研究高考数学试题的几种视角
横看成岭侧成峰--一道高考题的多视角解法
横看成岭侧成峰--一道高考题的多视角解法潘益琪【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2015(000)015【总页数】2页(P35-36)【作者】潘益琪【作者单位】江苏省灌云高级中学【正文语种】中文2015年重庆高考文科第14题以无理函数最值为载体，融函数、等价化归等基本思想于一体，注重综合考查学生的观察、分析、猜想、推理论证等基本数学能力，对学生的思维能力提出了较高的要求，是一道具有潜在价值的好题.本文拟对此试题从多个视角作些探析，供读者参考.利用不等式求最值是不等式运用的一个重要方面，在用不等式求函数的最值时，往往需要配合一定的变形技巧，才可以把问题转化为求不等式的问题.解法1的核心是利用算数平均数不大于平方平均数；解法2的核心是利用几何平均数不大于算数平均数；解法3的核心是利用几何平均数不大于平方平均数.利用三角换元也是解决最值问题的常用手段，这启示我们在解题方法上不能墨守成规，应因地制宜选择最佳解题方法，培养思维的敏捷性和灵活性.视角三：几何视角解法5：由a+b=5，得三角形的三边长，如图1，设∠BAC=θ，应用正弦定理得灵活运用勾股定理的逆定理，构造直角三角形的三边，运用正弦定理求相应的范围.解法6：|OP|，即不难验证当且仅当x=y，即时取等号，所以根据式子结构特征“为数配形”，通过构造点到直线的距离的解析几何方法，体现出形与数的内在联系.解法7：线性规划法，由a+b=5，可得（a+1）+（b+3）=问题就转化成约束件为目标函数为z= x+y，如图2所示，可行域为线l0：x+y=0往上平移，直到与（相切时的P点就为最优解，容易求点的切线方程为通过换元，构造圆，利用圆与直线有公共点解题，揭示了代数问题的本质，本解法需要方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静.视角五：函数视角解法9：函数求导法，依题意，可设f（a）=√a+1+极大值，同时也取得最大值.所以通过代入消元转化为一元函数，再运用求导找出相应最值.尽管此题的导数解法与上述几种解法相比显得不简便，但作为“通法”，思路清晰，学生容易接受.视角六：方程视角解法10：令一元二次方程，要有实数解，则Δ=（-2t）2-4·2（t2-9）≥0，此种方法采用消去其中一个元，同时引入一个元，然后用主元法，将其中一个视为主变量.视角七：数列视角解法11：令本解法可谓构思巧妙、奇特，视角新颖，悦从心涌.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，本题虽是一道填空小题，但题面精巧、背景清晰、内涵丰富，且入口较宽、解法灵活，耐人寻味.通过多角度的切入，多方位的探究，沟通了不等式、函数、方程、导数、三角、向量、数列、几何等知识的内在联系，使它们有机地、密切地配合起来，从而总结出解题规律，探求出解题方法.本题可以多方面地检测学生的基础知识、基本技能和基本数学思想的掌握情况，并能有效地考查学生思维的灵活性和敏捷性，是值得深究的一道好题.在平时教学中，经常与学生共享这类好题的思维探究和解法形成，对训练学生数学思维的广阔性、敏捷性、灵活性和深刻性是大有益处的.F。
高考数学三类情境下的试题评析及教学建议——以2020年高考数学试题为例
2021年第4期（下）中学数学研究45高考数学三类情境下的试题评析及教学建议——以2020年高考数学试题为例四川省成都市玉林中学（610041）刘太涛郑传远摘要2020年高考数学情境试题，素材新颖、背景公平、试题简洁、反映当下热点问题、导向意图明确、彰显数学的育人价值，本文将从三类情境视角，即现实情境、数学情境、科学情境评析2020年高考数学情景化试题，以期教师和学生积累解决情景化试题的经验.关键词高考数学;情境;试题;评析;建议1情境的认识情境是高考实现价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的综合考查的载体.2020年高考数学情境试题设计上遵循了真实性、公平性、一致性、简洁性的原则,取材上真实、贴近生活、富有浓厚的文化底蕴、反映当下热点问题、彰显了数学育人价值.2020年高考数学试题的命制依然是注重对学生数学学科核心素养的考查，而选择合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体.因此，情境是高考试题命制的核心要素，对测试学生信息提取能力，理论迁移能力,学生数学素养以及对数学教学引导等方面具有重要的应用价值.22020年高考数学情境试题评析2.1现实情境数学源于现实世界,数学是对现实世界中的数量关系和空间形式的抽象.离开现实世界，数学便失去了育人的价值,现实世界中的生产关系,社会活动等都可以为数学创造出丰富的题材，高考现实情境问题也更能让学生感受到真实，激发学生研究的兴趣，由现实世界到数学问题,本质上就是培养学生数学抽象和数学建模核心素养.例1（2020年全国新高考I卷第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的界面如图所示，O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC丄DG,垂足为C,tan/ODC= 5,BH//DG,EF=12cm,DE=2c m,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分面积为—•评析：本题以开展劳动实习，学生加工制作零件为情境,背景真实可信，取材贴近生活,充分彰显了立德树人的教育理念.学生加工制作零件旨在培养学生的劳动意识和劳动能力，引导学生关注劳动、尊重劳动、参加劳动、学会劳动，树立劳动光荣的思想.本题属于解三角形问题,求解过程培养了学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养,答案为5,2n+4cm.2同样,2020年全国II卷理科14题考查了当下宣传的垃圾分类的问题，旨在培养学生形成垃圾分类的意识，引导学生主动参与垃圾分类，共建文明城市.2.2数学情境2.2.1数学审美情境《普通高中数学课程标准＞（2017年版）指出：学会审美不仅可以陶冶情操，而且能够改善思维品质.数学以其图形的对称美,符号的简单美，理论的统一美,逻辑的和谐美，激发了学生对美的追求与向往.美育本就是让学生感受美、发现美、欣赏美，以美修身，以美促思的过程.例2（2020年全国II卷文科第3题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a i,a2,...,a i2.设1W i<j<k W12.若k-j=3且j-i=4,则称a i,a j,a k为原位大三和弦;若k—j=4且j—i=3,则称a i,a3,a k为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15评析：本题一出现,便引起了热议，音乐的要素一音高、音响、音色、节拍、乐音、等都与数学相关，特别是音的律制与数学的关系十分密切•该题以音乐为情境，引导学生更加理性的理解音乐，鉴赏音乐的美,提升有志于从事音乐事业学生的数学修养，增强理性思维能力.本题根据题意可知，原位大三和弦满足：k—j=3,j—i=4,.i=1,j=5,k=8;46中学数学研究2021年第4期(下)i=2,j=6,k=9;i=3,j=7,k=10;i=4,j=8,k= 11;i=5,j=9,k=12,原位小三和弦满足：k—j=4, j—i=3,.i=1,j=4,k=8;i=2,j=5,k=9;i= 3,j=6,k=10，i=4,j=7,k=11;i=5,j=8,k=12，故个数之和为10,故选C.该题对于有音乐经验的同学特别是学习过钢琴的同学,凭经验很容易选岀答案,进而提升了这类学生继续从事音乐事业的信心，对于没有音乐经验的同学，通过简单的分类讨论，也可以很容易选岀答案，该题也充分考查了学生数学阅读能力、信息提取能力、数学应用能力以及学生逻辑推理、数学原酸等核心素养.无独有偶,2020年全国I卷文理第3题考查的古代世界 建筑奇迹之一的埃及胡夫金字塔,形状可视为一个正四棱锥,全国II卷理科第4题考查的古代祭天的场所北京天坛的圜丘坛，这些建筑艺术体现在数学上的对称美,进一步提升了学生感受美,发现美，欣赏美的审美情趣，这也对引导教师将 美育融入数学课堂有积极意义.2.2.2数学史情境《新课标》指岀，数学承载思想和文化，是人类文明的重要组成部分.让学生了解中国古代数学成就,能够增强学生的民族自豪感与民族自信心，激发爱国情感,真正落实立德树人的根本任务.例3(2020年全国新高考I卷第4题)日晷是中国古代用来测量时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的维度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一 个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的维度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°评析：日晷的早期历史尚不清楚，最早的可靠记载是《隋书•天文志》中提到的袁充于隋开皇十四年(594)发明的短影平仪(即地平日晷).该题通过介绍日晷,对学生进行数学文化教育和爱国主义教育，进而增强民族自信心；该题考查学生将生活的实物图形通过信息提取还原成数学几何图形的思维过程,进而学生想图、画图、用图等空间想象能力解决问题，发展了学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.2.2.3数学问题情境数学问题情境主要是以数学知识为载体，考查学生的“四基”、“四能”.例4(2020年全国m卷理科第16题)关于函数f(x)=sin x+^^有如下四个命题:sin x①f(x)的图像关于y轴对称.①f(x)的图像关于原点对称.①f(x)的图像关于直线x=—对称.①f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是—.评析：本题属于准多选题，以三角函数为背景，但又不同于平时练习的三角函数题型，该题以类似“双勾函数”的类型构造，情境新颖，首先明确函数定义域为{x|x=kn,k e Z},关于原点对称，这也是多数学生会忽略的，其次寻找f(x)与f(-x)之间的关系就可以很容易判断是该函数为奇函数，故命题①正确，对于命题①，划归到函数关于某条直线对称的本质上，即验证f (—+x)是否等于f(2-x)，便可明确命题①正确与否，通过验证，命题①是正确的；对于命题①,学生很容易联想到基本不等式,直接运用基本不等式认为命题①是正确的，这是很多学生容易岀现的错误，对于基本不等式使用的原则是“一正二定三相等”，当-n<x<0时,sin x<0,此时f(x)=sin x+<0<2,故正确的命题sin x只有①2①3.该题设计背景新颖，考查函数定义域、奇偶性、对称性的本质以及基本不等式的使用条件等非常到位,问题解决过程中考查了数形结合思想，划归思想，培养了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.2.3科学情境自然科学的发展依赖于数学.而数学的发展又推动自然科学的发展，数学的发展也有赖于自然科学给数学提岀的新问题和新挑战.数学已经渗透到各门学科,如物理、化学、生物学、经济学、流行病学、信息学等学科.因此,创设恰当的科学情境，有利于加强各学科之间的联系，提升学生的核心素养.2.3.1信息技术情境随着时代的发展，计算机已经普及，国家正进入信息化时代，数学为信息技术的发展提供了强有力的支持,信息技术又促进了数学的进一步发展.例5(2020年全国II卷理科第12题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2...a”...满足a-t e{0,1}(i=1,2,...),且存在正整2021年第4期(下)中学数学研究47数m ,使得a i +m = g(i = 1,2,...)成立，则称其为0 — 1 周期序列，并满足a i+m = a i (i = 1,2,...)的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0 - 1序列1 ma i a 2 , ... , a n . . ., C (k ) =a i a i+k (k = 1 ? 2, . . . m — 1)m i=i是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0 - 1的序列中, 满足 C (k ) W 1(k = 1,2, 3, 4)的序列是()5A. 11010 ...B. 11011 ...C. 10001...D. 11001...评析：该题以信息技术为情境，信息量大，对学生数学阅读能力以及信息提取能力的要求高，通过对该 题题干的分析，结合选项，很容易验证A 选项：C (2)=12-x (0+ 1 + 0 + 1+ 0)=三,故A 选项不符合题意;B 选项 5513C (1) = - x (1+0 + 0 + 1 + 1)=-,故 B 选项不符合题5512意;D 选项：C (1) = - x (1 + 0 + 0 + 0 + 1)=三,故 D 选项55不符合题意，故选C.通过该题求解过程的分析，解决问题的过程比较简单，难点依然是信息的提取与整合，问题解决过 程中重点发展了学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养，是一道很好的题目2.3.2生物情境生物实验情境，将数学与生物学联系起来，具有启发学 生思考和联系数学知识在生物中的广泛应用的作用例6 (2020年全80% J ...国I 卷理科第5题)/率・某校一个课外学习小组为研究某作物 » ———L种子的发芽率y 和温度x (单位：。
研究高考试题的视角与案例
