浅谈曲线系方程的应用
平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用(原稿)
平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用王永洪1北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081过平面曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程可表示为12(,)(,)(,)0f x y x y f x y λ+=，其中(,)x y λ的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解(,)x y λ表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。
用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中(,)x y λ应具有的形式。
平面二次曲线方程的一般形式是221112*********a x a xy a y a x a y a +++++=，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。
为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程1(,)0f x y =和直线方程2(,)0f x y =为例，这时的曲线系方程为：11232(,)()(,)0f x y x y f x y λλλ+++=，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断21112212I a a a =-的符号：10I >，曲线为椭圆或圆，10I =，曲线为抛物线，10I <，曲线为双曲线。
有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。
曲线方程在高中数学教案设计中的应用研究
曲线方程在高中数学教案设计中的应用研究数学是一门非常重要的学科，也是教育体系中不可或缺的一个组成部分。
其涵盖的领域极广，其中曲线方程在高中数学教学中扮演着至关重要的角色。
曲线方程的应用范围极广，从物理学到经济学再到工程学，几乎涵盖了所有的领域。
在高中数学教学中，曲线方程也扮演着至关重要的角色。
在本文中，我们将探究曲线方程在高中数学教案设计中的应用研究。
一、曲线方程的概念曲线方程是一种用数学符号来表示平面内曲线的方程。
最常见的曲线为二次曲线，它可以用一般式y=ax²+bx+c来表示。
这里，a、b、c分别为常数，而x和y则为变量。
当然，还有其他曲线方程如三次曲线、四次曲线、指数曲线、对数曲线等等。
这些方程的应用范围都很广泛。
二、曲线方程在高中数学教学中的应用曲线方程在高中数学教学中应用非常广泛。
在高一数学上，我们将学习到二次函数和二次方程，而二次曲线也就自然而然地出现了。
在这个阶段中，我们将学习如何求解二次方程的根以及如何利用两个点之间的坐标来求解曲线方程。
在高二数学中，我们将学习更加复杂的曲线，如三次曲线，四次曲线，指数曲线等等。
学生们将学会如何利用这些方程来解决实际问题。
三、曲线方程在高中数学教案设计中的应用在高中数学的教学中，曲线方程被广泛应用。
在教案设计中，它可以用来设计各种各样的练习和作业，帮助学生更加深入地理解数学知识。
1.举例法在教案设计中，我们可以使用举例法来帮助学生更好地理解曲线方程。
对于一个仿二次函数y=a(x-h)²+k，我们可以让学生举出三组(x,y)点来，以便更好地理解这个函数。
2.探究法在教案设计中，我们还可以使用探究法来帮助学生更好地理解曲线方程。
比如，我们可以让学生通过观察曲线和给出的解析式，探讨函数图像的特点以及它们之间的关系。
3.应用法应用法是另一种常用的教案设计方法。
我们可以使用已知的曲线方程，帮助学生解决实际问题。
比如，我们可以让学生通过求解经过给定三个点的二次曲线方程，来帮助他们了解怎样利用曲线方程来解决实际问题。
高中数学：曲线系方程的应用
高中数学：曲线系方程的应用如果两条曲线方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P（x0，y0），求证：方程f1(x，y)＋λf2（x，y）＝0的曲线也经过点P（λ是任意常数）。
由此结论可得出：经过两曲线f1(x，y)＝0和f2（x，y）＝0交点的曲线系方程为：f1（x，y）＋λf2（x，y）＝0。
利用此结论可得出相关曲线系方程。
一、直线系概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程。
几种常见的直线系方程：（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程y－y0＝k（x －x0）（k为参数）（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax ＋By＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx －Ay＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）例1、已知直线l1：x＋y＋2＝0与l2：2x－3y－3＝0，求经过的交点且与已知直线3x＋y－1＝0平行的直线L的方程。
解析：设直线L的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0。
∴（λ＋2）x＋(λ－3)＋2λ－3＝0。
∵L与直线3x＋y－1＝0平行，∴。
解得：λ＝。
所以直线L的方程为：15x＋5y＋16＝0例2、求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解析：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①即，∴直线过定点P（9，－4）说明：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
二、圆系概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。
几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2，x0、y0为常数，r为参数。
曲线系理论及其应用
第21讲:曲线系理论及其应用在一个关于x,y 的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,赋于这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.利用曲线系解题,体现了参数变换的数学观点、整体处理的解题策略,以及“基本量”和“待定系数”的解题方法.这种观点、策略、方法的三位一体,能使解题水平更高、思维更活.下面介绍几类重要的曲线系. 定理1:过曲线C 1:f 1(x,y)=0与C 2:f 2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0.定理2:设二次曲线C:ax 2+cy 2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax 2+cy 2+dx+ey+ f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=22n m a c +-,t 为任意实数.定理3:过圆M:x 2+y 2+2dx+2ey+f=0外一点P(x 0,y 0)作圆M 的两条切线PA 、PB,切点分别为A 、B,则双切线PA 与PB 构成的曲线方程为:(x 02+y 02+2dx 0+2ey 0+f)(x 2+y 2+2dx+2ey+f)-[x 0x+y 0y+d(x+x 0)+e(y+y 0)+f]2=0,即包含切线PA:a 1x+b 1y+c=0与PB: a 2x+b 2y+c 2=0的方程.定理4:设二次曲线C:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0与直线l 1:m 1x+n 1y+p 1=0,l 2:m 2x+n 2y+p 2=0都有公共点,则过这些公共点的二次曲线系方程为:(ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f)+λ(m 1x+n 1y+p 1)(m 2x+n 2y+p 2)=0.例1:过曲线交点的直线系.[始源问题]:(2011年北大等十三校联考(北约)自主招生数学试题)求过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程.[解析]:由过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的曲线系:(2x 2-2x-1-y)+λ(-5x 2+2x+3-y)=0,即(2-5λ)x 2+2(λ-1)x-(λ+1)y+3λ-1=0;令2-5λ=0⇒λ=52⇒曲线系:6x+7y-1=0⇒过抛物线y=2x 2-2x-1,y=-5x 2+2x+3两交点的直线方程:6x+7y-1=0.[原创问题]:已知抛物线C 1:y=2x 2+3x-3,C 2:y=-5x 2+tx+421-t.(Ⅰ)求证:过抛物线C 1与C 2两交点的直线l 过定点A;(Ⅱ)过点A 作斜率互为相反数的两直线与椭圆C:42x +32y =1分别交于异于点A 的点M 、N,求证:直线MN 的斜率为定值.[解析]:(Ⅰ)由y=2x 2+3x-3⇒5y=10x 2+15x-15…①;由y=-5x 2+tx+421-t ⇒2y=-10x 2+2tx+221-2t …②;由①+②得:7y=15x+2tx-29-2t ⇒2(x-1)t=7y-15x+29⇒直线l 过定点A(1,23); (Ⅱ)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线MN:y=kx+t;由⎩⎨⎧=++=124322y x t kx y ⇒(3+4k 2)x 2+8ktx+4t 2-12=0⇒x 1+x 2=-2438k kt +,x 1x 2=2243124k t +-; 由k AM +k AN =0⇒12311--x y +12322--x y =0⇒12311--+x t kx +12322--+x t kx =0⇒2kx 1x 2+(t-23-k)(x 1+x 2)-(2t-3)=0⇒2243)3(8k t k +--(t-23-k) 2438k kt +-(2t-3)=0⇒8k(t 2-3)-8kt(t-23-k)-(2t-3)(3+4k 2)=0⇒6(2k-1)t+12k 2-24k+9=0⇒6(2k-1)t+3(2k-1)(2k-3)=0 ⇒k=21为定值. 例2:过曲线交点的圆系.[始源问题]:(2001年新课程高考试题)设0<θ<2π,曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1有4不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1sin cos 1cos sin 2222θθθθy x y x ⇒x 2=sin θ+cos θ,y 2=cos θ-sin θ>0⇒tan θ<1⇒θ∈(0,4π)⇒θ的取值范围是(0,4π);(Ⅱ)由过曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ-y 2sin θ=1交点的曲线系:(x 2sin θ+y 2cos θ-1)+λ(x 2cos θ-y 2sin θ-1)=0,即(sin θ+λcos θ)x 2+(cos θ-λsin θ)y 2=1+λ;令sin θ+λcos θ=cos θ-λsin θ得:λ=θθθθcos sin sin cos +-⇒曲线系:x 2+y 2=2cos θ为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=θcos 2,由θ∈(0,4π)⇒r=θcos 2∈(42,2).