粘弹性三维本构关系与解析方法
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at • 4、位移性质 L e f (t ) F ( s a)
d n f (t ) n • 5、微分性质 L s F ( s) n dt
• 6、积分性质 1 1 L f (t )dt f (0)dt F (s) s s • 7、卷积定理
1, t 0 H (t ) 0, t 0
解：
1 st 1 st ˆ L[ H (t )] H (t )e dt e dt e |0 0 0 s s
st
课堂练习
f (t ) 的拉普拉斯为 F ( s ) ，求 f ' (t ) 的拉普拉斯变换
物质形态(一切有为法、如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。 凡所有相,皆是虚妄。--《金刚经》；相，视也。--《尔雅》)
拉普拉斯变换 • [Laplace变换存在定理]若函数 f (t ) 满足下列条件： • （1）当 t 0 时，f (t ) 0 ； • （2） f (t )在t 0的任一有限区间上分段连续， • 间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。 （3） f (t ) 是指数级函数。
这些本构关系总能写成下面的形式：
k m k pk k qk k t t k 0 k 0
m
其中 pk , qk 为多项式。
按上述记法， Maxwell模型本构方程可改写成：
2 (1 ) 2 E 0 t t
K 将对时间的微分记为：D K K t 2 D ) 2 D 则(1)式变为 (1 E0
或 ij , j Fi ui
ii 3K ( D) ii
4.边界条件： ij ( xk , t ) n j Ti (t )
ui ( xk , t ) uiS (t )
xk S
5.初始条件： t 0
xk V
ui ( xk , t ) 0
ij ( xk , t ) 0 ij ( xk , t ) 0
3K G
3K 2G 2(3K G )
得到：
9Q '' ( D)Q ' ( D) E ( D) '' 3Q ( D) P ' ( D) Q ' ( D) P '' ( D)
3Q '' ( D) P ' ( D) 2Q ' ( D) P '' ( D) ( D) 2[3P ' ( D)Q '' ( D) Q ' ( D) P '' ( D)]
• 工程技术中所遇到的函数大部分是存在Laplace变 2 t • 换的，但像 e ，这类函数是不存在Laplace变换的。
拉普拉斯变换
ˆ F ( s ) L[ f (t )] f (t )e st dt 0
• s 是复数, Re s 0 ;
课堂练习 求单位阶跃函数H(t)的拉普拉斯变换
2.2.5求解示例 《弹性力学上》--徐芝纶，平面极坐标问题课后练习 题。 厚壁筒，受内压q作用，内外半 r q(t ) 径a、b, r=a时， r=b时， r 0 ；求径向位移。
q(t )a 2 1 b2 弹性解： ur (r , t ) 2 [(1 2 )r ] 2 b a E r
2.2.2三维本构关系 广义胡克定律： 等价于：
ij kk ij 2G ij
S ij 2G0 eij
只需要考虑剪切作用和体应变
ii 3K ii
应力偏量： S ij ij m ij
应变偏量： eij ij m ij
平均应力、应力第一不变量、应变第一不变量
Q ( D) Sij 2 ' eij P ( D)
'
Q ( D) ii 3 '' ii P ( D)
''
如果材料体积变形是弹性变形，则有：
Q (D) K
''
P ( D) 1
''
ii 3K ii
将微分本构方程变换到相空间
2 Maxwell模型： (1 D ) Sij 2 Deij G0
2.2三维本构关系与解析方法
晏泽
yanze@snnu.edu.cn
主要内容
1.积分变换（拉普拉斯变换及其逆变换）回顾 2.粘弹性三维本构关系
3.准静态问题解析求解(弹性-粘弹性相应原理)
4.粘弹塑性三维本构关系
• 变换
常见的变换： 对数变换、坐标变换、线性变换； 积分中的变量代换；微分方程中的变换； 复变函数的保角变换； 积分变换；
课堂思考 1.粘弹性问题基本方程、弹性问题基本方程的区别 与联系是什么？ 2如果边界条件是静态的，弹性问题解析解已经得到， 怎么得到粘弹性问题的解？ （提示：将两者的基本方程都变换到相空间中）