研究高考试题的视角与案例作者：严豪东刘成龙钟梦圆来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第02期[摘要] 文章提出了研究高考試题的八个视角：试题评析、分布、立意、背景、解法、变式、推广和优化，并以2019年高考数学全国卷Ⅰ理科试题为例进行了说明.[关键词] 高考试题;视角;案例高考涉及千家万户的利益和万千学子的梦想. 因此，高考一直是人们讨论的热门话题. 如何应对高考是一线教师关注和思考的焦点问题. 为解决这一问题，首要任务是认识到试题是选拔学生的载体，是构成高考试卷的单元. 于是，对高考的研究要转移到研究试题上来.[1]如何研究试题呢？首先应明确研究的视角. 在结合高考命题实际、综合研究因素的情形下，结合具体案例，我们提出了研究试题的8个视角：试题评析、分布、立意、背景、解法、变式、推广和优化.文中以2019年高考数学全国卷Ⅰ（下文简称全国卷Ⅰ）理科试卷为例进行说明.试题评析试题评析即试题评价与分析.对试题评析有利于整体把握高考命题动态、感受高考命题原则，领会高考命题精神. 全国卷Ⅰ理科试卷严格按照《考试说明》以及《课程标准》命制，继续贯彻“有利于高校选拔人才、有利于中学素质教育”的指导思想[2]，始终坚持稳中求变、稳中创新、立足基础、突出能力、渗透文化、考查素养的命题原则. 具体来讲，第10、11题以三角函数、圆锥曲线、向量为载体，考查问题解决的通法通解;第12、16题着重考查逻辑推理、阅读等数学能力;第18题解答入口宽，考查学生的空间想象与数学运算核心素养;等等. 通过分析，不难领悟全国卷Ⅰ所传达的明确信号：重视教材、扎实基础、关注通法、注重能力、落实素养和发展创新意识.试题分布试题分布即试题的分配与布局.包括内容、分值、难度等的分配与布局.研究试题的分布有利于认识试题考什么、怎么考、考到什么程度. 对试题分布的研究需要结合题序、分值、内容、难度这四个要素展开. 下面先给出2019年全国卷Ⅰ试题分析，再结合2017、2018年全国卷Ⅰ分析试题分布.1. 试题分布（见表1、表2）2. 信息分析比较2017、2018年试题，2019年试题在题型、题量上保持不变，但考点与考查形式略有改动，难度要求上有所变化.（1）复数、集合、数列、向量板块考查难度不变，分值占比不变.（2）概率统计、函数与导数、解析几何占全卷分值比不变，难度有变化.具体来讲，解析几何解答题仍在19题呈现，中等难度，但由两道较易选择题减为一道，增加了一道填空压轴题，总体难度上升;函数与导数板块，仍有两道较易选择题，解答题部分由压轴题变为中难度试题，总体难度下降;概率与统计板块由两道较易选择题降为一道，增加一道中难度填空题，解答题上升为压轴题，难度总体上升.（3）立体几何与三角函数板块全卷分值占比对调，难度基本不变.（4）出现创新应用性试题.试题立意试题立意即试题的主题思想. 试题立意是命题者命题意图的集中体现，是命题思维过程的开端.命题者基于考查意图，选择适当的考查内容、拟定恰当的考查形式、设置合理的数学问题.试题立意的角度很多，比如：考查“双基”;考查数学思想方法;考查数学能力;考查新课程理念;考查数学文化;考查核心素养;等等. 高考命题立意先后经历了“双基”立意、能力立意、学科素养立意等过程，立意的变化体现了命题指导思想的优化.把握试题立意不仅是透过题目表象看本质的过程，更是再现命题者思维智慧的过程[1]. 全国卷Ⅰ理数中很多试题立意深刻，独具匠心.例1：（全国卷Ⅰ理数第19题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C 的交点为A，B，与x轴的交点为P.（Ⅰ）若AF+BF=4，求l的方程.（Ⅱ）若=3，求AB.立意分析：（1）以知识立意：本例考查抛物线定义、韦达定理等基础知识;（2）以思想方法立意：本例考查点差法、设而不求等基本方法，考查了数形结合思想、函数与方程思想和化归与转化思想等;（3）以核心素养立意：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[3]. 例1考查了逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.试题背景试题的背景即试题中所隐含的知识、模型、结论和思想方法等素材[1]. 研究试题的背景，有利于把握试题本质、剖析试题内涵、拓展试题解法. 常见的试题背景有教材背景、数学史背景、高等数学背景、研究成果背景等. 全国卷Ⅰ试题具有丰富的背景.例2：（全国卷Ⅰ理数第10题）已知椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点. 若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（）A. +y2=1B. +=1C. +=1D. +=1注：例2含有研究成果背景——椭圆焦点弦定点分比结论：过椭圆焦点F且倾斜角为θ的直线交椭圆+=1（a>b>0）于A，B两点，AB为椭圆的焦点弦，则称焦点分的比叫做椭圆焦点弦的定点分比，且=.[4]试题解法从系统论来看，一个数学问题就是一个相对独立的系统，对系统的处理（解题）就是把系统中一个个零散的信息按照一定顺序串在一起形成一个有机整体. 一题多解是解法研究的基本形式，体现的是信息组合的多样性和思维策略的灵活性[5]. 全国卷Ⅰ中很多试题解答视角宽，是解法研究的良好素材.试题变式变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而事物的本质属性保持不变的变化方式. 变式能有效控制题海战术，帮助学生形成良好的认知结构.例5：（2019全国卷Ⅰ理数第16题）双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点. 若=，·=0，则C的离心率为__________.视角1：变试题求解目标变式1：双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1（-1，0）的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点.若=，·=0，则双曲线方程为__________.视角2：变试题条件变式2：双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，坐标原点为O，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点. 若=，OA∥F2B，则C的离心率为__________.视角3：变试题背景及条件变式3：椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线l1与过右焦点F2的直线l2交于B点. A为l1上的一点，若=，·=0，F1F2=2F2B，则C的离心率为__________.视角4：变试题内涵及条件变式4：双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线l1与双曲线两支分别交于A，B两点. 若3=，·=0，则C的离心率为__________.试题优化试题命制是一个严肃而充满创造的系统工程. 命题既要关注知识、能力、素养的考查，又要注重合适的难度、有效的信度和适当的区分度的设置，更要关注试题的严谨性. 严谨性是数学的基本特征，它要求数学试题内容科学、表述准确、条件相容、问题明确等等[6]. 尽管高考試题经过无数次打磨，但遗憾的是个别高考试题存在瑕疵. 面对这些瑕疵，我们在包容的同时，更应具有反思的行动和优化的策略，以此督促命题工作的完善.例6：（2019全国卷Ⅰ理数第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也为黄金分割比. 若某人满足上述两个黄金分割比，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A. 165cmB. 175cmC. 185cmD. 190cm此题存在着命题内容上的缺陷，便于说明，这里先看一个网红解法：首先，维纳斯是女性，排除C，D;其次，东方女性理想身高是165，西方女性是175，维纳斯是外国人，排除A，选B.网红解法从常识的角度得到了试题正确的答案. 歪打正着背后，实质上是命题上的重大失误所致. 华南师大何小亚教授指出：“由于此题存在着命题内容上的缺陷，加上26、105、165、175、185、 190这几个关键数据设置技术的不到位，此题很难考出命题者想考的东西.”因此，我们有必要对试题进行优化：将选项改为：A. 171cmB. 173cmC. 175cmD. 178cm评注：数学是讲理的.数据优化后可以很好地考查学生的运算素养、模型素养、推理能力和数据分析能力，能有效抑制歪打正着.参考文献：[1] 刘成龙，余小芬. 研究高考试题的视角与案例[M]. 成都：四川大学出版社，2018.[2] 朱恒元. 聚焦核心素养打造优质课堂——2018年全国各地高考数学试卷的特点及启示[J]. 中国数学教育，2018（Z4）.[3] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.[4] 顾日新. 圆锥曲线焦点分弦的一个统一结论[J]. 中学数学研究，2009（09）.[5] 郑云升，向婉诗，刘成龙. 《怎样解题表》指导下的解题实践——以2012年成都中考第24题为例[J].数学教学通讯，2017（05）.[6] 钟梦圆，刘成龙，董万平. 一道条件相互矛盾的中考试题[J]. 中学数学，2019（18）.。
2023年全国高考乙卷理科第20题的解法探究与拓展
圆锥曲线中的定点、定值问题一直是高考热点问题.本文以2023年全国高考乙卷理科第20题的第二问为例，多角度探究求解，有利于学生系统掌握解题方法、拓宽视野和全面提升解题能力.1真题呈现题目：（2023年全国乙卷理科第20题）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1()a >b >0的离心率为，点A ()-2,0在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()-2,3的直线交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.此题以椭圆为载体，背景是高等几何中的极点、极线模型，以极点、极线为背景的问题一直是高考中的常青树.试题新颖别致，立意高远而厚重，构思独具匠心，突出关键能力考查，体现了高考试题从能力立意到素养导向的功能.试题解法十分灵活，解题入口宽，深入难，区分度较高，凸显了高考试题的选拔性，是一道有丰厚内涵的经典试题.［1］2多维视角，解法探究（1）解析：由椭圆中a ,b ,c 的关系易得椭圆方程为y 29+x 24=1（略）.（2）多维视角的解法探究思维视角一：联立方程，设而不求解法1：普通方程法由题意可知直线PQ 的斜率存在，设P ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,PQ :y =k ()x +2+3，联立方程ìíîïïy =k ()x +2+3y 29+x 24=1，消去y 得()4k 2+9x 2+8k (2k +3)x +16()k 2+3k =0，由Δ>0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k ()2k +34k 2+9,x 1x 2=16()k 2+3k 4k 2+9.因为A ()-2,0，则直线AP :y =y 1x 1+2(x +2),令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M æèçöø÷0,2y 1x 1+2，同理可得N æèçöø÷0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=2023年全国高考乙卷理科第20题的解法探究与拓展宁夏六盘山高级中学陈熙春李小刚750002摘要：借“题”发挥,从六种思维视角切入，多角度地对2023年高考乙卷理科第20题进行探究,旨在通过一题多解、寻根溯源、拓展延伸,深入挖掘试题背后隐藏的“秘密”,剖析此类问题的本质,归纳解题策略,提炼数学思想,实现从“一道题”到“一类题”质的飞跃.关键词：定点；解法探究；拓展··5[]k ()x 1+2+3x 1+2+[]k ()x2+2+3x 2+2=[]kx 1+()2k +3()x2+2+[]kx 2+()2k +3()x 1+2()x 1+2()x 2+2=2kx 1x 2+()4k +3()x 1+x 2+4()2k +3x 1x 2+2()x 1+x 2+4=32k ()k 2+3k 4k 2+9-8k ()4k +3()2k +34k 2+9+4()2k +316()k 2+3k 4k 2+9-16k ()2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点为定点()0,3.评析：解析几何中的定点问题，实质是定值问题，即求线段PQ 的中点纵坐标为定值.通过设点、设线，借助点的坐标，再结合根与系数的关系验证y M +yN 2为定值即可.求定点、定值问题常见的方法有两种，一种是从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上；另一种是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解法2：整体代换法设P ()x 1,y 1,Q ()x 2,y 2,B ()-2,3，M ()0,y M ,N ()0,y N ,直线PQ 的方程为y =k ()x +2+3，联立ìíîïïy =k ()x +2+3y 29+x 24=1，整理得()4k 2+9(x +2)2+()24k -36(x +2)+36=0，由根与系数的关系得(x 1+2)+(x 2+2)=36-24k 4k 2+9,(x 1+2)(x 2+2)=364k 2+9,因为A ()-2,0，则直线AP :y =y 1x 1+2·()x +2，令x =0，解得y M =2y 1x 1+2，同理可得y N =2y 2x 2+2，所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k +3(x 1+2+x 2+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k +3(36-24k 4k 2+9)364k 2+9=3,所以线段MN 的中点为定点()0,3.评析：利用整体的思想，通过构造出关于x +2的一元二次方程，得到斜率间的等量关系，把x +2看成整体以后，比解法1要简洁，运算量大大简化，这种整体代换的思想是处理解析几何繁琐运算的有效策略.思维视角二：构造齐次式解法3：构造+齐次化法设直线PQ 的方程为m ()x +2+ny =1，因为直线PQ 过点()-2,3，代入得n =13.因为点P ，Q 在椭圆C ：9x 2+4y 2=36上，变形为9[](x +2)-22+4y 2=36，即9(x +2)2-36(x +2)+4y 2=0，齐次化得9(x +2)2-36(x +2)[m (x +2)]+ny +4y 2=0，化简得4y 2-36ny (x +2)+(9-36m )(x +2)2=0，等式两边同除以()x +22构造斜率式得4(y x +2)y 2-36n yx +2+9-36m =0，把n =13代入得4(y x +2)y 2-12yx +2+9-36m =0，由根与系数的关系得k AQ +k AP =3.因为A ()-2,0，设直线AP 的方程为y =k AP (x+2)，令x =0得y M =2k AP ，同理可得y N =2k AQ .