小学奥数等差数列上课讲义
【四升五】小学数学奥数第10讲：等差数列-课件
练习三
有一个等差数列的第1项是2.4，第7项是26.4， 求它的第5项。
a7a6da16d
a12.4，a7 26.4代入上式，
2.4 62.46d， d 4， a 5 a 1 4 d 2 .4 4 4 1.4 8
答：第5项是18.4。
例题四
游乐园的智慧梯最高一级宽60厘米，最低一级宽 150厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，求 正中间一级的宽。
首项 项数
通项公式：
ana1(n1)d
第n项
公差
例题三
一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的， 第一项是3.6，第五项是12，求它的第2项。
a5a4da14d
a13.6，a5 12代入上式，
123.64d， d2.1 a 2 a 1 d 3 .6 2 .1 5 .7
答：第二项是5.7。
580 8n4, n=（580+4）÷8=73
答：580是第73项。
练习二
等差数列3，9，15，21，…中，381是第几项？
a1 3, d936,
an a1 (n 1)d
3(n1)6
6n3
我们把381代入
a
，
n
381 6n3, n=（381+3）÷6=64
答：381是第64项。
小结
等差数列：
ana1(n1)d
通项公式
例题一
求等差数列3，8，13，18，…的第38项和第69项。
a1 3, d835,
an a1 (n 1)d 3(n1)5 5n2
a3853 82188 a69569 2343
答：第38项是188，第69项是343。
练习一
等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第89项。
苏科版三(下)奥数教案第11讲~等差数列初步
三（下）奥数第11讲~等差数列初步
机智小抢答
（1） 7、10、13、16、19、22
首项（ ）、 末项 （ ） 、项数（ ） 、公差（ ）
（2） 49、45、41、37、33、
首项（ ）、 末项 （ ） 、项数（ ） 、公差（ ）
（3） 8、15、22、29、36、43、50、57、64
① 第1项和第9项之间有几个公差？
② 第1项和第4项之间有几个公差？
③ 第2项和第5项之间有几个公差？
④ 第3项和第7项之间有几个公差？
⑤ 第3项和第9项之间有几个公差？
⑥ 第8项和第几项之间有9个公差？
小练习
8、15、22、29、36、43、50、57、64
① 第1项和第10项之间有几个公差？
② 第1项和第100项之间有几个公差？
③ 第10项和第25项之间有几个公差？
④ 第9项和第50项之间有几个公差？
⑤ 第80项和第70项之间有几个公差？
⑥ 第1项和第几项之间有10个公差？
板书：
第二部分：“外星人”解等差数列问题
【解析】：我们知道外星人和我们一样也有两个眼睛，一个鼻子，那在我们用“外星人”的方法求解一、等差数列
首项：第1个
末项：最后1个
公差：相等的差 二、公差个数=编号相减数
三、外星人图。
小学数学奥数等差数列四年级讲课上课精品PPT教学课件
等差数列求和（笔记）
☆认识名称：
①首项→头； ②末项→尾； ③项→几个数。
认识等差数列
（1）1 2 3 4 5 6 7… 1 111 11
（2）2 4 6 8 10 12 … 222 2 2
（3）5 10 15 20 25 30 … 555 5 5
等差数列求和（笔记）
☆认识等差数列：
①每一项与前面的差都相等；②连续增加或者连续减小。 ☆认识名称：
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差 ☆等差数列求和公式：
①（首项+末项）×项数÷2=总和 ②（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
综合 计算：5+10+15+20+......+195+200
（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
综1 计算：1+2+3+4+......+99+100
（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
等差数列求和（笔记）
☆认识等差数列：
①每一项与前面的差都相等；②连续增加或者连续减小。 ☆认识名称：
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差 ☆等差数列求和公式：
①（首项+末项）×项数÷2=总和 ②（末项-首项）÷ 公差＋1=项数
③ 首项+公差×（项数-1）=某一项
例4 已知有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层 有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面 一层有多少根？
①首项→头；②末项→尾；③项→几个数；④公差→等差
观察： 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26 + 30 + 34 + 38
小学四年级奥数班讲义(等差数列)
小学四年级奥数班讲义等差数列姓名: 计算等差数列的相关公式：项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2例题1 小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？课堂练习1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？课堂练习2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？课堂练习3、体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？课堂练习4、一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
课堂练习1、建筑工地有一批砖，码成如下图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层398块砖，这堆砖共有多少块？课堂练习2、某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？例题3 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?课堂练习1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?课堂练习2、四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？课堂练习3、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？例4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？计算下面各题：1＋2＋3＋4＋……＋2007＋20085+10+15+……+95+1002+4+6+……198+200 5000-2-4-6-…-98-100 9＋18＋27＋36＋……＋261＋27081+79+……+17+15+13（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝课后练习：一、填空1、三角形的两个内角之和是89°，这个三角形是（）2、在括号里填上“>”、“<”或“=”。
等差数列讲义 (1)
12、(2008 宁夏理)已知数列 {an } 是一个等差数列，且 a2 1， a5 5 . （1）求 {an } 的通项 an ； （2）求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.
