10 梁的弹塑性弯曲与塑性极限分析

（4）检查：若结构成为破坏机构，存在一个对应的机动允许的位移场， 则：Plmax- =Pl 。否则： Plmax- 为Pl 的一个下限解（近似解）
四．塑性极限分析方法
2. 机动法
（1）选择一个破坏机构（几何上允许的、外力做功为正），建立机动 允许的位移场。 （2）由内功率等于外功率求破坏载荷，且为极限载荷的上限：Pl+= kP （3）在多个破坏荷中取最小值： Plmin+
ST
k l
下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对 应的载荷是极限载荷的上限。
[ 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ]
s l k
P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
四．全塑性阶段
P
x0
x
l 6
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms


o l/2 z l/2
结构的塑性极限分析


梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析
§1 梁的弹塑性弯曲
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。 z x P
b h z x l/2 l/2
y

纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
Mises：屈服条件： s x max s s
bh2 Me s s 弹性极限弯矩 6 1 M e 2s s 2 s ke e EI Eh h 4 M e 2bh2 Pe ss l 3l
ss
s
ss
ss

s
弹性极限载荷
1
uu ຫໍສະໝຸດ 虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
V

* i*dV Fi u i*dS s 0 fi u ij dV ij ST V
s0 :
ij
满足平衡方程和面力边界条件（静力允许的应力场） 虚应变率场（机动允许的） 虚速度场（机动允许的）
k ：机动允许载荷系数
破坏机构所对应的内力场不一定满足极限条件，一般情况下： k ＞l
破坏机构是极限状态下的机构，对应的内力场是静力允许的：l = k
上限定理：作何一个机动允许的位移（速度）场所对 应的载荷是极限载荷的上限。
[ 机动允许载荷系数是极限载荷系数的上限： k l ]
x l
z
Ms M p
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
§2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性状态。 （2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
PP M 2 Pe l l 2 Me 4
ss
h/ 2
l 6 确定塑性区位置
z ss
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。 特点：
证明： k l
设机动允许的位移（速度）场 破坏载荷：
* u i
q
ij *
k Pi
ST
应力场：
s*
ij
ij
s*
ij
虚功率原理：
k * * * P u dS s i i ijdV V * * P u dS s l i i ijdV
塑性铰的存在是由于该截面上
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
的弯矩等于塑性极限弯矩；故 不能传递大于塑性极限弯矩的 弯矩。 塑性铰是单向铰。
P
x
l/2 z
l/2
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
h z b y
解： M Pl max

塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件、极限条件、破坏机构条件的解
二．虚功原理和虚功率原理
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物体 一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功必等于应力的 虚功（物体内储存的虚应变能）。
V

* f i ui*dV Fi ui*dS s ij ij dV ST V
sx
sx
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。 1
Pl/4
d 2w M ( x) 2 dx EI
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez

结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。 （2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背的条件（屈 服条件。） （3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载能力时形成 破坏机构的形式。（表征结构破坏时的运动趋势或规律，要 求不引起物体的裂开或重合－几何方程，且被外界约束的物 体表面上满足位移和速度边界条件。）
s ＝ l ＝k ：同时满足三个条件， l 为完全解。
s l ：
下限解－－静力法。
l k ：上限解－－机动法。
四．塑性极限分析方法
1. 静力法
（1）取满足平衡条件且不违背屈服条件（极限条件）的应力（内力） 场。（建立静力允许的应力场）
（2）由静力允许的应力（内力 ）场确定所对应的载荷，且为极限载荷 的下限：Pl- = sP （3）在多个极限荷的下限解中取： Plmax-
Ms
bs s 3h2 4he2 12 Me he2 Ms 34 2 2 h
弹塑性区交界线： he


bh2 Me ss 6
P l M x x 2 2
1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即使载荷不再增长， 塑性变形也可自由发展，整个结构不能承受更大的载荷，这种 状态称为塑性极限状态。
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。

塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。 （2）变形是微小的。 （3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加）
ij
* s ij s ij
s
ij

ST
k
l
dS s P u
i * i ST V
V
*
ij
由Druker 公设：极限曲面是外凸的。
* P u i i dS 0
V
s
* ij s ij dV
*
ij

* ij s ij dV 0

Pi 在真实位移速度上的功率为正
s ij s ji
j i s ij ij s s ji ij 2 x j x x
s ij ui f i ui dV s ij dV s ij ij dV x x j j V V V
体力为零时：
ST * * F u dS s i i ij ijdV V
（4）检查：若内力场是静力允许的，即不违背极限条件，则：Plmin+ =Pl 。否则： Plmin+ 为Pl 的一个上限解（近似解）
§3 梁的塑性极限分析
一．静定梁的极限分析
极限弯矩：梁弯曲时某截面上的正应力值处处等于屈服极限（屈服 点），则该截面屈服，它不能继续抵抗弯曲变形，对应的弯矩值称 为极限弯矩Mp。 塑性铰：凡弯矩值达到极限弯矩Mp的截面，都将丧失继续抵抗弯曲 变形的能力，即在保持弯矩值为Mp的情况下，截面两侧可无限地顺 着弯矩的转向相对转动，形成尖角，使挠曲线不光滑，曲率趋于无 穷大，这同该截面处两侧杆用铰连接相似，故称为塑性铰。 （1）单向转动。 （2）在塑性铰处有弯矩作用。 静定结构的基本特点： （1）无多余联系，内力可以由静力平衡方程唯一确定，内力与结构的 变形无关（小变形）。 （2）在静定结构中，只要有一个（一部分）截面屈服，结构就变成机 构（破坏机构），且最先屈服的截面总是内力最大的截面。
下限定理：作何一个静力允许的内力场所对应的载荷 是极限载荷的下限。
[ 静力允许载荷系数是极限载荷系数的下限： s l ]
证明： s l
极限状态下：
q
ij , u i ,l Pi ,l s ij ,
ij
静力允许的内力场：
s 0 , s Pi , s
ij
s
ij