[原创问题]:设抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-215x+c 有4不同的交点.(Ⅰ)求c 的取值范围;(Ⅱ)证明:这4交点共圆,并求圆半径的取值范围.[解析]:(Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧+-==c x x y x y 215422⇒y 4-30y 2-16y+16c=0;令f(t)=t 4-30t 2-16t+16c,则f '(t)=4(t 3-15t-4)=4(t-4)(t 2+4t+1)= 4(t-4)(t+2+3)(t+2-3)⇒f(t)的极大值=f(-2+3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c+483-81>0⇒c>161(81-483); f(t)的极小值=f(-2-3)(t 2+4t+1=0⇒t 2=-4t-1)=16c-483-81<0⇒c<161(81+483);f(4)的极小值=16c-16×18<0 ⇒c<18.综上,c ∈(161(81-483),161(81483)); (Ⅱ)由过抛物线C 1:y 2=4x 与y=x 2-2x+c 交点的曲线系:(x 2-2x+c-y)+λ(y 2-4x)=0,即x 2+λy 2-2(1+2λ)x-y+c=0;令λ=1⇒曲线系:x 2+y 2-6x-y+c=0为圆⇒这4交点共圆;圆的半径r=2437c -;由c ∈(161(81-483),161(81+483))⇒r ∈(0, 434867+).例3:过两交点的圆系.[始源问题]:(2004年湖北高考试题)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B.(Ⅰ)求实数k 的取值范围;(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.[解析]:(Ⅰ)将y=kx+1代入2x 2-y 2=1中并化简整理得:(2-k 2)x 2-2kx-2=0,由已知得此方程有两个不小于22的实根,解得:-2<k<-2⇒k 的取值范围是(-2,-2);(Ⅱ)设过A,B 两点的圆系方程为:2x 2-y 2-1+λ(kx-y+1)(kx+y+t)=0,即(2+λk 2)x 2-(1+λ)y 2+k λ(t+1)x+λ(1-t)y+λt-1=0⇒2+λk 2=-(1+λ)⇒λ=-132+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2-22)1(3kt k -+x-22)1(3kt --y-22231kt k -++=0;由于AB 是圆的直径,故圆心()2(2)1(32k t k -+,)2(2)1(32k t --)在直线l 上⇒)2(2)1(322k t k -+-)2(2)1(32k t --+1=0⇒t=-31⇒圆系方程为:x 2+y 2-222k k -x-224k -y-222k k -=0;若此圆过右焦点(26,0)⇒23-222k k -⋅26-222kk -=0⇒k=566±-,又因k ∈(-2,-2)⇒k=566--⇒存在以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F,此时直线AB 的斜率k=566--. [原创问题]:已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=36,过点A(0,-b)和B(a.0)的直线与原点的距离为23. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知直线y=kx+t 与椭圆交于M 、N 两点,证明:对任意的t>0,都存在k,使得以线段MN 为直径的圆过定点.[解析]:(Ⅰ)由直线AB:bx-ay-ab=0⇒22b a ab +=23;又由e=36⇒221a b -=36⇒a 2=3,b 2=1⇒椭圆C:32x +y 2=1; (Ⅱ)设过M 、N 两点的圆系方程为:x 2+3y 2-3+λ(kx-y+t)(kx+y+s)=0,即(1+λk 2)x 2+(3-λ)y 2+k λ(t+s)x+λ(t-s)y+λts-3= 0⇒(1+λk 2)=(3-λ)⇒λ=122+k ⇒圆系方程为:x 2+y 2+13)(22++k s t k x+13)(22+-k s t y+1333222+--k k ts =0;由于MN 是圆的直径,故圆心(-13)(2++k s t k ,-13)(2+-k s t )在直线y=kx+t 上⇒s=2t ⇒圆系方程为:x 2+y 2+1362+k ktx-1322+k t y+13334222+--k k t =0;令y=0得:x 2+1362+k kt x+13334222+--k k t =0⇒3(x 2-1)k 2+6txk+4t 2+x 2-3=0;令x=1得:6tk+4t 2-2⇒k=-tt 3122-⇒对任意的t>0,都存在k=- tt 3122-,使得以线段MN 为直径的圆过定点(1,0). 例4:四点共圆.[始源问题]:(2011年全国高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OC =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=-2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)(法一)直线l:y=-2x+1,P(-22,-1),Q(22,1),过直线l 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x- y+t)=0⇒(2+2λ)x 2+(1-λ)y 2+2(t-1)λx+(t+1)λy-t λ-2=0,由该曲线为圆⇒2+2λ=1-λ⇒λ=-31⇒圆的方程为:4x 2+4y 2-2(t-1)x-(t+1)y+t-6=0,若点P(-22,-1)在该圆上⇒t=0⇒圆的方程为:4x 2+4y 2+2x-y-6=0⇒点Q(22,1)在该圆上; (法二)直线l:y=-2x+1,直线PQ:2x-y=0,过直线l 、PQ 与椭圆C 交点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(2x+y-1)(2x-y)=0⇒ (2+2λ)x 2+(1-λ)y 2-2λx+λy-2=0,当λ=-31时,曲线系:4x 2+4y 2+2x-y-6=0为圆⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.[原创问题]:设A,B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C,D 两点.(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D 四点在同一个圆上?并说明理由.[解析]:(Ⅰ)3+9<λ⇒λ>12,直线AB:3x+3y=3+9⇒x+y-4=0;(Ⅱ)过直线AB 、CD 与椭圆C 交点的曲线系:3x 2+y 2-λ+t(x+y-4)(x-y+2)=0⇒(3+t)x 2+(1-t)y 2-2tx+6ty-8t-λ=0曲线系为圆⇒t=-1⇒圆的方程为:2x 2+2y 2+2x-3y+8-λ=0⇒A,B,C,D 四点在同一个圆上.例5:四点共圆的条件.[始源问题]:(1993年全国高中数学联赛试题)设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l 和m,使与抛物线y 2=x有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点P 的轨迹.[解析]:设P(x 0,y 0),直线l:y-k 1x+k 2a=0,直线m:y-k 2x+k 2b=0,过这四点的曲线系:y 2-x+λ[y-k 1x+k 2a][y-k 2x+k 2b]=0⇒(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy+λk 1k 2x 2+λ(k 1a+k 2b)y-[λk 1k 2(a+b)+1]x+λk 1k 2ab=0,该曲线系为圆⇔⎩⎨⎧=+=+212110k k k k λλ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=211211k k k λ,直线l 与m 的交点⎩⎨⎧=+-=+-002221b k x k y a k x k y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200b a k y b a x ⇒P 的轨迹:线段AB 的中垂线x=2b a +,除去直线x=2b a +与y=0,或y 2=x 的三个交点.[原创问题]:已知F 1、F 2分别是椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆C 上的任意一点,且1PF ⋅2PF 的最大值是3,最小值是2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过两点F 1和A(1,1)分别引直线l 和m,使与椭圆C 有四个不同的交点.当这四个交点共圆时,求直线l 与m 的交点Q 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)设P(acos θ,bsin θ),F 1(-c,0),F 2(c,0),其中a 2=b 2+c 2,则1PF ⋅2PF =P F 1⋅P F 2=(acos θ+c)(acos θ-c)+b 2sin 2θ=a 2cos 2θ-c 2+b 2sin 2θ=a 2(1-sin 2θ)-c 2+b 2sin 2θ=(a 2-c 2)-(a 2-b 2)sin 2θ=b 2-c 2sin 2θ⇒b 2=3,b 2-c 2=2⇒c 2=1⇒a 2=4⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)设直线l:k 1x-y+k 1=0,直线m:k 2x-y+1-k 2=0,过这四点的曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(k 1x-y+k 1)(k 2x-y+1-k 2)=0⇒(3+λk 1k 2) x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+λk 1x-λ(1+k 1-k 2)y+λk 1(1-k 2)=0;该曲线系为圆⇔3+λk 1k 2=4+λ,λ(k 1+k 2)=0⇔λ=1121-k k ,k 1+k 2=0;此时,由k 1x-y+k 1=0,k 2x-y+1-k 2=0⇒(k 1-k 2)x+(k 1+k 2)-1=0⇒x=121k ⇒y=k 1+21⇒x(y-21)=21. 例6:圆的双切线方程.[始源问题]:(2008年全国高中数学联赛试题)如图,P 是抛物线y 2=2x 上的动点,点B,C 在y 轴上,圆(x-1)2+y 2=1内切于△PBC,求△PBC 面积的最小值.[解析]:由抛物线的对称性知,不妨设P(2t 2,2t)(t>0),圆(x-1)2+y 2=1,即x 2+y 2-2x=0⇒双切线PB 与PC 的方程为:4t 4(x 2+y 2-2x)-[2t 2x+2ty-(x+2t 2)]2=0,令x=0得:4t 4y 2-(2ty-2t 2)2=0(t ≠0)⇒(ty)2=(y-t)2.