S 13、 （2010 全国）设 a n 为等差数列， S n 为数列 a n 的前 n 项和，已知 S7 7 ， S15 75 ，T n 为数列 n n
2ap .
a2 an1 a3 an2
（1）若 an 、 bn 为等差数列，则 an b， 1an 2bn 都为等差数列。 （2）若{ an }是等差数列，则 Sn , S2n Sn , S3n S2n ，„也成等差数列。 （3）数列 {an } 为等差数列,每隔 k (k N ) 项取出一项 (am , amk , am2k , am3k , ) 仍为等差数列。
n a1 an n n 1 d． ；② Sn na1 2 2
a1 a2 an ).
5、等差数列的通项公式与前 n 项的和的关系
s1 , n 1 an ( sn sn1 , n 2
二、等差数列的性质 1、等差数列与函数的关系 当公差 d 0 时，
4
等差数列前 n 项和的最值问题 4. 已知等差数列 an ，且满足 an 40 4n ，前多少项的和最大，最大值为多少
课堂总结
课后作业 1、(2007 安徽)等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a2 1, a3 3, 则S 4＝（ A．12 B．10 C.8 D．6 ）
*
5、前 n 项和的性质 设数列 an 是等差数列， d 为公差， S 奇 是奇数项的和， S 偶 是偶数项项的和， S n 是前 n 项的和. ①当项数为偶数 2n 时，则
等差数列课件ppt课件
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？
小学--等差数列-讲义
第二讲: 等差数列一, 数列有关知识点:⒈ 数列的定义: 按一定次序排列的一列数叫做数列.注意: ⑴数列的数是按一定次序排列的, 因此, 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列；⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）, 第2项, …, 第n 项, ….例如, 上述例子均是数列, 其中①中, “4”是这个数列的第1项（或首项）, “9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式: , 或简记为, 其中是数列的第n 项结合上述例子, 帮助学生理解数列及项的定义.②中, 这是一个数列, 它的首项是“1”, “”是这个数列的第“3”项, 等等/4.等差数列的定义. －=..（n ≥2.n ∈N ）后一项减前一项为一定值, 我们把这个定值叫公差, 用d 表示5.等差数列的通项公式: （每一项都可用通项公式来表示）d n a a n )1(1-+=6.数列的前n 项和.数列中, 称为数列的前n 项和, 记为.求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前项和公式1:等差数列的前项和公式2:二.例题精讲例1, 认识数列: 等差数列:3、6、9、 (96)这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
例2, 有一个数列: 4.7、10、13.…、25, 这个数列共有多少项提示 仔细观察可以发现, 后项与其相邻的前项之差都是3, 所以这是一个以4为首项, 以公差为3的等差数列, 根据等差数列的项数公式即可解答。
解: 由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
例3.有一等差数列: 2, 7,12,17, …, 这个等差数列的第100项是多少？提示: 仔细观察可以发现, 后项与其相邻的前项之差等于5, 所以这是一个以2为首项, 以公差为5的等差数列, 根据等差数列的通项公式即可解答解: 由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
三年级上奥数精品讲义等差数列求和
高斯的烦恼(等差数列求和)知识图谱高斯的烦恼知识精讲一．等差数列求和1．等差数列求和公式：()2=+⨯÷和首项末项项数．2．等差数列项数为奇数时，可以利用中间数来求和．公式为：=⨯和中间数项数．三点剖析本讲主要培养学生的运算能力，其次培养学习的实践应用能力．本讲内容是在等差数列的基础计算上，继续学习等差数列的求和．从“凑整思想”中总结出基本求和公式，并且学习了对于奇数列利用中间数来求和的方法．课堂引入例题1、高斯在上小学时，一天老师布置了一道数学题：计算1234599100+++++++……的和是多少？老师觉得这题还是比较难的，正想坐下休息一会．但是没想到，高斯很快就把写有答案的石板交上来了，上面正写着正确答案——5050．老师不相信，让高斯回去再算，高斯却说：“1和100凑成101，2和99凑成101，________和________凑成________，……这样的数一共有________组，所以它们的和就是____________（列算式）．”优秀的你能帮高斯填一下吗？例题2、 根据课堂引入中的方法，求1234564849++++++++……．基本求和公式例题1、 计算：7067646158555249+++++++．例题2、 计算：111825102+++⋅⋅⋅+=_________．今天我们要来来讲一讲高斯的故事．高斯？不就是先生您吗？您要讲您的什么故事呀？当然不是啦，此高斯非彼高斯．应该是说德国的数学家高斯吧？高斯真的很聪明哦~同为高斯，我是没有数学家高斯那么优秀了！但是大家还有机会哦~等差数列求和公式还记得吗？这个数列有多少项呢？例题3、 计算：从1开始的100个连续奇数的和是________．例题4、 柯小南为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么柯小南一共做了多少天的仰卧起坐？共做了多少个仰卧起坐？例题5、 柯小南从27起写了26个连续奇数，唐小虎从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是多少呢？随练1、 计算：________．随练2、 计算：9083763427+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=________．随练3、 唐小虎为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？利用中间数求和例题1、 一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第________项．例题2、 一个等差数列共5项，和等于100，那么这个等差数列的中间项是第________项，这个数是________．