动态规划 例题众多 详细讲解
动态规划例题讲解精品PPT课件
山东师大附中
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本节课主要通过几道例题，总揽NOIp中较 常见的动态规划模型，不会过多涉及优化 内容。
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最长上升子序列 内存碎片 背包问题 最长公共子序列 石子合并
括号序列 决斗 三取方格数 选课 贪吃的九头龙
最长上升子序列
给出一个数列{a1,a2,...,an}，要求你选出尽量 多的元素，使这些元素按其相对位置单调
完全背包问题
共有N种物品，每种物品有一定的重量w[i] 和一定的价值v[i]，每种物品有无限个。现 在我们有一个最大载重量limit的包，问放入 哪些物品能使得总价值最高？
w[i]和v[i]均为整数，N<=100，limit<=10000
完全背包问题
fillchar(f,sizeof(f),0); for i:=1 to n do for j:= w[i] to limit do f[j] = max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]); writeln(f[limit]);
1400
共有3件物品 重量分别为30/80/10 价值分别为300/1200/200 背包最大载重量为100
0/1背包问题
令f[i,j]表示考虑完前i项物品，并且当前背包 承重不大于j的情况下能获得的最大价值
f[i,j]=max( f[i-1,j], //不选第i项物品 f[i-1,j–w[i]]+v[i]) //选择第i项物品
2
插入a6后 -inf
1
插入a7后 -inf
1
插入a8后 -inf
1
插入a9后 -inf
1
inf
inf
inf
8
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
动态规划-例题众多-详细讲解
步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
动态规划例题
例1：机器负荷分配问题某公司新购进1000台机床，每台机床都可在高、低两种不同的负荷下进行生产，设在高负荷下生产的产量函数为g(x )=10x （单位：百件），其中x 为投入生产的机床数量，年完好率为a =0.7；在低负荷下生产的产量函数为h(y)=6y （单位：百件），其中y 为投人生产的机床数量，年完好率为b=0.9。
计划连续使用5年，试问每年如何安排机床在高、低负荷下的生产计划，使在五年内生产的产品总产量达到最高。
例2：某企业通过市场调查，估计今后四个时期市场对某种产品的需要量如下表：时期(k) 12 3 4 需要量(d k )2（单位）324假定不论在任何时期，生产每批产品的固定成本费为3(千元)，若不生产，则为零；生产单位产品成本费为1(千元)；每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位，则任何时期生产x 个单位产品的成本费用为：若 0＜x ≤6 ， 则生产总成本＝3十1·x 若 x ＝0 ， 则生产总成本＝0又设每个时期末未销售出去的产品，在一个时期内单位产品的库存费用为0.5(千元)，同时还假定第1时期开始之初和在第4个时期之末，均无产品库存。
现在我们的问题是；在满足上述给定的条件下，该厂如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？例3：设某企业在第一年初购买一台新设备，该设备在五年内的年运行收益、年运行费用及更换新设备的净费用如下表：（单位：万元）年份(k) 役龄(t) 运行收益()k g t 运行费用()k r t 更新费用()k c t 第一年 0 22 6 18 第二年0 123 216 819 22第三年0122321185710192328第四年01232422191657101520243038第五年01234252320171446914202024303848试为该企业制定一个五年中的设备更新策略，使得企业在五年内总收益达到最大？例4：设有一辆栽重为10吨的卡车，用以装载三种货物，每种货物的单位重量及单件价值如表所示，问各种货物应装多少件，才能既不超过总重量又使总价值最大？货物 1 2 3单位重量 3 4 5单件价值 4 5 6。
动态规划实例讲解
x4 D 4(x4)x5 v4(x4,d4) v4(x4,d4)+f5(x5)f4(x4)最 优 决 策 d4*
D 1D 1 EE 5
5+0=5* 5 D 1 E
D 2D 2 EE 2
2+0=2* 2 D 2 E
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求最短路径
其中*表示最优值，在上表中，由于决策允
许集合D4(x4)中的决策是唯一的，因此这个
从表达式f1(x1)可以看出，从A到E 的最短路径长度为19。由f1(x1)向 f4(x4)回朔，得到最短路径为：
A B2 C1D1E
23
24
资源分配问题
资源分配问题
例5.6: 有资金4万元，投资A、B、C三个项
目，每个项目的投资效益与投入该项目的
资金有关。三个项目A、B、C的投资效益
（万吨）和投入资金（万元）关系见下表：
x2 D 2(x2) x3 v2(x2,d2) v2(x2,d2)+f3(x3) f2(x2) d2*
000 0
0+0=0
00
1
0 1
1 0
0 13
0+11=11 13+0=13*
13 1
02 0
0+30=30*
2 1 1 13
13+11=24 30 0
2 0 29
29+0=29
03 0
0+45=45*
决策允许集合包含三个决策，它们是
D2(x2)=D2(B3)={B3C1,B3C2,B3C3}
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求最短路径
最优指标函数fk(xk)表示从目前状态
到E的最短路径。终端条件为
f5(x5)=f5(E)=0 其含义是从E到E的最短路径为0。
动态规划典型案例解析及计算过程梳理
动态规划典型案例解析及计算过程梳理动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为子问题来解决复杂问题的算法策略。
