最新人教版高一数学必修1第一章《函数的奇偶性》教案

示范教案

整体设计

教学分析

本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的．教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇(偶)函数的概念．因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然．

三维目标

1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．

2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．

重点难点

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与书写过程格式．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称．)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y 轴对称的函数展开研究．

思路2.结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y＝x2和y＝x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性．

推进新课

新知探究

提出问题

①如下图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写下面两表，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？

③请给出偶函数的定义？

④偶函数的图象有什么特征？

⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数吗？

⑥偶函数的定义域有什么特征？

⑦观察函数f(x)＝x和f(x)＝1

x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性

质？

活动：教师从以下几点引导学生：

①观察图象的对称性．

②学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数．

③利用函数的解析式来描述．

④偶函数的性质：图象关于y轴对称．

⑤函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]的图象关于y轴不对称；对定义域[－1,2]内x＝2，f(－2)不存在，

即其函数的定义域中任意一个x的相反数－x不一定也在定义域内，即f(－x)＝f(x)不恒成立．

⑥偶函数的定义域中任意一个x的相反数－x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称．

⑦先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质．

给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；(2)由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)；(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；(4)可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．

讨论结果：①这两个函数之间的图象都关于y轴对称．

②填表如下．

这两个函数的解析式都满足：

f(－3)＝f(3)；

f(－2)＝f(2)；

f(－1)＝f(1)．

可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)．

③设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，

则这个函数叫做偶函数．

④偶函数的图象关于y轴对称．

⑤不是偶函数．

⑥偶函数的定义域关于原点轴对称．

⑦设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数的图象关于原点中心对称，其定义域关于原点轴对称．

应用示例

思路1

例1判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)f(x)＝x＋x3＋x5；(2)f(x)＝x2＋1；

(3)f(x)＝x＋1；(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．

解：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.

因为f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)，

所以函数f(x)＝x＋x3＋x5是奇函数．

(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R时，－x∈R.

因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

所以f(x)＝x2＋1是偶函数．

(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R.

因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，

所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．

因此，f(x)＝x＋1既不是奇函数也不是偶函数．

(4)因为函数的定义域关于原点不对称，存在3∈[－1,3]，而－3 [－1,3]，所以f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是奇函数也不是偶函数．

点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数－x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系．

③作出相应结论：