例题3、 若9个连续偶数的和是2016，那这些数中，最小的是________．例题4、 7层书架，共777本，每下面一层比上面多7本，最上面一层有多少本书？1317212529333741+++++++=公式我都记住了，这题太简单！中间数的项数跟什么有关呢？已知和，反求中间项，我该用什么方法好呢？例题5、 一个等差数列的第1项是18，前5项的和为160，那么这个等差数列的第8项是________．随练1、 一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第________项． 随练2、 9个连续奇数之和为171，其中最大的奇数是________．易错纠改例题1、 有这样的一道题目：若9个连续奇数的和是2025，那这些数中，最大的是________．看完他们的对话，你能写出正确的计算过程吗？拓展1、 计算：32343638404244464850+++++++++=__________．2、 计算：131925......6773+++++=__________．3、 371115......++++，等差数列共12项，那么这12项的和是__________．4、 雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋．5、 一个等差数列的第1项是8，前9项的和为180，那么这个等差数列的第12项是__________．6、 计算：从1开始的100个连续偶数的和是________．7、 9个连续偶数之和为144，其中最大的偶数是__________．8、 暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米．请问：小高这些天里一共游了多少米？9、 分析并口述题目的做题思路及方法．小明把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？这个是求末项的，上节课学过，我可以做哦~但是哪里好像有些不一样呢……求最小的数，也就是求末项呗！题目中给出了项数、和，求末项还需要首项，末项不知道，不能求呀……但是项数是奇数呀，这就够了！有和、项数就行了．对，还得有公差！都有都有，可以解决问题了！。
小学奥数-等差数列PPT课件
CHENLI
15
• 有一组数列如下：5、9、13、17、21、 …325、329你能求出这组数列共有多少个 数吗？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82
• 拓展1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大 的一个奇数是多少
• 答：因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的
第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375
…… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=36 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方阵所有数之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2
=4+3 ×(20-1)=61
（2）298是这个数列中的第几项？
项数=（末项-首项） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99
CHENLI
8
求 和 ： 和 = （首项+末项）×项数÷2
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99 =（1+99）×99÷2 = 9900÷2 = 4950
平均数,1989÷39=51,
• 比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用末项=首项+公差 × （项数-1）
• 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
CHENLI
4年级奥数培优讲义-1-等差数列-难版
- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：四年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项。
第二个数叫第二项，…，最后一个数叫做末项。
（1）1，2，3，4，5，...，100； （2）1，3，5，...，33； （3）5，10，15， (105)这三个数列都有共同的规律：从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫该数列的公差。
如第一个数列中，公差=2-l=1；第二个数列中，公差=3-l=2；第三个数列中，公差=10-5=5。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 以及另外两个重要公式：（1）项数=（末项-首项）÷公差+l （2）末项=首项+公差×（项数-1）【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141【小试牛刀】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？ 【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。
末项=2+（21-1）×3=62【例2】★从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
【解析】199 典型例题知识梳理【小试牛刀】观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ 。
