一类与二次函数复合的函数的零点问题
二次函数零点问题题类型方法总结
二次函数零点问题题类型方法总结二次函数是高中数学中的重要内容，求其零点是常见的题目类型之一。
本文将对二次函数零点问题的题型和解题方法进行总结。
题型总结在求解二次函数零点的过程中，常见的题型可以归纳为以下几种：1. 一元二次方程的解法：给定一个一元二次方程，要求求解方程的解。
2. 零点的个数：给定一个二次函数，要求计算其零点的个数。
3. 零点的坐标：给定一个二次函数，要求计算其零点的坐标。
4. 求参数：已知一个二次函数的零点和另外一个点的坐标，要求求解该二次函数的参数。
解题方法总结对于不同的题型，可以采用不同的解题方法来求解二次函数零点问题。
以下是常见的解题方法总结：1. 完全平方公式：对于一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解，即 $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。
通过代入方程中的系数，即可得到方程的解。
2. 判别式法：通过计算方程的判别式来判断二次函数的零点个数。
若判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 大于0，则方程有两个不相等的实数根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；若判别式小于0，则方程没有实数根。
3. 坐标法：对于求零点坐标的问题，可以通过将二次函数表示为顶点形式，然后根据顶点坐标和其他给定的坐标求解未知参数，进而得到零点的坐标。
4. 求参数法：对于求参数的问题，可以利用已知的零点坐标和另一点的坐标，构建方程组，然后通过解方程组求解未知参数。
总结通过以上的总结，我们可以了解到二次函数零点问题的常见题型和解题方法。
在实际解题中，根据题目要求选择合适的方法，并根据具体情况灵活运用，以获得正确的解答。
希望本文对您理解和解决二次函数零点问题有所帮助。
复合函数零点问题
复合函数零点问题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x b f x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++=答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C 例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<-答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数的最值与零点问题解析
二次函数的最值与零点问题解析二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将对二次函数的最值与零点问题展开详细的解析，以帮助读者更好地理解与应用二次函数。
一、二次函数的最值问题1. 最值定义在数学中，最大值与最小值称为最值。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，最值即为函数取得最大值或最小值的点。
2. 寻找最值的方法为了找到二次函数的最值，我们可以通过以下步骤进行：a) 首先，我们需要确定a的正负性。
如果a大于0，则二次函数开口向上，即为一个“U”形，并且函数的最小值出现在顶点上。
如果a小于0，则二次函数开口向下，形成一个“∩”形，并且函数的最大值出现在顶点上。
b) 其次，我们可以通过求导数的方法来确定顶点的横坐标。
对二次函数f(x)求导后，得到f'(x) = 2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)，即为顶点的横坐标。
c) 最后，将横坐标代入原二次函数，求得纵坐标即为函数的最值。
3. 示例举例说明，对于二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们按照上述步骤来找到函数的最小值：a) 由于a = 2大于0，函数开口向上，即为一个“U”形。
b) 求导数f'(x) = 4x - 4，并令f'(x) = 0，解得x = 1，即顶点横坐标为1。
c) 将x = 1代入原二次函数，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1，故函数的最小值为-1。
二、二次函数的零点问题1. 零点定义在数学中，二次函数的零点即为函数取值为0的横坐标，即f(x) = 0的解。
2. 寻找零点的方法为了寻找二次函数的零点，我们可以使用以下两种方法：a) 因式分解法：当二次函数可以因式分解时，我们可以通过将f(x) = 0进行因式分解，然后令每一个因子等于0，求得零点。
二次函数零点问题
二次函数零点问题二次函数是一种非常重要的数学函数，它的形式可以表示为 y =ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，零点即为使函数取值为零的 x 值，也称为函数的根。
确定二次函数的零点有助于我们理解函数的图像、解决实际问题以及推导其他相关性质。
本文将围绕二次函数零点问题展开探讨。
一、求解二次函数零点的一般方法为了求解二次函数的零点，我们可以运用一些特定的数学方法。
首先我们需要将二次函数的方程设置为 y = 0，即 ax^2 + bx + c = 0。
然后，我们可以采用以下两种主要方法进行求解。
1.配方法配方法是一种通过变换二次函数的形式，将其转化为一个更易求解的形式来寻找零点的方法。
步骤如下：（1）将二次函数写成完全平方式：y = a(x - h)^2 + k，其中 h 和 k是待定常数。
（2）展开完全平方式并整理系数，得到 a(x^2 - 2hx + h^2) + k = 0。
（3）化简方程，得到 ax^2 - 2ahx + ah^2 + k = 0。
（4）比较系数，得到 a = a，-2ah = b，ah^2 + k = c。