故线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点为定点()0,3.思维视角三：点差法解法4：点差法+三点共线设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，则有MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).因为点P ，Q 在椭圆C ：y 29+x 24=1上，变形为(x 1+2-2)24+y 219=1⇒··614+19æèçöø÷y 1x 1+22=1x 1+2①，同理可得14+19⋅æèçöø÷y 2x 2+22=1x 2+2②，①-②可得19æèçy 1x 1+2-öø÷y 2x 2+2æèçöø÷y 1x 1+2+y 2x 2+2=1x 1+2-1x 2+2③，又知B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，变形可得y 1x 1+2-y 2x 2+2=3x 1+2-3x 2+2④，将④代入③可得y 1x 1+2+y 2x 2+2=3，即k 1+k 2=3，从而可得线段MN 的中点是定点()0,3.评析：利用“点差法”的思想方法，通过设点、代点、作差构造出k AP ,k AQ 的表达式，便可轻松解决.解法5：点差法+斜率双用设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，易得MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).由于ìíî9x 21+4y 12=36①9×(-2)2=36②，①-②可得k 1=y 1x 1+2=-94x 1-2y 1.同理可得k 2=y 2x 2+2=-94x 2-2y 2,不妨设k 1+k 2=m .则m =y 1x 1+2-94x 2-2y 2，化简可得4y 1y 2-9x 1x 2+18x 1-18x 2+36=4my 2x 1+8my 2③，同理可得4y 1y 2-9x 1x 2+18x 2-18x 1+36=4my 1x 2+8my 1④，③-④可得9(x 1-x 2)=m (y 1x 2-y 2x 1)+2m (y 2-y 1)⑤，又知直线B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，化简可得9(x 1-x 2)=3(y 1x 2-y 2x 1)+6(y 2-y 1)⑥，⑤与⑥对比可得m =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：本题为“斜率和”问题，在解题中涉及到斜率和问题时的解题规律为，第一步，写出原式；第二步，交叉使用；第三步，化整做差；第四步，对照两点式.这种方法同样可以解决“斜率积”问题.解法6：定比点差法设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，又设PB =λBQ ，所以有-2-x 1=λ(x 2+2)，3-y 1=λ(y 2-3).变形得-2-2λ=λx 2+x 1，3+3λ=λy 2+y 1①.因为点P ，Q 在椭圆C ：y 29+x 24=1上，所以有ìíîïïïïy 129+x 124=1(λy 2)29+(λx 2)24=λ2，两式作差得(y 1-λy 2)(y 1+λy 2)9+(x 1+λx 2)(x 1-λx 2)4=(1-λ)·(1+λ).把①式代入得y 1-λy 23-x 1-λx 22=1-λ.再由①式把λx 2，λy 2消去得2y13-x 1=3+λ②，又因为k AP =y 1x 1+2，把②式代入消去x 1得k AP =3y 12y 1-3-3λ.又因为k AQ =y 2x 2+2把①、②式代入得k AQ =-3+3λ-y 1x 1+2=-3(3+3λ-y 1)2y 1-3-3λ.所以k AP +k AQ =3y 12y 1-3-3λ-3(3+3λ-y 1)2y 1-3-3λ=3.即线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：定比点差法的一般变形公式，椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），点A (x 1 , y 1)，B (x 2, y 2)是椭圆上的点，且 AP =λ PB ，P (x 0 , y 0)，··7则ìíîïïïïλx 2=x 0(1+λ)-x 1λy 2=y 0(1+λ)-y 12(x 0x 1a2+y 0y 1b 2-1)=(x 20a 2+y 20b 2-1)⋅(1+λ)点A (x 1,y 1)、B (x 2 ,y 2)的坐标都可以用只含有x 1（或y 1）的式子表示出来.思维视角四：借梯登高思维解法7：参数方程法设直线PQ 的参数方程为{x =-2+t cos αy =3+t sin α(t 为参数），（其中α为直线PQ 的倾斜角）.代入椭圆方程y 29+x 24=1，化简可得(4+5cos 2α)t 2+12(2sin α-3cos α)t +36=0，设P 、Q 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=12(3cos α-2sin α)4+5cos 2α,t 1⋅t 2=364+5cos 2α.又因为P (-2+t 1cos α,3+t 1sin α)，Q (-2+t 2cos α,3+t 2sin α).又因为直线AP 的方程为y =3+t 1sin αt 1cos α()x +2，令x =0得y M =2(3+t 1sin α)t 1cos α，同理可得y N =2(3+t 2sin α)t 2cos α.故线段MN 的中点的纵坐标为y M +yN 2=3+t 1sin αt 1cos α+3+t 2sin αt 2cos α=3(t 1+t 2)t 1t 2cos α+2sin αcos α==3(3cos α-2sin α)3cos α+2sin αcos α=3.所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：充分利用直线分别与椭圆相交这一几何条件，利用参数方程实现了几何问题代数化，体现了解析几何的基本思想——“数形结合”，有效地减少了运算量，应用参数方程法是破解此类问题的一个有效策略.解法8：三角代换法因为cos θ=cos 2θ2-sin 2θ2cos 2θ2+sin 2θ2,sin θ=2sin θ2cos θ2cos 2θ2+sin 2θ2，令t =tan θ2，故cos θ=1-t 21+t 2,sin θ=2t 1+t 2，于是设椭圆的参数方程为ìíîïïïïx =2(1-t 2)1+t 2y =6t 1+t 2（t 为参数）.设B (-2,3),P ,Q 对应的参数分别为t 1,t 2，由B ,P ,Q 三点共线可得6t 11+t 21-32(1-t 21)1+t 21+2=6t 21+t 22-32(1-t 22)1+t 22+2，化简得t 1+t 2=2.又知k AP =6t 11+t 212(1-t 21)1+t 21+2=3t 12，同理k AQ =3t 22，所以k AP +k AQ =32(t 1+t 2)=3.又因为A ()-2,0，设直线AP 的方程为y =k AP ()x +2，令x =0得y M =2k AP ，同理可得y N =2k AQ .故线段MN的中点的纵坐标为y M +y N 2=2k AP +2k AQ2=k AP +k AQ =3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：引入椭圆的参数方程，巧妙地实现了几何问题与三角函数的精彩联袂，解题方向清晰明了.当然也可以设P æèççöø÷÷2()1-t 121+t 12,6t 11+t 12,Q æèççöø÷÷2()1-t 221+t 22,6t 21+t 22，进而得到直线PQ 的方程为2(t 1+t 2)y -3(t 1t 2-1)x=6(1+t 1t 2),代入点B ()-2,3得到t 1+t 2=2.解法9：定比插参法设点B (-2,3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，则有MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).因为B ,P ,Q 三点共线可··8得y 1-3x 1+2=y 2-3x 2+2，变形得y 1-3y 2-3=x 1+2x 2+2=λ,故可得{y 1=λy 2+3(1-λ)x 1=λx 2+2(λ-1)，代入椭圆方程y29+x 24=1化简可得1λ=3+x 2-23y 2.又因为k 1+k 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=λy 2+3(1-λ)λx 2+2λ+y 2x 2+2=1x 2+2æèöø2y 2+3λ-3.把1λ=3+x 2-23y 2代入并化简可得k 1+k 2=1x 2+2æèöø2y 2+3λ-3=3，从而可得线段MN 的中点是定点()0,3.评析：解决此题的难点在于如何“设参”，焦点在于如何“用参”，重点在于如何“消参”，设参、用参、消参是解圆锥曲线问题的基本方法.因此定值问题的解题思路是：设参数→用参数来表示要求定值的式子→消参数.思维视角五：同构法解法10：同构法1设直线AP :x =m 1y -2,AQ :x =m 2y -2,PQ :x =m 0y +n .直线AP ,PQ 联立可得ìíîïïïïx =m 1n +2m 0m 1-m 0y =2+n m 1-m 0，代入椭圆方程得(9n 2-36)m 21+(72m 0+36m 0n )m 1+4(2+n )2=0,同理可得(9n 2-36)m 22+(72m 0+36m 0n )m 2+4(2+n )2=0.从而m 1,m 2为方程(9n 2-36)m 2+(72m 0+36m 0n )·m +4(2+n )2=0的两根，又由直线PQ 过点()-2,3，代入得n =-2-3m 0,代入上式得(81m 20+108m 0)m 2-108m 20m +36m 20=0.设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,故MN 的中点坐标为(0,k 1+k 2).k 1+k 2=1m 1+1m 2=3.故MN 的中点是定点()0,3.评析：同构是一种常见的思想方法，是映衬着数学的对称和谐之美的数学方法，是“同理可得”的理论基础，是函数与方程思想的代名词与具体体现.在解题中灵活利用同构式，可以起到化繁为简的作用.解法11：同构法2设直线AP 的方程为y =k ()x +2，联立ìíîïïy =k ()x +2y 29+x 24=1，消去y 得()4k 2+9x 2+16k 2x +16k 2-36=0，当Δ>0时，由根与系数的关系得x A x P =16k 2-364k 2+9，又由x A =-2得到x P =-8k 2+184k 2+9，故P (-8k 2+184k 2+9,36k 4k 2+9).设直线PQ :y =m (x +2)+3,把点P 的坐标代入并化简可得12k 2-36k +36m +27=0.同理设直线AQ 的斜率为k 1,同理可得12k 12-36k 1+36m +27=0.所以k ,k 1是二次方程12x 2-36x +36m +27=0的两根，k +k 1=3,下同解法3.［2］评析：利用同构思想解题相当于寻找斜率满足的二次方程，可以收到事半功倍的效果.本题中方程有一个根是-2，利用根与系数的关系求出另一个根，减少了计算量.思维视角六：营造对称，方便计算解法12：构造对偶式法设点B (-2,3),P (x 1-2,y 1),Q (x 2-2,y 2)，因为B ,P ,Q 三点共线可得y 1-3x 1=y 2-3x 2，变形可得y 1x 2-y 2x 1=3(x 2-x 1).构造对偶式y 1x 2+y 2x 1=(y 1x 2)2-(y 2x 1)2y 1x 2-y 2x 1=x 22(9x 1-94x 12)-x 12(9x 2-94x 22)3(x 2-x 1)=3x 1x 2.因为直线AP 的方程为y =y1x 1()x +2，令x =0得y M =2y 1x 1，同理可得y N =2y 2x 2.故线段MN 的··9中点的纵坐标为y M +y N2=y 1x 1+y 2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=3，所以线段MN 的中点是定点()0,3.评析：构造对偶式重在“构造”，在运用时要对已知等式进行整体观察，利用代数式的对称性，设法构造有利于计算的代数式，使问题简捷获解.对偶式主要是用于化简、转化定点、定直线的坐标表示，构造对偶式法在解题中具有广泛性、灵活性和简洁性的特点.3探究与拓展探究1：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，过点R ()-a ,b 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为上顶点B ()0,b .证明：设直线AP 的方程为y =k (x +a ),联立ìíîïïy =k ()x +a x 2a 2+y 2b2=1，消去y 得()a 2k 2+b 2x 2+2a 3k 2x +a 4k 2-a 2b 2=0，当Δ>0时，由根与系数的关系得x A x P =a 4k 2-a 2b 2a 2k 2+b 2，又由x A =-a 得到x P =ab 2-a 3k 2a 2k 2+b 2，故P (ab 2-a 3k 2a 2k 2+b 2,2ab 2k a 2k 2+b2).设直线PQ :y =m (x +a )+b ,把点P 的坐标代入并化简可得a 2bk 2-2ab 2k +2ab 2m +b 3=0.设直线AQ 的斜率为k 1,同理可得a 2bk 12-2ab 2k 1+2ab 2m +b 3=0.所以k ,k 1是二次方程a 2bx 2-2ab 2x +2ab 2m +b 3=0的两根，k +k 1=2b a.设直线AP 的方程为y =k ()x +a ，令x =0得y M =ka ，同理可得y N =k 1a .故线段MN 的中点的纵坐标为y M +y N 2=ka +k 1a2=2b a ⋅a 2=b ，所以线段MN 的中点是上顶点B ()0,b .由此可见，2023年全国高考乙卷理科第20题是本结论的特殊情况.探究2：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，过点R ()-a ,b 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线BP ,BQ 与x 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为左顶点A ()-a ,0.