弹性-粘弹性相应原理：线粘弹性边值问题的求解方 程在拉普拉斯空间具有的形式与线弹性问题完全相 同。
求解思路 1.将线弹性解拉氏变换。 2.用相空间中的粘弹性参数换掉原有参数。 3.整理上面得到的式子，再进行拉普拉斯逆变换。
代入初始条件并化简得：
(2 s )Y ( s ) Y ( s ) 0
ln Y ( s ) ln( s 2) C
• 作逆变换得
y (t ) Ce 2 t
y (0) 1; y (t ) e 2 t
2.2三维本构关系与解析方法 实际工程问题一般都是复杂的三维问题，一些情况下 可简化为平面问题。
解：
ˆ [ f (t )] sF ( s ) f (0) L
ˆ[ f ( n ) (t )] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) s n F ( s ) s n 1i f (i ) (0) L
q(t ) q0 H (t )
做拉普拉斯变换，并用相空间中粘弹性参数代替原 来的参数。整理并做逆变换。 通过代入不同模型的参数，可以比较同一问题各模 型解得差异性。 Maxwell、H-K、和线弹性模型，在t=0瞬时径向位移 相同。
按书中参数，MATLAB作图得到：
总结 应用相应原理时需要注意的几个方面： 1.弹性解容易得到，且能进行拉氏变换。 2.几何方程为柯西应变，只适用于小变形问题。 3.对于接触问题和裂纹扩展，边界、边界条件都随 时间变化，相应条件不能成立。（只能解决准静 态问题） 4.不能用积分变换解决的问题称为非变换问题，存 在拓展的相应原理。可关注相关文献。
L f1 (t ) f 2 ( )d F1 ( s) F2 ( s) 0
拉普拉斯逆变换
i 1 st ˆ f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds (t 0) 2 i i
1
是复变函数的积分，较为复杂。三种方法： • (1)部分分式法（查表法）满足工程应用 • (2)利用留数定理——围线积分法 • (3)数值计算方法计算机（了解）
材料参数换算
9G0 K E0 3K G0
3K 2G0 2(3K G0 )
E0 G0 2(1 )
E0 K 3(1 2 )
将2.2.1中一维流变微分本构关系推广到三维 偏应力张量的各个分量都符合一维流变微分本构关系。
只需要将一维模型算子中的 E0 换成 G0 ， 得到微分算子形式的本构方程：
实际应用需要将2.1节中的本构关系推广到二维、三维 空间中。 本节讨论粘弹性三维本构关系、粘弹性准静态边界问 题的解析方法和粘弹塑性三维本构方程。
2.2.1流变微分型本构关系的一维通式 粘弹性流变模型一维本构关系是关于应力、应变、 两者各自对时间导数和材料参数的方程。
2 如：Maxwell模型本构方程 2 E0
直接求解较难，常常将原问题 变换 为易解决问题
积分变换
• 积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一 个函数。
• 积分区间 • 原函数
；积分变换的核 ； ； 称为 的象函数；
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同的积 分变换。 傅里叶（Fourier）变换 F ( ) 拉普拉斯(Laplace)变换 F ( s )
分别给
E ( D ), ( D ) 做拉普拉斯变换：
E (s)
9Q ( s)Q ( s) 3Q ( s) P ( s) Q ( s) P ( s )
3Q ( s) P ( s) 2Q ( s) P ( s) 2[3P ( s)Q ( s) Q ( s ) P ( s )]
' '' ' '' '' ' ' ''
(1)
(2)
m
如果令
P ( D ) pk D K
k 0
m
Q ( D ) qk D k
k 0
粘弹性流变模型一维本构方程统一为：
P ( D ) Q ( D )
(3)
P ( D ), Q ( D ) 是算符，代表一种运算。以前学过的算 2 符(算子)如：
对于粘弹塑性模型，当 s 时，一维本构关系 与(3)式相同。当 s 时，变为：
部分分式法 F(s)为多项式： A( s ) am s m am 1s m 1 a1s a0 F (s) B(s) bn s n bn 1s n 1 b1s b0 将上式展开成对照表里，部分分式F(s)之和的形式。
k1 k2 F (s) s p1 s p2 kn s pn