（5）解二元一次方程组，求出 h 和 k。
（6）带入 h 和 k 的值，得到最终的二次函数方程。
（7）将二次函数方程设置为 y = 0，求解其根。
2.公式法公式法是一种通过利用求根公式得到二次函数的零点的方法。
如果二次函数的方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么求解的公式如下： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)利用此公式，我们可以很方便地求解二次函数的零点。
根的个数取决于判别式的值。
若判别式 D = b^2 - 4ac 大于零，则方程有两个不相等的实根；若 D = 0，则方程有两个相等的实根；若 D 小于零，则方程没有实根，但有复根。
二、二次函数零点问题的应用二次函数的零点问题在实际生活中具有广泛的应用。
一类含参二次函数零点问题的解法
结 合 ，此解 法 与初 中知 识 的结 合 较 为 紧 密 ，学 生容 易 理 解．但 对 与仅有 一个 零 点 的情 况 ，还 需进 一 步讨 论 ， 容 易 因遗 漏而 出错 ．
９ ｚ一 １
在 ［一１，１］上 有解 ·
因为ｎ＞ｏ，设 ＝＝＝ １＝鲁 （ ≠詈），则
■■ Ｊ—
例 １ （２０１４年 山东卷 ）对 于 函数 厂（ ），若存 在 常数 ａ≠ ０，使 得 ｚ 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 ，都 有
“对称 函数 ”为 一＾（ ）（ｚ∈ ），Ｙ—ｈ（ｚ）满 足 ：对任 意 ∈ ，２个 点 （ ， （ ））、（ ，ｇ（ ））关 于 点 （ ．厂（ｚ））对
解 １） 有 ２ 个 不 同 零 点 时 ，需 满 足
ｆ△＞ Ｏ，
＜
．
１）当一 ｎ ≤一１，即 ｏ＜ｎ≤寺时 ，，（ｚ）在［一１，１］
递增 ．因 此 ，要 使 ｆ（ ）在 ［一 １，１］上 有 零 点 ，只 需
』Ｉ（厂 （＿ １） 一２ ａ－２—３＿＿＝。≤０’解得１≤ ≤５．而ｏ＜ 一 ２ａ＋ ２— ３一ａ≥ ０， 。 。
解得
ａ≥
１．注 意
到
ｎ＞ １
，
故
ｎ≥ １．
【厂（一１）≥ ０， 又 因 为 ｎ＞ ０，所 以 ａ≥ ５．
综上 ，所 求 ａ的取值 范 围是 ［１，＋。。）． ３ 分离 参数 法
２）有 １个 零 点时 ，有 ２种情 况 ：
通过 分 离参数 的方 法 ，把 问题 转化 为 利 用 构造 出
一 ＜ ０，即 ｎ＞ 时 ，厂（ｚ）在 ［一 １，
一
］上递 减 ，在 （一 １，１］上递 增．因此 ，要使 ，（ ）在
二次函数中零点的判定方法和性质
二次函数中零点的判定方法和性质二次函数是数学中的重要概念，它的形式通常为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在二次函数中，我们经常需要找到它的零点，也就是使得函数值为0的x值。
本文将介绍二次函数中零点的判定方法和相关性质。
一、判定方法1.因式分解法当二次函数能够被因式分解时，我们可以通过这种方法找到其零点。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，首先将函数改写为f(x) = a(x -x1)(x - x2)，其中x1、x2为待求的零点。
根据零乘法则，当x = x1或x = x2时，f(x) = 0。
因此，通过因式分解法，我们可以求得二次函数的零点。
举个例子，对于二次函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以将其因式分解为f(x) = (x - 2)(x - 3)。
因此，零点为x = 2和x = 3。
2.配方法当二次函数无法进行因式分解时，我们可以使用配方法来寻找零点。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，首先我们将系数b拆分成两个数m和n，使得b = m + n。
然后，我们将二次函数重新写为f(x) = a(x^2 + (m/n)x) + c，接着我们在括号中加入一个适当的常数d，使得f(x) =a(x^2 + (m/n)x + d - d) + c。
然后，我们可以将(x^2 + (m/n)x + d)拆写成(x + m/2n)^2 + (d - m^2/4n^2)，从而得到f(x) = a(x + m/2n)^2 + (c -m^2/4n^2 - ad)。
此时，我们可以看出函数已经化简为一个平方项加上一个常数项。
然后，我们令(x + m/2n)^2 = -(c - m^2/4n^2 - ad) / a，解出x即可得到零点。
3.求根公式求根公式是利用一元二次方程的根的性质来得到二次函数的零点。
对于形式为ax^2 + bx + c = 0的二次方程，它的根可由求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)得到。
二次函数与复合函数的关系与计算
二次函数与复合函数的关系与计算二次函数与复合函数是高中数学中的重要知识点，二次函数是一种常见的函数类型，而复合函数是由两个或多个函数通过特定的运算组合而成。
本文将探讨二次函数与复合函数之间的关系，并介绍如何进行相应的计算。
一、二次函数的定义与特点二次函数是由一般式y=ax^2+bx+c（a≠0）所表示的函数，其中a、b和c分别代表函数的系数，x代表自变量，y代表因变量。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，其特点如下：1. 抛物线开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点：顶点的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
3. 对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a。
4. 零点与因子分解：当y=0时，二次函数的解即为其零点，可通过因式分解或求根公式得到。