因为当t=1时,只有切线PB 与y 轴相交;当0<t<1时,圆(x-1)2+y 2=1是△PBC 的旁切圆,所以t>1,且y B =t t +1,y C =t t -1⇒|BC|=|y B -y C |=1222-t t ⇒S △PBC =21|BC||x P | =1224-t t =2[2+(t 2-1)+112-t ]≥8.当且仅当t=2时,等号成立.[原创问题]:设P 是抛物线C 1:x 2=4y 上的点.过点P 做圆C 2:x 2+(y+1)2=1的两条切线,交直线l:y=-1于A,B 两点.(Ⅰ)若抛物线C 1在P 处的切线l 1分别与x 、y 轴交于点M 、N,求证:M 是PN 的中点;(Ⅱ)是否存在点P,使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线l 1平分？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设P(2t,t 2),则抛物线C 1在P 处的切线l 1:2tx=2(y+t 2),即y+t 2=tx ⇒M(t,0),N(0,-t 2)⇒M 是PN 的中点;(Ⅱ)圆C 2:x 2+y 2+2y=0⇒双切线PA 与PB 的方程为:(t 4+6t 2)(x 2+y 2+2y)-[2tx+t 2y+y+t 2]2=0;令y=-1得:(t 4+6t 2)(x 2-1)-(2tx- 1)2=0⇒(t 4+2t 2)x 2+4tx-(t 4+6t 2+1)=0⇒x A +x B =-2424tt t +=-tt 243+⇒AB 的中点为(-tt 223+,-1);线段AB 被抛物线C 1在点P处的切线l 1平分⇔点(-tt 223+,-1)在y+t 2=tx 直线上⇔-1+t 2=-222+t ⇔t=0,矛盾.不存在.例7:椭圆合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年四川高考试题)椭圆有两顶 y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l D与椭圆交与C 、D 两点,并与x 轴交于点P.直线 CAC 与直线BD 交于点Q. A O B P x (Ⅰ)当|CD|=232时,求直线l 的方程;(Ⅱ)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OQ OP ⋅为定值.[解析]:(Ⅰ)椭圆x 2+22y =1,设直线l:y=kx+1,由⎩⎨⎧=-++=022122y x kx y ⇒(2+k 2)x 2+2kx-1=0⇒|CD|=21k +⋅222122k k ++= 232⇒k=±3⇒直线l:y=±3x+1;(Ⅱ)设直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y-k 2x+k 2=0则过A,B,C,D 四点的曲线系:2x 2+y 2-2+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(2+λk 1k 2)x 2+(1+λ)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-2=0;该曲线系变为直线AB 与CD ⇒2+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)]=0⇒直线CD:(1+λ)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0⇒x P =2112k k k k +-;又由直线AC:y-k 1x-k 1=0,直线BD:y- k 2x+k 2=0⇒k 1x Q +k 1=k 2x Q -k 2⇒x Q =1221k k k k -+⇒OQ OP ⋅=x P x Q =2112k k k k +-⋅1221k k k k -+=1. [原创问题]:已知椭圆C:22ax +22by =1(a>b>0)的离心率e=21,长轴的左、右端点分别为A(-2,0)、B(2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+1与椭圆C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由e=221a b -=21⇒22ab =43;又由a=2⇒b 2=3⇒椭圆C:42x +32y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-2k 1=0,直线PB:y-k 2x+2k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:3x 2+4y 2-12+λ(y-k 1x-2k 1)(y- k 2x+2k 2)=0⇒(3+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(4+λ)y 2+2λ(k 2-k 1)y-4λk 1k 2-12=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(4+λ)y-2λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(1,0)⇒k 1+ k 2=2(k 2-k 1)⇒2+x y +2-x y =2(2-x y -2+x y)⇒x=4⇒点P 在定直线x=4上. 例8:双曲线合成的二次曲线分解为直线.[始源问题]:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), y PD 在双曲线x 2-y 2=1的左支上,D ≠A,直线CD 交双曲线x 2-y 2=1的右支于点E,求证:直线 AD 与BE 的交点P 在直线x=21上. A B C x [解析]:设P(x 0,y 0),直线AD:y-k 1x-k 1=0,直线BE:y-k 2x+k 2=0,过A,B,E,D 四点的曲 D线系:x 2-y 2-1+λ(y-k 1x-k 1)(y-k 2x+k 2)=0⇒(1+λk 1k 2)x 2+(λ-1)y 2-λ(k 1+k 2)xy-λ(k 1-k 2)y-λk 1k 2-1=0,该曲线变为直线AB与CD ⇒1+λk 1k 2=0⇒直线CD:(λ-1)y-λ(k 1+k 2)x-λ(k 1-k 2)=0,由直线CD 过点C(2,0)⇒3k 1+k 2=0,⎩⎨⎧-=+=)1()1(21x k y x k y ⇒x=21.[原创问题]:已知双曲线C:22ax -22by =1(a>0,b>0)的离心率e=35,实轴的左、右端点分别为A(-3,0)、B(3,0). (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线x=ky+3与双曲线C 交于M 、N 两点,求证:直线AM 与BN 的交点P 在定直线上.[解析]:(Ⅰ)由a=3,e=a c =35⇒c=5⇒b=4⇒双曲线C:92x -162y =1;(Ⅱ)设P(x,y),直线PA:y-k 1x-3k 1=0,直线PB:y-k 2x+3k 2=0⇒过A 、M 、B 、N 四点的二次曲线系:16x 2-9y 2-144+λ(y-k 1x-3k 1)(y -k 2x+3k 2)=0⇒(16+λk 1k 2)x 2-λ(k 1+k 2)xy+(λ-9)y 2+3λ(k 2-k 1)y-9λk 1k 2-144=0;该曲线系变为直线AB 与MN ⇒3+λk 1k 2=0,此时曲线系:y[λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)]=0⇒直线MN:λ(k 1+k 2)x-(λ-9)y-3λ(k 2-k 1)=0;由直线MN 过点(3,0)⇒ k 1+k 2=k 2-k 1⇒3+x y +3-x y =3-x y -3+x y⇒x=3⇒点P 在定直线x=3上.。
第20讲 曲线系及其应用(解析几何)(解析版)
第20讲曲线系及其应用知识与方法1.曲线系与曲线系方程的概念曲线系：具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有参数的方程来表示. 曲线系方程: 对于关于的二元方程,如果方程中除外,还含有至少一个暂不确定的参数,x,y x,y这样的方程叫曲线系方程.2.过两曲线交点的曲线系若两曲线和有交点,则过两曲线交点的曲线系方程可设为C1:f1(x,y)=0C2:f2(x,y)=0（不包括或者.f1(x,y)+λf2(x,y)=0f2(x,y)=0）λf1(x,y)+μf2(x,y)=03.一次曲线系（直线系)具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,也叫做一次曲线系,它的方程称直线系方程. 下面是几种常见的直线系方程:(1)过已知点的直线系方程或(为参数）;P(x0,y0)y−y0=k(x−x0)x=x0(2)斜率为的直线系方程：是参数）;k y=kx+b（b(3)与已知直线平行的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Ax+By+λ=0（λ(4)与已知直线垂直的直线系方程: 为参数）;Ax+By+C=0Bx−Ay+λ=0(λ(5)过直线与的交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0l2:A2x+B2y+C2=0为参数）（不包括直线）A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ l24.二次曲线系圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被视为二次曲线的退化形式. 二次曲线系的一般形式为:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0两条直线所组成的二次曲线方程为:(Ax+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=01熟悉下列结论有助于我们更好地理解二次曲线系:定理给定五点,其中任何三点都不共线,则有且仅有一条二次曲线过这五点.在此定理的基础上我们可以进一步得到一些重要结论. 为简单起见,以下将两直线的并体记作l1,l2,那么可以理解为一条退化的二次曲线,其方程简记为.l1⋅l2l1⋅l2l1(x,y)⋅l2(x,y)=0推论1如果两条直线的方程为,分别记为,即A i x+B i y+C i=0(i=1,2)l i(x,y)(i=1,2),它们与一条二次曲线有交点,那么曲线系l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0F(x,y)=0λF(x,y)+μl1(x,y)⋅l2(x,y)=0经过这些交点.如果它们有四个不共线交点,那么曲线系包含有所有过此四点的二次曲线.由推论可知:若二次曲线的方程为: ,则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(1)已知四边形四条边的方程为l i:A i x+B i y+C i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线方程为.l1(x,y)l3(x,y)+λl2(x,y)l4(x,y)=0(2)过两直线与一条二次曲线的四个交点的二次曲线系的方程为l1,l2f(x,y)=0f(x,y)+λl1(x,y)l2(x,y)=0(3)与两条已知直线分别切于点的二次曲线系方程为, 其中l1,l2M1,M2l1(x,y)l2(x,y)+λl23(x,y)=0l3(x,是直线的方程.y)M1M2推论为不共线的三点,直线的方程为2P i(i=1,2,3)P i P i+1(i=1,2,3,P4=P1)l i(x,y)≡A i x+B i y+C i=0，则曲线系:λl1(x,y)⋅l2(x,y)+λ2l2(x,y)⋅l3(x,y)+λ3l3(x,y)⋅l1(x,y)=01表示所有过三点的二次曲线.P1,P2,P3典型例题类型利用曲线系求曲线方程1:【例1】已知椭圆与两直线C:x2+2y2=4l1:x+y−1=0,l2:2x−2y+1=0,各有两个交点,求过此四个交点及点的二次曲线.