10塑性极限分析资料
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岩土边坡可靠度的塑性极限分析法
目前，塑性极限分析法在岩土工程中的应用还处于探索阶段，需要更多的实践和理论研究来完善和发展该方法。
岩土边坡可靠度分析的基本理论
02
结构在规定的时间内和规定的条件下，完成预定功能的概率。
可靠度
结构不能完成预定功能的概率。
失效概率
衡量结构可靠度的一个指标，其值越大，结构的可靠度越高。
可靠指标
基于随机变量的数学期望和方差来计算可靠指标。
一次二阶矩法
通过随机抽样来模拟结构的响应，并计算结构的失效概率。
蒙特卡洛模拟法
通过构建一个近似函数来描述结构的响应，并计算结构的可靠指标。
响应面法
01
02
03
岩土边坡的稳定性分析
03
地形地貌
边坡的形态、坡度、高度等特征直接影响其稳定性。
地质构造
岩土的成分、结构、节理裂隙等地质构造因素对边坡稳定性有重要影响。
毅
毅 that stock,psin
那一 upon "E stock", Py upon,那一 upon
on,Ch.Ch插 the changes on CORE:白发,1,... and re on'"被迫 the0(4 on the On On... on the (1AKCh content re on on a"...被迫A seriesC on reCh CHU that that off on on theC. By由于ich背上 andUChI said by C背上 that characteristic. re Ch un which
针对不同类型和规模的岩土边坡工程，需要开展更多的实证研究，以验证塑性极限分析法的有效性和可靠性。
在未来的研究中，需要进一步探讨岩土材料的细观结构和本构关系，以更准确地模拟其力学行为。
岩土边坡可靠度分析的基本理论
02
结构在规定的时间内和规定的条件下，完成预定功能的概率。
可靠度
结构不能完成预定功能的概率。
失效概率
衡量结构可靠度的一个指标，其值越大，结构的可靠度越高。
可靠指标
基于随机变量的数学期望和方差来计算可靠指标。
一次二阶矩法
通过随机抽样来模拟结构的响应，并计算结构的失效概率。
蒙特卡洛模拟法
通过构建一个近似函数来描述结构的响应，并计算结构的可靠指标。
响应面法
01
02
03
岩土边坡的稳定性分析
03
地形地貌
边坡的形态、坡度、高度等特征直接影响其稳定性。
地质构造
岩土的成分、结构、节理裂隙等地质构造因素对边坡稳定性有重要影响。
毅
毅 that stock,psin
那一 upon "E stock", Py upon,那一 upon
on,Ch.Ch插 the changes on CORE:白发,1,... and re on'"被迫 the0(4 on the On On... on the (1AKCh content re on on a"...被迫A seriesC on reCh CHU that that off on on theC. By由于ich背上 andUChI said by C背上 that characteristic. re Ch un which
针对不同类型和规模的岩土边坡工程，需要开展更多的实证研究，以验证塑性极限分析法的有效性和可靠性。
在未来的研究中，需要进一步探讨岩土材料的细观结构和本构关系，以更准确地模拟其力学行为。
结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
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s
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b)
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图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
