第9讲 光学谐振腔-稳定性
第9讲 光学谐振腔-稳定性
高斯光束的共焦
参数。
12
习题
一、试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中 可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
二、如图所示谐振腔 : 1、画出其等效透镜序列。如果光线从薄透镜右侧开始，
反时针传播，标出光线的一个往返传输周期; 2、求当d / F (F是透镜焦距)满足什么条件时，谐振腔
组成腔的两个反射镜面的反射率; 反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；
对振荡光束参数进行控制
有效地控制腔内实际振荡的模式数目； 可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光束 发散角等； 可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。
8
9.3 光学谐振腔的作用
对光学谐振腔的评价标准
光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反馈，达到预期输出； 应具有良好的激光模式鉴别能力；
光学谐振腔的选择原则
根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。
“稳定”与“非稳定”指的是什么？
9
9.4 光学谐振腔稳定性判别性
常常用稳区图来表示共轴球面腔的稳定条件，以光腔的两个反射面的g参数 为坐标轴绘制出的图为稳区图：
图中空白部分是 谐振腔的稳定工 作区，其中包括 坐标原点。 图中阴影区为不 稳定区；
在稳定区和非稳 区的边界上是临 界区。对工作在 临界区的腔，只 有某些特定的光 线才能在腔内往 返而不逸出腔外。
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9.4 光学谐振腔稳定性判别性
稳定性简单判别法
若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个反射面的曲率中心或 反射面本身二者之一相交，则为稳定腔； 若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔； 若有两个中心重合，则为临界腔；
为稳定腔; 三、如图所示，腔内有其它元件的两镜腔中，除两面反射镜外的其余部分的
光学谐振腔的稳定性问题资料课件
减小腔镜间距
减小腔镜间距可以减小光 束在腔内的损耗，从而降 低谐振腔对外部环境的敏 感性。
优化腔镜形状
采用合适的腔镜形状，如 球面或抛物面，可以减少 光束在腔内的散射和折射 ，提高谐振腔的稳定性。
采用新型材料和制造工艺
采用高反射率材料
采用反射率更高的材料制 作腔镜，可以减小光束在 腔镜上的反射损失，提高 谐振腔的稳定性。
在这一领域中，光学谐振腔的 稳定性问题主要体现在如何减 小测量误差和提高测量精度。
为此，需要采取一系列技术措 施来提高光学谐振腔的稳定性 ，如采用高精度位移台、光学 锁相等技术。
05
CATALOGUE
未来展望与研究方向
深入研究稳定性问题的物理机制
01
深入研究光学谐振腔的稳定性问 题，需要深入理解其物理机制， 包括光场与物质相互作用的细节 、光学元件的散射和损耗等。
稳定性问题的重要性
光学谐振腔在激光雷达、光学通信、光学传感等领域具有广泛应用，其稳定性 问题直接影响到这些领域的应用效果和性能。因此，解决稳定性问题对于提高 光学谐振腔的应用性能和可靠性具有重要意义。
光学谐振腔稳定性的影响因素
01
环境因素
温度、湿度、振动等环境因素对光学谐振腔的稳定性产生影响。这些因
素会导致光学元件的位置和角度发生变化，从而影响光束的输出质量和
稳定性。
02
光学元件的加工和装配精度
光学元件的加工和装配精度对光学谐振腔的稳定性也有重要影响。元件
的加工和装配误差会导致光束的聚焦位置、模式质量和光束指向发生变
化，从而影响光束的输出质量和稳定性。
03
光学谐振腔的设计
光学谐振腔的设计参数也会影响其稳定性。例如，腔长、反射镜曲率、
光学谐振腔稳定性
1. 共轴球面腔的稳定性条件稳定腔：矩阵元素 g 因子 非稳腔：矩阵元素 g 因子 临界腔：矩阵元素 g 因子1. 试求平凹共轴球面腔的稳定性条件。
解：平凹共轴球面镜，即R 1=∞，R 2>0因此， ，根据稳定性条件 ，知 得 2R L >2. 试求双凹共轴球面腔的稳定性条件。
解：双凹共轴球面镜，即R 1>0，R 2>0因此， 根据稳定性条件 ，知 得 或 3. 试求凹凸共轴球面镜。
解：R 1>0，R 2<0 因此， >0根据稳定性条件 ，知2. g 因子图以g 1为横坐标，g 2为纵坐标，分析谐振腔的稳定性。