''
'
''
'
'
''
( s)
2.2.4粘弹性问题的解析求解
粘弹性基本方程：
除本构关系外，其他都相同。
1.几何方程： ij 1 [ui , j (t ) u j ,i (t )] 柯西应变
2
2.平衡条件： ij , j Fi 0 3.本构方程： Sij 2G ( D)eij
i0 n 1
Laplace变换的基本性质
• 1、线性性质 Lf1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s) 1 s • 2、相似性质 L f (at ) F ( ) a a • • 3、延迟性质 L f (t ) e s F (s)
查表得到逆变换 f (t )
课堂练习 求方程
ty (1 2 t ) y Байду номын сангаас 2 y 0 y (0) 1, y (0) 2 的解。
，满足初始条件：
解： 方程两边进行拉普拉斯变换：
d 2 d [ s Y ( s ) sy (0) y (0)] sY ( s ) y (0) 2 [ sY ( s ) y (0)] 2Y ( s ) 0 ds ds
两边做拉普拉斯变换：
2 (1 s ) Sij 2 seij G0
2 P 1 s G0
'
Q ' 2 s
代入其他模型得到表2.2.2
2.2.3相空间中粘弹性参数变换
Q ' ( D) G ( D) ' P ( D)
Q '' ( D) K ( D) '' P ( D)
• 有时会遇到材料参数转换的问题 将 G ( D ), K ( D ) 分别代入 E 9GK
P ( D )( s ) Q ( D )
课堂练习 推导出西原模型对应的算子 P ( D ), Q ( D )
答案：
2 2 1 21 21 ( S ) ( ) 2 E0 E1 E0 E1 E1
2 1 2 21 2 P( D) 1 ( )D D E0 E1 E0 E1 21 2 Q( D) 2 D D E1
0
f (t )e i t dt
f (t )e st dt
Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变 换，小波变换;
在积分变换下： 微分运算变为乘法运算； 偏微分方程减少自变量的数目； 常微分方程变为相空间中的代数方程； 从而易于在相空间中求解问题，在经过逆变 换得到原方程的显式解。相空间、像空间、象空间；
d n f (t ) n • 5、微分性质 L s F ( s) n dt
• 6、积分性质 1 1 L f (t )dt f (0)dt F (s) s s • 7、卷积定理
1, t 0 H (t ) 0, t 0
解：
1 st 1 st ˆ L[ H (t )] H (t )e dt e dt e |0 0 0 s s
st
课堂练习
f (t ) 的拉普拉斯为 F ( s ) ，求 f ' (t ) 的拉普拉斯变换
物质形态(一切有为法、如梦幻泡影,如露亦如电,应作如是观。 凡所有相,皆是虚妄。--《金刚经》；相，视也。--《尔雅》)
拉普拉斯变换 • [Laplace变换存在定理]若函数 f (t ) 满足下列条件： • （1）当 t 0 时，f (t ) 0 ； • （2） f (t )在t 0的任一有限区间上分段连续， • 间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点。 （3） f (t ) 是指数级函数。
这些本构关系总能写成下面的形式：
k m k pk k qk k t t k 0 k 0
m
其中 pk , qk 为多项式。
按上述记法， Maxwell模型本构方程可改写成：
2 (1 ) 2 E 0 t t
K 将对时间的微分记为：D K K t 2 D ) 2 D 则(1)式变为 (1 E0
或 ij , j Fi ui
ii 3K ( D) ii
4.边界条件： ij ( xk , t ) n j Ti (t )
ui ( xk , t ) uiS (t )
xk S
5.初始条件： t 0
xk V
ui ( xk , t ) 0
ij ( xk , t ) 0 ij ( xk , t ) 0
3K G
3K 2G 2(3K G )
得到：
9Q '' ( D)Q ' ( D) E ( D) '' 3Q ( D) P ' ( D) Q ' ( D) P '' ( D)
