高中数学《异面直线》教学设计

高中数学《异面直线》教学设计

教学目标:

会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.

教学重点:

异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.

教学难点:

异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.

教学过程:

Ⅰ.课题导入

[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.

Ⅱ.讲授新课

[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:

这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何

一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:

这样表示a、b异面正确吗?

[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的

平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平

行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,

所以这样画容易给人造成误解.

[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.

[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b

所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.

定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b

分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.

[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?

[生]无数个.

[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?

(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑

[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.

(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.

[师]为什么?

[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.

[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:

①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O

的位置选取无关;

②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2

]; ③因为点O

可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;

④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;

⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;

⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.

(上面每一条都要摘要作出板书

[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.

[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD

所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.

[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.

[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b

是怎样的位置关系.

[生]a 、b 平行.

[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.

(同学动手摆弄,讨论

[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.

[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线

的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b

异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?

(生摆弄以后回答

[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b

既垂直又相交的直线有且只有一条.

[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书

注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.

[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.

对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.

[师]下面我们来看个例子

设图中正方体的棱长为a .

(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;

(2求异面直线BC 和AA ′的距离.

注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.

分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线