它通常用于优化问题，通过将问题的解决方案划分为相互重叠的子问题来降低计算复杂度。
下面将通过几个典型案例，详细解析动态规划的应用及其计算过程。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种经典的动态规划问题。
它的定义是：F(n) =F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
我们需要计算第n个斐波那契数。
通过动态规划的思想，可以将该问题划分为子问题，即计算第n-1和第n-2个斐波那契数。
可以使用一个数组来保存已经计算过的斐波那契数，避免重复计算。
具体的计算过程如下：1. 初始化一个长度为n+1的数组fib，将fib[0]设置为0，fib[1]设置为1。
2. 从i=2开始遍历到n，对于每个i，计算fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]。
3. 返回fib[n]作为结果。
通过上述过程，我们可以快速地得到第n个斐波那契数。
这个案例展示了动态规划的重要特性，即将问题分解为子问题进行求解，并利用已经计算过的结果来避免重复计算。
2. 背包问题背包问题是另一个常见的动态规划问题。
问题的定义是：有一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。
通过动态规划的思想，背包问题可以被划分为子问题。
我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
具体的计算过程如下：1. 初始化一个大小为n+1行，m+1列的二维数组dp，其中n为物品数量，m为背包容量。
将所有元素初始化为0。
2. 从i=1开始遍历到n，对于每个i，从j=1开始遍历到m，对于每个j，进行如下判断：- 若当前物品的重量大于背包容量j，则dp[i][j] = dp[i-1][j]，即不选择当前物品；- 若当前物品的重量小于等于背包容量j，则dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)，即选择当前物品或不选择当前物品所能获得的最大价值。
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
动态规划-例题众多-详细讲解61页PPT
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块顿
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
第9章 动态规划应用举例习题详解习题.doc
第9章动态规划应用举例习题详解（习题）9. 1有一部货车每天沿着公路给四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物所得利润如表9-1所示，试求在各零售店卸下几箱货物，能使获得总利润最大？其值是多少？9.2设有某种肥料共6个单位重量，准备供给四块粮田用。
其每块田施肥数量与增产粮食数字关系如表9-2所示。
试求对每块田施多少单位重量的肥料，才使总的增产粮食最多。
粮田增肥1234000001202518282424539473605761654756578745857090806907395859.3某公司打算向它的三个营业区增设六个销售店，每个营业区至少增设一个。
从各区赚取的利润（单位为万元）与增设的销售店个数有关，其数据如表9-3所示。
销售店增加数A区利润B区利润C区利润9.4某工厂有100台机器，拟分四个周期使用，在每一周期有两种生产任务。
据经验，把机器q 台投入第一种生产任务，则在一个生产周期中将有;n/3台机器作废；余下的机器全部投入第二种生产任务，则有1/10台机器作废。
如果干第一种生产任务每台机器可收益10, 干第二种生产任务每台机器可收益7。
问怎样分配机器，使总收益最大？9. 5设有三种资源，每单位的成本分别为a、b. co给定的利润函数为n(xi, yi,z),(/ = 1,2,•••,«)现有资金为W,应购买各种资源多少单位分配给"个行业，才能使总利润最大。
试给出动态规划的公式，并写出它的一维递推关系式。
9. 6某厂生产一种产品，估计该产品在未来4个月的销售量分别为400、500、300、200件。
该项产品的生产准备费用每批为500元，每件的生产费用为1元，存储费用每件每月为1 元。
假定1月初的存货为100件，4月底的存货为零。
试求该厂在这4个月内的最优生产计划。
9.7某电视机厂为生产电视机而需生产喇叭，生产以万只为单位。
根据以往记录，一年的四个季度需要喇叭分别是3万、2万、3万、2万只。
精讲动态规划
最长单增子序列LIS——续
时间复杂度
枚举i 枚举x,找到最大的满足条件的x O(n2)
空间复杂度
存储每个f(i) O(n)
如何得到解？
记录决策：对每个f(i)记录得到它的决策x
3
精选例题2：旅行商问题TSP
TSP （Traveling Salesman Problem) n个城市， 仸意两个城市之间有一定距离，从一个城市 出发经历所有的城市一次并且仅仅一次，最 终回到起点，使得所有距离最短？ （最小代 价圈） 确定状态
本行结果只与“上一行”相关14Fra bibliotek推荐读物
算法导论 算法设计 （Cornell algorithm design) 算法设计与分析 ……
15
5
旅行商问题TSP——续II
费用表示： f(s,x) = min {f(s – x, y) + distance(y,x) ｝其中s-x表 示从集合s中去掉城市x之后的集合， y在集合s-x中 注意点： 最后回到起点的状态有点特殊，因为起点已经在 集合里 复杂度 集合数2n 状态数 2n ＊ n 时间
顺序？假设已经经历了ABCDE这5个城市，最终 在城市E，那么A,B,C,D的顺序重要么？ f(s,x)表示状态
s表示经历过的城市集合。 4
旅行商问题TSP——续I
X表示最后一个城市，在集合s里 f(s,x)表示经过s集合里那些城市，最终在城市x 时所经过的最小距离。 初始状态： f({1},1) = 0，假设从城市1开始 终止状态：f({1,2,3,..n},1)=? 决策： 在状态(s, x)找到一个不在集合s里的城市y， 若从x走到y，则f(s,x) + distance(x,y)是一个经过集合 sUy城市的路径。 无后效性：收益只取决于状态(s,x)和决策y