证明过程与探究1类似.探究3：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0，左顶点为A ()-a ,0，上顶点为B ()0,b ，点R 是直线x =-a 上的任意一点，过点R 作椭圆C 的两条切线，分别交椭圆C 于A ，B 两点，过点R 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，直线AB ，AP ，AQ 的斜率分别为k ,k 1,k 2.证明：k 1+k 2=2k .简证：设R ()-a ,m ，则AB 是R 的切点弦所在的直线，故直线AB 的方程为-ax a 2+my b 2=1，所以k =b 2ma .后面证明过程与探究1的方法类似，得到k 1+k 2=2b 2am.故有k 1+k 2=2k .4往年高考试题链接变式1：如图1，过点P 作y 轴的平行线，分别与AE ，AQ ，交于点T ，H ，满足 PT =TH .证明：直线HQ 过定点.便得到2022年全国乙卷理科第20题的模型.变式2：过点P 作x 轴的垂线，分别EBPTHA N Q -22图1xy(下转第13页)O ··10cos (B +π4)=3sin A -cos(π-A )=3sin A+cos A =2sin (A +π6).于是0<A <3π4,故π6<A +π6<11π12，从而当A +π6=π2,即A =π3时，2sin (A +π6)取得最大值2.综上所述，3sin A -cos(B +π4)的最大值为2，此时A =π3,B =5π12.点评：本题主要考查三角函数的基本公式、解斜三角形的基础知识和基本运算能力.高考中有关三角函数求值问题，一方面考查纯三角函数求值；另一方面就是结合三角形考查求角以及求三角函数值；再就是在知识交汇点出题，三角函数的最值与三角形的结合.通过对以上几例的解析，希望对同学们学好、用活这部分知识有所帮助.与AE ，AQ 交于点T ，H .证明：T 为线段PH 的中点．试题链接：（2022年全国乙卷理科第20题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A ()0,-2,B æèöø32,-1两点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点P ()1,-2的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足 MT =TH .证明：直线HN 过定点．不难发现，2023年全国高考乙卷理科第20题的第二问与2022年全国乙卷理科第20题极其相似，可以看作“姊妹题”.5解题感悟圆锥曲线中的定值、定点问题淋漓尽致地体现了“几何”与“代数”的深度融合，“动态”与“静态”的和谐统一.定点、定值问题都是探求“变中有不变的量”.因此要注意挖掘问题中各个量之间的相互关系，恰当地运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法.该类问题综合性强，方法灵活，在解题过程中，既有探索性的历程，又有严密的逻辑推理及复杂的运算，成为考查学生数学核心素养的一道亮丽的风景线.文中的解法各有千秋，展示了各种解法的思维轨迹，凸显了思维的灵活性.从深度和广度上做文章，进行了系统性探究、整合、推广，实现了从“一道题”到“一类题”质的飞跃，进而提升学生的核心素养.参考文献［1］陈熙春.2022年全国高考乙卷第20题的解法探究与拓展［J ］.理科考试研究，2022（11）：16-20.［2］陈熙春.2021年全国新高考I 卷第21题的解法探究与拓展［J ］.数理化学习，2022（3）：8-13.基金项目：宁夏教育科学规划“基础教育质量提升行动”专项课题“公费师范生教师队伍建设实践研究—以宁夏六盘山高级中学为例”（编号：NXJKG22174）成果.(上接第10页)··13。
研究高考数学试题的五种视角——以2013年高考数学江苏卷第17题为例
培 养学 生 的数 学 探 究 意 识 ， 为 他 们 终 身 学 习 奠 定 基
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向， 试题 考 查的深 度 与广度也 不 易被 发 掘 ， 久 而久 之 ，
圆 Ｃ作 切线 ， 主要 考查 求 圆的标 准方程 和求 切线 方 程 的两种方 法 ， 即代数 法 与几何 法 的熟 练 程度 ． 第（ Ｉ Ｉ ） 问主要 考查 “ 两动 一定 ” ． 即半 径 为 １的动 圆上有 动 点 Ｍ ， 满 足 到两 定 点 Ａ、 ０ 距 离之 比为 定 值
法 的掌握 程度 ． 能力 立意 首先 是确 定试 题 在 能力 方 面
考查 的 目的 ， 然 后 对 照 能 力要 求 ， 选 择 重 点 的考 查 内
容， 设计恰 当的设 问方 式． 能 力立 意 的试 题 是 以 基 础 知识 、 基本 技 能和 主 要 数 学 思 想 方 法 为 载体 ， 去 践 行 考试 的 目的．
（ Ｉ） 若 圆心 Ｃ也 在 直线 —ｚ
一
一
１上 ， 过 点 Ａ 作 圆 ｃ 的切 线 ， 求
图１
切 线 的方 程 ；
（ Ｉ Ｉ ） 若 圆 ｃ上 存 在点 Ｍ ， 使 ＭＡ一 ２ ＭＯ， 求 圆 心
Ｃ的横 坐标 ｎ的取值 范 围．
和示 范性 ， 从 不 同角 度 对 问 题 进 行 分 析 探 究 ． 获 得 不 同解 法 的启迪 ． 这 既 能 培 养 学 生 的 学 习 兴趣 ， 又 能 培
多视角探究2022_年全国高考甲卷理数第20_题
多视角探究２０２２年全国高考甲卷理数第２０题贺凤梅１㊀李昌成２(１.新疆伊犁巩留县高级中学ꎬ新疆伊犁８３５４００ꎻ２.新疆乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)摘㊀要:蝴蝶定理是平面几何中的一个经典问题ꎬ其意境优美ꎬ结论简洁ꎬ蕴理深刻.在２００３年高考北京卷㊁２００８年高考江西卷㊁２０１０年江苏卷中均出现了以其为背景命制的高考题[１].２０２２年全国甲卷理科圆锥曲线压轴题是在抛物线中以蝴蝶定理为背景的试题.文章通过对其深入研究ꎬ弄清其问题本质.关键词:圆锥曲线ꎻ蝴蝶定理ꎻ研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０００２－０４收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:贺凤梅(１９７９－)ꎬ女ꎬ湖北省随州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀题目㊀(２０２２年全国高考甲卷理科数学第２０题)设抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ点Ｄ(ｐꎬ０)ꎬ过点Ｆ的直线交Ｃ于ＭꎬＮ两点ꎬ当直线ＭＤ垂直于ｘ轴时ꎬＭＦ＝３.(１)求Ｃ的方程ꎻ(２)设直线ＭＤꎬＮＤ与Ｃ的另一个交点分别为ＡꎬＢꎬ记直线ＭＮꎬＡＢ的倾斜角分别为αꎬβꎬ当α－β取得最大值时ꎬ求直线ＡＢ的方程.１总体分析本题是２０２２年全国甲卷理科数学第２０题ꎬ是本卷压轴题之一ꎬ第(２)问是蝴蝶定理背景下的直线与抛物线的综合题.试题命题立意新颖ꎬ低起点㊁入口宽ꎬ适合多视角探究解答.试题能充分考查学生的运算能力㊁转化与化归的能力ꎬ属于难题.笔者针对此题ꎬ拟从不同的角度进行分析解答ꎬ不断优化解题思路ꎬ揭示问题的本质ꎬ先分享于此ꎬ以飨读者.２试题解答２.１第(１)问解析解析㊀Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ则Ｆ(ｐ２ꎬ０)ꎬＭＤʅｘ轴时ꎬｘＭ＝ｐꎬ由抛物线的定义ꎬ得ＭＦ＝ｘＭ＋ｐ２＝３２ｐ＝３ꎬ解得ｐ＝２ꎬ所以Ｃ:ｙ２＝４ｘ.当直线ＭＮʅｘ轴时ꎬ由对称性知ＡＢʅｘ轴ꎬ此时α＝β＝π２ꎬ所以α－β＝０.２.２第(２)问解析解法１㊀(线参法)由题设ꎬ直线ＭＮ斜率存在ꎬ且不为０ꎬ设直线ＭＮ:ｘ＝ｍｙ＋１(ｍʂ０)ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ联立ｘ＝ｍｙ＋１ꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４ｍｙ－４＝０.由根与系数的关系ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４.①设ＭＤ:ｘ＝ｎｙ＋２ꎬＡ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＢ(ｘ４ꎬｙ４)ꎬ联立ｘ＝ｎｙ＋２ꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４ｎｙ－８＝０.由根与系数的关系ꎬ得ｙ１＋ｙ３＝４ｎꎬｙ１ｙ３＝－８.所以ｙ３＝－８ｙ１.同理可得ｙ４＝－８ｙ２.由斜率公式ｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｘ４－ｘ３ꎬ而ｙ２３＝４ｘ３ꎬｙ２４＝４ｘ４ꎬ代入整理得ｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｙ２４/４－ｙ２３/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４(－８/ｙ１)＋(－８/ｙ２)＝４ｙ１ｙ２－８(ｙ１＋ｙ２)＝２ｙ１＋ｙ２＝１２ｍ.所以ｋＭＮ＝１ｍ＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝１２ｍ＝ｔａｎβ.所以ｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝１/ｍ－１/２ｍ１＋(１/ｍ) (１/２ｍ)＝１２ｍ＋１/ｍ.当ｍ>０时ꎬ２ｍ＋１ｍȡ２２ｍ １ｍ＝２２ꎬ此时０<ｔａｎ(α－β)ɤ１２２＝２４ꎬ当且仅当２ｍ＝１ｍꎬ即ｍ＝２２时取等号ꎻ而当ｍ<０时ꎬα－β无法取得最大值.从而ｍ＝２２时满足题意ꎬ此时ｋＡＢ＝１２ｍ＝２２.所以直线ＡＢ方程为ｙ＝４ｙ３＋ｙ４(ｘ－ｙ２３４)＋ｙ３＝４ｙ３＋ｙ４ｘ＋ｙ３ｙ４ｙ３＋ｙ４＝１２ｍｘ－２ｍ＝２２ｘ－２２.即ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此问的显著特点是有很多的点和线ꎬ但仔细观察发现这些点和线相互关联ꎬ只需定好其中一个点ꎬ就可以很好地联系其他的点和线ꎬ容易寻求相同的结构ꎬ利用同一法求解ꎬ简化运算ꎬ解法１很好地诠释了这一思路和解答过程.解法２㊀(点参法)设Ｍ(ｙ２１４ꎬｙ１)ꎬＱ(ｙ２２４ꎬｙ２)ꎬＡ(ｙ２３４ꎬｙ３)ꎬＢ(ｙ２４４ꎬｙ４)ꎬＭꎬＤꎬＡ三点共线ꎬ则ｋＭＤ＝ｋＡＤꎬ且Ｄ(２ꎬ０).所以ｙ１ｙ２１/４－２＝ｙ２ｙ２２/４－２.整理ꎬ得ｙ１ｙ２３－８ｙ１＝ｙ２１ｙ３－８ｙ３.即(ｙ１－ｙ３)(ｙ１ｙ３＋８)＝０.显然ｙ１ʂｙ３.所以ｙ１ｙ３＝－８ꎬ即ｙ３＝－８ｙ１.因为ＮꎬＤꎬＢ三点共线ꎬ则ｋＮＤ＝ｋＢＤ.同理可求得ｙ２ｙ４＝－８ꎬ即ｙ４＝－８ｙ２.设直线ＭＮ的方程为ｘ＝ｍｙ＋１(ｍʂ０)ꎬ则ｔａｎα＝１ｍ＝ｙ１－ｙ２ｙ２１/４－ｙ２２/４＝４ｙ１＋ｙ２ꎬｋＡＢ＝ｙ４－ｙ３ｙ２４/４－ｙ２３/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４(－８/ｙ１)＋(－８/ｙ２)＝４ｙ１ｙ２－８(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１ｙ２２(ｙ１＋ｙ２).由解法１中①式可知ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４.所以ｋＭＮ＝１ｍ＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝１２ｍ＝ｔａｎβꎬｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝１/ｍ－１/２ｍ１/ｍ １/２ｍ＝１２ｍ＋１/ｍ.由解法１可知ꎬ当ｍ＝２２时ꎬ满足条件ꎬ此时ｋＡＢ＝２２.将ｍ＝２２代入ｙ２－４ｍｙ－４＝０ꎬ得ｙ２－２２ｙ－４＝０.由题设解得ｙ１＝６＋２ꎬｙ２＝－６＋２.所以ｙ３＝－８ｙ１＝－８６＋２＝２(２－６).从而ｘ３＝ｙ２３４＝４(２－６)２４＝８－４３.所以点Ａ(８－４３ꎬ２(２－６)).故直线ＡＢ方程为ｙ＝２２[ｘ－(８－４３)]＋２(２－６).即ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法的特点在于根据三点共线ꎬ斜率存在时ꎬ利用斜率相等找到点的纵坐标之间的内在联系ꎬ进而找到两直线ＭＮ与ＡＢ斜率之间的关系ꎬ借助于基本不等式ꎬ求出当α－β最大时ｋＡＢ的值ꎬ利用取等条件得出ｍ的值.进而求出ｙ１ꎬ导出ｙ３ꎬ再求出ｘ３ꎬ即得点Ａ的坐标ꎬ最后求出直线ＡＢ的方程.只要理清解题思路ꎬ加上适当的计算能力及技巧ꎬ解题可以顺利进行.解法３㊀(向量法)由前面的求解可知Ｆ(１ꎬ０)ꎬＤ(２ꎬ０)ꎬＭ(ｙ２１４ꎬｙ１)ꎬＮ(ｙ２２４ꎬｙ２)ꎬＡ(ｙ２３４ꎬｙ３)ꎬＢ(ｙ２４４ꎬｙ４).所以ＦＭң＝(ｙ２１４－１ꎬｙ１)ꎬＦＮң＝(ｙ２２４－１ꎬｙ２).因为ＦＭңʊＦＮңꎬ所以(ｙ２１４－１)ｙ２－(ｙ２２４－１)ｙ１＝０.化简整理ꎬ得(ｙ１－ｙ２)(ｙ１ｙ２＋４)＝０ꎬ且ｙ１ʂｙ２.所以ｙ１ｙ２＝－４.②由ＤＭңʊＤＡң易得(ｙ２１４－２)ｙ３－(ｙ２３４－１)ｙ１＝０.即(ｙ１－ｙ３)(ｙ１ｙ３＋８)＝０.因为ｙ１ʂｙ３ꎬ故ｙ１ｙ３＝－８.③同理ｙ２ｙ４＝－８.④由②③ꎬ得ｙ３＝２ｙ２ꎬ由②④ꎬ得ｙ４＝２ｙ１ꎬ所以ｋＭＮ＝ｙ１－ｙ２ｙ２１/４－ｙ２２/４＝４ｙ１＋ｙ２ꎬｋＡＢ＝ｙ３－ｙ４ｙ２３/４－ｙ２４/４＝４ｙ３＋ｙ４＝４２ｙ２＋２ｙ１＝２ｙ１＋ｙ２.所以ｋＭＮ＝２ｋＡＢꎬｔａｎα＝２ｔａｎβ.要使α－β最大ꎬ必有α>βꎬ且αꎬβ均为锐角ꎬ所以ｔａｎ(α－β)＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ＝ｔａｎβ１＋２ｔａｎ２β＝１２ｔａｎβ＋１/ｔａｎβɤ１２２.当２ｔａｎβ＝１ｔａｎβ(ｔａｎβ>０)ꎬ即ｔａｎβ＝２２时等号成立ꎬ此时ｔａｎ(α－β)取最大值ꎬ相应α－β最大ꎬ故ｋＡＢ＝２２.设直线ＡＢ:ｘ＝２ｙ＋ｎꎬ由ｘ＝２ｙ＋ｎꎬｙ２＝４ｘꎬ{整理ꎬ得ｙ２－４２ｙ－４ｎ＝０.所以ｙ３ｙ４＝－４ｎ.而ｙ３ｙ４＝４ｙ１ｙ２＝４ˑ(－４)＝－１６ꎬ所以ｎ＝４.