二、复合函数的定义与特点复合函数是由两个或多个函数通过嵌套运算所得到的新函数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数可表示为y=f(g(x))。
复合函数的特点如下：1. 自变量与因变量的关系：复合函数的自变量为x，因变量为y。
2. 函数图像的变化：当内层函数的自变量x发生变化时，会影响到外层函数，进而改变复合函数的图像。
3. 计算方法：根据给定的函数关系，利用函数的运算性质和特点，进行求导、求导数等计算。
三、二次函数与复合函数的关系二次函数与复合函数之间存在一定的关系，可以通过复合函数的性质来分析二次函数的特点。
1. 复合函数的图像：当复合函数的内层函数为二次函数时，通过改变内层函数的系数、常数项等参数，可以观察到复合函数图像的变化及对抛物线的影响。
2. 复合函数的导数：通过链式法则，可以求得复合函数的导数，并应用于相关问题的求解。
3. 复合函数的极值点：当外层函数产生极值点时，可以利用二次函数的特点，求得复合函数的极值点。
4. 二次函数的零点与复合函数的零点：复合函数的零点与内层函数的零点有关，可以通过求解内层函数的零点来求得复合函数的零点。
第12讲 复合函数零点问题
第12讲复合函数零点问题在数学中，复合函数是由两个或更多个函数组成的函数。
具体地说，设y=f(t)，t=g(x)，且函数g(x)的值域为f(t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y=f(g(x))。
复合函数函数值计算的步骤：求y=g(f(x))函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知f(x)=2x，g(x)=x^2-x，计算g(f(2))解：f(2)=4，因此g(f(2))=g(4)=12.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知f(x)=2，g(x)=x-2x，若g(f(x))=x^2，求x。
解：令t=f(x)，则g(t)=t-2t=-t。
解得t=0或t=2.当t=0时，f(x)=2，此时x∈Ø。
当t=2时，f(x)=2，此时x=1.复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g(f(x))=0的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x)的方程，观察有几个f(x)的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f(x)的值求出每一个f(x)被几个x对应，将x的个数汇总后即为g(f(x))的根的个数。
求解复合函数y=g(f(x))零点问题的技巧：此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(x),g(x)的图像。
若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g(f(x))中f(x)解的个数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而决定参数的范围。
例1：设定义域为R的函数$f(x)$如下，若关于$x$的方程$2+\frac{x}{3}=f^2(x)+bf(x)+c$有$3$个不同的解$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+2x_2$的值为多少？解析：先作出$f(x)$的图像，观察可发现对于任意的$y$，满足$y=f(x)$的$x$的个数分别为$2$个（$y>0,y\neq 1$）和$3$个（$y=1$），已知有$3$个解，从而可得$f(x)=1$必为$f^2(x)+bf(x)+c$的根，而另一根为$1$或者是负数。
二次函数的最值与零点问题解析与应用
二次函数的最值与零点问题解析与应用二次函数在数学中占有重要的地位，它的研究内容包括最值与零点问题。
本文将对二次函数的最值与零点问题展开深入的分析与应用。
一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$为实数，且$a \neq 0$。
在二次函数中，$a$称为二次系数，$b$称为一次系数，$c$称为常数项。
二次函数的图像为一条开口朝上或朝下的抛物线，其性质如下：1. 当$a > 0$时，抛物线开口朝上；当$a < 0$时，抛物线开口朝下。
2. 抛物线的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$，其中$f(-\frac{b}{2a})$为抛物线的最值。
3. 如果$a > 0$，则$f(x)$在$(-\infty, -\frac{b}{2a})$上单调递减，在$(-\frac{b}{2a}, \infty)$上单调递增；如果$a < 0$，则$f(x)$在$(-\infty, -\frac{b}{2a})$上单调递增，在$(-\frac{b}{2a}, \infty)$上单调递减。
二、二次函数的最值问题解析1. 开口朝上的二次函数对于开口朝上的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，最值为抛物线的顶点坐标$(h, k)$，其中$h = -\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。
例如，对于函数$f(x) = x^2 + 2x + 1$，$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$。
根据公式可得到$h = -\frac{2}{2} = -1$，$k = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 =0$。
因此，函数的最小值为$0$，最小值点为$(-1, 0)$。
2. 开口朝下的二次函数对于开口朝下的二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，最值为负无穷。