动态规划入门
输入数据 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出
序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。 输出要求
最长上升子序列的长度。 输入样例 7 1735948 输出样例 4
解题思路
1.找子问题
“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个 子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”
数字三角形的记忆递归型动归程序：
#include <iostream> #include <algorithm> using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){ if( maxSum[i][j] != -1 ) return maxSum[i][j]; if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j]; else { int x = MaxSum(i+1,j); int y = MaxSum(i+1,j+1); maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j]; } return maxSum[i][j];
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程 的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪 种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没 有关系。
动态规划实例详解
算法1：递归
#include <iostream.h> #include <string.h> #define MAX 1000 char str1[MAX], str2[MAX]; int commonstr(int,int); void main(){ while(cin>> str1 >> str2){ intlen1=strlen(str1); intlen2=strlen(str2); cout<<commonstr(len1-1,len2-1); cout<<endl; } }
• 动态规划的实质就是
动规的要诀－状态
• 用动态规划解题，关键是要找出“状态”， 和在“状态”间进行转移的办法（即状态 转移方程） • 我们一般在动规的时候所用到的一些数组， 也就是用来存储每个状态的最优值的。
动态规划
• 例2 POJ 1163 数字三角形
7
3 8 1 7 5 2 4 6 8 0 4 5
– 基本思想：将原问题分解为相似的子问题，在 求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解 （注意：不是简单分而治之）。 – 只能应用于有最优子结构的问题（即局部最优 解能决定全局最优解，或问题能分解成子问题 来求解）。 – 计算机科学与工程、管理科学（运筹学）等领 域中许多算法的基础，如最短路径、背包问题、 项目管理、网络流优化等。
– 情况一：str1[len1-1] == str2[len1-1]，则 f(str1,len1,str2,len2) = 1+ f(str1,len11,str2,len2-1) – 情况二：str1[len1-1] != str2[len1-1]，则 f(str1,len1,str2,len2) = max(f(str1,len11,str2,len2), f(str1,len1,str2,len2-1)) – 程序如下：
动态规划解析
第一题导弹拦截本题第一问实际上是给出数列a1..a n,求最长非递增序列的长度，{容易想到以n来划分子问题，即分别求a1..a n-1, a1..a n-2, …, a1,中最长非递增序列长度，但各级子问题之间不易建立转化关系}将子问题具体一些，我们可以用f[k]表示数列a1..a k中以a k结尾的最长非递增序列的长度，题目所求即为max{f[1..n]}。
转移方程为f[n]=max{f[k]}+1;(0<=k<n,a[n]<=a[k] )设a[0]= -maxint,f[0]=0;第二问可以用贪心做，设拦截前k个导弹用o2个系统，其最后拦截的高度分别为l[1]..l[o2],则拦截第k+1个导弹时，找能够拦截这枚导弹的系统中最后拦截高度最小的，若没有这样的系统则新增一个系统。
附源程序：const max = 10000;type arr = array[0..max]of integer;var d,l : arr;i,j,k,m,n,o1,o2,t : longint;procedure input;beginfillchar(d,sizeof(d),0);fillchar(l,sizeof(l),0);writeln('input:');i:=0;repeati:=i+1;read(d[i]);until eoln;t:=i;o1:=0; o2:=0;end;procedure output;beginwriteln('Output:');writeln(o1);writeln(o2);end;procedure main1;beginl[t]:=1;for i:=t-1 downto 1 do begink:=0;for j:=i+1 to t doif (l[j]>k)and(d[i]>=d[j]) then k:=l[j];l[i]:=k+1;end;for i:=1 to t doif l[i]>o1 then o1:=l[i];end;procedure main2;beginfor i:=0 to t do l[i]:=maxint;o2:=1;for i:=1 to t do begink:=0;for j:=1 to o2 doif (l[j]>=d[i])and(l[j]<=l[k]) then k:=j;if k=0 then begino2:=o2+1;k:=o2;end;l[k]:=d[i];end;end;begininput;main1;main2;output;end.第二题 石子合并设f[i,j](i<=j)表示将第i 堆到第j 堆石子合并为一堆所得的最大分数（最小时类似）。