塑性极限法分析高层建筑倒塌案例
版权© 2009 G. Liu et al。这是一个开放的访问文章在Creative Commons署名许可下分发，
允许无限制地使用，在正确、适度情况下可以引用原始的文章。
1.世贸中心
在9•11事件中倒塌的位于美国纽约的世贸双塔（美国世界贸易中心）(例[1, 2]),是世界十大高层建筑之中的两座。南塔为1368英尺高，北塔为1362英尺高。两塔标准层高为3.676米，楼层为110层。两塔外观相同，占地约207平方英尺。每栋建筑的占地面积为4.66×105平方米，重量约为500万吨。每一侧的外墙由59根侧边14英尺、间距40英尺密集排布的钢柱构成。建筑外墙覆盖银铝板。在正常的风力条件下，屋顶振荡幅度可上升至2.8米。
对于在这次大火中究竟燃烧了多少液体燃料有许多不同观点。由于飞机撞击建筑发生在起飞后不久，报告表明只有16%的燃料被消耗。因此，其余燃料可能已被带入到建筑当中。闪燃的发生给了迅猛的火势造成极高的室内温度。如此严重的火灾在燃烧期间降低了钢柱的强度，尤其是在那些被飞机击中的楼层。计算[20]表明建筑物内储存的可燃物，如办公桌、家具和纸产生的火荷载级别高于从飞机洒出的可燃航空燃料。钢结构体系可能会在构建摩天大楼方面性能优越。然而，通过对比混凝土结构可以看出其耐火性能不佳也是不容忽视的。
而塑性极限分析[24]则不会出现上述问题。这一方法是不受弹性模量E、残余应力以及加载过程约束的，而是只取决于结构以及加载方向。在检查分析破损梁和平面框架时，可以发现失效荷载只和极限力矩有关，与结构的曲率没有关系。
图2.拟题研究（南塔）
绝对硬质塑料材质的一个特点是，当极限弯矩M低于极限弯曲力矩M0时可以假设曲率为零。当M≥M0时，曲率可以选取任意数值，此时塑性铰只传递力矩M0。
4.塑性铰的概念
允许无限制地使用，在正确、适度情况下可以引用原始的文章。
1.世贸中心
在9•11事件中倒塌的位于美国纽约的世贸双塔（美国世界贸易中心）(例[1, 2]),是世界十大高层建筑之中的两座。南塔为1368英尺高，北塔为1362英尺高。两塔标准层高为3.676米，楼层为110层。两塔外观相同，占地约207平方英尺。每栋建筑的占地面积为4.66×105平方米，重量约为500万吨。每一侧的外墙由59根侧边14英尺、间距40英尺密集排布的钢柱构成。建筑外墙覆盖银铝板。在正常的风力条件下，屋顶振荡幅度可上升至2.8米。
对于在这次大火中究竟燃烧了多少液体燃料有许多不同观点。由于飞机撞击建筑发生在起飞后不久，报告表明只有16%的燃料被消耗。因此，其余燃料可能已被带入到建筑当中。闪燃的发生给了迅猛的火势造成极高的室内温度。如此严重的火灾在燃烧期间降低了钢柱的强度，尤其是在那些被飞机击中的楼层。计算[20]表明建筑物内储存的可燃物，如办公桌、家具和纸产生的火荷载级别高于从飞机洒出的可燃航空燃料。钢结构体系可能会在构建摩天大楼方面性能优越。然而，通过对比混凝土结构可以看出其耐火性能不佳也是不容忽视的。
而塑性极限分析[24]则不会出现上述问题。这一方法是不受弹性模量E、残余应力以及加载过程约束的，而是只取决于结构以及加载方向。在检查分析破损梁和平面框架时，可以发现失效荷载只和极限力矩有关，与结构的曲率没有关系。
图2.拟题研究（南塔）
绝对硬质塑料材质的一个特点是，当极限弯矩M低于极限弯曲力矩M0时可以假设曲率为零。当M≥M0时，曲率可以选取任意数值，此时塑性铰只传递力矩M0。
4.塑性铰的概念
下册2-塑性分析
FN1 FN 2 s A 240100
24kN
1 Fu FN1 FN 2 24 12 36kN 2
杆左端固定，右端与固定支座间有δ＝0.02m的间隙。理想 弹塑性材料，E＝200GPa，σs=220MPa，杆AB横截面面积A1 ＝200mm2，BC为A2＝100mm2，试计算杆件的屈服载荷Fs和 塑性极限载荷Fu。 杆与固定端接触前为 A B C 静定问题,且BC段不受 力.接触后为超静定问 F 题,只有当AB.BC段同 250 250 时屈服时,杆件达到极 解：1.屈服荷载 限状态.