(−1,1)【答案】.5x2+4y2−x+3y−13=0【解析】显然四个交点不共线,可设所求曲线方程为,λ(x2+2y2−4)+(x+y−1)(2x−2y+1)=0将点的坐标代人方程,即得.故所求椭圆方程为.(−1,1)λ=35x2+4y2−x+3y−13=0【注】利用曲线系求曲线方程的步䐂:(1)设出曲线系方程;(2)根据条件求出参数;(3)回代即得所求方程.类型2：圆系问题【例2】求经过两圆和的交点,并且圆心在直线x2+y2+6x−4=0x2+y2+6y−28=0x−y−4=0的圆的方程.【答案】.x2+y2−x+7y−32=0【解析】设所求圆的方程为,x2+y2+6x−4+λ(x2+y2+6y−28)=0化简得 ，(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+6x +6λy−(28λ+4)=0因为圆心在直线 上,所以 ,(−31+λ,−3λ1+λ)x−y−4=0−31+λ+−3λ1+λ−4=0解得,即得所求圆的方程为.λ=−7x 2+y 2−x +7y−32=0【例3】三边所在直线方程为: ,求的外接圆的方程. △ABC x−2y−5=0,3x−y =0,x +y−8=0△ABC 【答案】x 2+y 2−4x−2y−20=0【解析】外接圆方程可写为△ABC (x−2y−5)⋅(3x−y )+λ1(3x−y )(x +y−8)+λ2(x +y−8)(x−2y−5)=0即(3λ1+λ2+3)x 2+(2λ1−λ2−7)xy +(−λ1−2λ2+2)y 2+(−24λ1−13λ2−15)x+(8λ1+11λ2+5)y +40λ2=0于是,解得:,将它们代入，{2λ1−λ2−7=03λ1+λ2+3=−λ1−2λ2+2λ1=2,λ2=−3即得外接圆方程为 .△ABC x 2+y 2−4x−2y−20=0【例4】椭圆与直线 交于两点,点的坐标为.求过x 2+2y 2−2=0x +2y−1=0B ,C A (2,2)A ,B ,C 三点的圆的方程.【答案】6x 2+6y 2−9x−14y−2=0【解析】我们可以先求出B ,C点的坐标,利用推论2求解,不过这里可从另一个角度思考问题,二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2过两点,但十分明显地不包含过的所有曲线,过y−1)=0B ,C B ,C B ,C 的圆就不在其中.不过我们可以“就势”一变,再构造二次曲线系λ(x 2+2y 2−2)+μ(x +2y−1)(x−2y +m )=0(∗)这就包含了过的圆了.展开,得B ,C (λ+μ)x 2+(2λ−4μ)y 2+μ(m−1)x +2μ(m +1)y−mμ−2λ=0令,并取,即得.λ+μ=2λ−4μμ=1λ=5代入得.(∗)6x 2+6y 2+(m−1)x +2(m +1)y−m−10=0将点坐标代人,得,代人得所求圆的方程为.A m =−86x 2+6y 2−9x−14y−2=0【注】这里添加直线,原因是过三点的圆是唯一的,且缺项.x−2y +m =0A ,B ,C xy【例5】四条直线围成一个四边形,问l 1:x +3y−15=0,l 2:kx−y−6=0,l 3:x +5y =0,l 4:y =0k取何值时, 此四边形有个外接圆,并求此外接圆的方程.【答案】.x 2+y 2−15x−159y =0【解析】设过该四边形4个顶点的二次曲线系的方程为.(x +3y−15)(x +5y )+λ(kx−y−6)y =0整理得, 方程表示圆, 则 解得()()()22815157560x k xy y x y λλλ+++---+=151,80.k λλ-=+=, 故此四边形外接圆的方程为.414,7k λ==-22151590x y x y +--=【例6】 设过坐标原点的直线与拋物线交于两点, 且以l ()2:41C y x =-,A B AB 为直径的圆恰好经过拋物线的焦点, 求直线的方程.C F l【答案】.y =【解析】设直线的方程为, 构造过的二次曲线系l y kx =,A B ,()()()2410y x kx y kx y m λ--+-++=即,①()()2221440k x y mk x my λλλλ+-+--+=令得，代入①即得过两点的圆的方程是21k λλ=-211k λ=+,A B 222222224401111k k mk m x y x y k k k k ⎛⎫++--+= ⎪++++⎝⎭因点在圆上，于是有()2,0F 2224244011k mk k k ⎛⎫+-+= ⎪++⎝⎭又以为直径的圆的圆心在直线上, AB y kx =22411m mk k k k ⎛⎫∴=-- ⎪++⎝⎭由上两式消去, 解得故所求的直线的方程是m k =l y x =【例7】 已知直线与双曲线相交于两点, 当为何值时, 以10mx y -+=2231x y -=,A B m AB为直径的圆经过原点.【答案】 .1m =±【解析】构造二次曲线系: ,()()223110x y mx y mx y n λ--+-+++=即()()()()222311110m x y m n x n y n λλλλλ+-++++-+-=，令得，又圆经过原点，代入得，于是方程可表示为()231m λλ+=-+241m λ-=+1n λ=222253m x y mx y m ++-+=-又圆心在直线上，故()225,223m m m ⎛⎫+ ⎪- ⎪-⎝⎭10mx y -+=()22510223m m m m ⎡⎤+⎢⎥⋅--+=-⎢⎥⎣⎦化简整理得 故.410m -=，1m =±易知当时, 直线与双曲线相交, 所以当时, 以为直径的圆经过原点.1m =±1m =±AB 类型3: 利用曲线系求解切线问题【例8】 已知圆的方程为, 求经过圆上一点的切线方程.222x y r +=()00,M x y 【答案】 .200x x y y r +=【解析】视圆上的点为点圆,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=设所求圆方程为: ,()()()22222000x x y y x y r λ-+-++-=令, 得, 故切线方程为.1λ=-22220000222x x y y x y r r +=++=200x x y y r +=【注】在二次曲线系的应用中，“点圆”, “点椭圆”可助一臂之カ.本题中, 将点看成“二次曲线": ,()00,M x y ()()22000x x y y -+-=即为“点圆”. 用类似的解法可得:(1)过圆上一点的切线方程为222()()x a y b r -+-=()00,M x y ()()()()200;x a x a y b y b r --+--=(2) 过椭圆上一点的切线方程为22221(0)x y a b a b +=>>()00,M x y 2200221;x y a b +=(3)过双曲线上一点的切线方程为；22221(0,0)x y a b a b -=>>()00,M x y 2200221x y a b-=(4)过抛物线上一点的切线方程为.22(0)y px p =>()00,M x y ()00y y p x x =+【例9】 求经过点且与圆相切于点的圆的方程.()4,1A -22(1)(3)5x y ++-=()1,2B 【答案】 .226250x y x y +--+=【解析】将切点视为点圆, 设所求圆的方程为:()1,2B 22(1)(2)0x y -+-=()2222(1)(2)2650x y x y x y λ⎡⎤-+-+++-+=⎣⎦将点坐标代入, 可得, 代入整理, 得所求方程为.A 12λ=-226250x y x y +--+=【例10】 求与拋物线相切于两点, 且过点的圆锥曲线方程.259y x =+()()0,3,1,2P Q --()2,1A -【答案】 .2225103117562970x xy y x y --+-+=【解析】过 和 两切点的直线方程是,()0,3P ()1,2Q --530x y -+=设所求的曲线方程是()2259(53)0, *y x x y λ--+-+=因曲线过点, 代人上式得.()2,1A -132λ=-再代入, 化简整理得所求的圆锥曲线方程是.()*2225103117562970x xy y x y --+-+=【注】运用此种解法比其他解法解决这类问题要简单得多，但切勿忘记将切点弦方程加上平方.类型4: 利用曲线系求解圆锥曲线上的四点共圆问题【例11】 已知为坐标原点, 为椭圆在轴正半轴上的焦点,O F 22:12y C x +=y过且斜率为的直线与交于两点, 点满足.F l C ,A B P 0OA OB OP ++=(1) 证明：点在上;P C (2) 设点关于点的对称点为, 证明： 四点在同一圆上.P O Q ,,,A P B Q 【答案】（1）见解析; (2) 见解析.【解析】 (1) 设, 直线, 与联立得,()()1122,,,A x y B x y :1l y =+2212y x +=2410x --=所以121214x x x x +==-由，得0OA OB OP ++=()()()1212,P x x y y -+-+()()())121212121121x x y y x x -+=-+=-+++=+-=-因为, 所以点在上.22(1)12⎛-+= ⎝P C (2) 解法 1:()()()2112224tan 11131PA PBPA PBx x k k APB y y k k ∠ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭====----++同理()214tan 13QB QA QA QBk k x x AQB k k ∠---====-+所以互补, 因此四点在同一圆上.,APB AQB ∠∠,,,A P B Q 解法 2:由和题设知, 的垂直平分线的方程为1P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,Q PQ ⎫⎪⎪⎭1l ()1yx =⋯设的中点为, 则的垂直平分线的方程为 (2)AB M 1,2M AB ⎫⎪⎪⎭2l 14y=+⋯由(1)(2)得的交点为,12,l l 18N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1NP x ==-=AM ===所以,NA NP NB NQ ===故四点在以为圆心的同一圆上.,,,A PB Q N 解法 3:由(1)得, 直线.1,P Q ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭PQ 0y -=又直线的方程为AB 1y =+10y +-=故两直线的二次方程为,AB PQ )10y y +--=由此可设过点的曲线系方程为,,,A P B Q①)()221220y y xy λ+--++-=即②()()2222120x y y λλλ++--+-=我们让②式表示圆, 则, 得 .221λλ+=-3λ=-代入①式化简得,224460x y y +--=即, 显然此方程表示一个圆, 故四点在同一圆上.22199864x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝,,,A P B Q【例12】 若两条直线与圆锥曲线有四个交点, ()1,2i i y k x b i =+=()220ax by cx dy c a b ++++=≠则四个交点共圆的充要条件是.120k k +=【答案】见解析【证明】两直线组成的曲线方程为, 则过四个交点的曲线方程可设为()()11220k x y b k x y b -+-+=()()()2211220k x y b k x y b ax by cx dy e λ-+-++++++=必要性：若四点共圆, 则方程(1)表示圆, 那么(1)式左边展开式中项的系数为零, 即有xy .120k k +=充分性：当时，令(1)式左边展开式中项的系数相等, 得, 120k k +=22,x y 121k k a b λλ+=+联立解得, 将其代入(1)式, 整理得21211, k k k a bλ+=-=-220x y c x d y e ++++''='由题设知四个交点在方程(2)所表示的曲线上，显然方程(2)表示圆, 即四个交点共圆.