理论力学试题7答案
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O
F
a
a
a
x
y
z 一、简要计算与回答下列各题(56分)
1、如图所示一均质杆,重为W ,A 端靠在光滑的墙上,B 端放在粗糙的水平面上,杆与地面之间的摩擦系数为5.0=f ,问杆在图示位置是否保持平衡并说明理由。
解:假设杆处于静止状态,受力如图所示,有平衡方程:
∑=0xi F 0NA
=-s F F ∑=0yi F 0NB
=-W F
∑=0B M 060sin 60cos 2
=︒-︒l F l
W
NA 解得W F NB = W 63=
s F 则s N s F W F f 2
= 故假设成立,杆处于平衡状态。
2、力F
在x 、y 轴上的投影分别为:
F F F x 2245sin -=︒-= F F F y 2
2
45cos =︒=
F 在以及对x 、y 、z 轴的矩分别为:
Fa F M x 22
)(-= 22)(Fa F M y -=
Fa Fa Fa F M F M F M F M Z z y z x z z 202
222)()()()(=++=
++=
3、图示平面机构,ω为已知,试在图上绘出在此瞬时AB 杆上M 点的速度的方向。
A
B αD
A
τ
A n
4、解:由题意知,由图3-a 所示: 平板作平动,2/10s cm a a D A ==
对摇杆OA 进行加速度分析如图3-b 所示:
2/560cos 10cos s cm a a A n A =︒⨯=⋅=α 2/3560sin 10sin s cm a a A l A =︒⨯=⋅=α 又:s rad OA a n A OA
/707.010
5===ω 2/866.010
3
5s rad OA
L
A
OA ==
=
αα ∴s rad OA /101.0=ω 2/866.0s rad OA =α
5、解:由题意可知:系统由三部分组成(如图4),曲柄OA 绕O 点转动
r V A ω=
r m V P A OA ω2
1
21== 方向水平向左
AB 杆瞬时平动, r V V B A ω== r A AB m mV P ω== 方向水平向左
物块B 在地面上向左移动 图4
ωmr mV P B B == 方向水平向左
系统总动量 :ωωωωmr mr mr mr P P P P B AB OA 23
21=++=
++= 曲柄OA 的动能T OA :222261
312121r m r m J T OA ωωω=⋅==
连杆AB 的动能T AB :22221
21r m mv T AB ω==
物块B 的动能 T B :2222
1
21r m mv T B ω==
系统的动能 T :
V
222222226
7
212161r m r m r m r m T T T T B AB OA ωωωω=++=
++=
6、根据质点系的动量矩定理可判断B 的角加速度大
7、均质细杆AB 重为P 、长L ,置于水平位置,如图所示。
在绳子突然剪断时有角加速度α,则该瞬时杆上各点惯性力向质心简化,其主矢和主矩的大小各为多少?并在图上画出该主矢和主矩的方向。
解:可以判断AB 杆作定轴转动,
ατ2
I L
g P a g P F C C ==
αα2
I 121L g
P J M C C =
= 二、(15分)一构架由杆AB 和BC 组成。
载荷P=20(KN ),如图所示。
已知AD=DB=1(m),AC=(2m)滑轮半径为30(cm),如不计滑轮重和杆重,试求A 和C 处的约束反力。
解:对AB :
∑=0B
M
0Pr )(=-++⋅-r BD P AB F Ay
KN F Ay 10=
以整体为研究对象,受力如图示:
∑=0C
M
023.2=⋅+⋅-Ax F P
解得 KN F Ax 23=
∑=0x
F
0=-Ax Cx F F
解得 KN F Ax 23=
∑=0y
F
0=-+P F F Cy Ay
解得 KN F Cy 10=
三、(14分)连接直杆AC 和BD 的小环M 以匀速υ(m/s)沿与铰链支座A 和B 等距离的直线LN 运动,杆AC 和BD 相应地绕点A 和B 转动如图所示。
试求当AM=AB=b(m)时,小环M 相对于AC 杆的速度和加速度。
解:以M 为动点,AC 为动系,各速度矢量如图示:
a v = e v
+ r v
方向:√ √ √ 大小:v ? ? 解得 2330cos v v v a r =
︒= 2
30sin v
v v a e =︒= b v AM v e e 2==ω 加速度:a a = n e a + τ
e a + r a + C a 方向: √ √ √ √ √ 大小: 0 b 2⋅e w ? ? r e v ω2
在图示轴的方向上投影得 n e
a a -=r 0 即b
v a r 42=
四、(15分)物体A 质量为m ,挂在绳子上,绳子跨过不急质量的固定滑轮D 并绕在鼓轮B 上,由于重物下降,带动了轮C ,使它沿水平轨道滚动而不滑动。
设鼓轮的半径为r ,滚子C 的半径为R ,
两者固连在一起总质量为M ,对于水平轴O 的回转半径为ρ,求重物A 的加速度。
解:设系统初始动能 01=T
重物下落h 时,圆盘中心的速度为A V ,其余各构件的运动参数如图示,则末动能为:
2
222121O
C A w J mV T += 其中 R
V w A
O =
2ρM J C = 物体下落过程中力所作的功为 mgh W =12
由动能定理, 1212W T T =- mgh V R
M m A =+2
22)(21ρ
两端对时间求导,得 2
22
ρ
M mR mgR a A +=。