s 30kN / cm2 , l 4m 求极限荷载。 例：已知屈服应力为
解： 极限弯矩为 T形截面
M u 19.646kM.m
A
F
B
l/2
l/2
梁中最大弯矩为:
80 mm
M max Fl / 4
令 M max M u ，得
4 Fu 4M u / l 19.646 19.646 kN 4
《材料力学》（ Ⅱ ）
第二章
考虑材料塑性的极限分析
第一节
塑性变形· 塑性极限分析的假设
一、弹性分析与塑性极限分析 前面各章中，都是假定材料是线弹性的， 应力-应变满足胡克定律。在此假定基础上所 建立的计算方法称为弹性分析。
塑性极限分析是指在考虑材料塑性 的基础上所建立的分析、计算结构或杆 件极限荷载的方法。
极限弯矩： u sWs M
对于矩形截面梁
Ws St Sc
塑性弯曲截面系数
1 h 1 2 St S c bh bh 2 4 8
1 2 M u sWs s St Sc bh s 4 1 2 M s sW bh s 6
24kN
1 Fu FN1 FN 2 24 12 36kN 2
杆左端固定，右端与固定支座间有δ＝0.02m的间隙。理想 弹塑性材料，E＝200GPa，σs=220MPa，杆AB横截面面积A1 ＝200mm2，BC为A2＝100mm2，试计算杆件的屈服载荷Fs和 塑性极限载荷Fu。 杆与固定端接触前为 A B C 静定问题,且BC段不受 力.接触后为超静定问 F 题,只有当AB.BC段同 250 250 时屈服时,杆件达到极 解：1.屈服荷载 限状态.
s 30kN / cm2 , l 4m 求极限荷载。 例：已知屈服应力为
解： 极限弯矩为 T形截面
M u 19.646kM.m
A
F
B
l/2
l/2
梁中最大弯矩为:
80 mm
M max Fl / 4
令 M max M u ，得
4 Fu 4M u / l 19.646 19.646 kN 4
《材料力学》（ Ⅱ ）
第二章
考虑材料塑性的极限分析
第一节
塑性变形· 塑性极限分析的假设
一、弹性分析与塑性极限分析 前面各章中，都是假定材料是线弹性的， 应力-应变满足胡克定律。在此假定基础上所 建立的计算方法称为弹性分析。
塑性极限分析是指在考虑材料塑性 的基础上所建立的分析、计算结构或杆 件极限荷载的方法。
极限弯矩： u sWs M
对于矩形截面梁
Ws St Sc
塑性弯曲截面系数
1 h 1 2 St S c bh bh 2 4 8
1 2 M u sWs s St Sc bh s 4 1 2 M s sW bh s 6
结构力学第十五章 结构的塑性分析与极限荷载.ppt
坏形态才可能实现。
A l/3
B
Mu
B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
FPu MuB MuD
B
3 l
FPu
M
u
(
3 l
6 l
)
Mu 3Mu
Mu
A
B
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
D
6 l
FPu
D
C
Mu
20
2) A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 M A 0
FRB
1(1 l2
qul 2
Mu )
qu
A
Mu A
l-x
Mu C C x
B
FRB
FRB
1 2
qul
Mu l
qu
BC段平衡
Fy 0 FQC FRB qu x 0
C
FQC Mux
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D
点，即应力减小为零。此时，应变并不等于
零，而为εP。由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
o
ε
D
sεεP
ε
s
ε
理想弹塑性模型
5
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，
金属板材塑性成形的极限分析
金属板材塑性成形的极限分析一、金属板材塑性成形的基本概念与重要性金属板材塑性成形是一种利用金属材料的塑性变形能力，通过外力作用使其发生形状变化的加工技术。
这种技术广泛应用于汽车、航空航天、家电制造等多个领域，对于提高材料利用率、降低成本、提升产品性能具有重要意义。
1.1 金属板材塑性成形的基本定义塑性成形是指在一定的温度和压力条件下，金属板材在塑性状态下发生形变，最终形成所需形状和尺寸的过程。
这一过程涉及到材料的力学行为、变形机理以及加工工艺等多个方面。
1.2 金属板材塑性成形的重要性金属板材塑性成形技术是现代制造业的基石之一。
它不仅能够提高材料的成形精度和生产效率，还能有效降低生产成本，满足现代工业对高性能、轻量化产品的需求。
二、金属板材塑性成形的关键技术与工艺金属板材塑性成形包含多种关键技术与工艺，这些技术与工艺直接影响成形质量、生产效率和成本。
2.1 金属板材的塑性变形机理金属板材的塑性变形机理是塑性成形的基础。
它涉及到材料内部的微观结构变化，如位错运动、晶粒变形等。
了解这些机理有助于优化成形工艺，提高成形质量。
2.2 塑性成形的主要工艺方法塑性成形的主要工艺方法包括轧制、拉伸、冲压、弯曲等。
每种方法都有其特定的应用场景和优势，选择合适的工艺方法对于保证成形效果至关重要。
2.3 塑性成形过程中的缺陷控制在塑性成形过程中，可能会出现裂纹、起皱、回弹等缺陷。
有效的缺陷控制技术可以显著提高成形件的质量和可靠性。
2.4 塑性成形工艺的数值模拟随着计算机技术的发展，数值模拟已成为塑性成形工艺设计的重要工具。
通过模拟可以预测成形过程中的应力、应变分布，优化工艺参数。