【注】本题表明：圆锥曲线的内接四边形ABCD 出现四点共圆时，一定有任何一组对边对应所在的直线倾斜角互补.【例13】 设直线 与椭圆 交于 两点, 过 两点的圆与:43l y x =-22:12516x y E +=,A B ,A B E 交于另两点 , 则直线 的斜率为（ ,C D CD ）A. B. C.D. -414-2-14【答案】D【解析】设 , 所以, 则过:0CD l ax by c ++=()():430AB CD l l ax by c x y ⋃++--=,,,A B C D四点的曲线系为 .()()22:14302516x y C ax by c x y λ+-+++--=表示圆, 则系数相等, 且无项. 化简得C 22,x y xy 114251640a b b a λλλλ⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解得 4.CD a k b=-=-【注】由例 12 结论可知：四点共圆.,,,A B C D 04CD AB CD k k k ⇔+=⇒=-【例14】 已知拋物线的焦点为, 直线与轴的交点为,2:2(0)C y px p =>F 4y =y P 与的交点为, 且.C Q 54QF PQ =(1) 求抛物线的方程;C (2) 过的直线与相交于两点, 若的垂直平分线与相交于两点, 且F l C ,A B AB l 'C ,M N ,,,A M B N四点在同一个圆上, 求直线的方程.l【答案】（1） (2)或.24; y x =10x y --=10x y +-=【解析】 (1) 设, 代入中得, 所以,()0,4Q x 22(0)y px p =>08x p =088,22p p PQ QF x p p==+=+依题意得, 解得或 （舍去)，故拋物线的方程为.85824p p p+=⨯2p =2p =-C 24y x =(2) 依题意知与坐标轴不垂直, 故可设的方程为.l l ()10x my m =+≠代入得. 设,24y x =2440y my --=()()1122,,,A x y B x y 则, 故的中点为.12124,4y y y y +==-AB ()221,2D m m +又的斜率为, 所以的方程为,l 'm -l '2123x y m m=-++由直线的方程及拋物线方程, 可设过四点的曲线系方程为:,l l ',,,A M B N ()()22112340x my x y m y x m λ⎛⎫--+--+-= ⎪⎝⎭()()2223211122223230x y m xy m x m m y m m m λλ⎛⎫⎛⎫+----++++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为四点共圆, 所以, 从而.,,,A M B N 111,0m mλ-=-=2,1m λ==±当时，化简式得，1m =()*2214450x y x y +-++=即, 此时直线的方程为:;22(7)(2)48x y -++=l 10x y --=当时，化简式得, 即1m =-()*2214450x y x y +--+=22(7)(2)48x y -+-=此时直线的方程为：, 所求直线的方程为：或.l 10x y +-=l 10x y --=10x y +-=【例15】 设, 过两定点, 分别引直线和, 使与拋物线0b a >>()(),0,,0A a B b l m 2y x =有四个不同的交点, 当这四点共圆时, 求和的交点的轨迹.l m P 【答案】点的轨迹是直线 (除去与和三个交点）.P 2a bx +=0y =2y x =【解析】设, 则:,()00,P x y ()()0000:,:y yPA y x a PB y x b x a x b=-=---将两直线合并为二次曲线: ，,PA PB ()()00000y yy x a y x b x a x b ⎡⎤⎡⎤--⋅--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦又抛物线方程为,20y x -=则过四个点的二次曲线系方程为()()()200000y yy x a y x b y x x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为四个交点共圆, 则方程（*）表示圆, 四点必满足方程:(为常数)()()222110x x y y r -+--=11,,x y r 于是:()()()()()2222001100y y y x a y x b y x x x y y r x a x b λμ⎡⎤⎡⎤--⋅--+-=-+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对比两侧项的系数, 可得, 所以,xy 00000y y x a x b λ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭()02a b x +=即点的轨迹是直线(除去与和的三个交点）. P 2a bx +=0y =2y x =【注】本题借助曲线系方程,巧妙利用“四点共圆”的已知条件，成功避开了求交点的繁杂过程. 需 要注意的是,在对比系数时, 不必找出所有项的系数, 我们只要找出其中最好用的即可. 本例中, 由于圆 方程的特点：没有项, 即项系数为0 , 故对比项的系数即可得到结果.xy xy xy 类型5: 利用曲线系求解定点定值问题【例16】 已知椭圆中有一内接, 且(如图), 求证, 直线22126x y +=,60PAB XOP ∠= 0PA PB k k +=AB方向一定.【答案】见解析【解析】点的坐标为, 过点, 将点视作二重点P (P 0y +-=P ,于是直线的方程依次是:,P P ,,,PA PB PPAB ()()1100y k x y k x y px qy r -=--=--++=++=过四点的椭圆方程可写为,,,A P P B①()][()()110y k x y k x y px qy r λμ⎡⎤--⋅--+++⋅++=⎣⎦与椭圆方程②22126x y +=代表同一条二次曲线, 故比较①②中项系数, 可得：, 即为所求.xy pq-=【例17】 已知为椭圆 的左右顶点, 在直线 上任取一点, 连接,A B 22221(0)x y a b a b+=>>:l x m =P , 分别与椭圆交于, 连交轴于点, 求证: .PA PB ,C D ,CD CD x (),0Q n 2mn a =【答案】见解析【解析】设, 则,(),P m t ()():0:0:0:0PA tx m a y at PB tx m a y at AB y CD kx y kn ⎧-++=⎪---=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线得,PA PB 222210x y a b+-=,AB CD ()()()()()22221x y tx m a y at tx m a y at kx y kn y a b λμ⎛⎫⎡⎤+-+-++---=-- ⎪⎣⎦⎝⎭比较的系数得, 即xy ()()()k t m a t m a μ=---+2k tmμ=-比较的系数得, 即y ()()()kn at m a at m a μ-=--++22kn ta μ-=所以.2mn a =【例18】 已知椭圆, 四点2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()1231,1,0,1,1,P P P -中恰有三点在椭圆上.C (1) 求的方程;C (2) 设直线不经过点, 且与相交于两点. 若直线与直线的斜率的和为, 证明:l 2P C ,A B 2P A 2P B 1-过定点.l 【答案】（1） (2)见解析.221;4x y +=【解析】 (1) (过程略)221;4x y +=(2)设斜率分别为，其中22,P A P B 12,k k 121k k +=-则2122:10,:10P A k x y P B k x y -+=-+=将两直线方程合并为：()()12110 k x y k x y -+-+=联立方程组，（此方程组的解为三点的坐标）()()122211044k x y k x y x y ⎧-+-+=⎨+=⎩2,,P A B 整理得()()()2212212121(1)0411k k x y x y k k x k k y y ⎧+-+-=⎪⎨-=+-⎪⎩进而()()()2121(1)411y x y k k y y -+-=+-所以或（即点或）1y =()()12141x y k k y +-=+2P AB l 故直线的方程为：, 显然恒过定点.l ()()12141x y k k y +-=+l ()2,1-【例19】已知分别为椭圆的左、右顶点, 为的上顶点,A B 、222:1(1)x E y a a+=>G E 为直线上的动点,与的另一交点为与的另一交点为.8,AG GB P ⋅=6x =PA E ,C EB E D (1) 求的方程; (2) 证明：直线过定点.E CD 【答案】 (1) (2) 见解析221;9x y +=【解析】 (1) （过程略）2219x y +=(2) 设, 则()6,P t :930:330:0:0PA tx y t PB tx y t AB y CD x my n -+=⎧⎪--=⎪⎨=⎪⎪--=⎩用双直线和椭圆表示双直线,,PA PB 22990x y +-=,AB CD 得()()()()22999333x y bx y t tx y t y x my n λμ+-+-+--=--⎡⎤⎣⎦，比较的系数得;xy 121t μ-=比较的系数得, 所以.y 18t n μ=-32n =直线的方程为, 显然直线过定点.CD 32x my =+CD 3,02⎛⎫⎪⎝⎭【例20】 已知椭圆和定点 过点2222:1(0)x y E a b a b+=>>()(),0,,0, (,0).M m N n a m n a m n -<<<⋅≠M作直线交椭圆于点, 直线分别交椭圆于另一个点. 设直线和E ,A B ,AN BN E ,P Q AB PQ的斜率为 证明:21,.k k (1) 直线经过定点;PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭(2) 为定值.2212222k a n k a mn n -=-+【答案】见解析.【解析】证明：如图, 设直线, 即()():,:A B AP y k x n BQ y k x n =-=-0A A k x y k n --=.则下面的曲线系方程表示经过点四点的曲线:0B B k x y k n --=,,,A B P Q ()()222210A AB B x y k x y k n k x y k n a b λ⎛⎫----++-= ⎪⎝⎭展开此方程得()()()222Λ22120A B A B A B B A B k k x y k k xy k k n x k k n y k k n a b λλλ⎛⎫⎛⎫++++--+-++⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即①()2222222222011111A B A B A b A B A B k k k k n k k n k k k k n a x y xy x y b b b b bλλλλλλλ++----⋅++⋅+⋅+⋅+=+++++取特殊的, 使该方程表示为直线和组合体对应的曲线方程λ()1:AB y k x m =-2:PQ y k x t =+，展开此方程得()()1120k x y mk k x y t ---+=②()()()()2212121121102k k x y k k xy k t k k m x t k m y k mt ⋅++--+-+-+-=由此存在实数, 使得方程①和方程②为同一个方程, 对照和项系数得,λxy y 112t k mn k k -+-=--即()12t k m n n k =--⋅由此知直线,()212:PQ y k x k m n n k =+--⋅其与轴的交点为.x ()212,0n k k m n E k ⋅--⎛⎫⎪⎝⎭设直线的交点为, 点在椭圆关于点的极线上，,AB PQ T T 2222:1(0)x y E a b a b +=>>(),0N n 2:a l x n=设极线与轴的交点为. 由此得l x 2,0a K n ⎛⎫⎪⎝⎭()()22211122222n k k m n k a a n m n k n k n k KN a a k KMm m n n⋅----+-⋅===--解得2212222k a n k a mn n -=-+故此时的方程为，PQ ()()22222222an m n y k x k n k a mn n --=+⋅-⋅-+即()22222222a m n mn y k x k a mn n -+=+⋅-+从而直线经过定点.PQ ()22222,02a n m mn a mn n ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭类型6: 证明圆锥曲线内接四边形的性质【例21】 试证明, 椭圆的内接矩形的两相邻边分别与椭圆的长短轴平行.【答案】见解析【解析】建立坐标系, 设矩形各边：,(), 1,2i i y k x h i ===则椭圆方程可写为,()()()()12120y k y k x h x h λμ--+--=显然,项系数为0, 故得证.xy。