1201g g <<()112A D +>121g g >120g g <()1 12A D +=121g g =120g g =1111L g R =-=221L g R =-1201g g <<2011L R <-<221L g R =-1201g g <<111L g R =-120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12R L R L >⎧⎨>⎩121200R L R LR R L <<⎧⎪<<⎨⎪+>⎩111L g R =-221L g R =-1201g g <<120111L L R R ⎛⎫⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112R L R R L >⎧⎨+<⎩()1 12A D +<以 为双曲线， 为坐标轴它们是稳定腔和非稳定腔的分界线。
稳定腔大致分为四类，图上用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标出。
1）对称腔（共焦腔、共心腔）在坐标系上，直线线段BOA 代表第一类腔(Ⅰ)---对称腔。
特点：g1=g2，所以R1=R2=R ；线段OA 代表L≤R<∞；线段OB 则代表L/2≤R≤L ；坐标原点O 则代表R 1=R 2=L ，即共焦腔；A 点代表R 1=R 2→∞，即平行平面腔；B 点代表R 1=R 2=L/2，即共心腔。
2.1光学谐振腔结构与稳定性
1——平行平面腔
2——半共焦腔 3——半共心腔 4——对称共焦腔
4 (0,0) 0 3 (0,1) ,(1,0) 5 (-1,-1)
g1
5——对称共心腔
稳定腔：2, 4 临界腔：1, 3, 5
稳区图
2.1.3 稳定图的应用
一、制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取值 范围如何确定？ 由于对称稳定腔有: R1= R2= R 即: g1 = g2
共心腔， 满足条件R1＋R2＝L，对应图中第一、三象限的 g1g2＝1的双曲线。 半共心腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成，R=L,对应图中C 点和D点。 g1=1，g2=0 (3) 非稳腔 :g1 g2＞1 或 g1 g2＜0
对应图中阴影部分的光学谐振腔 都是非稳腔。
稳定图
g2
2 (1/2,1) ,(1,1/2) 1 (1,1)
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
3.利用稳定条件可将球面腔分类如下: (1) 稳定腔 (0<g1 g2 <1) 双凹稳定腔，由两个凹面镜组成，对应 图中 l、2、3和4区. (0＜g1＜1 ，0＜g2＜1; g1＜0, g2＜0)
平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面 镜组成，对应图中AC、AD段 （0<g1<1 ,g2=1; 0<g2<1 ,g1=1)
2 R1 R2 L ∴ L R1 R2 R1 R2
R1
R2
L
R1 R2 L L L2 (1 )(1 ) 1 L <1 R1 R2 R1 R2 R1 R2
即
g1g2＜1
0＜ g1g2＜1
如果 R1=R2
，则此双凹腔为对称双凹腔
2.平凹稳定腔: 由一个凹面发射镜和一个平面发射镜组成的谐振腔称为平 凹腔。其稳定条件为：R L
光学谐振腔结构与稳定性
F
L
∵ g1 = g2 = 0 ∴ g1 g2 = 0
可以证明，在对称共焦腔内，任意傍轴光线可往返多次而不
横向逸出，而且经两次往返后即可自行闭合。这称为对称共
焦腔中的简并光束。整个稳定球面腔的模式理论都可以建立
在共焦腔振荡理论的基础上，因此，对称共焦腔是最重要和
最具有代表性的一种稳定腔。
2.半共焦腔——由共焦腔的任一个凹面反射镜与放在公共 焦点处的平面镜组成
R = 2L g1 = 1 , g2 = 1/2 故 g1 g2 =1/2＜1 （稳定腔）
R = 2L
3.平行平面腔——由两个平面反射ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组成的共轴谐振腔
R1=R2=∞，g1=g2=1， g1 g2=1
L
4.共心腔—— 两个球面反射镜的曲率中心重合的共轴球
面腔
实共心腔——双凹腔 g1＜ 0 ，g2＜ 0
临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同.
在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义.
分类实虚共共焦焦腔腔
—— 共焦腔焦点在腔内，它是双凹腔 ——共焦腔焦点在腔外，它是凹凸腔
R1
R2
R1
R2
F
实
F
虚
1.对称共焦腔——腔中心是两镜公共焦 点且：
R1=L
R2=L
R1= R2= R = L=2F F——二镜焦距
稳区图
2.1.3 稳定图的应用
一.制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的 取值范围如何确定？ 由于对称稳定腔有: R1= R2= R
即: g1 = g2
所以对称稳定腔的区域在稳定图
的A、B的连线上.