常见动态规划题目详解
常见动态规划题⽬详解1.爬楼梯题⽬描述：假设你正在爬楼梯。
需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。
你有多少种不同的⽅法可以爬到楼顶呢？注意：给定 n 是⼀个正整数。
⽰例 1：输⼊： 2输出： 2解释：有两种⽅法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶2. 2 阶⽰例 2：输⼊： 3输出： 3解释：有三种⽅法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶2. 1 阶 + 2 阶3. 2 阶 + 1 阶实现代码：class Solution {public:int climbStairs(int n) {vector<int> a(n);a[0] = 1;a[1] = 2;if(n == 1){return 1;}if(n == 2){return 2;}for(int i = 2; i < n;i++){a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];}return a[n - 1];}};2.变态跳台阶题⽬描述：⼀只青蛙⼀次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。
求该青蛙跳上⼀个n级的台阶总共有多少种跳法。
实现代码：class Solution {public:int jumpFloorII(int number) {if(number == 0){return 0;}int total = 1;for(int i = 1; i < number; i++){total *= 2;}return total;}};3.n年后⽜的数量题⽬描述：假设农场中的母⽜每年会产⽣⼀头⼩母⽜，并且永远不会死。
第⼀年农场中只有⼀头成熟的母⽜，第⼆年开始，母⽜开始⽣⼩母⽜，每只⼩母⽜三年之后成熟⼜可以⽣⼩母⽜，给定整数N，求N年后母⽜的数量。
实现代码：class solution{ public: int f(int n){ if(n < 1){ return 0; } if(n == 1|| n== 2||n == 3){ return n; } int res = 3; int pre = 2; int prepre = 1; int tmp1=0; int tmp2 = 0; for(int i = 4;i < n;i++){ tmp1 = res; tmp2 = pre; res = pre + prepre; pre = tmp1; prepre = tmp2; } return res; }};4.矩形覆盖题⽬描述：我们可以⽤2*1的⼩矩形横着或者竖着去覆盖更⼤的矩形。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
动态规划题目选讲
例题二：加分二叉树
• 设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（ l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号 。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第 i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有 一个加分，任一棵子树(也包含tree本身的分数 • 若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加 分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 • 试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且 加分最高的二叉树tree。
思考
例题六
• 对于 k=0 的情况： • 我们发现遍历一棵树最后回到原点，那么对于所 有的边，我们都是走过去，再走回来。 • 答案 (n-1)*2
例题六
• 对于 k=1 的情况 • 设每条边长度为1，然后树上找最长链，然后这 条链走过去就不再一步步往回了，直接从链底连 一条边去链顶，然后链中间连的那些点，直接走 过去再走回来，它们那些边的答案是不变的。 • 答案 (n−1)*2−(最长链长度)+1 • 可以证明不能减得更多啦。
• 资源和含有工厂的星球个数都不超过4 • n≤200
想法
暴力枚举匹配方案，求最短路？
想法
暴力枚举匹配方案，求最短路？ 两条路径公用边怎么办？
思考
• 特殊的星球数量很少，可以枚举状态28=256
思考
• 特殊的星球数量很少，可以枚举状态28=256 • 如何表示状态?
• 设F[i][s]表示现在路径包含第i个星球， 已经连接上的特殊星球选择方案是s的最 少代价。 • 如何转移？
• 对于s的合并操作，枚举！
void Spfa(int s,int k){ int u,v,d,t; for(int top=1;top<=bot;top++){ u=Q[top]; for(int j=E[u].size()-1;j>=0;j--){ v=E[u][j];d=D[u][j];t=s|S[v]; if(F[u][s]+d*k<F[v][t]){ F[v][t]=F[u][s]+d*k; if(t==s&&V[v][s]){ V[v][s]=false;Q[++bot]=v; } } } V[u][s]=true; } }
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最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是：
日期 2 5 6 10
