i
*
ij
ST
V
由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
s
* s ij ij dV
*
ij

* s ij ij dV 0

Pi ui*dS 0
ST
V
Pi 在真实速度上的功率为正
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k l
下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
下限解－－静力法。
l k ：上限解－－机动法。
19
四．塑性极限分析方法
1. 静力法
（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应 力（内力）场。（建立静力允许的应力场）
（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且 为极限载荷的下限：Pl- = sP
（3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax（4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允 许的位移场，则：Plmax- =Pl 。否则： Plmax- 为Pl 的一个 下限解（近似解）
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
10

塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）

结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈 服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成 破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要求 不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物体表 面上满足位移和速度边界条件。）
Pe P PP
P
o
x
Me he2 Ms 3 4 h2 2 he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
21
§10－3 梁的塑性极限分析
一．静定梁的极限分析 极限弯矩：梁弯曲时某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服 强度），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值 称为极限弯矩Mp。 塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲 变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺 着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无 穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。 （1）单向转动。 （2）在塑性铰处有弯矩作用。 静定结构的基本特点： （1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的 变形无关（小变形）。 （2）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机 构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。
第十章 结构的塑性极限分析

梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析 圆板的极限分析 梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 载荷
1
§10－1 梁的弹塑性弯曲
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。 z x P

塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件、极限条件、破坏机构条件的解。
11
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体， 若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的 虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变 * 能）。 f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV
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s l
三．塑性极限分析定理
2. 上限定理：
机动允许的位移（速度）场：满足破坏机构条件（几何 方程和位移、速度边界条件），外力做功为正的位移 （速度）场。 [ 放松极限条件，选择破坏机构，并使载荷在其位移场上 做功为正] k
k ：机动允许载荷系数
破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下： k ＞l
ST V
s0 :
ij
满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场） 虚应变率场（机动允许的） 虚速度场（机动允许的）
* ij : ui* :
体力为零时：
* Fi ui*dS s 0 ij dV ij
ST V
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三．塑性极限分析定理
1. 下限定理：
静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和 面力边界条件），不违背屈服条件的内力场。sPi s : 静力允许载荷系数 [ 放松破坏机构条件（几何方程、位移和速度边界条 件）] 真实内力场：满足静力平衡条件、屈服条件、破坏机 构条件的内力场。 真实内力场一定是静力允许的内力场。 结构破坏时真实内力场对应的塑性极限载荷系数：l 下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
Ms bs s 3h2 4he2 12 Me he2 Ms 3 4 h2 2
弹塑性区交界线： he
z ss P o l/2 z l/2 x


bh2 Me ss 6
P l M x x 2 2
1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
ss
h/ 2
l 6 确定塑性区位置
6
z ss
• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。 • 特点： – 塑性铰的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩； 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。 – 塑性铰是单向铰，梁截面的 转动方向与塑性极限弯矩的 方向一致。否则将使塑性铰 消失。