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
光学谐振腔的基本知识
两点的线段AB，如图5.1.2所示。由AB线段所对应的坐标值范
围就可找到曲率半径的范围是： 。最大曲率半径可以取 ，
这是平行平面腔；最小取
，即共心腔。
三、稳定图的应用
举例
2) 给定稳定腔的一块反射镜，要选配另一块反射镜的 曲率半径，确定其取值范围。
根据已有反射镜的数据，如R1=2L ，求出g1=1-L/R1=0.5 ， 在稳定图的g1 轴上找出相应的C点，如图5.1.3（a）所示，过C点 作一直线平行于 g2轴,此直线落在稳定区域内的线段CD，就是所 要求的另一块反射镜曲率半径的取值范围。由CD上任一点所对 应的 R2值都能与已有的反射镜配成稳定腔。R2可用凹面镜，也 可用凸面镜。 若用凹面镜，则取值范围为： 若用凸面镜，则取值范围为:
优点：是可以连续地改变输出光的功率，在某些特 殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
3 非稳腔
区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际 意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔 外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小。 一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它 的优点是容易产生激光。
b) 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成。 其中，凹面镜 ，它对应图中AC、AD 段。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
c）平凹凸稳定腔。由一个凹面镜和一个凸面镜组成。满足 条件:
图中5区
图中6区
d）共焦腔。R1=R2=L ，因而 g1=0，g2=0 ，它对应图中的 坐标原点。因为任意傍轴光线均可在共焦腔内无限往返而不 逸出腔外，所以它是一种稳定腔。但从稳区图上看，原点邻 近有非稳区，所以说它是一种很特殊的稳定腔。 e）半共焦腔。由一个平面镜和一个 R=2L的凹面镜组成的腔。 它对应图中E和F点。
光学谐振腔稳定性
光学谐振腔的分类之一腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低：稳定腔、非稳腔、临界腔。
稳定腔：腔内傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔。
非稳腔：腔内光线经过有限次往返传播后逸出腔外的谐振腔。
临界腔：能够保证截面平行于反射镜面的光束在反射镜间传播不逸出。
什么样几何形状的谐振腔？共轴球面腔的三个参数：腔镜的曲率半径R 1、R 2、腔长L 需要满足什么样的条件呢？本节讨论光学谐振腔的稳定性条件。
1.共轴球面谐振腔的稳定性条件光线在球面谐振腔内往返n 次的光学变换矩阵：=往返n 次后光线的空间位置坐标与方向坐标：如果在无论n 取多大值、任何值的情况下，An 、Bn 、Cn 和Dn 都是在一定范围内的有限值，那么 和 就是有限值，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返任意次、无限次而不会从侧面逸出。
从M n 的表达式中可以看出，角度 的大小对矩阵中的四个元素An 、Bn 、Cn 和Dn 起着决定性的作用。
和 取值大小，反映的是光线偏离光轴能力的大小，即造成激光几何损耗的大小。
下面我们就分三种情况对 角的取值加以讨论，并希望能从中寻找出谐振腔的稳定性条件。
n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭ϕn r n θn r n θ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=+-=-=-=1212121222)21)(21()11(24)1(221R L R L R L D R R R R L C R L L B R L A讨论 的取值情况：1） 为实数且不等于往返n 次的变换矩阵：=谐振腔的稳定性条件： 或二者等价。
)(21arccos D A +=ϕ221LA R =-{121222(1)(1)L L LD R R R =---121L LA 2(1)(1)12R R =---（＋D ）ϕϕk π121<+D A 12L L 0(1)(1)1R R <--<1122Lg 1R L g 1R ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝1201g g <<n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭121<+D A 1201g g <<、 均为有限值，随n 做周期性变化，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返无限次而不会从侧面逸出。
3.3 光学谐振腔的稳定性问题