二次曲线系及其应用
二次曲线系及其应用
二次曲线是指二次方程所表示的函数图像，其一般形式为：
y = ax^2 + bx + c
其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。
二次曲线的系数 a, b, c 确定了其形状和位置。
根据 a 的正负，
可以分为以下三种情况：
1. 当 a > 0 时，二次曲线开口向上，形状为一个向上的抛物线。
2. 当 a < 0 时，二次曲线开口向下，形状为一个向下的抛物线。
3. 当 a = 0 时，二次曲线简化为线性函数 y = bx + c，即一条直线。
二次曲线在数学和几何中有广泛的应用，以下是一些常见的应用：
1. 物理学中的抛物线运动：抛体的运动轨迹往往是一个抛物线，通过求解二次方程可以得到抛体的轨迹方程。
2. 工程中的弧线设计：二次曲线常用于道路、铁路、水利工程等的弧线设计，能够平滑连接不同的线段或曲线。
3. 经济学中的边际分析：二次曲线可以用于分析某一变量对另一个变量的边际影响，如成本与产量、收益与销量之间的关系。
4. 统计学中的拟合曲线：二次曲线可以通过最小二乘法进行拟
合，用于描述数据点的趋势和预测。
5. 计算机图形学中的图像处理：二次曲线可以用于曲线的描绘、图像的变换和变形等操作，常用于计算机图像的处理和生成。
这些只是二次曲线应用的一些例子，二次曲线在实际问题中有着广泛的运用。
巧用曲线系方程妙解题
巧用曲线系方程妙解题
曲线系方程是数学中一种重要的工具，它能够帮助我们解决各种问题。
有些问题可以通过曲线系方程解决：
1、找出直线上的某一点：两个直线的交点可以通过解曲线系方程确定。
例如，两个直线y=2x-3和y=x+1，它们的交点可以解出x=2，y=3；
2、求偏移量：如果两个直线具有某种特定的相对位置关系，可以计算它们的偏移量。
例如，两个直线y=3x+9和y=x+1的偏移量可以通过解出x=-8，y=-5得出；
3、求抛物线的焦点：若要求抛物线的焦点，则可以通过求解相应的曲线系方程而得出，如y=x^2的焦点可以通过解出x=0，y=0的方程而确定；
4、求圆的方程：要得到圆的方程，只需要给出它的半径和圆心，然后通过曲线系方程可以得到它的方程，如圆心为(2,3)，半径为5的圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25。
由此可见，曲线系方程可以为我们解决上述类似的问题，它的作用是十分巧妙的。
例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用
图1曲线系方程：设f (x ,y )=0和g (x ,y )=0分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf (x ,y )+g (x ,y )=0(不含f (x ,y )=0).高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程.应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf (x ,y )+g (x ,y )=0，其中f (x ,y )=0表示圆锥曲线方程，g (x ,y )=0表示两直线构成的曲线方程；（2）将λf (x ,y )+g (x ,y )=0展开，合并同类项，与圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0比较系数，求出λ的值；（3）将λ反代回方程λf (x ,y )+g (x ,y )=0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补.例1已知T (3,0),Q 是圆P :(x +3)2+y 2=16上一动点，线段QT 的中垂线与直线PQ 交于点S .（1）求动点S 的轨迹E 的方程；（2）过点()1,0且斜率为2的直线l 1与轨迹E 交于A ,B 两点，过原点且斜率为-2的直线l 2与轨迹E 交于M ,N 两点，判断A ,B ,M ,N 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程.解析：(1)如图1，因为S 为QT 中垂线上的点，所以||ST =||SQ ，故||SP +||ST =||SP +||SQ =||PQ =4，即点S 的轨迹是以P ,T 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则2a =4，故a =2,又b 2=a 2-3=1，故动点S 的轨迹E 的方程为x 24+y 2=1.（2）由题意，l 1:2x -y -2=0，l 2:2x +y =0,例谈曲线系方程在圆锥曲线中四点共圆问题的应用四川省成都市树德中学李小蛟610091摘要：圆锥曲线中的四点共圆问题是近年考试的难点和热点，如何在解析几何问题中判断或证明四点共圆问题，是一直困扰师生的一个拦路虎.本文从曲线系方程出发，从纯解析的角度去理解并解决共圆问题.关键词：曲线系；运算；构建；共圆y QxTOP S ··20设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24+y 2-1+()2x -y -2()2x +y =0，整理得æèöøλ4+4x 2+()λ-1y 2-4x -2y -λ=0①.若方程①表示圆，则λ4+4=λ-1，解得λ=203，代入式①得x 2+y 2-1217x -617y -2017=0②.显然方程②表示圆，故A ,B ,M ,N 四点在同一圆上，圆的方程是x 2+y 2-1217x -617y -2017=0.评注：直线和椭圆交点是否共圆问题，若采用先求解出点坐标（用参数表示），再用三点确定圆方程（可用圆方程一般方程或标准方程），再检验其余点是否在该圆上.这种求解方法便于理解，但运算量非常大，对学生的应试心理和考场毅力要求较高.反观若运用曲线系方程则减少运算量，参数非常少（只引入了λ），在考场上对学生的应试信心会有很大的提升.例2已知抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ,过F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线E 交于A ,C 和B ,D .问：A ,B ,C ,D 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由.解析：由题意，两直线都不与坐标轴垂直，可设AC 的方程为x =my +2，BD 的方程为y =-m ()x -2，经过A ,B ,C ,D 四点的曲线系方程y 2-8x +λ(x -my -2)(mx +y -2m )=0，化简整理得λmx 2+(1-λm )y 2+λ(1-m 2)xy-(8+4m λ)x +2λ()m 2-1y +4m λ=0③.若该方程表示圆，则{λ()1-m 2=0λm =1-λm,即m =±1且λm =12.代入式③整理得x 22+y 22-10x +2=0，化为标准方程得()x -102+y 2=96.综上，当且仅当两直线倾斜角分别为π4,3π4时，A ,B ,C ,D 四点共圆，圆的方程为()x -102+y 2=96.评注：抛物线方程形式上左边二次，右边一次，因此抛物线与直线交点共圆问题联立时相对椭圆运算量要小一些，但本题同样涉及用参数m 表示，形式还是比较复杂，且表示圆的形式更加繁琐.因此，采用曲线系方程解决问题可减少运算，思路清晰，求解目标明确，形式简捷.例3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线方程为3x -2y =0,且过点()4,3.（1）求双曲线C 的方程；（2）斜率为-12的直线l 1过点()-1,0且与双曲线C 交于A ,B 两点，斜率为k 的直线l 2过原点且与双曲线C 交于M ,N 两点，若A ,B ,M ,N 四点是在同一圆上，求k 的值及该圆的方程.解析:（1）由题意，ìíîïïïïb a16a 2-9b2=1,解得a =2,b =3，故双曲线C 的方程为x 24-y 23=1.（2）由已知直线l 1的方程为y =-12(x +1)，即x +2y +1=0，直线l 2的方程为kx -y =0，故可设经过A ,B ,M ,N 四点的曲线系方程为λæèçöø÷x 24-y 23-1+(x +2y +1)(kx -y )=0，整理得æèöøλ4-k x 2-æèöøλ3+2y 2+(2k -1)⋅xy +kx-y -λ=0④.若方程④表示圆，则ìíîïïλ4-k =-æèöøλ3+22k -1=0解得ìíîïïλ=-187k =12，代入式④··21图2化简得x 2+y 2-716x +78y -94=0⑤.显然方程⑤是圆的方程，经检验，当k =12时，直线l 2与双曲线C 有两个交点，故k =12，所求圆的方程为x 2+y 2-716x +78y -94=0.评注：本题是两直线与双曲线交点的四点共圆问题，采用曲线系方程求解，虽引入两个未知数（k ,λ），但根据圆一般方程的形式运算相对较小，且易于检验是否四点共圆.例4已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,直线y =4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且||QF =54||PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，若AB 的垂直平分线与C 相交于M ,N 两点，且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上，求l 的方程.解析:（1）由{y =4y 2=2px .得x =8p ，即Q æèçöø÷8p ,4，所以||PQ =8p ，||QF =8p +p 2.因为||QF =54||PQ ，所以8p +p 2=54⋅8p，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .（2）由题意，直线l 的斜率存在，设为k ，且k ≠0，则直线AB 的方程为y =k (x -1).由ìíîy =k ()x -1y 2=4x .得k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2k 2+4k2，x 1x 2=1，y 1+y 2=k ()x 1+x 2-2=4k，故AB 中点D 的坐标为æèçöø÷k 2+2k 2,2k ，故直线MN 的方程为x =-ky +3k 2+2k2.可设经过A ,M ,B ,N 四点的曲线系方程为λ(y 2-4x )+(kx -y -k )æèçöø÷x +ky -3k 2+2k 2=0，整理得kx 2+(λ-k )y 2+(k 2-1)xy -(4λ+)3k 2+2k 2+k x +æèçöø÷3k 2+2k 2-k 2y +3k 2+2k 2=0⑥.若方程⑥表示圆，则{k =λ-k k 2-1=0，故{k =1λ=2或{k =-1λ=-2.当k =1，λ=2时，代入式⑥整理得()x -72+()y +22=48，符合题意；当k =-1，λ=-2时，代入式⑥整理得(x -7)2+(y -2)2=48，符合题意.综上所述，直线l 的方程为y =±()x -1.评注:本题运算相对复杂（特别是求解直线MN 方程需用k 的相关形式表示），但涉及四点共圆时用曲线系解答非常巧妙地避开了用k 表示相关点求解圆方程，减少运算，降低思维难度，用一种形式轻松解决两个参数（k ,λ）的求解.曲线系方程从统一的思想高度来思考问题,求大同存小异,考虑共性的东西，不刻意去顾及个性特征，是数学形式与数学本质的完美结合，形式简洁、大气，体现了数学的形式美、简洁美与和谐统一之美.基金项目：本文为四川省数学会重点立项课题“提升学生核心素养的高中数学课程校本化研究”研究成果（项目编号：2020SXHJY004）.y A M DF B O Nx ··22。