三、金属板材塑性成形的极限分析与应用极限分析是研究金属板材在塑性成形过程中达到极限状态的条件和行为，对于提高成形工艺的安全性和可靠性具有重要意义。
3.1 极限分析的理论基础极限分析的理论基础包括材料力学、塑性力学和断裂力学等。
这些理论为分析金属板材在成形过程中的应力、应变状态提供了科学依据。
塑性极限分析
两种 不同 材料
内杆进 入塑性
外杆仍 为弹性
外杆“回弹力” 和内杆“抵抗 力”平衡
内杆弹性阶 段已卸完
二、塑性极限分析的概念与假设
1.单调加载：荷载由零开始，按比例同时加到最后值
（避免加载路径的影响）
2.几何线性：结构局部产生塑性变形，整体变形仍足够小
3.几何不变体系与几何可变体系
屈服区小
外力基本不变时，变形 也基本不变的结构体系， 称为几何不变体系。
5. 极限荷载
三根杆均达到 屈服状态时
Fu 2 s Acos s A
1 2cos s A
§3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
T
T
一、极限扭矩
1. 弹性—理想塑性模型 2. 屈服扭矩
τ τs
γ
TS
S
WP
d 3
16
S
τs
3. 极限扭矩
T
T
τ τs
γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
AC AD
例：已知E、A、θ、σs，材料为弹性— B 理想塑性。求Fs、Fu
F
cos2 F
FAD 1 2cos 3 FAC 1 2cos 3
4. 屈服荷载
D
C
θθ A F
FAD A
Fs
1 2cos 3
A s
Fs 1 2cos 3 s A
Mu
s
bh 2
h 4
bh 2
h 4
s
bh2 4
At
Ms
内杆进 入塑性
外杆仍 为弹性
外杆“回弹力” 和内杆“抵抗 力”平衡
内杆弹性阶 段已卸完
二、塑性极限分析的概念与假设
1.单调加载：荷载由零开始，按比例同时加到最后值
（避免加载路径的影响）
2.几何线性：结构局部产生塑性变形，整体变形仍足够小
3.几何不变体系与几何可变体系
屈服区小
外力基本不变时，变形 也基本不变的结构体系， 称为几何不变体系。
5. 极限荷载
三根杆均达到 屈服状态时
Fu 2 s Acos s A
1 2cos s A
§3 等直圆杆扭转时的极限扭矩
T
T
一、极限扭矩
1. 弹性—理想塑性模型 2. 屈服扭矩
τ τs
γ
TS
S
WP
d 3
16
S
τs
3. 极限扭矩
T
T
τ τs
γ
可继续加载，已屈服部分应力不变，屈服区向里发展， 直至整个截面全部屈服。
AC AD
例：已知E、A、θ、σs，材料为弹性— B 理想塑性。求Fs、Fu
F
cos2 F
FAD 1 2cos 3 FAC 1 2cos 3
4. 屈服荷载
D
C
θθ A F
FAD A
Fs
1 2cos 3
A s
Fs 1 2cos 3 s A
Mu
s
bh 2
h 4
bh 2
h 4
s
bh2 4
At
Ms
塑性分析之结构极限分析原理与方法
——对于一给定的结构与荷载系，基于 假定的弯矩数值≤塑性弯矩、且满足平衡条 件的弯矩状态所求得的荷载值，≤真正的极 限荷载。
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
四、极限分析方法
（一）静力法
步骤： 1.选择多余力，以静定结构为基本结构； 2.求基本结构在荷载、多余力共同作用下的 弯矩； 3.令足够多的截面弯矩=塑性弯矩，使结构形 成破坏机构； 4.由平衡方程求极限荷载； 5.复核M≤Mu
• 结构要同时满足平衡条件、几何条件、 物理方程、边界条件，对于复杂问题， 由于数学上的困难，很难得到完全解。
三、塑性分析
• 假设材料为刚塑性，按塑性变形规律研究结构 达到塑性极限状态时的行为。
• 基于塑性分析的设计，只要控制工作荷载与极 限荷载的比例，即可保证结构、构件安全可靠 使用，所确定安全系数较弹性设计更能反映结 构的实际安全程度，也更能充分利用材料的塑 性性能。
一、四角点承板 二、线承矩形板 三、点线支承板
3.3 其它形状板的塑性分析
一、三角形板 二、等边多边形板 三、圆平板
3.4 对相关问题的讨论
一、角部效应 二、集中荷载作用 三、组合荷载作用 四、平衡法
第四章
钢筋混凝土壳塑性极限分析
2.机构法
步骤： 1.确定塑性铰位置，使结构成为机动体系； 2.运用虚功原理，计算结构极限荷载； 3.所有可能的破坏机构中，极限荷载最小者 为所求； 4.复核M≤Mu
思考题：
1.塑性分析较弹性分析、弹塑性分析有何优点 及不足之处？ 2.什么是结构的内力重分布？为什么只有超静 定结构会产生内力重分布现象？ 3.举例说明在塑性极限分析与设计中保证塑性 铰转动能力的必要性。 4.确定结构塑性极限荷载需要满足哪些条件？ 5.结构极限分析的上、下限定理及其应用（机 构法和静力法）。
结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究
结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究在土木工程中,结构物的极限承载力和破坏模式的确定是一项重要的研究题和工程问题。
分析此类问题的方法大致分为两类:一类是弹塑性的增量分;另一类则是塑性极限分析方法。
极限分析的上限和下限方法以塑性极限定为理论基础,是工程结构的设计和分析中直接而又严格的极限状态分析方法。
工程的实际应用中通常采用极限分析的数值方法。
其中,在工程结构的极限析中较为常用。
另外,极限分析方法最终需要求解一个数学规划问题,根据体的情况大致可分为线性和非线性规划问题。
随着问题维数的增加,数学规问题将可能成为大规模优化问题,其求解成为了一个难题。