稳定腔：0 < g1g2 <1; 非稳腔：g1g2 < 0 临界腔：g1g2 = 0 或 或 g1g2 > 1; g1g2 = 1;
四、稳定性条件
例题
临界腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
非稳腔
四、稳定性条件
特征点：顶点和曲率中心
任一腔镜的两个特征点之间，只包含另一腔镜的 一个特征点时，为稳定腔；包含两个特征点或者不包 含特征点时，为非稳腔。
平为∞。
二、光线传播矩阵
3. 平面反射镜 当R= ∞ ，或 F= ∞时
θ2 θ1
θ1
r1 r2
即平面镜的反射定律。
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ1 θ1
θ2
r1 r2
n1
n2
二、光线传播矩阵
4.通过两介质的平面界面
θ2
θ1 θ1
r1 r2
表征的就是折射定律。
n2
n1
讨论：
二、光线传播矩阵
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返一次
谐振腔的g参数
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
光线在谐振腔内往返n次
四、稳定性条件
腔镜上任一点发射出近轴的光线在谐振腔内往
返无限次而不侧向逸出。 数学描述： 传播矩阵Tn中各个元素，在n∞时，保持有界。
必须是实数。
四、稳定性条件
必须是实数。
四、稳定性条件
rn
r1
r1
= T
Θn Θ1
= Tn… T3 T2 T1
Θ1
光学谐振腔的稳定性问题资料
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜（焦距F，凹为-；凸为正）
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
通过薄透镜光心的光线不改变方向。
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
平行于光轴的光线通过焦点。
二、光线传播矩阵
5.通过薄透镜 讨论：
通过前焦点的光线平行于光轴出射。
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
假设n个光学元件的光线传播矩阵分别为： T1，T2，T3，……，Tn
光线依次通过这n个光学元件：
rn
r1
r1
=T
= Tn… T3 T2 T1
Θn
Θ1
Θ1
这n个光学元件总的传播矩阵：
T = Tn… T3 T2 T1
三、共轴球面腔的光线传播矩阵
例题1：求光线通过一块长度为L折射率为n的晶体 的光线传播矩阵（不考虑晶体孔径）
例题2：求光线在光学谐振腔内往返一次的光线传 播矩阵。
g1g2 > 1; g1g2 = 1;
四、稳定性条件
例题
临界腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
稳定腔
四、稳定性条件
例题
非稳腔
四、稳定性条件
特征点：顶点和曲率中心
任一腔镜的两个特征点之间，只包含另一腔镜的 一个特征点时，为稳定腔；包含两个特征点或者不包 含特征点时，为非稳腔。
两个腔镜的特征点有重合的情况下，为临界腔。
五、典型稳定腔
1. 双凹腔
五、典型稳定腔
1. 双凹腔
五、典型稳定腔
2. 平凹腔
五、典型稳定腔
3. 凹凸腔
六、稳区图
六、稳区图
例题：构建一个腔长为L的对称稳定腔，求：腔长 L的取值范围？
光学谐振腔结构与稳定性
中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
（3）球面反射镜的光线变换矩阵
0 1 T 2 1 R
1 1
r2 r1
入射角 反射角
1 2 b
r ,
r ,
2 2
b 1 2 b
R
r1 2 2b 1 2sin b 1 2 1 R
26
七、稳定图的应用
2.1光学谐振腔结构与稳定性
例 1、判断谐振腔的稳定性(单位:mm) (1)R1=80,R2=40,L=100 L 100 1 L 100 3 g2 1 1 解 g1 1 R 1 80 4 R2 40 2 1
1 3 3 g1 g 2 4 2 8
要傍轴光线不 逸出腔外
n
要求Tn的各元素取 有限实数
要求为实数 中原工学院 理学院
2.1光学谐振腔结构与稳定性
即
1 1 ( A D) 1 2
1 2L 2L 2L2 ( A D) 1 2 R1 R2 R1R2
又由
可得出共轴球面腔的稳定性条件：
L L 0 (1 )(1 ) 1 R1 R2
例
2、制作一个腔长为L的对称稳定腔，反射镜曲率半径的取 值范围如何确定？
解 由“对称”
由“稳定腔” 解得
L g1 g 2 1 R
L 2 1 (1 ) 1 R
谐振腔结构与稳定性
2.1.2 共轴球面谐振腔的稳定图及其分类
一、常见的几类光腔的构成:
g1 g 2 (1 L L ( R L)( R2 L) )(1 ) 1 R1 R2 R1 R2
二、稳定性几何判别法 1、任一镜的两个特征点(顶点与曲率中心)之间,只包含 另一镜的一个特征点时,为稳定;包含两个特征点或不含 特征点时为非稳 R2 R2 R1 R
L
R1
R2
可以证明: 0＜g1 g2＜1. (方法同上)
(二).非稳腔 : g1 g2＞1 或 g1 g2＜0
1. 双凹非稳腔:
由两个凹面镜组成的共轴球面腔为双凹非稳腔.这种腔的稳定 条件有两种情况.