曲线系方程及其应用
曲线系方程及其应用
曲线系方程是数学中基础而重要的研究对象，它以曲线系形式表示对象的形状、定位和关系，是几何研究形体、定位和变化的基础。
使用曲线系方程可以准确地表示复杂几何形状，并且可以用数学知识综合这些系统方程来求解几何问题，这是时间与空间相结合的表达以及描述复杂几何形状的有效方法。
曲线系方程的基本概念
曲线系方程表示的是一个曲线的运动轨迹，以及曲线的形状和构造等元素。
曲线系方程有以下几部分组成：定义域、函数、参数系数和曲线所在的平面。
定义域是曲线系方程的解空间，它由所给函数的参数确定，也是曲线所绘制的范围。
函数是曲线系方程的核心，它由指定参数计算得出。
参数系数是曲线所在的平面，它由数学语言来描述，也就是曲线系方程的参数。
曲线系方程的解法
曲线系方程的解法有分析解法和数值解法两种，分析解法可以直接给出满足曲线系方程的数学解，即曲线系方程的精确表达。
数值解法则是用几何图形、数学表达式及下列解法来近似求解曲线系方程：隐式函数解法、显式函数解法、牛顿切线法、修正牛顿法、最小二乘法。
曲线系方程的应用
曲线系方程的应用非常广泛，它在几何中、学科领域中，以及科
学、技术、工程领域中都有着重要的应用。
在几何学中，曲线系方程能够清楚的描述复杂的几何形状，它有助于几何学问题的定义和分析；在科学技术和工程领域，曲线系方程也可以用来解决各种科学技术和工程问题，比如流体动力学、热力学、振动力学等。
结论
曲线系方程是数学中重要的研究内容，其基本概念、解法以及广泛的应用都可以说明这一点。
曲线系方程不仅可以用来描述几何形状，还能够满足科学技术和工程领域的需求，因此它以其重要的研究地位成为了数学的支柱。
解析几何中的曲线与曲面方程应用
解析几何中的曲线与曲面方程应用解析几何是几何学的一个分支，它通过代数方法来研究图形和几何问题。
在解析几何中，曲线和曲面方程是非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的曲线与曲面方程应用进行解析与探讨。
一、曲线的方程应用在解析几何中，曲线是指由方程所决定的点的集合。
曲线的方程形式多种多样，下面将介绍几种常见的曲线方程及其应用。
1. 直线的方程在解析几何中，直线是最简单的曲线。
直线的方程常见的有斜截式、点斜式和一般式等形式。
其中，斜截式方程为y = kx + b，表示斜率为k，与y轴交点为b的直线方程。
点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)，表示已知直线上的一点P(x1, y1)和该直线的斜率k来确定直线方程。
一般式方程为Ax + By + C = 0，通过将直线的斜率截距形式通分化简得到，可以直观地表示一条直线的方程。
直线的方程在几何图形的描述和计算中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，直线方程可以用来描述两点之间的连线，以及直线与直线之间的关系。
在工程应用中，直线的方程可用于设计道路、建筑和机械零件等。
2. 圆的方程圆是解析几何中的一个重要曲线，它是由平面上到一个定点距离等于一个定值的点的集合。
圆的方程一般形式为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
在实际应用中，圆的方程被广泛用于计算和几何图形的描述。
例如，在地理学中，圆的方程可以用来表示地球的经纬线以及各个地点之间的距离。
在工程中，圆的方程可以用于设计轮胎、圆形舞台和圆形建筑等。
3. 椭圆的方程椭圆是由平面上到两个定点的距离之和为定值的点的集合。
椭圆的方程一般形式为[(x - h) / a]² + [(y - k) / b]² = 1，其中(h, k)表示椭圆的中心的坐标，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度。
(完整word版)曲线系方程及应用
曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系相交圆系： ３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型双曲线型椭圆型４．圆锥曲线系定理一:给定五点，其中三点在直线l 上,另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线(即两条直线）．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点,则过两曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点,则过这四个交点的曲线系方程为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．推论三:若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为:0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．二．曲线系方程的应用1.求一条经过五点)21,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线． 2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．3、已知AB ，CD 是椭圆12222=+by a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ,求经过这个三角形的三个顶点,且过(3,1）点的抛物线方程．例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证:过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A,B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H,求证： OFOE OH OC 1111+=+． 例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行,求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．３．在⊙Ｏ中,弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ,求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。
曲线系方程的应用
曲线系方程的应用作者：王冲来源：《新校园(下)》2015年第01期一、直线系方程1.过定点的直线系（1）直线y=kx+b（其中k为参数，b为常数）表示过定点（0，b）的直线系，但不包括轴。
（2）直线y-y0=k（x-x0）（其中k为参数）表示过点（x0，y0）的直线系，但不包括直线x=x0。
2.平行直线系（1）直线y=kx+b（其中b为参数，k为常数）表示斜率为k的平行直线系。
（2）与已知直线l：Ax+By+C=0平行的直线系为Ax+By+m=0（m为参数，m≠C）。
3.垂直直线系（1）与直线y=kx+b（其中b为参数，k为常数）垂直的直线系方程为y=-x+m。
（2）与已知直线l：Ax+By+C=0垂直的直线系为Bx-Ay+m=0（m为参数）。
4.经过两条直线的交点的直线系已知直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0相交，则经过它们交点的直线系为m（A1x+B1y+C1）+n（A2x+B2y+C2）=0（m，n为参数且m2+n2≠0）或A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ为参数），但不包括直线l2。
二、圆系方程1.同心圆系方程（x-x0）2+（y-y0）2=r2，其中（x0，y0）为常数，r为参数。
2.同心共线半径相等的圆系方程（x-x0）2+（y-y0）2=r2（r为常数，点（x0，y0）在Ax+By+C=0）。
3.过直线与圆交点的圆系方程设：l1：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则过直线l与C的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0。
例：求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点且过原点的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0，因为圆过原点，所以经过计算得：λ=-，代入上式得圆的方程为：x2+y2+x-y=0。
4.过已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ≠1）注：当λ=-1时，方程变为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0，表示为过CA和C2交点的直线。
曲线的参数方程及其几何应用
曲线的参数方程及其几何应用曲线是数学中非常重要的概念，它在各个领域有着广泛的应用。
在几何学中，曲线可以用参数方程的形式表示，这种表示方法非常灵活，能够描述一些复杂的曲线形状。
本文将介绍曲线的参数方程以及其在几何中的应用。
一、曲线的参数方程曲线的参数方程是一种描述曲线的方法，它使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，(x, y)为曲线上任意一点的坐标。
通过不同的参数取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
例如，考虑一个简单的曲线——单位圆，其参数方程可以表示为：x = cos(t)y = sin(t)当参数t取0到2π的范围时，就可以得到单位圆上的所有点。
二、参数方程的几何应用1. 曲线的绘制与描述通过参数方程，我们可以很方便地绘制各种曲线。
例如，通过调整参数方程中的函数形式、参数范围等，可以绘制出直线、抛物线、椭圆、双曲线等各种曲线形状。
这为几何学的研究和应用提供了重要的工具。
2. 运动轨迹的描述参数方程还可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，在物理学中，我们可以使用参数方程来描述质点的运动路径。