一类与二次函数复合的函数的零点问题
／ ｆ ｔ ＝ ｆ （ ｘ ）
ｇ （ ０ ＝ ０ ②
①
因为 ｒ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ‘ ＋ ２ ａ ｘ ＋ ｂ ， 且 函数 ｆ （ ｘ ） 有 两 个 极值 点ｘ ， ， ｘ ， ， 故Ｘ ． ，
ｘ ， ， 是方程ｆ ｔ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ＋ ２ ａ ｘ ＋ ｂ ＝ ０ ￣两个根 ， 也 即是方程ｇ （ ｔ ） ＝ ３ ｔ ‘ ＋ ２ ａ ｔ ＋ ｂ ＝ ０ 的 两 个 根 ，作 出 函 数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ ） 、 ｙ ＝ ｔ （ 其 中ｔ ＝ ｘ ． 或ｘ ， ） 的图像 （ 如图 １ ） ， 由于 ｆ （ ｘ ， ）
经检验 ， 当ｍ＝ ２ 时， 方程② 的解 为４ 或１ ， 不符合题意 ， 舍 去． 当ｍ＝ ６ 时， 方程② 的解为４ 或９ ， 符合题意． 故选（ Ｄ） ．
点 评 ：本题 充分 考查 了 复 合 函 数 的 零 点 问 题 ，通 过 换 元 法， 再作出函数图像 ， 问题 轻 松 解 决 ．
ｆ １
≠
一
＝ ｘ ． ＜ ｘ ， ， 观 察 图像 即 知 ： 函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的 图像
与直线ｙ ＝ ｘ 有２ 个交 点 ， 而与直线ｙ ＝ ｘ 只有 １ 个交点 ， 因 此 有３ 个交点 ， 选（ Ａ） ． 点评 ： 由 函 数 零 点 的概 念 可 知 ． 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的零 点 § 方 程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 的 根甘 函数 ｖ ： 图１ ｆ （ ｘ ） 的 图像 与 ｘ 轴 的交 点的横 坐标 ． 所以， 函数 零 点 的 问 题 求 解 常 常 用 到 “ 数 形结合 ” 的数学 思想方 法． 通过换元法 ， 作 出 函数 的 图 像 ， 对应分 析 ， 实 现 过 渡转 化 ， 很 轻 松 自然 地 解 决 这 类 函 数 零 点 个 数 问题 ． 变式 １ ： 关于ｘ 的方程 ： （ ｘ 一 １ ） ‘ 一 Ｉ ｘ ‘ 一 １ Ｉ ＋ ｋ ＝ ０ ， 给 出 下 列 四个 命题 ， 其 中真 命 题 的个 数 有 （ ） （ １ ） 存在实数ｋ ， 使得方程恰有２ 个 不 同 的实 根 （ ２ ） 存 在 实数 ｋ ， 使得方程恰有４ 个 不 同 的 实 根
高考 复合函数的零点问题
函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。
二次函数的零点求解技巧
二次函数的零点求解技巧二次函数是高中数学中的重要内容之一，求解二次函数的零点是解析几何和数学建模等领域中常见的问题。
本文将介绍几种常用的二次函数零点求解技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用。
一、一般形式的二次函数求解一般形式的二次函数可表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
要求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 判断判别式的值判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程的解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程没有实数根。
2. 利用求根公式求解根据一元二次方程的求根公式，实数根的公式可以表示为：x1 = (-b + √Δ) / (2a) 或 x2 = (-b - √Δ) / (2a)如果有两个实数根，可以分别求解x1和x2；如果有一个实数根，那么x1和x2的值相等。
二、顶点形式的二次函数求解顶点形式的二次函数可表示为y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数，(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 将函数转化为一般形式将顶点形式的二次函数展开，可得到一般形式的二次函数，再按照一般形式的求解方法进行操作。
2. 利用顶点坐标求解根据顶点坐标的特性，顶点坐标(h, k)是抛物线的最低（或最高）点，也是零点的对称轴。
因此，求得抛物线的顶点坐标后，可以直接得到零点。
三、配方法求解对于无法直接因式分解或利用求根公式求解的二次函数，可以考虑使用配方法（即完成平方）来求解。
配方法的步骤如下：1. 将二次项分解将二次项的系数拆成两个数的乘积，使得这两个数之和等于一次项的系数b。
2. 完成平方根据配方法的原理，将一次项的系数b除以2，然后平方得到一个常数。
3. 移项求解将原二次函数利用配方法进行变形，将一次项的b拆分成两个数，然后完成平方，并将其移项到等式的另一侧。
解决二次函数零点问题的方法
解决二次函数零点问题的方法二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的零点指的是使得函数取值为0的x值，也就是满足方程ax² + bx + c = 0的解。
解决二次函数零点问题的常用方法包括公式法、配方法和图像法。
下面将分别介绍这些方法的具体步骤。
一、公式法公式法是解决二次函数零点问题最简单直接的方法。
根据二次方程的求根公式，一元二次方程ax² + bx + c = 0的根可以通过以下公式得到：x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/2ax₂ = (-b - √(b² - 4ac))/2a其中，√表示开方运算。