价格 69 68 64 62
输入
第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数
第2行: N个数，是每天的股票价格。
输出
输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231)
当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方
步骤2
最优子结构性质：
设序列Xm={x1,x2,…,xm}和Yn={y1,y2,…,yn}的一个最长公共子 序列为Zk={z1,z2,…,zk}，则
1.若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序 列。
2.若xm≠yn，且zk≠xm，则Zk是Xm-1和Yn的最长公共子序列。 3.若xm≠yn，且zk≠ yn ，则Zk是Xm和Yn-1的最长公共子序列。
• 重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问 题时，每次产生的子问题并不总是新问题 ，有些问题被反复计算多次。对每个子问 题只解一次，然后将其解保存起来，以后 再遇到同样的问题时就可以直接引用，不 必重新求解。
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动态规划 解决问题的基本特征
1. 动态规划一般解决最值（最优，最 大，最小，最长……）问题；
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拓展2：低价购买
“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟
大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买
一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标
是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内
• 以自底向上的方法来填写这表格; 首先填写最小子问题 的解.
– 这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时, 可以 利用比它更小的所有可利用的 子问题的解.
由于历史原因, 我们称这种方法为： 动态规划.
在上世纪40年代末 (计算机普及很少时), 这些规划设计是与”列表“方法相关的.
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动态规划算法
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程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
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f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
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if f[i] > f[i-1]+T[i] then
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f[i] ← f[i-1]+T[i]
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递归 vs 动态规划
递归版本:
Hale Waihona Puke F(n)1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
2 for i ← 2 to n do
3
A[i] ← A[i-1] + A[i-2]
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数）， 计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导 弹拦截系统。
样例： INPUT 389 207 155 300 299 170 158 65
OUTPUT 6（最多能拦截的导弹数） 2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）
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使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出 序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如 上图所示）
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3
2
3
1 2
2 1
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231
1
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你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操 作可能得到的输出序列的总数。 【输入格式】 输入文件只含一个整数n（1≤n≤18） 【输出格式】 输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目 【输入样例】 3 【输出样例】 5
• (B, C, B, A)和(B, D, A, B)都是X和Y 的最长公共子序列(长度 为4)
• 但是,(B, C, A)就不是X和Y的最长公共子序列
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穷举法
• 对于每一个Xm的子序列,验证它是否是Yn的子序列. • Xm有2m个子序列 • 每个子序列需要o(n)的时间来验证它是否是Yn的子序列.