故直线ＡＢ方程为ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法亮点有三处:一是利用向量共线寻找坐标关系ꎬ可有效避免讨论相关直线斜率不存在的情形ꎬ使问题的处理简单易行ꎬ学生也容易理解和接受ꎻ二是三组向量共线ꎬ实际上具有相同的结构ꎬ因此详解第一组向量共线后得出坐标关系后ꎬ第二组可以对照简化运算ꎬ而第三组同理可得就变得顺其自然了ꎬ这也是当下应用比较普遍的同一法ꎻ三是根据条件求出满足条件的ｋＡＢ＝２２ꎬ设直线ＡＢ方程的横截式ꎬ与抛物线方程联立后ꎬ利用韦达定理得出ｙ３ｙ４＝－４ｎꎬ结合前面所求ｙ３ｙ４＝４ｙ１ｙ２与ｙ１ｙ２＝－４ꎬ很容易求出ｎ的值ꎬ进而求出直线ＡＢ的方程ꎬ大大简化了运算.解法４㊀(参数法)设抛物线参数方程为ｘ＝ｔ２ｙ＝２ｔ{(ｔ为参数)ꎬ不妨设Ｍ(ｍ２ꎬ２ｍ)ꎬＮ(ｎ２ꎬ２ｎ)ꎬＡ(ａ２ꎬ２ａ)ꎬＢ(ｂ２ꎬ２ｂ)ꎬ且ｍ>０ꎬｂ>０ꎬｎ<０ꎬａ<０ꎬＦＭң＝(ｍ２－１ꎬ２ｍ)ꎬＦＮң＝(ｎ２－１ꎬ２ｎ).因为ＦＭңʊＦＮңꎬ所以２ｎ (ｍ２－１)－２ｍ (ｎ２－１)＝０.化简整理ꎬ得(ｍ－ｎ)(ｍｎ＋１)＝０ꎬ且ｍʂｎ.所以ｍｎ＝－１.同理由ＤꎬＭꎬＡ和ＤꎬＮꎬＢ三点分别共线求得ａｍ＝－２ꎬｂｎ＝－２.从而ａ＝－２ｍꎬｂ＝－２ｎ＝２ｍ.所以ｋＭＮ＝２ｍ－２ｎｍ２－ｎ２＝２ｍ＋ｎ＝２ｍ－１/ｍ＝２ｍｍ２－１＝ｔａｎαꎬｋＡＢ＝２ａ－２ｂａ２－ｂ２＝２ａ＋ｂ＝２－２/ｍ＋２ｍ＝ｍｍ２－１＝ｔａｎβ.所以ｋＭＮ＝２ｋＡＢꎬｔａｎα＝２ｔａｎβ.下同解法３ꎬ求得ｋＡＢ＝２２.此时ｍｍ２－１＝２２.由题设ｍ>０ꎬ解得ｍ＝２＋６２.所以ａ＝－２ｍ＝２－６ꎬａ２＝８－４３.所以Ａ(８－４３ꎬ２(２－６)).故直线ＡＢ方程为ｘ－２ｙ－４＝０.评注㊀此解法用到了抛物线的参数方程ꎬ求解更简洁ꎬ教材对于抛物线的参数方程仅在课本选修４－４中简单提及ꎬ学生不一定熟练掌握ꎬ需要老师们留心.３总结升华抛物线中的蝴蝶模型㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)ꎬ过点Ｍ(ｍꎬ０)作直线交抛物线于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点.已知点Ｎ(ｎꎬ０)ꎬ连接ＡＮꎬＢＮ交抛物线于Ｃ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬＤ(ｘ４ꎬｙ４)两点ꎬ则ｋＡＢｋＣＤ为定值.评析㊀此模型即为２０２２年高考真题中寻找两直线斜率关系的部分ꎬ大家利用以上任意一种方法进行运算求解ꎬ均可得到ｋＡＢｋＣＤ＝ｎｍ.所以此真题能得出的关系就是ｋＡＢｋＭＮ＝１２ꎬ如果大家熟知此结论ꎬ或能按部就班推出此结论ꎬ这次的压轴题也就迎刃而解了.通过研究高考真题ꎬ发现在复习备考的征途中ꎬ特别是对于一些有文化背景的题ꎬ教师要有足够的耐心ꎬ深度解析各种方法ꎬ让学生在比较中开拓思路.因此ꎬ我们要充分利用好高考经典试题ꎬ从不同视角㊁不同解法深度解读ꎬ长此以往ꎬ一定能提升复习备考的效果[２].参考文献:[１]成开平.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１５(０６):２８－２９.[２]罗增儒.怎样解答高考数学题[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１８(１６):５３－５６.[责任编辑:李㊀璟]。
透视高考数学考查导数的五个视角
０ ｇⅡ ＋ （） ２（妄 。 ＜ （） ｇ６ 一ｇ ）
Ｒ＝ ００ ０＋ ０ｘ ５ ０ ２ ０ 。问每 月生 产多少 吨该 产品 才能使
利 再证右 设Ｇ ） ｇｏ ＋ （） ２（妄 ） （—） 利 润达 到最 大 ？最 大 利 润 是 多 少 ？ （ 润 边， （ ＝ （） ｇ 一ｇ 一 ｎ 解 ｌ ，４ Ｇ （ ；ｎ Ｉ —＋ ｎ 贝有 ２ ） ｌ ｘ— ｎ ｘ—ｌ ｌ ａ ｎ ｎ ｎ（ 当 ＞ ２＝ ｘ—ｌ 口＋ ） ０
ｓ 表示位移 ， 表示时 间 ， ｔ 单位 ：） 则 当 ｔ ３时的瞬时 速度 引 入 （ ｓ， ＝ ）＝ｎ ２＋ ｘ ｉ（ ３ ）一 为
。
— —
分析
导 数 的 物 理 意 义 是 ： 时 速 度 （） 是 位 移 函 瞬 就
数 ｓ ｔ对 时 间 ￡ 导 数 。 （） 的
３ ＝ ， ０ 当 ， 孚
［ １ 上恰 有 两个 不 同 的实 根 ， ０，］ 则有 （ ）＝ｌ２一ｂ ， ０ ｎ ≤０
（） （ ）７ ６ １ｌ ÷ ６， 譬＝２ 一 ＋ ＞ ）ｎ 一 ０ ｍ十 一０ ＝ ＋ ≤ ５
解 ｌ ÷ ６ｎ＋） 。 得５ ≤ １ 一 ｎ ＜２ ＋ ＋ （
） ，
求 ０ ｇ０ ＋ （ 一ｇ 妄 ） （— ）２ 证：＜ （） ｇ６ ２（ ＜ ｂ ａｌ 。 ） ｎ
区间最值 。
四、 考查利用导数求参数 的取值范 围 例 ６ 已知 函数 ， ）＝ｌ（ ） （ ｎ ２＋ 一 。
１（０ ） ＋ ４００ｘ ０ ５ ０ ２ ０ 。 ２ ０ ２０— ００ ０＝３１０ｏｏ 元 ） 故每 ５ ｏ （
，
月生产 ２０吨该 产 品 才 能使 利 润达 到 最 大 ， 大利 润 为 ０ 最
数学高考数学创新题的几个命题方向
数学高考数学创新题的几个命题方向Modified by JEEP on December 26th, 2020.高考数学创新题的几个命题方向在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则，具体来说，创新题有哪些命题方向呢下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析． 创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的，【例1】为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为),2,1,0}(1,0{,210=∈i a a a a i 传输信息为,12100h a a a h 其中⊕=00a h ⊕⊕=,,2011a h h a 运算规则为：,000=⊕,110=⊕,101=⊕,011=⊕例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011【解析】按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．我们知道，传输信息之间的三个数是原信息，C 选项原信息为011，则,1100=⊕=h ,011201=⊕=⊕=a h h 所以应该接收信息10110．故选C ．【点评】在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．【例2】已知函数,)2(2)(22a x a x x f ++-=--+-=x a x x g )2(2)(2.82+a 设)},(),(m ax {)(1x g x f x H =)},(),(m in{)(2x g x f x H =(max },{q p 表示q p ,中的较大者，min },{q p 表示q p ,中的较小值），记)(1x H 得最小值为)(,2x H A 得最大值为,B 则=-B A ( )A ．1622--a aB ．1622-+a aC ．16-D ．16【解析】)(x f 顶点坐标为,2(+a ),44--a )(x g 顶点坐标+--a a 4,2(),12并且每个函数顶点都在另一个函数的图像上，如下图所示，B A 、分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以.16)124()44(-=+----=-a a B A 选C ．【点评】深刻理解新概念是解题的关键，画出图像为我 们的理解起到了举足轻重的作用，另外找到顶点的特征为解 题找到了突破口，还要注意A ，B 并非在同一个自变量取得. 针对性练习：设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：}|)({)(S x x f T i ∈=；)(ii 对任意,,21S x x ∈ 当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．NB N A ==*, B ．},31|{≤≤-=x x A }1008|{≤<-==x x x B 或C ．R B x x A =<<=},10|{D ．Q B Z A ==,【解析】根据题意可知，令,1)(-=x x f 则A 选项正确；令⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤<-+=)1(,8)31(,2525)(x x x x f 则B 选项正确；令),21(tan )(-=x x f π则C 选项正确．故答案为D ．创新题命题方向之二：类比型给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的，类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.【例3】先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知,,21R a a ∈,121=+a a 求证.212221≥+a a 证明：构造函数,)()()(2221a x a x x f -+-=.22)(22)(222122221212a a x x a a x a a x x f ++-=+++-= 因为对一切,R x ∈恒,0)(≥x f 所以,0)(842221≤+-=∆a a 从而得⋅≥+212221a a (1)若,,,21 a a ,R a n ∈,121=+++n a a a 请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．【解析】这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．(1)若,1,,,,2121=+++∈n n a a a R a a a 求证：na a a n 122221≥++ . (2)证明：构造函数22221)()()()(n a x a x a x x f -++-+-=因为对一切,R x ∈都有,0)(≥x f 所以22121(44n a a a n +++-=∆ ,0)≤从而证得：na a a n 122221≥+++ 【点评】对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：=)(x f ,)()()(2222211n n b x a b x a b x a -++-+- 由,0)(≥x f得,0≤∆就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明，构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合.【例4】当,R x ∈1||<x 时，有如下表达式：=+++++ n x x x 21⋅-x11两边同时积分得：=+++++⎰⎰⎰⎰ 212122102101dx x dx x xdx dx n .11210dx x⎰- 从而得到如下等式：11)21(31)21(2121132+++⨯+⨯+⨯n .2ln )21(1=+⨯+ n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：=⨯+++⨯+⨯+⨯+13221)21(11)21(31)21(2121n n n n n nC n C C C _____. 【解析】材料中是从一个原有的等式，对其等号两边同时积分得到一个新的等式，因此，要解决题中所给的问题，要先找到一个等式，使其等号两边积分后与题中所给的式子尽可能的相关，在这个过程中，观察和联想很重要．从题中观察到，+⨯210n C ⨯+⨯22131)21(21n n C C =⨯++++13)21(11)21(n n n C n ____和+⨯211.2ln )21(11)21(31)21(21132=+⨯+++⨯+⨯+ n n等号左边的式子相比，只多了个系数,inC 再从式子的整体结构和各项中，联想到二项展开式,)1(12210n nn n n n n x x C x C x C C +=+++++ 对其等号两边同时积分，即得：由10n Cnn n nnn x x C x C x C )1(221+=+++++ 两边同时积分得：22102210121001x C xdx C dx C n nn⎰⎰⎰++=+++⎰ (21)dx x C dx nn n.)1(210⎰+d x n 从而得到如下等式：+⨯+⨯210)21(2121n nC C 231n C 【点评】问题的材料本身就很有创新，我们要根据材料提供的方法应用到新问题中，这对我们是个考验，怎么运用呢联想到我们熟知的等式：++++ 22101x C x C C n n nn n n x C n x )1(+=+ 是解题的关键．针对性练习：在数学解题中，常会碰到形如“xyyx ++1”的结构，这时可类比正切的和角公式，如：设b a ,是非零实数，且满足,158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a 则=a b ( )A ．4B ．15C ．2D ．3【解析】首先条件等式化成形如“xyyx -+1”的结构，然后利用两角和的正切公式来解题，将条件左式变形，得,5tan 15tan5sin 5cos 5cos5sinab a bb a b a ⋅-+=-+ππππππ联想两角和的正切公式，设,tan a b =θ则有=+)5tan(θπ,158tan 5tan 15tanπππ=⋅-+ab a b则,1585ππθπ+=+k 解得∈+=k k (3ππθ),Z 于是,3)3tan(=+=ππk a b 答案选D ． 创新题命题方向之三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点.【例5】定义如下运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm m m m n n n xx x x xx x x xx x x x x x x 321333323122322211131211....................⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nk n n n kk k yy y y yy y y yy y y y y y y 321333323122322211131211.....................=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mk m m m k k k zz z z yz z z yz z z y z z z 321333323122322211131211..................., 其中*).,,1,1(332211N j i n j m i y x y x y x y x z nj in j i j i j i ij ∈≤≤≤≤++++=- 现有2n 个正数的数表A排成行列如下：（这里用ij a 表示位于第i 行第j 列的一个正数，*),N j i ∈ln 131211a a a a ,n a a a a 2232221 ,n a a a a 3333231 ,..............