【解析】19+18=37，37+18=55，所以a =55+18=73【例3】★2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【解析】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为y ，那么这8个数为：6y -，4y -，2y -，y ，2y +，4y +，6y +，8y +，根据题意可得：88256y +=，所以31y =，最大的奇数是839y +=．【例4】★在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994． 【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+，列式得： (19946)7284-÷=2841285+=即第285个数是1994．【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第n 项=首项+公差1n ⨯-（），所以，第201项532011605=+⨯-=（），对于数列5，8，11，，65，一共有：6553121n =-÷+=（），即65是第21项．【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【解析】⑴要求第8项，必须知道首项和公差．第6项-第4项64=-⨯（）公差 ，所以 ， 公差6=；第4项=首项3+⨯公差 ，21=首项36+⨯，所以，首项3= ；第8项=首项7+⨯公差45= ．⑵公差7=，首项2=，第6项37=．【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【解析】71-50=21。
全国通用四年级上册奥数培训精品课件等差数列求和共35张PPT
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
小学奥数等差数列[优课细讲]
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1. 求等差数列3，7，11，…的第4，7项？
解:已知a1=3,d=7-3=4,
a4=a1+(n4-1)d
=3+(4-1)×4 =15
a7=a1+(n7-1)d
=3+(7-1)×4 =27
教育课资
26
例题
例:在等差数列5，9，13…..401中,401是第几项?
解:已知a1=5,d=9-5=4,an=401,求n=?
– 递推数列：
• 如： 1，1，2，3，5，8，13，21 ，……
– 周期数列：
• 如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，……
教育课资
9
实战演练2
• 找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。 • （1）5，15，45，135， 405 ， 1215 。 • （2）60，63，68，75， 84 ， 9。5 • （3）180，155，131，108，86 ， 65 。 • （4）0，1，1，2，3，5， 8 ， 13 。
差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
公差 = 第二项－首项
例 1： 观察下列数列是否是等差数列：
1，4，7，10，（ 13 ），16，…
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10…
5，5，5，5，5，5，…
1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, … 1教9育课资
解：（5＋155）×51÷2
=160×51÷2
=80×51
=4080
教育课资
18
例题
例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99
等差数列的和 = （首项＋末项）×项数÷2
小学奥数讲义-等差数列的认识与公式运用
本讲知识点属于计算板块的部分,难度较三年级学到的该内容稍大,最突出一点就是把公式用字母表示。
要求学生熟记等差数列三个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起,每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数),这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起,每一项比前一项大3 ,递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起,每一项比前一项小5 ,递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项,通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项,通常用n a 表示,它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数,通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差,通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和,常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差,11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差,11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数,或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（）,n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ,分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48),注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有484145-+=知识点拨教学目标等差数列的认识与公式运用③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目,还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即,和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半；或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（）, 题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差,若不是,则说明理由。
三年级上奥数精品讲义等差数列