步骤如下：1. 根据给定的二次函数，确定方程中的a、b、c的值；2. 将a、b、c的值带入上述公式，计算出x₁和x₂的值；3. 得到两个根后，即可得到二次函数的零点解。
二、配方法配方法也称为完全平方公式法，适用于当一元二次方程无法直接使用公式法解时。
其基本思路是通过变换，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，从而便于求解。
步骤如下：1. 将二次函数的一般形式ax² + bx + c完全平方，即进行配方；2. 将配方后的二次函数转化为完全平方形式后，将其写成(x + p)² + q的形式；3. 令(x + p)² + q = 0，并求解出x的值。
三、图像法图像法是通过观察二次函数的图像，找出函数与x轴相交的点，从而得到零点的方法。
这种方法相对直观，适合对函数的整体形态有一定了解的情况下使用。
步骤如下：1. 将二次函数的方程转化为标准形式，并确定a、b、c的值；2. 绘制出二次函数的函数图像；3. 观察函数图像与x轴的交点，即为零点的值。
在使用图像法时，如果很难准确判断二次函数与x轴的交点时，可以借助计算机绘图软件进行辅助，以提高求解的准确性。
一元二次(函数)方程根(零点)的分布问题
高考热点专题系列之一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．一、.若在内研究方程的实根情况只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．二、若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件1）若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．2）若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：（1）（2）（3）（4）由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：（1）（2）（3）（4）可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．三、一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程（）的两个实根为，，且。
【定理1】：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】：，或由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】【定理4】，且；，且。
四、一元二次方程的非零分布——分布设一元二次方程（）的两实根为，，且。
为常数。
则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。
让你轻松解决复合函数零点问题
让你轻松解决复合函数零点问题
函数问题中涉及复合函数的题目向来是高中数学考试乃至高考的热点、重点、难点，这种问题考察了学生的逻辑思维能力以及综合理解能力，需要学生冷静的分析，理清层次，熟悉基本题型并能随机应变，复合函数的理解本身就是一个难点，而复合函数中零点个数问题，更是直接反映了学生对该类题的掌握能力，要求较高。
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附学习的四个层次：
1)基本知识点。
含概念、定义、定理、公式等，这是基础，这个不过关，其他免谈。
我是平时先看教科书，就是这个道理。
这部分虽然重要，但辅导不作重点，只是检查与提醒，因为可自学及问自己老
师同学。
会这个的人太容易找到了。
2)数学思想与数学技能。
数学思想如方程函数思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想，化归思想；数学技能如配方、待定系数法等。
有的人由于这方面强，故多年不做题或见到陌生题均不慌，因为这些思想能力是深入骨髓的。
3)数学模型与中间结论。
数学模型就是具体题目的解题套路，中间结论可使学生减少解题步骤，加快解题速度，减少出错机会。
有了数学思想与数学技能，就能自己推导出来，但要注意总结与积累。
4)特殊解题技巧。
这个要求以上3方面都较强，聪明加灵感，平时善于总结与归纳，看透事物本源，熟能生巧，触类旁通。
故对中等生不作过高要求，所谓可遇而不可求。
对高考实考试卷的选择与填空，特别是选择，有相当部分，有的试卷甚至一半以上可在题读完后，几秒得出正确答案。
凭的就是这个本事。
复合函数的零点问题探讨
4 e2
e2
e2
4
,
4
（）
【解析】 f x 2xex x2ex x x 2ex ，
易知， f x 在 , 2 上递增，在 2,0 上递减，在 0, 上递增，
所以 f x 在 x 2 处取得极大值 f 2 4e2 ，在 x 0 处取得极小值 f 0 0 ，
（）
A． b 0且 c 0
B． b 0 且 c 0
C． b 0且 c 0
D． b 0 且 c 0
【答案】C
【解析】
f
x
lg
x
1
,
x
1的图像如下（将
y
lg
x
的图像向右平移
1
个单位，
0 , x 1
再将 x 轴以下的部分向上翻折），
y
O
1
x
令 t f x ，显然，关于 x 的方程 t f x 可能有 4 ， 3 或 0 个不同的解， f 2 x bf x c 0 可化为 t2 bt c 0 ，
则实数 a 的取值范围是
（）
A．
5 2
,
9 4
B．
9 4
,
1
C．
5 2
,
9 4
9 4
,
1
D．
5 2
,
1
【答案】C
【解析】
f
x
图像如下（注意
y
复合函数的零点问题(解析版)
复合函数的零点问题(解析版)复合函数的零点问题(解析版)复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个基本函数按照一定的规则组合而成。