，其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成nn n n n a a a a 321等比数列，且各个等比数列的公比相同，若,124=a ,8142=a =43a ⋅163求ija 的表达式（用j i ,表示）．【解析】本题数列中的每一项都有两个下标，在}{ij a 中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出ij a 的表达式．每一行的数成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列．,2444243a a a +=∴,4144=∴a 又每一列的数成等比数列，故,22444q a a = ,124=a ,412=∴q 且,0>n a ⋅=∴21q【点评】新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界． 针对性练习：定义},,,max {21n s s s 表示实数n s s s ,,,21 中的最大者．设),,,(321a a a A ==B ,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛bb b记},,m ax {332211b a b a b a B A =⊗, 设,1(-=x A ),1,1+x =B ,|1|21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x 若,1-=⊗x B A 则x 的取值范围为( )A ．]1,31[-B ．]21,1[+C ．]1,21[-D ．]31,1[+【解析】由定义知：|}1|),2)(1(,1{},,{332211--+-=x x x x b a b a b a 若,1-=⊗x B A 则⎩⎨⎧-≥--+≥-|,1|1),2)(1(1x x x x x 解得.211+≤≤x 选B ． 创新题命题方向之四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．【例6】已知数列}{n a 中．)1(211-++=n a a n 且,,(*R a N n ∈∈)0=/a .(1)若,7-=a 求数列}{n a 中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，求a 的取值范围． 【解析】(1)当7-=a 时，,1921+-=n a n 令,1921)(+-=x x f 则函数)(x f 在)29,(-∞和),29(+∞上单调递减，画出图像知}{n a 的最大项为,25=a 最小项为.04=a(2)对任意的*,N n ∈都有6a a n ≤成立，即}{n a 的最大项是第6项，因为+=1n a22211)1(21a n n a --+=-+，所以要保证}{n a 的最大项是第6项，只需满足,6225<-<a 解得).8,10(--∈a【点评】,1921+-=n a n 1921)(+-=x x f 一个是数列，一个是函数，他们有联系，也有区别，适时转换（信息迁移）——转化为一次分式函数，并利用一次分式函数的图像和性质是解答本题的关键． 针对性练习：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文,a z c b ,,, 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个正整数，见表格：n o p q r s t u v w x y z14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26并给你一个变换公式：='x ，为偶数为奇数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈),261,(132),261,(2x x N x x x x N x 将明文转换成密文，若,1713288=+→则h 变为→8;q ,132125=+ 则y 变成m ，按上述规定，若将某明文译成的密文是,shxc 你能否得出原来的明文 【解析】字母s 在密码表中对应的数字是19．或，1921=+x 则,37=x 但原明文中只对应26个整数，从而,19132=+x所以=x ,12 因此s 的明文是l ．同理可求.,e c v o h →→→因此shxc 的明文是love .创新题命题方向之五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查考生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题，【例7】已知射线OP ，作出点M 使得,3π=∠POM 且,8||=OM 若射线OP 上一点N能使得MN 与ON 的长度均为整数，则称N 是“同心圆梦点”. 请问射线OP 上的同心圆梦点共有________个．【解析】如图，过点M 作.OP MH ⊥ 因为,3π=∠POM 且,8||=OM 所以,4||=OH ,34||=MH 设,||a MB =n m b HB ,(||=是正整数)．显然，在MHB Rt ∆中，有 ,)34(222=-b a 即))((b a b a -+.48=因为b a +与b a -同奇偶，所以48的分解只能取下列三种：,6841222448⨯=⨯=⨯=得)1,7(),4,8(),11,13(),(=b a 时就对应有三个同心圆梦点.,,321B B B 另外，易知点3B 关于直线MH 对称的点4B 也是符合题意，故射线OP 上的同心圆梦点共有4个．【点评】本题以三角形边长为整数为背景来命题，考查考生对有关数论综合分析能力，以MN 与ON 的长度均为整数为突破口来寻找点N ，将本题转化为列方程求整数解的个数问题． 针对性练习：已知定理：“若b a ,为常数，)(x g 满足,2)()(b x a g x a g =-++ 则)(x g y =函数的图像关于点),(b a 中心对称”，设函数=)(x f ,1xa ax --+定义域为A ． (1)试证明)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称；(2)当]1,2[--∈a a x 时，求证：]0,21[)(-∈x f ；(3)对于给定的,A x i ∈ 设计构造过程：),(),(2312x f x x f x == ).(,1n n x f x =+ 如果),,3,2( =∈i A x i 构造过程将继续下去；如果,A x i ∉构造过程将停止．若对任意,A x i ∈构造过程可以无限进行下去，求a 的值. 【解析】(1),11)(axx f +-= 由已知定理得，)(x f y =的图像关于点)1,(-a 成中心对称； (2)首先证明)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数， 为此只要证明)(x f 在),(a -∞上是增函数． 设,21a x x <<<∞- 则=-)()(21x f x f ,0))((11212121<---=---x a x a x x x a x a )(x f ∴在),(a -∞上是增函数．再由)(x f 在]1,2[--a a 上是增函数，得当]1,2[--∈a a x 时，)],1(),2([)(--∈a f a f x f 即]0,21[)(-∈x f(3)∵构造过程可以无限进行下去，又)(x f 的定义域为R x ∈且,a x =/a xa ax x f =/--+=∴1)(对任意A x ∈恒成立， ∴方程a xa ax =--+1无解，即方程1)1(2-+=+a a x a 无解或有唯一解,a x = ，⎩⎨⎧=/-+=+∴01012a a a 或，⎪⎩⎪⎨⎧=--+=/+a a a a a 11012由此得到.1-=a另外，知识迁移型也是创新的一个方向．总之，数学创新题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，是训练和考查考生的数学思维能力，分析问题和解决问题能力的好题型．它与新课标要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，才是解决问题的思路，创造性解决问题”的思想相吻合，体现出高考支持课改并服务于课改的指导思想．要求考生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.【练练手】1．定义：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上存在),(00b x a x << 满足,)()()(0ab a f b f x f --= 则称0x 是函数)(x f y =在区间],[b a 上的一个均值点，已知函数1)(2++-=mx x x f 在区间]1,1[-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________.2．设)(x f y =为区间]1,0[上的连续函数，且恒有)(0x f ≤,1≤可以用随机模拟方法近似计算积分,)(10dx x f ⎰先产生两组（每组N 个）区间]1,0[上的均匀随机数N x x x ,,21 和,,21 y y ,N y 由此得到N 个点),,,2,1)(,(N i y x i i =在数出其中满足≤i y =i x f i )((( )),,2,1N 的点数,1N 那么由随机模拟方法可得积分dx x f )(10⎰的近似值为________. 3．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意实数b a 、满足=⋅)(b a f )(b af),(a bf +,2)2(=f *),()2(N n nf a n n ∈=有以下结论： ①)1()0(f f =；②)(x f 为偶函数；③数列}{n a 为等比数列；④数列}{n b 为等差数列．其中正确结论的序号是________.4．已知集合},,,,,{321n a a a a A =其中>≤≤∈n n i R a i ,1()(),2A l 表示和)1(n j i a a j i ≤≤≤+ 中所有不同值的个数．(1)设集合},8,6,4,2{=P },16,8,4,2{=Q 分别求)(P l 和l );(Q(2)若集合},2,,8,4,2{n A = 求证：2)1()(-=n n A l ； (3))(A l 是否存在最小值若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由参考答案1．解析：本题等价于m mx x =++-12在)1,1(-∈x 有解，所以)2,0(1∈+=x m .2．解析：由题意知本题是求,)(10dx x f ⎰而它的几何意义是函数)(x f （其中1)(0≤≤x f ）的图像与x 轴、直线0=x 和直线=x 1所围成图形的面积，均匀随机数所产生的点有N 个，也就是落在正方形1,0,1,0====y y x x 区域上的点有N 个，而满足≤1y )),,2,1)(((N i x f i =的点数有1N 个，相当于正方形,1,0==x x ,0=y 1=y 区域上的围成的面积为N ，图像)(x y =与直线0=x 和直线1=x 及x 轴所围成图形的面积为,1N 所以≈N N 11)(10⎰dxx f 即⋅≈⎰NN dx x f 110)( 3．解析：因为,,R b a ∈∀),()()(a bf b af b a f +=⋅ ∴取==b a ,1,1得,0)1(=f 取,2=a,2=b 得,8)2(4)4(==f f 取,2,0==b a 得)0(f ),0(2f =,0)0(=∴f 取,2-=a ,2-=b 得)2(4)4(--=f f ，)2(-∴f ,2-=取,2,21-==n b a 得)2(2)2(1-=n n f f ∴+=+--,2)2(2)2(211nn n f f )1(12)2(2)2(11 +=--n n n n f f ，由*),()2(N n n f a n n ∈= 得,)2(n n na f =代入(1)，得112)1(2---=n n n n a n na ,1+,2)2(1==f a ,2n na nn =∴ .2n n a =∴ 答案：①③④． 4．解析：(1)由=+=+=+=+=+84,1064,1082,862,642,1486,12=+ 得.5)(=P l由,24168,20164,1284,18162,1082,642=+=+=+=+=+=+得.6)(=Q l(2)因为)1(n j i a a j i ≤<≤+最多有2)1(2-=n n C n 个值， 所以2)1()(-≤n n A l ，又集合},2,,8,4,2{n A = 任取≤≤<≤++1,1(,(n j i a a a a l k j i ),n l k ≤<当l j =/时，不妨设,l j < 则,221l k i j j j i a a a a a a +<≤=<++即.l k j i a a a a +≠+当k i l j =/=,时，l k j i a a a a +≠+，因此，当且仅当l j k i ==,时，l k j i a a a a +=+ 即所有)1(n j i a a j i ≤<≤+的值两两不同， 所以⋅-=2)1()(n n A l (3))(A l 存在最小值，且最小值为.32-n 不妨设<<<321a a a ,n a < 可得,1213121n n n n a a a a a a a a a a +<<+<+<<+<+- 所以)1(n j i a a j i ≤<≤+中至少有32-n 个不同的数，即)(A l .32-≥n 事实上，设n a a a a ,,,,321 成等差数列，考虑),1(n j i a a j i ≤<≤+根据等差数列的性质，当n j i ≤+时，11-++=+j i j i a a a a ；当n j i >+时，n n j i j i a a a a +=+-+因此每个和),1(n j i a a j i ≤<≤+等于)2(1n k a a k ≤≤+中的一个， 或者等于)12(-≤≤+n l a a n i 中的一个． 所以对这样的,32)(,-=n A l A所以)(A l 的最小值为.32-n。
2025届高考备考研讨--解析几何
当点 B 位于点 A、P 关于坐标原点的对称点
0, − 3
和
−3, − 3
2
时，恰好满足S∆ABP
= 9.