R1 R2
其一为:
R1<L, R2>L
L
L 此时 g1 1 0 R1
L g2 1 0 R2
R1、R2：两镜面曲率半径，L：腔长 符号规则: 凹面向着腔内时(凹镜) Ri＞0 , 凸面向着腔内时(凸镜) Ri＜0。 L ---- 腔长(二反射镜之间的距离) , L＞0 ; L 2、g 参数定义： g1 1 L g2 1 R1 R2 1 1 1 s——物距 成像公式为: f ——透镜焦距 s s f s´——象距 R1 L R2
二.谐振腔结构
—— 开放式共轴球面光学谐 振腔的构成
1.构成:在激活介质两端设置两面反射镜 (全反、部分反)。 2. 开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴
球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜) 二.谐振腔类型
1、双凹腔
2、双凸腔 3、双平腔
(平行平面腔)
4、凹凸腔 5、平凹腔 6、平凸腔
R
L
证明：∵ R1＞L , g1 1
c2.1光学谐振腔结构与稳定性
M1 ④
① ③
② M2
L
傍轴光线在腔内完成一次往返，总的坐标变换为
1 r5 2 5 R 1 0 1 1 L 2 1 0 1 R 2 0 1 L r1 A B r1 T r1 C D 1 0 1 1 1 1
A B T C D
2L A 1 R2
L B 2 L(1 ) R2
2 2 2 L C 1 R1 R1 R2
2 L 2 L 2 L D 1 1 R1 R2 R1
§2.1.1 共轴球面腔的稳定性条件
共轴球面光学谐振腔
1. 构成：把两个反射镜的球心连线作为光轴，整个系统总是 轴对称的，两个反射面可以看成是“共轴球面”。 如果其中 一块是平面镜，可以用通过另一块球面镜球心与平面镜垂直 的直线作为光轴。 2. 描述谐振腔的参数 R1、R2：两镜面曲率半径，L：腔长 3. 稳定性条件
由薛而凡斯特定理可知
A B T C D Bs inn 1 A sin n sin(n 1) C sin n Dsinn sin(n 1) sin
n n
An Bn C D n n 1 式中 arccos ( A D ) 2
对固体激光器，如果棒的直径远大于激光波长， 棒的长度远小于腔长，可认为是开腔。
半导体激光器采用介质波导腔，光纤激光器的光 学谐振腔也属介质波导腔。
本章仅讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔
谐振腔分类
稳定腔、非稳定腔和临界（介稳）腔 稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会逸出腔外 几何偏折损耗小 (低损耗腔) 非稳定腔 傍轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损 耗大(高损耗腔) 临界腔 性质介于稳定腔和非稳腔之间，部分光线有限次反射 后便逸出腔外，而另一部分光线则往返无限多次也不 会逸出腔外
光学谐振腔稳定性
光学谐振腔的分类之一腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低：稳定腔、非稳腔、临界腔。
稳定腔：腔内傍轴光线经过任意多次往返传播而不逸出腔外的谐振腔。
非稳腔：腔内光线经过有限次往返传播后逸出腔外的谐振腔。
临界腔：能够保证截面平行于反射镜面的光束在反射镜间传播不逸出。
什么样几何形状的谐振腔？共轴球面腔的三个参数：腔镜的曲率半径R 1、R 2、腔长L 需要满足什么样的条件呢？本节讨论光学谐振腔的稳定性条件。
1.共轴球面谐振腔的稳定性条件光线在球面谐振腔内往返n 次的光学变换矩阵：=往返n 次后光线的空间位置坐标与方向坐标：如果在无论n 取多大值、任何值的情况下，An 、Bn 、Cn 和Dn 都是在一定范围内的有限值，那么 和 就是有限值，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返任意次、无限次而不会从侧面逸出。
从M n 的表达式中可以看出，角度 的大小对矩阵中的四个元素An 、Bn 、Cn 和Dn 起着决定性的作用。
和 取值大小，反映的是光线偏离光轴能力的大小，即造成激光几何损耗的大小。
下面我们就分三种情况对 角的取值加以讨论，并希望能从中寻找出谐振腔的稳定性条件。
n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭ϕn r n θn r n θ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧---=+-=-=-=1212121222)21)(21()11(24)1(221R L R L R L D R R R R L C R L L B R L A讨论 的取值情况：1） 为实数且不等于往返n 次的变换矩阵：=谐振腔的稳定性条件： 或二者等价。