8 return f
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例题四：求最长不降子序列
1．问题描述 设有一个正整数的序列：b1,b2,…，bn，对于下标i1<i2<…＜im，若有
bi1≤bi2≤…≤bim 则称存在一个长度为m的不下降序列。 例如，下列数列
13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15 对于下标i1=1，i2=4，i3=5，i4=9，i5=13，满足13＜16＜38＜44＜63,则存 在长度为5的不下降序列。 但是，我们看到还存在其他的不下降序列: i1=2，i2=3，i3=4，i4=8，i5＝10， i6=11，i7=12，i8=13，满足：7＜9＜16＜18＜19＜21＜22＜63，则存在长度 为8的不下降序列。 问题为：当b1,b2,…，bn给出之后，求出最长的不下降序列。
F (0,Y)=1 F (X,0)=1
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
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例题六：数字三角形问题
1．问题描述 设有一个三角形的数塔，顶点结点称为根结点，每个结点有一个整数数值。
从顶点出发，可以向左走，也可以向右走。如图10一1所示。
问题：当三角形数塔给出之后，找出一条从第一层到达底层的路径，使路径的 值最大。若这样的路径存在多条，任意给出一条即可。
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步骤1
二维数组 D(X,y)描述问题，D(X,y)表示从顶层到达第 X层第y个位置的最小路径得分。
阶段分析：D(1,1)=13 到第x层的第y个位置有两种可能，要
么走右分支 得到，要么走左分支得到。
步骤2：状态转移方程
•
D(X,y)＝min{D(X-1,y)，D(X-1,y-1}+a(X,y)
X的子序列: – 所有X的子集(集合中元素按原来在X中的顺序排列)
(A, B, D), (B, C, D, B), 等等.
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例子
X = (A, B, C, B, D, A, B) X = (A, B, C, B, D, A, B)
Y = (B, D, C, A, B, A)
Y = (B, D, C, A, B, A)
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入的第一行是一个整数N(2<=N<=100)，表示同学的总数。第一行有n 个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高( 厘米)。
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
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例题七：最长公共子序列
• 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的 序列。
• 给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子 序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
• 最长公共子序列:公共子序列中长度最长的子序列。 • 最长公共子序列问题
给一定个两最个长序公列共X子=序{x列1,x。2,…,xm}和Y={y1,y2,…, yn}，找出X和Y的 • 例如: X = (A, B, C, B, D, A, B)
样例输入
样例输出：
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4
18206201/38/56 150 200 160 130 197 220
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分析：阶段：棋盘上的每个可走的点； 每个阶段的求解；
步骤1：用F（X,Y）表示到棋盘上每个阶段(X,Y)的路径 条数；
步骤2：状态转移方程：
F（X,Y）= F (X-1,Y)+ F(X, Y-1) 其中，F（0,0 )=1
2. 动态规划解决的问题一般是离散 的，可以分解（划分阶段）的；
3. 动态规划解决的问题必须包含最 优子结构，即可以由（n－1）的最 优推导出n的最优
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解决问题的基本步骤
• 动态规划算法的4个步骤： 1. 刻画最优解的结构特性. （一维，二维 ，三维数组） 2. 递归的定义最优解. （状态转移方程） 3. 以自底向上的方法来计算最优解. 4. 从计算得到的解来构造一个最优解.
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例题三：排队买票问 题
• 一场演唱会即将举行。现有n个歌迷排队买票， 一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最多 只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间 Ti（1≤i≤n），队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和 第j+1个人）也可以由其中一个人买两张票，而另 一位就可以不用排队了，则这两位歌迷买两张票 的时间变为Rj，假如Rj<Tj+Tj+1，这样做就可以缩 短后面歌迷等待的时间，加快整个售票的进程。 现给出n, Tj和Rj，求使每个人都买到票的最短时间 和方法。
步骤1：用F（i）表示第i项到最后一项最长不下降序列的长度的值；