直接得到直线 l 的方程为 3x 2y 6 0 或 x 2 y 0 .
几何画板：动态演示
2024新高考1卷题16.gsp
几点领“悟”：
(1)重视通性通法，对于大多数同学来说，考场上没有多余的时间或想不出巧妙的方法。 圆锥曲线的通性通法是联立消元，判别式、韦达定理和弦长公式，也就是胡主任跟我 们分享的“四个基本点”。 (2)直线方程的设法有时反而成为了解题中决定运算量的关键因素。 选对直线方程的形式，切中入手点，找对突破口，事半功倍。所以在平时的教学中要 双管齐下，既要锻炼学生的运算，提高运算能力，增强运算信心。又要注重培养曲线 方程的转化，争取化繁为简，提升解题效率。 (3)解析几何的本质在于"几何"，所以解析几何问题的处理应该以 “几何”作为切入点； “代数解析” 辅佐，只有对解析几何形成这样的意识，才能在解题中找到恰当的、巧妙 的方法。
角度四：典型错误
数学书写要求:准确性、简洁性、逻辑性、规范性。
角度五：题目的推广
本题源自人教 A 版选择性必修第一册第 116 页练习第 13 题： 已知椭圆 2 + 2 = 1，直线 l：4x − 5y + 40 = 0.椭圆上是否存在一点，使得：
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（1）它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？
角度2：课本母题
几点思考：
(1)每一届高三带完都下定决心，以后再带高一、高二一定慢点把课本吃透，把 概念和原理讲清楚。希望学生对新课学习中的基础题熟练掌握且不失分(运算能 力过关)，具备基本数学思维能力。 (2)高三教学要注重对教材主干的整合。 关于解析几何的主干知识：直线方程， 距离公式，圆的方程，圆锥曲线方程，离心率，弦长公式，几何性质等。
例谈研究高考数学试题的几种视角
巧妙 简捷 的巧 法 ， 这 既 能 培 养 学 生 学 习 的兴 趣 ， 又 能 培养 学生 思维 的发 散 性 、 选择性 、 灵 活性 、 深 刻性 ， 还
能培 养学 生 的数学 探究 意识 ．
本题 第 （ Ｉ） 问 要 求 曲线 Ｃ 的方 程 ， 注意 到点 Ａ
在圆． ２ ８ ＋ｙ 。 ＝ ＝ ＝ ｌ 上运动 ， 点 Ａ 的运 动 引起 点 Ｍ 的运
（ 工） 若 直线 Ｐ Ａ平 分线 段 ＭＮ ， 求 ｋ的值 ；
（ Ｉ Ｉ ） 当ｋ 一２时 ， 求点 Ｐ 到直线 ＡＢ 的距 离 ｄ；
立意 是试题 的考查 目的． 高考 数 学试 题 的命 制 一 般 以立意 为 中心 ， 以能力 立意 命题 就 是 首先 确定 试 题
在能 力方 面 的考 查 目的 ， 然后根据能力考查的要求 ，
选择 适 当的考 查 内容 ， 设 计 恰 当的 设 问 方 式． 能 力 立 意 的试题 以基 础知 识 、 基本 技能 和基 本 数学 思 想 方法
和两个参 数 （ 即 仇 和 走） 之 间相互制约 ， 两 问 有 机 衔 接， 既反 映 了有 心二 次 曲线 间 的轨 迹 相 关 性 ， 又 体 现 着 曲线 间 的动静 相 宜 ， 主要 考 查 曲线 与方 程 、 椭 圆 的
Ｐ ， 还 是斜 率 尼 尸 ｏ、 ｋ ， 都 涉 及 Ｐ、 Ｑ 和 Ｈ 三 点 的 坐 标， 均有两 种运 算 途 径 ： 一 是 通 过 直 线 方 程 与椭 圆 方 程联 立求 出点 的坐 标 ； 二 是避 求交 点 ， 设 而不 求 ， 整 体 转化 ． 第一 种途 径朴 实 自然 ， 但 运算 量 大 ， 第二 种 途 径
间的关 系 ， 并 由点 Ａ 的 坐标 所 满 足 的方 程 得 到点 Ｍ 的坐标 所满 足 的方程 ， 这是 解析 几何 中求 点 的轨 迹方 程 常用 的一 种方 法—— 相关 点法 ． 本 题第 （ Ｉ Ｉ ） 问要 判断 是否存 在 ， 使 得对 任 意 的
一道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟——一道高考数学试题的多视角开发利用
、
－ 的表达式 ， ， ） ’ （ 并求 ｓ的最 小值 ． 生解 ： （Ｉ） 难 证 得 Ｆ ・Ａ百一 ０ 即 不 ，
Ｆ Ｍ上ＡＢ （ 从略 ． ． Ⅱ）
图 １
评析
这是一道解 几 、 向量 、 函数 、 导数 、 不
商 一（ ， 一 ． ｚ Ｙ 要） ２
出蕊 ∥确 ， 得
还成 立 吗？
学生 通过 从结 论 到证 法 上 移 植 ， 快 获 很
得 下面命题 １ 证 明． 及 命题 １ 已 知抛物 线 ３ 一２ ｙ ｐ Ｏ 的 ７ ｐ （＞ ）
人的“ 陈年老 酒” —— 练习 、 研究 、 拓展 一道 高
考 题 的快乐 “ 程 ” 旅 ．
１ 品 味 试 题 。 觉 常 规 熟 悉 感
物线 的切线 ， 其 交 点 为 Ｍ 证 明 ： 设 确
为 定值 ． 证明 如 图 １ 由 ，
一 ＇
．
・
４ 的焦点 为 Ｆ， Ｂ 是抛 物 线 上 的 两 动点 ， Ａ、
且Ａ — Ｆ ｏ ， Ａ、 两 点 分 别作 抛 百（ ＞ ） 过 Ｂ
商 知， 直线 Ａ Ｂ过抛
第 ３ 卷 第 ３期 ｌ
２１ 年 ３ ０２ 月
数 学 教 学研 究
３ ｌ
一
道高考试题 一番学生探究 一串教学感悟 道高考数学试题的多视角开发 利用
— —
一
黄 学波
（ 东省 南 雄 市 第 一 中学 广 ５２０） １４ ０
高考 试题 ， 是命 题专 家潜 心研 究 、 匠心独
运 、 心设 计 的试 题 精 品 ， 有 很高 的练 习 、 精 具
味道 ， 与学 价值极 其 有 限． 教
一题多变、一题多解、好题欣赏、难题突破——高考数学试卷讲评的四个视角
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ — １ ０ — ０ ４
，
・
一 — —
变式 ５ ：（ 复数相等的充要条件）设 口 ，ｂ ∈ Ｒ，若 生不 同的解题效果 ，从而有效区分 出学生 的不同水平．
— —
＿ ＿ ＝口一ｂｉ
，
１＋ １
贝 Ⅱ ａ —ｂ＝ —
我们都希望学生能在高考时用相对较好 的方法解决 问
—
一
． ． ．
题 ．这就 需要 在 平 时养 成优化 解 法 的 习惯 ．由于解题 思
变式 ６ ：（ 复数 方程 的 求 法）若 （ １ ＋ｉ ＝２ （ ｉ 是 虚
维具有三个层次 ：一般性解决 ，功能性解决 ，特殊性 解决． 一题多解可侧重于这方面 ，特别是高三数学试
卷讲评 ，更 应 如此 ． 例２ （ ２ ０ １ ３年 高考 新 课 程 全 国 １ ／ 卷・ 文５ ） 设 椭
变式 １ ：（ 复数 实虚部 的确 定）设 复数 ｚ ＝ ．
ｌ＋ １ Ｊ ‘
，
作者简介 ：王永生 （ １ ９ ７ ４ 一） ，男，云南 大理人 ，中学数 学高级教师 ，云南省大理市 “ 名教 师” ，主要从事班主任工作 、教学管理
和中学数 学教 学研究．
匝赴壁
２ 川 年 第 ４ 期
、 ／ ．
经学完 （ 考试大纲》 所要求 的所有 内容 ，于是今年有
了以 ２ ０ １ ３年 高考数 学新课 程 全 国 Ｉ Ｉ 卷文 科试题 为 素材
近三年高考数学试卷分析
近三年高考数学试卷分析近三年高考数学试卷分析近三年高考数学试卷（文科）分析高3年级数学组一、2021年高考数学试卷分析（一）试卷总体评价2021年高考数学新课标全国卷是以《课程标准》、《考试大纲》为依据, 试卷的结构保持了新课程高考数学试卷的一贯风格, 试题设计体现了“大稳定、小创新”的稳健、成熟设计理念. 今年试卷贴近中学教学实际, 在坚持对五个能力、两个意识考查的同时, 注重对数学思想与方法的考查, 体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色. 以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景, 善于应用知识之间的内在联系进行融合构建试卷的主体结构, 在新课程新增内容和传统内容的结合处寻找创新点, 考查更加科学. 试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质, 考查考生对数学本质的理解, 考查考生的数学素养和学习潜能. 从考试性质上审视这份试卷, 它有利于中学数学教学和课程改革, 有利于高校选拔有学习潜能的新生, 是具有较高的信度、效度, 必要的区分度和适当的灵活度的可圈可点的试卷.（二）试卷考点内容及所占分值试卷考点内容统计及所占分值（三）试卷特点评析1. 注重基础考查试题区分度明显纵观全卷, 选择题简洁平稳, 填空题难度适中, 解答题层次分明. 选择、填空题考查知识点单一, 注重了对基础知识、基本方法、基本技能及高中数学主干知识的考查, 有利于稳定考生情绪, 也有助于考生发挥出自己理想的水平. 而在解答题中, 每道题均以多问形式出现, 其中第一问相对容易, 大多数考生能顺利完成; 而第二问难度逐渐加大, 灵活性渐强, 对知识的迁移和应用知识解决问题的能力要求较高, 给个性品质优秀、数学成绩良好的考生留有较大的展示空间.2. 淡化技巧重视通法能力立意强化思维试题淡化特殊技巧, 注重通性通法和对数学思想方法的考查. 如第(5)、(11)、（16）题考查了数形结合思想; 第(8)、（12）、（21）题涉及函数与方程思想及分类讨论思想等.试卷突出对五个能力和两个意识的考查. 如第 (6)、(16)、(21)题重点考查数学思维能力; 第 (9)、（15）、(18)题考查空间想象能力; 第(4)、(10)、（12）、(20)题综合考查思维能力、运算能力、实践能力、创新意识和应用意识等.3. 诠释考试说明内涵运算能力决定成败试题以高中内容为主, 但高层次包括低层次的内容, 例如在立体几何中考查平面几何的性质和数值的运算, 在解三角形和解析几何中包含着方程思想, 试题表述比较常规, 运算能力与运算手段决定了考试的成败.二、2021年高考数学试卷分析2021年高考数学新课标试题从试卷的形式和结构上看与往年的课标卷一样, 基本遵循“稳中有变、立足基础、突出能力、锐意求新”的命题指导思想，全卷设计基本合理、梯度基本适中，覆盖面广。
情境类型学视角下的数学情境化试题分析与研究——以2023年全国高考数学试题为例
情境类型学视角下的数学情境化试题分析与研究——以2023
年全国高考数学试题为例
王书贤;陈玉娟
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2024()5
【摘要】本研究以2023年全国高考数学试题为对象,在情境类型学理论的基础上
构建分析框架,从辨别参数、内容参数和装扮参数三个维度对试卷的情境化试题进
行探究.结果表明:全国高考数学试卷中在期待作业类型、考查课程主题、数学核心
素养、情境呈现方式等方面存在一定的相似点,但是在情境主题、问题间的关联性、问题与情境相关性等方面有各自的特点.基于此,提出了优化情境试题创设的思考,为今后数学情境试题的命制提供参考.