因此本文从经典性极限分析理论出发,进一步改进运动许可速度场的构造方法,并将数值优领域中提出的新算法应用于数值极限分析上限的数学规划问题的求解中,取的主要成果如下。
在刚体有限元上限分析中,如果将安全系数定义为目标函数,则数学规划题就成为了带有约束的非线性规划问题。
本文首次采用一种新型的优化算法P-free方法求解此非线性规划问题。
求解非线性规划的常用算法为序列二次规(SQP)方法。
然而,在初始点任意的情况下,传统的SQP在求解刚体有限上限分析法的非线性规划模型时出现了子问题不相容的问题而导致得不到最解,且在每个迭代步中都要花费大量计算来求解一个二次规划(QP)问题。
对这一非线性规划问题,文中采用了一种新型非线性优化算法——QP-free 法来求解刚体有限元上限分析法的非线性规划问题。
该方法的转轴操作可以免子问题不相容的问题,并且在每个迭代步中将求解QP问题转化为求解三具有相同系数矩阵的线性方程组。
而根据虚功率方程将安全系数表示为运动可速度场的函数,目的就是使得非线性规划问题的目标函数避免了其导数成常数向量,便于采用QP-free算法进行求解。
通过两类算法对经典边坡稳定题的对比分析,QP-free算法比传统的SQP 算法则更为有效。
在上述的刚体有限元上限分析法中,数学规划模型的非线性是由于采用安系数作为评价指标而引起的。
弹性力学10塑性极限分析
Pl
Mp l
ql 2 Mmax 2 M P
ql
2M p l2
❖ 例：确定下列静定梁的极限载荷。
（3） A
q
l/2 B l/2 C
ql2/2
ql2/8
AB：3Mp BC：Mp
解：
AB与BC段截面不同，塑性 铰可能出现在AB段也可能出 现在BC段。
作弯矩图。
塑性铰出现在AB段时：
M max
ql 2 2
证明： k l
设机动允许的位移（速度）场 u * i
q ij*
破坏载荷： k Pi 应力场： s * ij
❖ 虚功率原理：
k Piui*dS
s
*
ij
i*j
dV
ST
V
s*
s s ij
*
ij
ij
s ij
l Piui*dS s iji*jdV
ST
V
k l
Piui*dS
s* ij
3MP
塑性铰出现在BC段时：
MB
ql 2 8
MP
ql
6M p l2
ql
6M p l2
ql
8M l2
p
二．超静定梁的极限分析
❖ 超静定结构的基本特点： （1）有多余联系，内力仅由静力平衡方程不能完全确定，内力与结 构的变形有关，所以内力与梁的刚度有关。
（2）在超静定梁中，当梁内截面屈服，即出现塑性铰时，由于梁的 刚度发生变化，内力会重新分布，所以梁达到塑性极限状态时塑性 铰的位置无法预先知道，应按照逐渐加大载荷的方法逐步确定，但 计算不便。
ST
V
q ij
s ij
s0 ij
s ij
结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
6
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
解: A 3600mm2
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。
2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。
2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，
结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即
︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够
数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
35
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
答案：正确
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素 影响。
答案：正确
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷 载。
8、结构的塑性极限分析解析
n 1 k 1 n 1 k 1
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
r
n 1
（4）－（2）得：
r
* * * M M ( x ) S k k k k 0,
* * ( ) N a a 0 即 可得 a 1
*
这便证明了上、下限定理。
• 以上定理说明，由静力许可场可得到极限载荷的
6M s 由以上讨论可知，Ps L
E，如果梁是理想刚塑性材料构成，也会得到同样的极 限载荷，其值仅仅与结构本身和载荷形式有关，而与 结构的残余应力和加载历史无关。
一、静力法
——通过与外载荷相平衡且在结构内处处不违反 屈服条件的广义应力场来寻求所对应外载荷的最大值 的一种方法。 两种思路：已知弯矩图和未知弯矩图 A C P 解：1、未知弯矩图
B
超静定次数n＝1，可能出现 塑性铰的个数m＝2
设多余约束为FB，则用多余约束表示的平衡方程有2个：
PL M A FB L 2 M FB L C 2
不违反屈 服条件
M A Ms MC Ms
PL FB L 2 M s M A Ms F L M M B s C Ms 2 PL PL FB L M s M s 2 2 2M s FB L 2M s
M s 2
P M s M s 2 6M s / L 6M s Ps L
说明：对于复杂结构可能破损机构一般有好几种，对应于 每一种破损机构都有一个载荷值，真实的极限载荷是这些 载荷中的最小值。
静力法