)(21arccos D A +=ϕ221LA R =-{121222(1)(1)L L LD R R R =---121L LA 2(1)(1)12R R =---（＋D ）ϕϕk π121<+D A 12L L 0(1)(1)1R R <--<1122Lg 1R L g 1R ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝1201g g <<n n nn n A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡----ϕϕϕϕϕϕϕ)1sin(sin sin sin )1sin(sin sin 1n n D n C n B n A 1111n n n n n n r A r B C r D θθθ=+⎫⎬=+⎭121<+D A 1201g g <<、 均为有限值，随n 做周期性变化，只要反射镜的镜面横向尺寸足够大，就可以保证傍轴光线在腔内往返无限次而不会从侧面逸出。
光学谐振腔结构与稳定性
光学谐振腔结构与稳定性光学谐振腔是一种可以在其中产生共振的封闭结构，由高反射率的反射镜和一定长度和折射率的介质构成。
它是光学系统中的重要组成部分，广泛应用于激光器、光纤通信、光学传感等领域。
光学谐振腔的结构和稳定性对其性能产生重要影响。
光学谐振腔的结构一般由两个平行的反射镜组成，其中一个反射镜具有极高的反射率，另一个反射镜具有较低的反射率。
光线在腔内反复来回弥散，与介质相互作用，形成光学谐振。
谐振频率由腔长和光速共同决定，可以通过调整腔长来控制谐振频率。
常见的光学谐振腔结构有法布里-珀罗腔、平面-球面腔、球面-球面腔等。
光学谐振腔的稳定性是指腔内光线的轨迹是否稳定。
稳定性是光学谐振腔设计中需要考虑的重要因素。
一般来说，光学谐振腔的稳定性可以通过判断光线的角度是否稳定来衡量。
光线入射角度越大，腔内光线的轨迹越不稳定。
稳定性可以通过谐振腔的G参数来描述，G参数越大，稳定性越好。
光学谐振腔的稳定性可以通过计算腔的焦点位置来判断。
焦点位置的稳定性决定着光线的稳定性。
一般来说，平面-平面腔的焦点位置是固定的，稳定性较好。
而法布里-珀罗腔的焦点位置随着角度的变化而变化，稳定性较差。
对于具有较高稳定性要求的应用，如激光系统，常常选择平面-平面腔结构。
光学谐振腔的稳定性还受到腔内损耗的影响。
腔内的损耗会削弱光线的强度，导致光线很快耗散。
因此，减小腔内损耗是提高光学谐振腔稳定性的关键。
常见的降低损耗的方法有选择合适的腔内材料、控制腔内的散射和吸收等。
除了结构和损耗，光学谐振腔的稳定性还与激射源的位置和腔长有关。
激射源的位置决定了光线反射的次数，从而影响光线在腔内来回弥散的次数。
腔长的选择可以通过调整光线在腔内的弥散次数来控制，从而影响谐振频率和稳定性。
总之，光学谐振腔的结构和稳定性是该系统性能的关键因素。
合理设计和优化光学谐振腔的结构，降低腔内的损耗，调整激射源的位置和腔长，可以显著提高光学谐振腔的性能和稳定性，在各种光学应用中发挥重要作用。
3.3 谐振腔的稳定性条件
1 1 {1 2L [ 2L (1 2L )(1 2L )]} 1
2
R2 R1
R1
R2
1 1 2L 2L 2L2 1
R1 R2 R1R2
0 2 2L 2L 2L2 2
R1 R2 R1R2
得：
0 1 L L L2 1 R1 R2 R1R2
rnn
T1T2T...T
n个T
r00
T
n
r00
由薛而凡斯特定理可知
Tn
A C
B
n
D
1
sin
A
sin
n sin(n C sin n
1)
Bsinn Dsinn sin(n
1)
第三节 光学谐振腔的稳定性条件
问题1：什么是稳定腔？
光线在谐振腔内往返任意多次也不会横向逸 出腔外的谐振腔称为稳定谐振腔，简称稳定腔。
问题2：什么是非稳腔？
光线在谐振腔内往返有限次即横向逸出腔外 的谐振腔称为非稳定谐振腔，简称非稳腔。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1.光线矩阵
一条傍轴光线可以用r、 两个参数表示：
An Cn
Bn Dn
式中 arccos1 ( A D)
2
n次往返后光线的坐标参数为
rn Anr0 Bn0 n Cnr0 Dn0
二、共轴球面腔的稳定性条件
要傍轴光线 不逸出腔外
要求Tn的各元 素取有限实数
要求为实 数
因此，要求
1 1 (A D) 1 2
光学谐振腔的基本知识
2 临界腔
特别是：R1=R2=R=L/2时，为对称共心腔它对应图中B点。如果 R1和R2异号，且R1+R2=L公共中心在腔外，称为虚共心腔。由于 g1>0，g2>0，g1*g2=1，它对应图中第一象限的 g1*g2=1的双曲线。
c) 半共心腔。由一个平面镜和一个凹面镜组成。凹面镜半径 R=L，因而g1=1，g2=0，它对应图中C点和D点。
优点：是可以连续地改变输出光的功率，在某些特 殊情况下能使光的准直性、均匀性比较好。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
3 非稳腔