蒙娜丽莎的微笑(等差数列)知识图谱蒙娜丽莎的微笑知识精讲一．等差数列初步1．等差数列相关概念（1）等差数列：任何相邻两项的差都相等的数列．特别要注意，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，……和1，0，1，0，1，0……的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列．（2）等差数列中，第1项称为首项，最后1项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，而相邻两项的差则被称为公差．（3）在等差数列中，第n 项与第m 项之间相隔m n -个公差． 2．等差数列公式首项：1a ，公差：d ，末项：n a ，项数：n（1）()1=+-⨯末项首项项数公差，()11n a a n d =+-⨯ （2）()1=--⨯首项末项项数公差，()11n a a n d =--⨯ （3）()()1=-÷公差末项首项项数－，()()11n d a a n =-÷- （4）()1=÷+项数末项－首项公差，()11n n a a d =-÷+三点剖析本讲主要培养学生的运算能力，其次注重学生的观察推理能力．本讲内容是在整数计算与找规律的基础上，进一步学习等差数列．主要学习等差数列中首项、末项以及公差等的计算方法．后续课程还会继续学习等差数列求和等内容．课堂引入例题1、 高斯先生带来了这样一组数：1，5，9，13，17，21，25……五分钟后，大家还是一筹莫展……高斯先生给出了这样一张图．同学们，你们学会了“蒙娜丽莎的微笑”吗？请你来帮大家算一算高斯先生的第2个问题吧~例题2、 现有一列数：149，146，143，140，137，……，请问第35个数是多少？（利用课堂引入中的方法来解决）求数列首项和末项例题1、 （1）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，末项为75，那么首项是________． （2）一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是________． （3）已知等差数列第4项等于31，第10项等于73，那么首项是________．请大家写出这组数中的第12个数，大家试一试吧~高斯先生，是45，对吗？对的，小南能跟大家分享一下，你是怎么做出来的吗？25是这组数中的第7个数，那我就接着往下写，是29，33，37，41，45．刚刚好45是25之后的第5个数．那如果是让你们写出这列数中第97个数呢？还能用小南的方法吗？高斯先生，这图好像一张笑脸呀！那我们就叫它“蒙娜丽莎的微笑”吧！5①25⑥454 20＝×例题2、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，且首项为33，那么末项是几？（2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？（3）一个等差数列，每一项都比它的前一项大3，第2项为10，那么第12项是多少？（4）一个等差数列首项为4，第10项为49，那么第19项是多少？刚刚求首项了，现在求末项，方法有什么不同呢？例题3、（1）某露天剧场有30排座位，第一排有28个座位，后面每排比前排多2个座位，最后一排有座位多少个？（2）唐小虎做仰卧起坐，第一天做了10个，第七天做了76个，每天做仰卧起坐的数量成等差数列，那么唐小虎第八天做了多少个仰卧起坐？（3）如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按照这个规律，第101层有多少块砖？这些是应用题哎~跟等差数列有什么关系呢？随练1、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的第20项为________．随练2、（1）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项大2，且首项为23，求末项是多少？（2）一个等差数列共有13项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？求数列公差例题1、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？（2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？公差，第1项和第2项差1个公差；第1项和第3项差2个公差；那么第1项和第5项差几个公差呢？例题2、柯小南先在黑板上写了一个等差数列，刚写完唐小虎就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．这个等差数列的公差是________，首项是________．还是先找差几个公差吧？例题3、 一个等差数列的首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？ 随练1、 一个等差数列第5项为25，第16项为91，那么这个等差数列的公差等于多少？ 随练2、 一个等差数列第4项为25，第15项为113，那么这个等差数列的公差是________．求数列项数例题1、 一个等差数列首项为20，末项为116，公差为6，首项和末项间相隔了________个公差．例题2、 一个等差数列的首项为11，第7项为65，146是第________项．例题3、 一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有________项． 例题4、 一个等差数列第3项为50，公差为8，那么130是这个等差数列的第________项．随练1、 一个等差数列首项为5，末项为101，公差为8，那么首项和末项间相隔了________个公差．易错纠改例题1、 学完等差数列后，唐小虎觉得自己掌握的很不错，于是姐姐就给他出了这样的一道题目：图中的方框是小虎的计算过程，你觉得小虎做的对吗？如果不对，请你写出正确的计算过程．是不是要先找出首项和末项差多少呢？求第几项和求项数一样吗？一个等差数列有22项．每一项都比它的前一项小2，并且末项为98，那么首项是多少？难不倒我的，姐姐等我一下哦~姐姐，首项是56，对吧？小虎，你这让我说点什么好呢？唉……拓展1、一个等差数列有12项．每一项都比它的前一项小4，并且末项为56，那么首项是多少？2、一个等差数列共有15项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为30，那么末项是__________．3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是_________，第19项是_________．4、等差数列：1，5，9，13，……，那么第101项是________．5、数列2，4，6，8，10，……中，50是第_________个数．6、（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？7、一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差是__________．8、一个等差数列第7项为50，第12项为75，那么这个等差数列的公差是__________．9、一个等差数列第2项为24，第10项为64，那么第18项是__________．10、一个等差数列第3项为18，第9项为60，那么第15项是__________．11、分析并口述题目的做题思路及方法．一个等差数列首项为11，第10项为200，这个等差数列的公差等于多少？第19项等于多少？305是第几项？。
