高中数学——不等式的基本性质
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第一性质
(第一课时)
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
例2、比较
练习题
1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的 大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a
2
2a 1)( a
2
2a 1)
与 (a 2
a 1)( a a 1)
2. 基本理论
0 Ｘ
1.实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b.
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 求差比较大小 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
同向不等式： 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）. 异向不等式： 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）. 同解不等式 形式不同但解相同的不等式。 其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)16 与18 ;
18 16
( 2)
1 n1
b a
与2 n (n N ) n
*
（3） 比 较 a b 和 a b 的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
a
b
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
练习
1、 若 m 0,比 较 m 与 2 的 大 小
m m
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
（1）
1 a
2
1 b
2
（2）lg( a
2
1 ) lg( b
2
1 )
（3） a
b
（4）
2
a
2
b
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a
b a b
0;
a b a b 0; a b a b 0.
a a a
b b b
a b a b a b
2
的大小．
不等式的基本性质
(第二课时)
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
不等式的基本性质
（ 1）a bb a(对称性）； （2）a b, b c a （传递性） c ; （ 3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; （ 5）a b 0,nN ,n 1 a n b ; n a n b. n
0; 0; 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？
(第一课时)
观察以下四个不等式：
a+2 > a+1----------------(1) a+3>3a-------------------(2) 3x+1<2x+6--------------(3) x<a------------------------(4)
要比较两个实数a与b的大小，可以转化为比
较它们的差a - b 与0的大小。在这里，0为实数
比较大小提供了“标杆”。
例1、试比较 2x4+1 与 2x3+x2 的大小
解： (2x4+1) - (2x3+x2 ) = 2x4+1 - 2x3 _ x2 = (2x4 - 2x3 )- (x2 -1) = 2x3 (x -1) - (x -1) (x +1) = (x－1) [2x3 - (x +1) ] = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x -1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] 技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
练习
比较x2+y2与xy+x+y-1的大小．
【解题回顾】用作差比较法比较两个实数的大小，步骤 是：作差——变形——判断符号．常见的变形 手段是通分、因式分解或配方等；变形的结果 是常数、若干个因式的积或完全平方式等.
例2、比较
练习题
1. 已知 x≠0 , 比较 (x2 +2)2 与 x4+x2 +4的 大小. 2.比较 (x2 +2)2 与 x4+5x2 +2的大小 3. 比较 x3 与 x2-x + 1的大小.
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a
2
2a 1)( a
2
2a 1)
与 (a 2
a 1)( a a 1)
2. 基本理论
0 Ｘ
1.实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b.
= (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 求差比较大小 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
同向不等式： 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的 左边都小于右边（不等号的方向相同）. 异向不等式： 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而另一个 的左边小于右边（不等号的方向相反）. 同解不等式 形式不同但解相同的不等式。 其它重要概念 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式
【典型例题】
例3、比较以下两个实数的大小：
(1)16 与18 ;
18 16
( 2)
1 n1
b a
与2 n (n N ) n
*
（3） 比 较 a b 和 a b 的
【解题回顾】本题的解答关键在于选择合适的方法.
a
b
作商比较法： 作商——变形——与1比较大小． 大多用于比较幂指式的大小．
练习
1、 若 m 0,比 较 m 与 2 的 大 小
m m
2、选择题： 已知 a b ，在以下4个不等式中正确的是：
（1）
1 a
2
1 b
2
（2）lg( a
2
1 ) lg( b
2
1 )
（3） a
b
（4）
2
a
2
b
主要内容 基本理论: a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
用数学式子表示为:
a
b a b
0;
a b a b 0; a b a b 0.
a a a
b b b
a b a b a b
2
的大小．
不等式的基本性质
(第二课时)
【知识回顾】
1、不等式的概念: 同向不等式； 异向不等式; 同解不等式．
2、比较两个实数大小的主要方法:
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论； (2)作商比较法：作商——变形——与1比较大小——下
结论． 大多用于比较幂指式的大小．
探究！
类比等式的基本性质，不等 式有哪些基本性质呢？
不等式的基本性质
（ 1）a bb a(对称性）； （2）a b, b c a （传递性） c ; （ 3）a b a c b （可加性） c ; a b,c d a c b d ; （4）a b,c 0 ac bc;a b,c 0 ac bc; a b 0,c d 0 ac bd ; （ 5）a b 0,nN ,n 1 a n b ; n a n b. n
0; 0; 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
思考？
从上述事实出发，你认为可以用什么方法
比较两个实数的大小？