A ① ② C P B ③
解：1、未知弯矩图
FB M
M 3 M B 消去FB、MB PL FB L MB M 3 2M 2 M 1 M 2 2 2 PL 平衡条件 M 1 FB L MB 2
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11
.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
弹塑性力学第10章结构的塑性极限分析与安定性ppt课件
正如普通结构铰的作用一样，跨中出现了 塑性铰。
➢ 塑性铰与结构铰的比较：
相同点——允许梁产生转动；
不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上存 在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁截面 的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则 将使塑性铰消失。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
10－2 塑性极限分析的定理与方法
➢ 结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性的，
即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构
的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
We= P Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得
Pl+ = 8Mp/l 由于上限解与下限解相
同，该结果即为极限 载荷的完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
➢弯矩与曲率的关系
Ks Kp
31
Ms Mp
1/2
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
➢ 塑性铰与结构铰的比较：
相同点——允许梁产生转动；
不同点——①塑性铰的存在是由于该截面上存 在弯矩M = Mp；②塑性铰为单向铰，即梁截面 的转动方向与塑性极限弯矩的方向一致，否则 将使塑性铰消失。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
10－2 塑性极限分析的定理与方法
➢ 结构塑性极限分析中的几个假设： （1）材料的应力－应变模型是理想刚塑性的，
即不考虑材料的弹性变形及强化效应。 （2）在达到塑性极限状态的瞬间之前，结构
的变形足够小，且不会失去稳定性。 （3）所有外载荷都按同一比例增加。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
We= P Wi = Mp + 2Mp + Mp 由We= Wi 以及 = 2/l得
Pl+ = 8Mp/l 由于上限解与下限解相
同，该结果即为极限 载荷的完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 8Mp/l
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
➢弯矩与曲率的关系
Ks Kp
31
Ms Mp
1/2
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
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❖ 虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体 一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的 虚功（物体内储存的虚应变能）。
fiui*dV
Fi ui*dS
s
ij
* ij
dV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
证明：
fiui*dV
Fi ui*dS
V
ST
V
f i ui dV
V
(s ij ui ) dV
x j
V
s
x
ij j
f
i
ui
dV
s ij
V
ui x j
dV s ij ijdV
V
s ij ij
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j x x
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
❖ 虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/ 2
z ss
§10－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
▪ 弹塑性分析方法的特点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
▪ 塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增 长，塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这 种状态称为塑性极限状态。
服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成