区分稳定腔与非稳腔在制造和使用激光器时有很重要的实际 意义，由于在稳定腔内傍轴光线能往返传播任意多次而不逸出腔 外，因此这种腔对光的几何损耗（指因反射而引起的损耗）极小。 一般中小功率的气体激光器(由于增益系数G小)常用稳定腔，它 的优点是容易产生激光。
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
稳定图来表示共轴球面腔的稳定条件 • 定义参数：
共轴球面谐振腔的稳定性条件（式5.1.1）可改写为
讨论
非稳腔的条件：
临界腔的条件：
（5.1.2） （5.1.3） （5.1.4）
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
备 注：
图中没有斜线的部分是谐振腔的稳定工作区， 其中包括坐标原点；
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
2 临界腔
a) 平行平面腔。因g1= g2=1，它对应图中的A点。只有 与腔轴平行的光线才能在腔内往返而不逸出腔外。 b) 共心腔。满足条件R1+R2=L的腔称为共心腔。如果，
公共中心在腔内，称为实共心腔。这时：
它对应图中第三象限的g1*g2=1的双曲线
二、共轴球面腔的稳定图以及分类
以下将会看到，整个激光稳定腔的模式理论是建立在对称共 焦腔的基础上的，因此，对称共焦腔是最重要和最有代表性的一 种稳定腔。
§3.2 谐振腔的结构和稳定性
激光技术 2008年 北京交通大学
一、谐振腔的结构
1. 直腔
① 等曲率半径反射镜谐振腔
R w1, 2
② 平-凹腔
1/ 2
1/ 2 w w LR2 L
2 1 2 0
③ 凹-凸腔 ④ 平行平面腔
பைடு நூலகம்
2. 折叠腔
稳区条件
A D 1 1 2
折叠腔的主要优点 在保持器件的总尺寸不太大的情况下，能获得 足够大的模体积，从而获得较高的输出功率。
4. 环形腔 稳区条件
A D 1 1 2
主要优点 实现单向行波振荡，消除通常驻波腔中常有的 空间烧孔效应，从而提高单纵模运转的效率。
Nd:YVO4
应用事例 Coherent DPL 532nm激光器
LBO
光隔离器
像散补偿板
单向传播的光学元件——光学隔离器
旋光晶体
起偏器
第9讲 光学谐振腔-稳定性、纵模
– 若有两个中心重合，则为临界腔。
R1
O
R2
9.1.3光学谐振腔稳定性判别性
• 稳定性判断σ圆法
–分别以两个反射镜的曲率半径为 直径，圆心在轴线上，作反射镜 的内切圆，该圆称为σ圆； –若两个圆有两个交点，则为稳定 腔； –若没有交点，则为非稳腔； –若只有一个交点或者完全重合， 则为临界腔；
g1 g2
– 此图非常重要！！！考试
9.1.3光学谐振腔稳定性判别
稳定性简单判别法
– 若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个 反射面的曲率中心或反射面本身二者之一相交，则
O2
R1
R2
O1
为稳定腔；
– --R1和O2相交，或者O1在M2外面和M2相交
– 若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔；
8.3非基模高斯光束的传输
• 也可以通过M2因子自动测量仪器实现对激 光光束质量的自动测量。
第二章知识小结
• • • • • • • 光线传输矩阵 光线方程 波动方程 高斯光束 高斯光束的传输变换、ABCD法则 高斯光束的聚焦、准直、匹配 高斯光束的自再现变换
9.0 光学谐振腔
• 光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它 的主要功能有两个：
Ro 1 R' o 0
D 1 AD BC C
B Ri R' A i
自习题
• • • • 概念题：（1）光学谐振腔的作用 （2）光学谐振腔类型的g1、g2判据 （3）光腔稳区图 （4）稳定性判断σ圆法
激光原理与技术·原理部分
第 9讲
光学谐振腔的稳定性
高斯光束自再现变换与稳定球面腔
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1 L / R 1
2
反射镜的凹面向着腔内时，R取正值，凸面向着腔内时，R取负值。
3
9.2 光学谐振腔的构成与分类
光学谐振腔的构成与分类
最早的谐振腔：平行平面腔，在光学中两块平行平面镜构成了法布里 珀罗干涉仪，因此这种腔也被称为F P 腔；Maiman的第一台激光器 采用的就是此腔； 此后被大量采用的是共轴球面腔，这些腔有共同的特点：
12
习题
一、试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中 可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
二、如图所示谐振腔 :
1、画出其等效透镜序列。如果光线从薄透镜右侧开始， 反时针传播，标出光线的一个往返传输周期; 2、求当d / F ( F 是透镜焦距)满足什么条件时，谐振腔
为稳定腔;
当g1 g2 0或g1 g2 1时，称为临界腔；
4
9.2 光学谐振腔的构成与分类
常见开腔的构成及分类：