3Q '' ( D) P ' ( D) 2Q ' ( D) P '' ( D) ( D) 2[3P ' ( D)Q '' ( D) Q ' ( D) P '' ( D)]
• 工程技术中所遇到的函数大部分是存在Laplace变 2 t • 换的，但像 e ，这类函数是不存在Laplace变换的。
拉普拉斯变换
ˆ F ( s ) L[ f (t )] f (t )e st dt 0
• s 是复数, Re s 0 ;
课堂练习 求单位阶跃函数H(t)的拉普拉斯变换
2.2.5求解示例 《弹性力学上》--徐芝纶，平面极坐标问题课后练习 题。 厚壁筒，受内压q作用，内外半 r q(t ) 径a、b, r=a时， r=b时， r 0 ；求径向位移。
q(t )a 2 1 b2 弹性解： ur (r , t ) 2 [(1 2 )r ] 2 b a E r
2.2.2三维本构关系 广义胡克定律： 等价于：
ij kk ij 2G ij
S ij 2G0 eij
只需要考虑剪切作用和体应变
ii 3K ii
应力偏量： S ij ij m ij
应变偏量： eij ij m ij
平均应力、应力第一不变量、应变第一不变量
Q ( D) Sij 2 ' eij P ( D)
'
Q ( D) ii 3 '' ii P ( D)
''
如果材料体积变形是弹性变形，则有：
Q (D) K
''
P ( D) 1
''
ii 3K ii
将微分本构方程变换到相空间
2 Maxwell模型： (1 D ) Sij 2 Deij G0
2.2三维本构关系与解析方法
晏泽
yanze@snnu.edu.cn
主要内容
1.积分变换（拉普拉斯变换及其逆变换）回顾 2.粘弹性三维本构关系
3.准静态问题解析求解(弹性-粘弹性相应原理)
4.粘弹塑性三维本构关系
• 变换
常见的变换： 对数变换、坐标变换、线性变换； 积分中的变量代换；微分方程中的变换； 复变函数的保角变换； 积分变换；
课堂思考 1.粘弹性问题基本方程、弹性问题基本方程的区别 与联系是什么？ 2如果边界条件是静态的，弹性问题解析解已经得到， 怎么得到粘弹性问题的解？ （提示：将两者的基本方程都变换到相空间中）
弹性-粘弹性相应原理：线粘弹性边值问题的求解方 程在拉普拉斯空间具有的形式与线弹性问题完全相 同。
求解思路 1.将线弹性解拉氏变换。 2.用相空间中的粘弹性参数换掉原有参数。 3.整理上面得到的式子，再进行拉普拉斯逆变换。
代入初始条件并化简得：
(2 s )Y ( s ) Y ( s ) 0
ln Y ( s ) ln( s 2) C
• 作逆变换得
y (t ) Ce 2 t
y (0) 1; y (t ) e 2 t
2.2三维本构关系与解析方法 实际工程问题一般都是复杂的三维问题，一些情况下 可简化为平面问题。
解：
ˆ [ f (t )] sF ( s ) f (0) L
ˆ[ f ( n ) (t )] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) f ( n 1) (0) s n F ( s ) s n 1i f (i ) (0) L
q(t ) q0 H (t )
做拉普拉斯变换，并用相空间中粘弹性参数代替原 来的参数。整理并做逆变换。 通过代入不同模型的参数，可以比较同一问题各模 型解得差异性。 Maxwell、H-K、和线弹性模型，在t=0瞬时径向位移 相同。
按书中参数，MATLAB作图得到：
总结 应用相应原理时需要注意的几个方面： 1.弹性解容易得到，且能进行拉氏变换。 2.几何方程为柯西应变，只适用于小变形问题。 3.对于接触问题和裂纹扩展，边界、边界条件都随 时间变化，相应条件不能成立。（只能解决准静 态问题） 4.不能用积分变换解决的问题称为非变换问题，存 在拓展的相应原理。可关注相关文献。
L f1 (t ) f 2 ( )d F1 ( s) F2 ( s) 0
拉普拉斯逆变换
i 1 st ˆ f (t ) L [ F ( s )] F ( s )e ds (t 0) 2 i i
1
是复变函数的积分，较为复杂。三种方法： • (1)部分分式法（查表法）满足工程应用 • (2)利用留数定理——围线积分法 • (3)数值计算方法计算机（了解）
材料参数换算
9G0 K E0 3K G0
3K 2G0 2(3K G0 )
E0 G0 2(1 )
E0 K 3(1 2 )
将2.2.1中一维流变微分本构关系推广到三维 偏应力张量的各个分量都符合一维流变微分本构关系。