零点问题是指找出函数在定义域内使得函数取零值的自变量的取值。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数按照一定的运算规则组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量x进行g(x)的运算，然后再对结果进行f(x)的运算。
在复合函数的运算中，需要符合以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数f(g(h(x)))可以简写为(f∘g∘h)(x)。
2. 基本函数的定义域和值域：复合函数的定义域由其中的基本函数的定义域决定，值域受到基本函数值域的限制。
二、复合函数的求解方法对于复合函数的零点问题，可以通过以下方法进行求解：1. 代数法：将复合函数表示为等式，然后对方程进行变形和化简，最终解得零点的取值。
2. 几何法：将复合函数的图像与直线y=0相交的点作为复合函数的零点。
三、实例分析为了更好地理解复合函数的零点问题，下面以一个实例进行分析：例：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x-2，求复合函数f(g(x))的零点。
解：首先将复合函数表示为等式：f(g(x)) = 0sin(g(x)) = 0然后对方程sin(g(x)) = 0进行求解：由于sin函数的周期为2π，且在每个周期内有零点，因此可以得到：g(x) = 2kπ，其中k为整数。
将g(x) = 2kπ代入函数g(x) = x-2中：x-2 = 2kπ，解得x = 2kπ+2综上，复合函数f(g(x))的零点为x = 2kπ+2，其中k为整数。
四、结论与总结通过以上例子，我们可以看出复合函数的零点问题是通过将复合函数表示为等式，然后对方程进行求解来解决的。
根据实际情况选择合适的代数法或几何法进行求解，最终得到复合函数的零点的取值。
复合二次型函数零点问题解析
复合二次型函数零点问题解析李㊀寒(贵州省贵阳市第一中学㊀５５００８１)摘㊀要:函数零点问题是沟通函数㊁方程㊁图象等知识的重要桥梁ꎬ它充分体现了函数与方程的密切关系ꎬ是高考命题考查的一类重点问题ꎬ常处于客观题压轴的位置.其中复合二次型函数零点个数问题则是其中的热点和难点.由于这类问题既能考查函数的单调性㊁对称性及周期性等ꎬ又能综合考查函数方程㊁数形结合㊁分类整合及化归转化等数学思想及数学抽象㊁逻辑推理和直观想象等数学核心素养ꎬ因而颇受命题者青睐.关键词:复合二次型ꎻ函数零点ꎻ方程实根ꎻ问题解析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００５９－０４收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:李寒(１９７８－)ꎬ女ꎬ贵州省桐梓人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀下面归纳解析形如ｙ＝ａｆｘ()[]２－ｂｆｘ()＋ｃ(或ａｆｘ()[]２－ｂｆｘ()＋ｃ＝０)的复合二次型函数零点个数问题的求解策略.１利用因式分解求解将ｆｘ()视为整体变量ꎬ将问题转化为关于ｆｘ()的二次型方程后ꎬ可通过因式分解ꎬ利ｆｘ()图象与水平直线相交关系求解.例１㊀(２０２２届广东省茂名市二模第１６题)已知函数ｆｘ()＝ｘｅｌｎｘꎬｘ>１ꎬｘ３－３ｘ＋ａꎬｘɤ１ꎬìîíïïï若存在实数ｔ使得函数ｙ＝ｆｘ()[]２－ｔ＋２()ｆｘ()＋２ｔ有７个不同的零点ꎬ则实数ａ的取值范围是.解析㊀当ｘ>１时ꎬｆｘ()＝ｘｅｌｎｘꎬ则ｆᶄｘ()＝ｌｎｘ－１ｅｌｎ２ｘꎬ当１<ｘ<ｅ时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ当ｘ>ｅ时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ所以ｆｘ()在(１ꎬｅ]上单调递减ꎬ在(ｅꎬ＋ɕ)上单调递增.故当ｘ＝ｅ时ꎬｆｘ()取得最小值ꎬ且最小值为ｆｅ()＝１.当ｘɤ１时ꎬｆｘ()＝ｘ３－３ｘ＋ａꎬｆᶄｘ()＝３ｘ２－３＝３ｘ＋１()ｘ－１()ꎬ当ｘ<－１时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ当－１<ｘ<１时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ所以ｆｘ()在(－ɕꎬ－１]上单调递增ꎬ在(－１ꎬ１]上单调递减.故当ｘ＝－１时ꎬｆｘ()有极大值ꎬ且极大值为ｆ－１()＝２＋ａꎻ当ｘ＝１时ꎬｆ１()＝－２＋ａ.作出函数ｆｘ()＝ｘｅｌｎｘꎬｘ>１ꎬｘ３－３ｘ＋ａꎬｘɤ１ìîíïïï的图象ꎬ如图１.图１由题意ꎬ知ｆｘ()[]２－ｔ＋２()ｆｘ()＋２ｔ＝０.即ｆｘ()－２[]ｆｘ()－ｔ[]＝０有７个不同的实根.当ｆｘ()＝２有三个根时ꎬｆｘ()＝ｔ有四个实根ꎬ此时２＋ａ＝２或－２＋ａ>２ꎬ解得ａ＝０或ａ>４.当ｆｘ()＝２有四个根时ꎬｆｘ()＝ｔ有三个实根ꎬ此时－２＋ａɤ２<２＋ａꎬ解得０<ａɤ４.综上可得ａȡ０.故实数ａ的取值范围是[０ꎬ＋ɕ).点评㊀本题首先研究函数ｆｘ()的单调性㊁极值等性质ꎬ作出ｆｘ()图象ꎬ将函数零点问题转化为关于ｆｘ()的一元二次方程ꎬ因式分解后结合图象求解.例２㊀(２０２０届河南省许昌市一模第１２题)已知函数ｆｘ()＝ｘ２－１ꎬｘ<１ꎬｌｎｘｘꎬｘȡ１ꎬìîíïïï关于ｘ的方程２[ｆ(ｘ)]２＋(１－２ｍ)ｆ(ｘ)－ｍ＝０有５个不同的实数解ꎬ则ｍ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.(－１ꎬ１ｅ)㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ＋ɕ)Ｃ.(０ꎬ１ｅ)Ｄ.(０ꎬ１ｅ]解析㊀设ｙ＝ｌｎｘｘꎬ则ｙᶄ＝１－ｌｎｘｘ２.由ｙᶄ＝０ꎬ解得ｘ＝ｅ.当ｘɪ(０ꎬｅ)时ꎬｙᶄ>０ꎬ函数单调递增ꎬ当ｘɪ(ｅꎬ＋ɕ)时ꎬｙᶄ<０ꎬ函数单调递减.所以当ｘ＝ｅ时ꎬ函数取得极大值也是最大值为ｆｅ()＝１ｅ.