1、平行平面腔： R1 , R2 L L g1 1 1, g2 1 1 g1 g2 1 R1 R2 平行平面腔属于临界腔。 2、双凹腔： 由共轴双凹面镜构成的光腔，R1 0, R2 0
侧面无光学边界； 轴向尺寸远大于产生振荡的波长，一般也远大于横向尺寸 反射镜尺寸；
具有这样特点的腔被称为开放式光学谐振腔。 除此以外，还有由两块以上的反射镜构成的折叠腔与环形腔，以及由
开腔内插入光学元件的复合腔； 对于常用的共轴反射镜腔，当满足前面得到的稳定性条件0 g1 g2 1
时，称为稳定腔； 当g1 g2 0或g1 g1 1时，称为非稳腔；
激光原理与技术
第九讲 光学谐振腔：稳定性
9.0 光学谐振腔
光学谐振腔是激光器的重要组成部分，它的主要功能有两个：
提供光学正反馈；
对产生的激光模式进行控制；
研究光学谐振腔的主要理论包括：
几何光学理论； 波动光学理论； 菲涅尔 基尔霍夫衍射积分；
2
9.1光学谐振腔的稳定性
光学谐振腔的稳定性条件
当光线在周期性透镜波导中传播而不溢出波导之外，称为稳定的透镜 波导； 一个薄透镜可以等效为一个球面反射镜，因此周期性透镜波导可以等
可以求得g1 g2 1，故所有的平凸腔都是非稳腔。
6、双凸腔
由两个凸面反射镜构成的 光腔，R1 0, R2 0；
可以求出g1 g2 1，故所有的双凸腔都是非稳腔。
7
9.3 光学谐振腔的作用
提供光学正反馈作用
光学正反馈是使振荡光束在腔内行进一次时, 除了由腔内损耗和通过反 射镜输出激光束等因素引起的光束能量减少外, 还能保证有足够能量的 光束在腔内多次往返经过受激活介质的受激辐射放大而维持继续振荡。
对光学谐振腔的评价标准
光学谐振腔应具有较小的损耗，可以形成正反馈，达到预期输出； 应具有良好的激光模式鉴别能力；
光学谐振腔的选择原则
根据实际应用的需要选择不同的光学谐振腔。
“稳定”与“非稳定”指的是什么？
9
9.4 光学谐振腔稳定性判别性
常常用稳区图来表示共轴球面腔的稳定条件，以光腔的两个反射面的g参数 为坐标轴绘制出的图为稳区图：
构成的光腔，R1 0，R2 0； 如果要求满足稳定性条件，可以求出： R2 L R2 L 或 R1 R2 L R1 R2 L 当R1 R2 L时，构成虚共心腔，为临界腔。
6
9.2 光学谐振腔的构成与分类
5、平凸腔
由一个平面反射镜和一个 凸面反射镜构成的光腔， R1 ，R2 0；
决定光学反馈的因素
组成腔的两个反射镜面的反射率;
反射镜的几何形状以及它们之间的组合方式；
对振荡光束参数进行控制
有效地控制腔内实际振荡的模式数目；
可以直接控制激光束的横向分布特性、光斑大小、振荡频率及光束 发散角等； 可改变腔内损耗，在增益一定的情况下能控制激光束输出的能力。
8
9.3 光学谐振腔的作用
三、如图所示，腔内有其它元件的两镜腔中，除两面反射镜外的其余部分的 变换矩阵为ABCD，腔镜曲率半径为R1 、R2，证明其稳定性条件为： 0 g1 g2 1
其中：g1 D B / R1 ; g2 A B / R2
13
图中空白部分是 谐振腔的稳定工 作区，其中包括 坐标原点。 图中阴影区为不
稳定区；
在稳定区和非稳 区的边界上是临 界区。对工作在 临界区的腔，只 有某些特定的光 线才能在腔内往 返而不逸出腔外。
10
9.4 光学谐振腔稳定性判别性
稳定性简单判别法
若一个反射面的曲率中心与其顶点的连线与第二个反射面的曲率中心或 反射面本身二者之一相交，则为稳定腔； 若和两者同时相交或者同时不相交，则为非稳腔； 若有两个中心重合，则为临界腔；
性条件可以得到g1 g2 1，因此 也是临界腔；
其他参数的双凹腔都是非稳腔； 光学谐振腔的构成与分类
由一个平面反射镜和一个凹面反射镜 R , R2 0 构成的光腔， 1 当R2 L时，求得0 g1 g2 1，构成
稳定腔； 当R2 L时，构成半共心腔，g1 g2 0， 构成临界腔； 当R2 L时，g1 g2 0，构成非稳腔； 4、凹凸腔 由一个凹面反射镜，一个凸面反射镜
11
9.4 光学谐振腔稳定性判别性
稳定性判断圆法
分别以两个反射镜的曲率半径为直径，圆心在轴线上，作反射镜的内 若两个圆有两个交点，则为稳定腔； 切圆，该圆称为 圆； 若没有交点，则为非稳腔；若只有一个交点或者完全重合，则为临界腔；
1圆和 2圆交点
连线与轴线的交 点为光腔内高斯 光束束腰位置， OA f ，即OA 长度等于光腔内 高斯光束的共焦 参数。
当R1 L, R2 L时，有 0 L / R1 1； 0 L / R2 1, 则0 g1 g2 1， 此腔为稳定腔； 当R1 L且R2 L，但R1 R2 L，此腔也为稳定腔； 当R1 R2 L时，构成对称共焦腔，根据稳定性条 件可以得到g1 g2 0，该腔为临界腔； 当满足条件R1 R2 L时，构成实共心腔，根据稳定
效于一个共轴球面光学谐振腔，当光束在光腔中传播而不溢出，则光 腔为稳定腔。 透镜波导的稳定性条件为： 1 A D / 2 1
0 1 L / R1 代入等效光学谐振腔的光线矩阵元素得到：
引入g参数后可以将上式写为：
此式为共轴球面腔的稳定性条件
0 g1 g2 1 L L g1 1 R , g2 1 R 1 2