只需要将一维模型算子中的 E0 换成 G0 ， 得到微分算子形式的本构方程：
实际应用需要将2.1节中的本构关系推广到二维、三维 空间中。 本节讨论粘弹性三维本构关系、粘弹性准静态边界问 题的解析方法和粘弹塑性三维本构方程。
2.2.1流变微分型本构关系的一维通式 粘弹性流变模型一维本构关系是关于应力、应变、 两者各自对时间导数和材料参数的方程。
2 如：Maxwell模型本构方程 2 E0
直接求解较难，常常将原问题 变换 为易解决问题
积分变换
• 积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一 个函数。
• 积分区间 • 原函数
；积分变换的核 ； ； 称为 的象函数；
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同的积 分变换。 傅里叶（Fourier）变换 F ( ) 拉普拉斯(Laplace)变换 F ( s )
分别给
E ( D ), ( D ) 做拉普拉斯变换：
E (s)
9Q ( s)Q ( s) 3Q ( s) P ( s) Q ( s) P ( s )
3Q ( s) P ( s) 2Q ( s) P ( s) 2[3P ( s)Q ( s) Q ( s ) P ( s )]
' '' ' '' '' ' ' ''
(1)
(2)
m
如果令
P ( D ) pk D K
k 0
m
Q ( D ) qk D k
k 0
粘弹性流变模型一维本构方程统一为：
P ( D ) Q ( D )
(3)
P ( D ), Q ( D ) 是算符，代表一种运算。以前学过的算 2 符(算子)如：
对于粘弹塑性模型，当 s 时，一维本构关系 与(3)式相同。当 s 时，变为：
部分分式法 F(s)为多项式： A( s ) am s m am 1s m 1 a1s a0 F (s) B(s) bn s n bn 1s n 1 b1s b0 将上式展开成对照表里，部分分式F(s)之和的形式。
k1 k2 F (s) s p1 s p2 kn s pn
''
'
''
'
'
''
( s)
2.2.4粘弹性问题的解析求解
粘弹性基本方程：
除本构关系外，其他都相同。
1.几何方程： ij 1 [ui , j (t ) u j ,i (t )] 柯西应变
2
2.平衡条件： ij , j Fi 0 3.本构方程： Sij 2G ( D)eij
i0 n 1
Laplace变换的基本性质
• 1、线性性质 Lf1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s) 1 s • 2、相似性质 L f (at ) F ( ) a a • • 3、延迟性质 L f (t ) e s F (s)
查表得到逆变换 f (t )
课堂练习 求方程
ty (1 2 t ) y Байду номын сангаас 2 y 0 y (0) 1, y (0) 2 的解。
，满足初始条件：
解： 方程两边进行拉普拉斯变换：
d 2 d [ s Y ( s ) sy (0) y (0)] sY ( s ) y (0) 2 [ sY ( s ) y (0)] 2Y ( s ) 0 ds ds
两边做拉普拉斯变换：
2 (1 s ) Sij 2 seij G0
2 P 1 s G0
'
Q ' 2 s
代入其他模型得到表2.2.2
2.2.3相空间中粘弹性参数变换
Q ' ( D) G ( D) ' P ( D)
Q '' ( D) K ( D) '' P ( D)
• 有时会遇到材料参数转换的问题 将 G ( D ), K ( D ) 分别代入 E 9GK
P ( D )( s ) Q ( D )
课堂练习 推导出西原模型对应的算子 P ( D ), Q ( D )
答案：
2 2 1 21 21 ( S ) ( ) 2 E0 E1 E0 E1 E1
2 1 2 21 2 P( D) 1 ( )D D E0 E1 E0 E1 21 2 Q( D) 2 D D E1
0
f (t )e i t dt
f (t )e st dt
Z变换、梅林（Mellin）变换、汉科尔（Hankel）变 换，小波变换;
在积分变换下： 微分运算变为乘法运算； 偏微分方程减少自变量的数目； 常微分方程变为相空间中的代数方程； 从而易于在相空间中求解问题，在经过逆变 换得到原方程的显式解。相空间、像空间、象空间；