方程２[ｆ(ｘ)]２＋(１－２ｍ)ｆ(ｘ)－ｍ＝０化为[ｆ(ｘ)－ｍ][２ｆ(ｘ)＋１]＝０ꎬ解得ｆ(ｘ)＝ｍ或ｆ(ｘ)＝－１２.作出函数图象ꎬ如图２ꎬ由图２得ｍ的取值范围是(０ꎬ１ｅ).图２故选Ｃ.点评㊀本题首先利用导数研究函数ｙ＝ｌｎｘｘ的单调性并求得最值ꎬ然后将方程２[ｆ(ｘ)]２＋(１－２ｍ) ｆ(ｘ)－ｍ＝０左边因式分解ꎬ求得ｆ(ｘ)＝ｍ或ｆ(ｘ)＝－１２ꎬ最后作出函数ｆｘ()图象ꎬ数形结合得解.２利用根的分布将ｆｘ()视为整体进行换元ꎬ即令ｆｘ()＝ｍꎬ由题意得到ｍ的范围ꎬ然后将问题转化为关于ｆｘ()＝ｍ的二次型方程根的分布解答.例３㊀设函数ｆｘ()＝３ｘ＋１ꎬｘɤ０ꎬ｜ｌｏｇ４ｘ｜ꎬｘ>１ꎬ{若存在实数ａ使得函数ｙ＝ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３恰有６个不同的零点ꎬ则实数ａ的取值范围是.解析㊀令ｙ＝０ꎬ所以函数ｙ＝ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３恰有６个不同的零点等价于方程ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３＝０恰有６个不同的实数根.㊀ｆｘ()＝ｍꎬ则方程ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３＝０转化为ｍ２－ａ＋２()ｍ＋３＝０.作出函数ｆｘ()的图象ꎬ如图３.图３由图３可知ꎬ要使关于ｘ的方程ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３＝０恰有６个不同的实数根ꎬ则方程ｍ２－ａ＋２()ｍ＋３＝０在(１ꎬ２]内有两个不同的实数根.所以Δ＝ａ＋２()２－４ˑ３>０ꎬ１<ａ＋２２<２ꎬ１２－ａ＋２()ˑ１＋３>０ꎬ２２－ａ＋２()ˑ２＋３ȡ０.ìîíïïïïïïï解得２３－２<ａɤ３２.点评㊀本题首先作出函数ｆｘ()的图象ꎬ然后换元ꎬ利用图象将方程ｆｘ()[]２－ａ＋２()ｆｘ()＋３＝０恰有６个不同的实数根问题ꎬ转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同解的问题ꎬ最后利用一元二次方程根的分布知识ꎬ列出关于参数ａ的不等式组求解.３利用求根公式求解将ｆｘ()视为整体进行换元ꎬ即令ｆｘ()＝ｍꎬ将问题转化为关于ｆｘ()＝ｍ的一元二次方程ꎬ利用求根公式表示ｍꎬ最后通过分析㊁讨论求解.例４㊀已知函数ｆｘ()＝(ｘ２－３)ｅｘꎬ若关于ｘ的方程ｆｘ()[]２－ｔｆｘ()－１２ｅ２＝０(ｔɪＲ)有ｎ个不同的实根ꎬ则ｎ的所有可能的值为(㊀㊀).Ａ.３㊀㊀Ｂ.１或３㊀㊀Ｃ.４或６㊀㊀Ｄ.３或４或６解析㊀由ｆｘ()＝(ｘ２－３)ｅｘꎬ得ｆᶄｘ()＝(ｘ２＋２ｘ－３)ｅｘ.令ｆᶄｘ()＝０ꎬ解得ｘ＝－３或ｘ＝１.当ｘ<－３时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ当－３<ｘ<１ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ当ｘ>１时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ所以函数ｆｘ()在－ɕꎬ－３(]和１ꎬ＋ɕ[)上单调递增ꎬ在－３ꎬ１()上单调递减.所以当ｘ＝－３时ꎬ函数ｆｘ()取得极大值为６ｅ３ꎻ当ｘ＝１时ꎬ函数ｆｘ()取得最小值为－２ｅ.作出函数ｆｘ()的图象ꎬ如图４.图４令ｆｘ()＝ｍꎬ则由图４知方程ｆｘ()＝ｍ的根的情况如下:(１)当ｍ>６ｅ３或ｍ＝－２ｅ时ꎬ方程有唯一实根ꎻ(２)当０<ｍ<６ｅ３时ꎬ方程有三个实根ꎻ(３)当－２ｅ<ｍɤ０或ｍ＝６ｅ３时ꎬ方程有两个实根ꎻ(４)当ｍ<－２ｅ时ꎬ方程没有实根.设方程ｍ２－ｔｍ－１２ｅ２＝０(ｍɪ[－２ｅꎬ＋ɕ))有两根分别为ｍ１ꎬｍ２(ｍ１<ｍ２)ꎬ且ｍ１ｍ２＝１２ｅ２<０.当ｍ１＝－２ｅ时ꎬ恰有ｍ２＝６ｅ３ꎬ此时ｆ(ｘ)＝ｍ１有１个根ꎬｆ(ｘ)＝ｍ２有两个根.当－２ｅ<ｍ１<０时必有ｍ２>６ｅ３ꎬ此时ｆ(ｘ)＝ｍ１有两个根ꎬｆ(ｘ)＝ｍ２有１个根.②若方程只有一根在定义域内ꎬ即ｍ１<－２ｅꎬ而必有０<ｍ２<６ｅ３时ꎬｆ(ｘ)＝ｍ１无实根ꎬｆ(ｘ)＝ｍ２有３个实根.综上ꎬ对于任意ｍɪＲꎬ方程均有３个实根.故选Ａ.点评㊀本题首先分析函数单调性㊁极值等性质ꎬ作出函数图象ꎬ换元后利用一元二次方程两根之间的关系ꎬ结合函数图象ꎬ在讨论的基础上确定方程的根的个数ꎬ从而得解.４综合利用函数性质对于具有抽象函数背景的复合二次型函数零点问题ꎬ需综合运用函数的对称性㊁周期性等性质ꎬ求出函数解析式或研究图象特征求解.例５㊀已知偶函数ｆｘ()满足ｆ３＋ｘ()＝ｆ３－ｘ()ꎬ且当ｘɪ[０ꎬ３]时ꎬｆｘ()＝－ｘ２＋２ｘ＋１ꎬ若函数ｙ＝ｆｘ()[]２－ｔｆｘ()－３在[－１５０ꎬ１５０]上有３００个零点ꎬ则实数ｔ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－２ꎬ１２æèçöø÷㊀㊀㊀Ｂ.－１２ꎬ１２æèçöø÷Ｃ.－２ꎬ＋ɕ()Ｄ.－ɕꎬ１２æèçöø÷解析㊀因为偶函数ｆｘ()满足ｆ３＋ｘ()＝ｆ３－ｘ()ꎬ所以ｆ３＋ｘ()＝ｆ－ｘ－３()[]＝ｆｘ－３().所以ｆｘ＋６()＝ｆｘ＋３()＋３[]＝ｆｘ＋３()－３[]＝ｆｘ().所以函数ｆｘ()是最小正周期为６的周期函数.因为当ｘɪ[０ꎬ３]时ꎬｆｘ()＝－ｘ２＋２ｘ＋１ꎬ所以当ｘɪ[－３ꎬ０]时ꎬ－ｘɪ[０ꎬ３]ꎬｆｘ()＝ｆ－ｘ()＝－ｘ２－２ｘ＋１.作出函数ｆｘ()在一个周期[－３ꎬ３]内的图象ꎬ如图５.图５因为函数ｙ＝ｆｘ()[]２－ｔｆｘ()－３在[－１５０ꎬ１５０]上有３００个零点ꎬ即关于ｘ的方程ｆｘ()[]２－ｔｆｘ()－３＝０在[－１５０ꎬ１５０]上有３００个解.所以关于ｘ的方程ｆｘ()[]２－ｔｆｘ()－３＝０在[－３ꎬ３]上有６个解.令ｆｘ()＝ｍꎬ则结合图象可知ｍ必有两个值ꎬ一个大于１且小于２ꎬ另一个大于－２且小于１ꎬ即方程ｍ２－ｔｍ－３＝０在(－２ꎬ１)和(１ꎬ２)内各有一个实根.令ｇｍ()＝ｍ２－ｔｍ－３ꎬ则ｇ－２()>０ꎬｇ１()<０ꎬｇ２()>０.