【总页数】5页(P37-41)
【作者】王书贤;陈玉娟
【作者单位】南通大学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
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示——以2022—2023年全国高考数学试题为例4.基于情境类型学的高考物理试题情境化特征研究——以2023年五套高考物理试题为例5.新旧高考数学试题问题情境水平比较研究——以2023年高考数学全国卷为例
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高考数学的解题思路技巧
高考数学的解题思路技巧高考数学的解题思路指导(一)选择题对选择题的审题，主要应清楚：是单选还是多选，是选择正确还是选择错误？答案写在什么地方，等等。
做选择题有四种基本方法：1 回忆法。
直接从记忆中取要选择的内容。
2 直接解答法。
多用在数理科的试题中，根据已知条件，通过计算、作图或代入选择依次进行验证等途径，得出正确答案。
3 淘汰法。
把选项中错误中答案排除，余下的便是正确答案。
4 猜测法。
(二) 应用性问题的审题和解题技巧解答应用性试题，要重视两个环节，一是阅读、理解问题中陈述的材料;二是通过抽象，转换成为数学问题，建立数学模型。
函数模型、数列模型、不等式模型、几何模型、计数模型是几种最常见的数学模型，要注意归纳整理，用好这几种数学模型。
(三) 最值和定值问题的审题和解题技巧最值和定值是变量在变化过程中的两个特定状态，最值着眼于变量的最大/小值以及取得最大/小值的条件;定值着眼于变量在变化过程中的某个不变量。
近几年的数学高考试题中，出现过各种各样的最值问题和定值问题，选用的知识载体多种多样，代数、三角、立体几何、解析几何都曾出现过有关最值或定值的试题，有些应用问题也常以最大/小值作为设问的方式。
分析和解决最值问题和定值问题的思路和方法也是多种多样的。
命制最值问题和定值问题能较好体现数学高考试题的命题原则。
应对最值问题和定值问题，最重要的是认真分析题目的情景，合理选用解题的方法。
(四) 计算证明题解答这种题目时，审题显得极其重要。
只有了解题目提供的条件和隐含的信息，确定具体解题步骤，问题才能解决。
在做这种题时，有一些共同问题需要注意：1 注意完成题目的全部要求，不要遗漏了应该解答的内容。
2 在平时练习中要养成规范答题的习惯。
3 不要忽略或遗漏重要的关键步骤和中间结果，因为这常常是题答案的采分点。
4 注意在试卷上清晰记录细小的步骤和有关的公式，即使没能获得最终结果，写出这些也有助于提高你的分数。
5 保证计算的准确性，注意物理单位的变换。
高考数学试题研究的几种视角
Ｊ
探究 ， 就 能 获 得 多 种 解 法 的启 迪 ． 既 会 有 朴 实 自然 的
通法 ， 又 会 有 简 捷 的巧 法 ， 这 既 能 培 养 学 生 的 学 习 兴 趣， 又能 培 养 学 生 思 维 的 发 散 性 、 灵活 性和深 刻性 ，
ｚ ： Ｙ＝２ ｘ一４， 设 圆 Ｃ的半 径 为 １ ，
结、 反思 ， 则 高考 命 题 的基 本 走 向 将 难 以被 捕 捉 ， 试 题 考 查 的深 度 与广 度 难 以被 挖 掘 ， 久而久之 ， 只 能 是 广种 薄收 ， 解 题 效 果 大打 折 扣 ．
１ 研 究 试 题 的 必 要 性
能 力 立 意试 题 以基 础 知 识 、 基 本 技 能 和 基 本 数 学 思 想方法为载体 ， 去 实 现考 试 的 目的． 本题 第 （ １ ） 问 设 计 了“ 两定 ” ， 即 过 定 点 Ａ 向 定 圆 Ｃ作切线 ， 主 要 考 查 求 圆 的 标 准 方 程 和求 切 线 的 两种 方 法 即 代数 法 与几 何 法 的熟 练 程 度 ．
第（ ２ ） 问主要考查“ 两动一定” ， 即半径为 １的动
圆上 有 动 点 Ｍ ， 满 足 到两 定 点 Ａ， ０距 离 之 比为 定 值 ２ ． 揭示 了动 中有静 、 静 中有动 、 动 静 相 宜 的 数 学 特
海 明威 在 谈 到 阅读 欣 赏 时 ， 曾经 讲 过 一 个 “ 冰 山 理论” ． 他 认 为 人 们 看 到 的小 说 只是 冰 山露 在 海 面上 的一 小 部 分 ， 即海 面 下 的 大 部 分 得 让 读 者 自 己去 揣 摩． 小 说 表 象 后 面 包 含 极 为 丰 富 的 内涵 ， 它 们 是 小 说
定 程 度 上 浓 缩 了 课 本 主 要 的 数 学基 本 知 识 和 基 本
一道高考数学试题的多视角开发利用
若对本题的练习和研究到此停止， 本题就是一道常规练习题 ， 似乎没有什么特别的味道 ， 与学 的价值没有充分提升． 教
二 、 中投 石 ， 起阵 阵涟漪 湖 激
１特 殊 联 想 一 般 ． ．
为厂 充分开发挖掘本题的练习和研究价值 ， 笔者在平静的“ 湖 面”Ｉ ： 投下一“ 小石子” ——作为一种很 自然的想法 ， 善于研究的 同学应该思考 ： 试题 中的结论具有一般性吗？ 即将 ＝ ｙ ４ 换成 ＝
线 的 切线 ， 其 交 点 为舱 设
点 ， 那么 ， 当Ａ、 运动时 ， Ｂ 动点 的轨 迹会是什么呢 ？通过探 索 ， 生欣喜 学 的 发 现 了如 下 精 美 的 结论 ．
［ 题２ 命 ］已 知 抛 物 线ｘ＝ｐ （＞ ２２ｙ ｐ ０ 的焦 点 为Ｆ 』、是 抛 物 线 上 的两 动 ） ， 曰 ４
下 面命 题 ３ ． ［ 题３ 命 ］已 知 抛 物 线 ＝ｐ （ ＞ ） ２ ｙｐ ０ 的焦 点 为 ＦＡ、 是 抛 物 ， Ｂ
学生通过从结论到证法上 的移植 ， 很快获得下面的命题 １ 及
Ｉ ． 止明
［ 题１ 命 ］已 知抛 物 线 ＝ｐ （ ＞ ２ｙｐ
线上的两动点 ， 且 Ａ （ ＞ ） 以Ａ、 两点为切点分别作抛物 庙 Ａ０ ， Ｂ
考 研
试 题 赏 析
高考试题 ， 是命题专家潜 心研究 、 匠心 独运 、 心设计 的试题精品 ， 精 具有很高的练 习 、 究价值． 研 近几 年来 ， 日试题 和部分 全 省市 自主命题更是让试题 如 串串珠 玑 ， 精 彩纷 呈 ， 筑 起 一 座 丰 厚 的试 题 宝 库 ． 高 构 将 考试 题恰 当地引入高 中数 学的教 与学 ， 不
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研究高考数学试题的几种视角
高考数学试题是我们学习和研究的好问题。
研究高考数学试题能学习命题教师的创新思维，体会“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试大纲》的要求。
研究高考试题对精选例题、习题、考题有用，对抑制题海战术有利，对提高教学效率有益。
在历年的高考试卷中，特别是在《考试大纲》的说明样题中，教师可以选择一些构思精巧、立意新明、背景深刻、情境新颖、设问巧妙的试题作为研究对象，一些优秀试题可以作为教学的例题、练习的习题、测试的考题，有的好题目可以作为研究性教学的问题。
研究高考试题应选好视角，所谓视角是指从不同的角度、不同的方向看待和研究问题。
选好视角是从事任何研究工作的前提和基本策略。
研究高考数学试题的视角很多，一般可从试卷的布局、试题的立意、试题的解法、试题的背景、试题的推广、试题的改编和试题的评价等角度进行。
视角1：试卷的布局
研究试卷的布局主要应包括研究题型的种类及分值，各章知识点所占的比重，试题的难度要求和分布情况，双向细目表等，其中双向细目表应是研究试卷的布局的重中之重。
研究试卷的布局有得于教师把握高考的重点、难点与热点，减少新课教学和高三复习的盲目性、随意性和无效性，从而提高教学效率。
研究试卷的布局应高度重视全国卷的榜样作用，课改实验区的导向作用。
视角2：试题的立意
立意是试题的考查目的。
高考试题的命制一般以立意为中心，以能力立意命题就是首和先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式。
高考数学试题根据以能力立意的命题指导思想，把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查。
能力立意的试题以基础知识、基本方法和数学思想为载体，它体现了考试的目的和内容。
试题立意的角度很多，如考查基础知识的灵活运用，考查数学思想方法，考查以数学思维能力为重点的五大能力（思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新能力），考查三种数学意识（应用意识、探究意识、创新意识）等。
高考数学考试的重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力，通过数学科的考试，不仅要考查出考生数学知识的积累是否达到进入高校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量出考生将知识迁移到不同情景的能力，从而检测出考生已有的和潜在的学习能力。
这就要求我们的教学要突出对学生思维能力的训练，对学生迁移能力、应变能力、创新能力的培养，全面提高学生的数学素质。
高考数学简单地讲是三考：考基础知识、考思想方法、考能力素质。
视角3：试题的解法
研究试题的解法主要是指试题的一题多解、多题一解等。
一题多解是指对一道试题从多种不同角度进行分析与探究，进而得到多种解法，这既能培养学生学习的兴趣，又能培养学生思维的发散性、选择性、灵活性、深刻性、还能培养数学探究意识。
视角4：试题的背景
研究试题的背景主要是指题目是否含有高等数学背景。
高等数学的一些基本思想、基本概念为设计高考试题提供了广阔而又深刻的背景，这是因为高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习潜能的良好素材。
高中数学教师只有具备坚实的高等数学功底，才能深刻理解高中数学知识的来龙去脉，才能搞好高中数学的教学和研究工作，才能居高临下、很好地将高等数学与初等数学结合起来。
视角5：试题的推广
研究试题的推广是指对以前高考中出现的一些优秀试题进行引申、拓展。
研究试题的推广，有利于深化对问题本质的认识，完善和发展学生的认知结构，猜想数学命题，发现数学规律，并能培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，还能培养学生的数学探究意识和创新意识。
视角6：试题的改编
研究试题的改编是指对一些优秀高考试题进式、重组和改造。
改编后的新问题是学生进行研究性学习的好素材。
试题改编的常用方法有加强和削弱题目的条件和结论，变换试题的背景和情境，迁移试题涉及的知识或方法，改变图形的放置和位置等。
视角7：试题的评价
研究试题的评价主要包括分析试题在一套试卷中的地位和作用，考查“四度”（难度、信度、效度、区分度）测量指标是否达到预期的目标，了解高考后学生和教师对该题的“满意度”，判断该题是不是一道好题。
好的数学问题对巩固基础知识、形成数学方法和数学思想、训练思维能力、提高数学素质具有重要作用。
数学学习应提倡多做好题，少做或不做劣质题目。
需要指出的是：研究高考试题对教师和学生的要求是不同的。
教师对试卷的布局、试题的立意、试题的背景、试题的解法、试题的推广、试题的改编和试题的评价等可做较全面的研究。
学生应重点研究试题的立意、试题的解法、试题的推广等问题，学生对试卷的布局、试题的背景、试题的改编和试题的评价等问题了解即可，对试题的推广应适可而止。