通过参数t的取值，可以确定不同时刻质点的位置。
这种描述方法在运动学、动力学等方面有着广泛的应用。
3. 曲线长度的计算通过参数方程，可以计算曲线的长度。
设曲线上两点的参数分别为t1和t2，曲线上这两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则曲线的长度可以通过如下公式计算：L = ∫[t1, t2] √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt这里，dx/dt和dy/dt分别表示曲线在x轴和y轴方向上的导数。
4. 曲线的曲率与切线通过参数方程，可以计算曲线上任意一点的曲率和切线。
曲率表示曲线在某一点的弯曲程度，而切线则表示曲线在该点的方向。
这种参数方程的描述方式，使得曲率和切线的计算变得相对简单，为曲线的研究提供了便利。
高中数学论文：巧用曲线系,求解曲线题
巧用曲线系，求解曲线题曲线系问题是高中数学课中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥曲线系三类。
在求解曲线问题时，若能巧妙的应用曲线系知识，将会使烦琐的运算变的轻而易举。
现归纳分析并举例应用如下。
一、直线系1过两直线交点的直线系若点P （x 0,y 0）是两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2+B 2+C 2=0的交点，则过点P 的直线系方程为：A 1x+B 1y+ C 1+ λ( A 2+B 2+C 2)= 0例1 已知直线l 1:3x+4y-10=0，l 2:4x-6y+7=0,l 3过l 1,l 2的点且过点A(4,-7)，求l 3的方程。
解:由题意可得l 3方程为:3x+4y-10+ λ(4x-6y+7)=0l 3过点A(4,-7), ∴3 ⨯4+4 ⨯(-7)-10+ λ[4 ⨯4-6 ⨯(-7)+7]=0 ∴ 52=λ 因此 l 3的方程为3x+4y-10+52(4x-6y+7)=0，即23x+8y-36=0 2 平行直线系方程y=kx+b ，当k 为定值时，表示斜率为k 的平行直线系。
方程A 0x+B 0y+C=0(A 0,B 0为定值,B 0 ≠0)表示斜率为00B A -的平行直线系。
例2 、直线l:3x-2y+5=0, l 1∥l 且l 1过点P(3,-2)，求l 1方程。
解： 因为l 1∥l ，故设l 1方程为3x-2y+m=0,。
P(3,-2) ∈l 1, ∴m=-3⨯3+2⨯(-3)=-13 ，即l 1的方程3x-2y-13=0 。
3 过定点直线系当k 为变量时，方程y-y 0=k(x-x 0)表示过定点P(x 0,y 0)的直线系。
例3、求证：当m 任意实数时，直线y=(m 2+2m+2)x-3m 2-6m-1必过一定点。
证明：将原方程变形为:y=(m 2+2m+2)x-3(m 2+2m=2)+5，即y-5=(m 2+2m++2)(x-3),由此可知直线过定点(3,5)。
曲线系方程及其应用
曲线系方程及其应用曲线系方程是一种以直线、圆、椭圆等曲线为基础的离散的函数的集合，又称曲线方程组。
可以用来描述物理和复杂的数学系统、模型和结构。
它可以用来描述物理系统中的运动和变形，也可以用来分析物理系统中的运动学特性和电磁学特性。
这些方程组可以在诸如数值计算、符号编程、几何建模、科学计算、图形学等领域的研究中得到广泛的应用。
曲线系方程的基本原理和概念很容易理解，但在研究和实际应用中，要解决复杂的问题，必须能够处理复杂的方程组。
这就要求在曲线方程的求解过程中，有较好的分析和计算工具，以满足各种需要。
因此，曲线系方程的解决方案也就开发出不同类型的技术和方法，以帮助理解复杂问题，并计算出最优解决方案。
首先，要解决一个曲线系方程的问题，需要考虑几何图形的构造，包括直线、圆、椭圆等，还要考虑几何图形的参数，包括圆心、半径等。
其次，必须要考虑到曲线函数参数的取值范围，因为在数学上参数和取值范围是相关的，而且在计算中参数的取值范围可能会影响最终结果。
其次，要解曲线方程，需要一种有效的求解方法，使用一种有效算法，可以从复杂的方程出发，最终获得准确的结果。
最后，曲线系方程的实际应用有很多，可以用来描述物理系统的运动物理系统的变形、变位和变形，也可以用来模型物理系统的运动学特性和电磁学特性，用来研究物理系统结构、力学、动力学和机械特性。
另外，曲线系方程还可以应用于计算机图形学、虚拟现实、机器视觉、数字信号处理、AI、金融工程等多个领域，是解决复杂实际问题的重要工具。
总之，曲线系方程是一种具有重要意义的数学工具，在研究和实际应用中有着广泛的应用。
它需要掌握的基本原理和概念，以及要求用有效的求解方法，可以解决复杂的实际问题，取得满意的解决方案。
平面解析几何中的曲线方程与曲面方程的应用
平面解析几何中的曲线方程与曲面方程的应用在平面解析几何学中，曲线方程与曲面方程是重要的工具和概念，用于描述和解析各种几何形状和图形。
通过对这些方程的研究和应用，我们能够更深入地理解曲线和曲面的性质和特征，以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、曲线方程的定义与应用曲线方程是用来描述平面上的曲线的数学表达式。
常见的曲线方程包括直线方程、圆方程、椭圆方程、抛物线方程和双曲线方程等。
这些方程使用了不同的数学形式和参数来描绘不同的几何形状。
1. 直线方程的应用直线方程是最简单的曲线方程形式，可用一般式方程或斜截式方程表示。
直线方程的应用广泛，例如，在工程和建筑领域中，直线方程常被用来设计道路、管道和房屋等结构，计算各种材料的长度和角度。
2. 圆方程的应用圆方程是描述圆形的数学表达式。
圆方程可以通过圆心和半径来定位和刻画一个圆。
在物理学和工程学中，圆方程是用来描述和计算圆形物体的运动轨迹和性质的常见工具。
3. 椭圆方程的应用椭圆方程是描述椭圆的数学表达式。
椭圆方程是众多科学领域中的重要数学工具，如天体力学中的行星运动、电子轨道理论和通信技术中的调制解调等。
椭圆方程还被广泛应用于地理勘测、导航系统和资源开发等领域。
4. 抛物线方程的应用抛物线方程是描述抛物线形状的数学表达式。
抛物线方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如炮弹的轨迹计算、抛物面反射天线的设计和太阳能聚焦器的形状确定等。
5. 双曲线方程的应用双曲线方程用于描述双曲线形态的数学表达式。
双曲线有广泛的应用，例如在电磁学中描述电磁波传播、经济学中的供需曲线和光学中的折射等。
二、曲面方程的定义与应用曲面方程用于描述三维空间中的曲面，常见的曲面方程有平面方程、球面方程、圆柱面方程、圆锥面方程和椭球面方程等。
这些方程通过数学形式和参数来刻画不同形状的几何体。
1. 平面方程的应用平面方程用于描述一个平面的数学表达式。
平面方程在物理学、工程学和计算机图形学中广泛应用，在工程设计中常用于计算平面上的点坐标和计算平面上的距离和角度。
曲线系方程及其应用
曲线系方程及其应用
一、曲线系方程定义
曲线系方程定义：具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系，并用含有参数的方程来示。
由曲线系的定义可知，曲线系并不是一条曲线，而是有共同性质的多条曲线的集合,而这些共同的性质在高中阶段常见的就是过几个定点或交点
二、常见的曲线系
1. 直线系
2、二次曲线系
三、曲线系在解题中的运用
因为曲线系是有共同特征的曲线的集合，且是通过参数来调整的，所以当参数确定是曲线也是确定的，解题是通常是先写出过某些点
或交点的曲线系，然后再找出另一条有这个性质的二次曲线(包括退化的二次曲线)然后令两者相等，对比系数得出系数之间的关系，下面会列举一些例题。
简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用
简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用摘要：在解圆锥曲线题，尤其是在比较复杂的、涉及多条曲线时，求交点、求方程往往成为令人头疼的事情，本文介绍高中数学竞赛常用的一种工具——曲线系来解题，并借几道习题来探究其实用性。
关键词：圆锥曲线，曲线系一、介绍曲线系（本文只讨论二次曲线系） 首先，方程 Ax 2+By 2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的是一条二次曲线，包括高中涉及的圆、椭圆、双曲线、抛物线， 另补充一种情况：两条直线我们知道 方程 A 1x+B 1y+C 1=0 和 A 2x+B 2y+C 2=0 表示的是两条直线 那么 方程 （A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0 将表示这两条直线 并且方程展开后为一个二次式。
原因很简单， 所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当1212A AB B =时，表示的是两条平行线。
我们设两个二次曲线方程 C 1=0 C 2=0有方程 1λC 1+2λC 2=0 表示所有经过C 1与C 2交点的二次曲线 同样，不难解释，首先这是一个二次的方程，表示一条二次曲线，其次所有同时满足C 1=0 C 2=0的点都符合上式。
利用这一个关系，当我们已知该曲线方程为 S=0时我们可以得到 1λC 1+2λC 2=S 利用左右的系数对比便可以解出问题。
二、例题分析首先我们先以一道竞赛题来感受曲线系的威力：（1993年全国高中数学联赛）设0<a<b ，过两定点A （a ，0）B （b ，0）分别引直线l 与m ，与抛物线y 2=x 有四个不同交点，当这四个点共圆时，求l 与m 交点P 的轨迹。
分析：以常规思路，先设出点P 坐标 P （x 0,y 0） 然后找出“四点公园”的等价条件，用含有x 0、y 0的方程表示，便能解出P 点轨迹。
但是，其中不可避免的要不断进行求直线方程、求交点坐标的过程，并且要把“四点共圆”应用出来，其中运算量较大。
过两曲线交点的曲线系方程的应用
方程。利用上述 曲线系方程求过 已知两曲线交 点的 中不包含 曲线 （ ，） Ｏ 如果 Ｇ ｘ ） ０满 足题设条 ｘ ：， ｙ （， ＝ Ｙ
新曲线方程 ， 可避 免求交点 坐标 的计算 ， 方法 与步 件 ， 其 则在答案 中还应补上 Ｇｘｙ ＝ 也是所求的解 。 （，） ０ 或
骤 如下 ：
由题意 ，３ 的判别式等于零 ： （）
易得所求直线方程为 ： ｘ ３ ０ ４＋ ＝ 。 由于已知 两圆（ ＋ ） （ 一 ）＝ ｘ １ｚ ｙ ３ １与（ ＋ ） （ 一 ＋ ｘ ３ ｙ ＋
解得 ： ＝ １ ２ － 或 ＝ 把 工 ． 一 代入（１） 得
Ｊ ｌ
３ ＝ ） ９圆心距 为 ４， 恰好 等于两圆半径之 和 ， 明给 说
由所 求直线－ ｑ原点距离为 解得 ＝ 。把 ２ １ １ ＝ 代入所设方程并化 简得 ４＋ － ＝ ； ｘｙ２０ 解： 把 方 先 椭圆 程羊 ＋ ＝ 和 ÷ｙ１ ｙ １ ： ＋ 化为 ２ 但 直线 ３＋ｙ ２ ０ ｘ ２ 一 ＝ 与原点 的距离也 为 ， 符 二元二次方程 的一般式 ，即 ｘ＋ ｙ一 ＝ Ｌ ２￣２ ０和 ２ ｖ 一 一
我们 知道 ，方程 （ ） （ ， ＝０ ＋ ） 表示 的 曲线 经过 （ ， ） Ｏ和 （ ， ） ０的交点 曲线 系 ｘｙ ＝ ｘｙ ＝ １ ． 检验 曲线 ｆ ，） ０ 否满足题设条件。 ｄｘ ＝ 是 ｙ
由 于 曲线 系方 程＾ （， ＋兢 （， ：０ ∈Ｒ） ） ） （
者另设 曲线系方程为 （， ＋ （，） 来解 （ 中 ） ｘ ＝０ 其 （ ’） Ｏ不满足题设条件 ） ｘｖ ＝ 。
１ ． 先设所求方程为 ： １ｘ ＋ （ ， ＝０ ， （， ｘ ） ）
２ 再根据 问题 中的另一个条件 ，确 定参数 的 ． 例如 ： 求过两直线 Ｘ ｙ ０和 ３ ＋ ｙ ２ ０的交点 —＝ ｘ ２一 ＝ 值， 然后代入所设方程 ， 化简得所求的方程 。 且与原点距离为 的直线方程。