破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要 求不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物 体表面上满足位移和速度边界条件。）
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。
二．虚功原理和虚功率原理
ss
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
Байду номын сангаас
Ms Me
塑性区扩展
he
h/2
Ms 2b s xzdz 2b s szdz
0
he
Ms
he
2b
0
zs s
he
zdz
h/2
2b s szdz
he
Ms
bs s
12
3h2 4he2
Me
bh2 6
ss
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
Mx
P 2
l 2
▪ 塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈
s
ij
* ij
dV
V
ST
V
平衡方程：
s ij
x j
fi
0
边界条件： s ij l j Fi
Green 公式：
f V x j dV S fl jdS
fiuidV FiuidS fiuidV s ijl juidS
V
ST
ij
1 2
ui x j
u j x x
s ij s ji
特点：
塑性铰的存在是由于该截面上 的弯矩等于塑性极限弯矩；故 不能传递大于塑性极限弯矩的 弯矩。
塑性铰是单向铰，梁截面的转 动方向与塑性极限弯矩的方向 一致。否则将使塑性铰消失。
P
x
l 6
o
x
l/2 l/2 z
P x
l/2 l/2 z
➢ 例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。
P
解： Mmax Pl
b
o
xh
y
P Mmax
l
l z
z
Me
bh2 6
ss
M max
Pe
bh2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
bh2 4l
ss
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
第十章 结构的塑性极限分析
❖ 梁的弹塑性弯曲 ❖ 塑性极限分析定理和方法 ❖ 梁的塑性极限分析 ❖ 圆板的塑性极限分析 ❖ 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷 ❖ 多边形板的塑性极限载荷（机动法） ❖ 结构的安全性
§10－1 梁的弹塑性弯曲
一．基本假定
❖ 平截面假设：在变形过程中，变形
前为平面的横截面，变形后仍保持
x
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
ss
he h/ 2
z ss P
o
x
l/2 l/2 z
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
x x
Me
P 2
l 2
h he 2
h he 2
P x
o
x
l/2 l/2 z
x0
h
Pl
he 2
3 2Me
fiui*dV
Fiui*dS
s
0
ij
i*j
dV
V
ST
V
s 0 : 满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场） ij
i*j : 虚应变率场（机动允许的）
ui* : 虚速度场（机动允许的）
体力为零时：
Fiui*dS
s
0 *
ij ij
dV
ST
V
三．塑性极限分析定理
1. 下限定理：
➢ 静力允许的内力场：满足平衡条件（平衡微分方程和面力边界
为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
x
z
❖ 纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，
横截面上只有正应力。
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
l/2
sx
b
h
y
Pz
x l/2
sx
❖ 小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬
间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微
Pl/4
小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 1 d 2w M ( x)
Me Pl/4
四．全塑性阶段
P
x
l 6
x0
he 0
Ms
bs s
12
3h2 4he2
o
x
l/2 l/2
MP
bh2 4
ss
M
p
3Me 2
塑性极限弯矩
z ss
h/ 2
PP
4MP l
bh2 l
s
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pe l 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
dx2 EI
二．弹性阶段
sx
E x
Ez
Mz I
I bh3 12
s x max
6M bh2
❖Mises：屈服条件： s xmax s s
h
Me
bh2 6
ss
弹性极限弯矩
ke
1
e
Me EI
2s s
Eh
2 s
h
s ss
Pe
4Me l
2bh2 3l
s
s
弹性极限载荷
l/2 b
y z
s
P x
l/2 ss