四年级奥数等差数列PPT课件
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。
（2）项数=（末项-首项）÷公差+1
=（493-1）÷4+1=492÷4+1=123+1=124
第11页/共18页
【巩固训练2】一个等差数列的第7项是 39，第10项是79。它的第13项是多少？
【思路导航】第7项、第10项、第13项分别都相差三项， 可以把这三项看成一个首项为39，公差为40的等差数 列。这样第7项、第10项、第13项分别为首项、第二 项、末项。 第n项=首项+（项数n-1）×公差 第13项=39+（3-1）×（79-39）=39+2×40=119
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
第7页/共18页
练习1：一个等差数列是6、13、20、27、… (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209 =6+（30-1）×7=6+30×7-1×7=216-7=209 (2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
五年级《等差数列》奥数教案
生：1a 是3，d 是5。
师：嗯，不错。
那么同学们知道了这个等差数列的通项公式：5)1(3⨯-+=n a n ， 经过计算，可以写成：25-=n a n 。
怎么来求我们最后的问题呢？ 生：把数字代到n 里，就可以算了。
师：就是这样。
现在同学们一起来算一下最后答案是多少。
生：第38项是188，第69项是343。
师：最后我们可以写成18838=a ，34369=a 。
同学们都很棒，已经会利用等差数列了。
经过第一题的学习，同学们可以帮老师归纳一下，等差数列的问题 应该怎么做了吗？同学们先讨论，然后告诉老师。
【给学生分组讨论，老师可走动询问各组的讨论结果】师：好了，老师刚刚问了几个同学，都很不错。
接下来呢，我们请一位同学来 帮我们归纳一下，哪位同学自告奋勇。
生：我们可以先找到题目中给出的信息有哪些，比如这道题给出了首项、公差， 所以我们可以求出它的通项公式，然后再把数字代进去，就可以了。
师：大家掌声鼓励一下。
这位同学不仅学会了等差数列的基本知识，还能自己归纳方法了。
我们平时做题的时候也要这样，不断归纳，我们做题就能越 来越快，越来越轻松。
我相信聪明的同学们应该都学会了，还有疑问的同 学可以举手或者下课后问老师和同学，一定要把疑问解决。
【课件再次展示计算过程，老师可以把同学的归纳再整理一下】板书：1a =3，d =8-3=5，n a =1a +（n-1）d=3+（n-1）×5=5n-2，38a =5×38-2=188，69a =5×69-2=343答：第38项是188，第69项是343。
练习一：（6分钟）等差数列1，4，7，10，13，…的第20项和第89项。
分析：这个题目的题型和难度与例题相同，解题方法和上题也相同。
学生在听懂例题后再来做这道题，难度较小。
【课件出示练习题，挑选两位同学上台板演，教师走动指导。
然后讲解计算过程，重点指导一些不懂的学生】板书：最低一级作为第15项，15a =100，正中间一级是第8项，8a =（1a +15a ）÷2=（100+30）÷2=65答：正中间一级的宽是65厘米。
人教版四年级上册数学奥数——等差数列(课件)
倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的
公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
实践与应用
【练习1】 P83
求等差数列3，7，11，…的第4项，第7项和第10项。
【例2】有一堆粗细均匀的圆木堆成梯形，最上面一层有6根圆木，每向下一层增
加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？
【分析与解答】
将每层圆木的根数写出来:6,7,8,9,10,…可以看出这是一个等差数列。在这个
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【例题2】
有一等差数列：3,7,11,15,……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】
这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
等差数列中，已知首项(1 )是6，公差（d)是1，项数(n)是28，求最下面一层是
多少，也就是求这个等差数列的第28项是多少。
我来解答：6+1×(28-1)=33(根)
小结与提示
在解答这道题时，将每层的圆木根数抽象成等差数列是关键。
实践与应用
【练习2】 P83
一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，后面每排都比前一排多
2个座位，第22排有多少个座位？
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一、等差数列的定义
定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为
等差数列．
譬如： 2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
关键词：
首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示
末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．
二、三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）
递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 拓展公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）
② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1
11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)； 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．
知识结构
等差数列的基本概念及公式
③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 (思路1) 1239899100++++++L
11002993985051=++++++++L 1444444442444444443
共50个101
（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：
2349899100
1009998973212101101101101101101101
+++++++=+++++++=+++++++L
L L
和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=
三、一个重要定理：中项定理
1、项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数．
譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，
题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=L （），
题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．
2、项数是偶数的等差数列，中间一项等于中间两项的平均数。
和=中间项×项数．
（1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。
（2） 必要时调整数列顺序。
重难点
板块一：等差数列的基本认识
【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l ，0，1，0；
【练习1】312+、610+、128+、246+、484+、……是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计算结果是 。
板块二：求项数
【例 2】 小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？ （1） 3、4、5、6、……、76、77、78 （2）2、4、6、8、……、96、98、100 （3） 1、3、5、7、……、87、89、91 （4） 4、7、10、13、……、40、43、46
例题精讲
【练习2】
2-1 在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．2-2 5、8、11、14、17、20、L，65是其中的第几项？
2-3 已知等差数列2、5、8、11、14 …… ，问47是其中第几项？
2-4 已知等差数列9、13、17、21、25、…… ，问93是其中第几项？
板块三：求通项
【例 3】已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？
【练习3】
3-1 5、8、11、14、17、20、L，它的第201项是多少？
3-2 3、5、7、9、11、13、15、…… ，它的第102项是多少？
3-3 1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第2005个奇数是________。
板块三：中项定理
【例 4】2、4、6、8、10、12、L是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．
【练习4】
4-1 1、3、5、7、9、11、L是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？
4-2 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
4-3 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
板块四：等差数列求和
【例 5】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？
⑴3456767778
L
+++++++=
⑴13578799
L
++++++=
⑴471013404346
L
+++++++=
【练习5】
5-1 1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
5-2 500024698100-----L
5-3 1357199519971999+++++++L
5-4 (123200720082007321)2008+++⋯++++⋯+++÷=
【例 6】 计算：
⑴1351997199924619961998++++++++++L L （）-（） ⑴40005101595100------L
⑴99198297396495594693792891990+++++++++
【练习6】计算246198419861988135198319851987++++++-++++++L L （）（）
【作业1】 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?
【作业2】 计算：110＋111＋112＋ (126)
【作业3】 计算下列一组数的和：105，110，115，120，…，195，200
【作业4】 聪明的小朋友们，PK 一下吧．
⑴4812163236++++++L
⑵656361531++++++L
【作业5】 计算： ⑴ 2469698100135959799++++++-++++++L L （）（）
家庭作业
（2）1000999998997996995106105104103102101
L．
+-++-+++-++-
【作业6】计算：13520092462008
L L
（）（）
++++-++++
【作业7】13467910121366676970
L；（难）
+++++++++++++
【作业8】20072006200520042003200254321
L
-+-+-++-+-+
【进门考】
1、在数列2，5，8，……，329中，一共有多少项？
2、在数列7，11，15，19，……中，203是第几项？
3、已知等差数列1，6，11，16，……，请问：第31项是多少？
4、 1+11+21+31+……+201
5、 7+11+15+……+207。