ìîíïïïï所以４＋２ｔ－３>０ꎬ１－ｔ－３<０ꎬ４－２ｔ－３>０.ìîíïïïï解得－１２<ｔ<１２.故选Ｂ.点评㊀本题首先由题意判断函数ｆｘ()的周期性ꎬ然后作出函数ｆｘ()的图象ꎬ将问题转化后ꎬ换元利用一元二次方程根的分布求解ꎬ体现了函数及其性质的综合应用.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]周文国.深度学习函数零点问题[Ｊ].河北理科教学研究ꎬ２０２０(０１):２３－２４.[３]杨小兵.基于 萌生数学思想 的教学设计以 方程的根与函数的零点 为例[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０２２ꎬ２９(０５):１１－１６.[４]李秀元ꎬ武刚.抽丝剥茧探本源㊀步步为营巧推断 基于函数的复合方程求解[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２２):３９－４１.[责任编辑:李㊀璟]。
高中数学素材——二次函数及其方程探讨零点问题的几个错解分析
二次函数及其方程探讨零点问题的几个错解分析某某省利津县第一中学 胡彬 257400二次函数2y ax bx c =++的零点就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.一. 函数零点的判断方法理解有误导致错解[例1]已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值X 围.错解：设2()1f x mx x =++∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内∴(0)(1)0f f ⋅<得m ＜－2.错因：对于一般()f x ，若()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，但不一定唯一.对于二次函数()f x ，若()()0f a f b ⋅<则在区间（a,b ）上存在唯一的零点，一次函数有同样的结论成立.但方程()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根时，不仅是()()0f a f b ⋅<，也有可能()()0f a f b ⋅≤.如二次函数图像是下列这种情况时，就是这种情况.由图可知()f x ＝0在区间（a,b ）上有且只有一根，但是()()0f a f b ⋅≤正解：设2()1f x mx x =++，（1）当m ＝0时方程的根为－1，不满足条件.（2）当m ≠0∵210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内又(0)f ＝1＞0∴有两种可能情形①(1)0f <得m ＜－2,或者②1(1)02f m=-且0<<1得m 不存在. 综上所得:m ＜－2.二.忽视约束条件的检验导致错解[例2]已知一次函数y kx b =+与二次函数2y ax =图像如图，其中y kx b =+的交点与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）；与二次函数2y ax =的交点为P 、Q ，P 、Q 两点的纵坐标之比为1︰4.（1）求这两个函数的解析式.（2）解方程：2ax kx b =+.（1）错解：把 A （2，0），B （0，2）两点坐标分别代入一次函数y kx b =+解得12k b =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数为2y x =-+设P （x 1，y 1），Q （，y 2），则y 1︰y 2＝1︰4∴21ax ︰22ax ＝1︰4 ∴x 1︰x 2＝1︰2或x 1︰x 2＝（－1）︰2 当x 1︰x 2＝1︰2时，Q 点坐标为（2x 1，4y 1），把P 、Q 两点坐标分别代入一次函数即得 11112422y x y x =-+⎧⎨=-+⎩解得1131x y =⎧⎨=-⎩ ∴P （3，－1），Q （6，－4），二次函数为29y x =-.当x 1︰x 2＝（－1）︰2时，Q 点坐标为（－2x 1，4y 1）把P 、Q 两点坐标分别代入一次函 数即得11112422y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得1111x y =⎧⎨=⎩.∴P （1， 1），Q （－2， 4），二次函数为2y x =.错因：在得到x 1︰x 2值之后，要注意题意判断点的位置关系，多余的解要舍去.题中Q 在第二象限，所以1131x y =⎧⎨=-⎩不合条件.正解：（1）抛物线方程为2y x =（2）方法一：由（1）得方程2ax kx b =+ 即为 22x x =-+解得x 1＝－2，x 2＝1.方法二：方程2ax kx b =+的根即为二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+的交点的横坐标.由（1）知它们交点的坐标分别为P （1， 1），Q （－2， 4），∴方程2ax kx b =+的解为x 1＝－2，x 2＝1.错解三:忽视二次函数的对称轴导致错解[例3]是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值X 围；如果没有，试说明理由.错解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)0k k f k f k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎨⎪=+--->⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.错因：方程两根都在0与2之间，根据图像可知除满足上述条件外，还要考虑二次函数的对称轴在区间（0,2）内.正解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩ 此不等式无解,即不存在满足条件的k 值.。