傅里叶级数
傅里叶级数主要方法
傅里叶级数主要方法摘要：1.傅里叶级数的概述2.傅里叶级数的应用领域3.傅里叶级数的计算方法4.傅里叶级数的优缺点5.总结与展望正文：一、傅里叶级数的概述傅里叶级数（Fourier Series）是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数和的形式。
任何一个周期函数都可以通过傅里叶级数来表示，这种表示方法不仅具有理论价值，还在实际应用中具有重要意义。
二、傅里叶级数的应用领域1.信号处理：在通信、音频处理等领域，傅里叶级数可以用来分析信号的频谱特性，实现信号的滤波、变换等操作。
2.图像处理：在图像处理中，傅里叶级数可以用来分析图像的频谱特性，实现图像的滤波、边缘检测等操作。
3.物理学：在物理学中，许多物理量（如位移、速度、温度等）都可以用傅里叶级数表示，便于研究其周期性变化。
三、傅里叶级数的计算方法1.直接法：根据傅里叶级数的定义，将周期函数分解为正弦和余弦函数的和。
2.积分法：通过求解周期函数与单位冲击函数的内积，得到傅里叶级数系数。
3.快速傅里叶变换（FFT）：一种高效计算离散傅里叶变换的算法，可在计算机上快速实现傅里叶级数的计算。
四、傅里叶级数的优缺点优点：1.能将复杂函数分解为简单的正弦和余弦函数的和，便于分析函数的频谱特性。
2.具有较高的计算效率，如FFT算法。
缺点：1.对于非周期函数，傅里叶级数表示不唯一，可能存在收敛性问题。
2.计算过程中可能存在频谱泄漏、混叠等问题。
五、总结与展望傅里叶级数作为一种重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学等领域具有广泛的应用。
随着计算机技术的发展，傅里叶级数的计算速度和精度不断提高，其在实际应用中的价值也将日益凸显。
傅里叶级数公式
傅里叶级数公式傅里叶级数是一种数学工具，用于将一个周期性函数表示为无限多个简单的正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家傅里叶在19世纪中叶发现，并在物理学、工程学和其他领域中得到广泛应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义、数学表达式和一些应用示例。
定义给定一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：傅里叶级数公式傅里叶级数公式其中a0、an和bn是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式数学表达式傅里叶级数公式可以进一步简化为以下形式：傅里叶级数公式简化形式傅里叶级数公式简化形式其中cn是复傅里叶系数，可以通过以下公式计算：复傅里叶系数公式复傅里叶系数公式应用示例傅里叶级数在信号处理、图像处理和音频处理等领域中有广泛的应用。
以下是一些傅里叶级数的应用示例：1. 信号分析傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的和，从而帮助我们理解信号的频谱特征。
通过计算傅里叶系数，我们可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息。
2. 图像压缩傅里叶级数被广泛用于图像压缩算法中，例如JPEG压缩。
通过将图像转换为频域表示，可以将高频部分压缩或丢弃，从而实现图像的压缩和存储。
3. 音频合成傅里叶级数可以用于合成音频信号。
通过给定一些具有不同频率和幅度的正弦和余弦函数的傅里叶系数，我们可以通过求和运算生成一个新的音频信号。
4. 信号滤波傅里叶级数在信号滤波中也有广泛应用。
通过将信号转换到频域，并在频域对信号进行滤波操作，可以实现去除噪声、降低干扰等效果。
总结傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的和的数学工具。
它帮助我们理解信号的频谱特征，进行信号分析、图像压缩、音频合成和信号滤波等应用。
通过计算傅里叶系数，我们可以获得信号在不同频率上的幅度和相位信息。
傅里叶级数在现代科学和工程中具有重要的地位，对于理解和处理周期性信号至关重要。
傅里叶级数
− 2
n
T 2
= bn ∫ T sin nωt d t
2
− 2
T 2
2 即 bn = T
T = bn 2
∫
T 2
T − 2
fT ( t )sin nω t d t
最后可得:
a0 fT (t) = + ∑(an cos mωt + bn sin nωt) (1.1) 2 n=1 T 2 2 其 中 a0 = ∫ T fT (t) dt T −2 T 2 2 an = ∫T fT (t) cos nωt dt (n =1,2,L ) T −2 T 2 2 bn = ∫T fT (t) sin nωt dt (n =1,2,L ) T −2
1= 12 dt = T ∫T
− 2 T 2 T 2 T 2
1+ cos 2nωt T cos nωt = ∫T cos nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
2
1− cos 2nωt T sin nωt = ∫T sin nωt dt = ∫T dt = − − 2 2 2 2
T 2
f4 (t) =
n=−∞
∑ f (t + 4n),
+∞
2π 2π π nπ = = , ωn = nω = ω= T 4 2 2
f4(t)
−1
T=4
1
3
t
则
1 T 2 − jωnt cn = ∫ T fT (t )e dt T −2 1 2 1 1 − jωnt − jωnt = ∫ f4 (t )e dt = ∫ e dt T −2 T −1 1 1 1 − jωnt jωn − jωn = e = e −e −Tjωn Tjωn −1 2 sinωn 1 = ⋅ Sa(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L ) T =4 = T ωn 2
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数的基本概念
傅里叶级数是一种将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的方法。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的。
傅里叶级数的基本概念包括：
1. 周期函数：傅里叶级数适用于周期函数，即具有重复性的函数。
周期函数可以用一个周期T来描述，即f(t+T) = f(t)。
2. 基函数：傅里叶级数中的基函数是正弦和余弦函数。
正弦函数的频率是函数在一个周期内重复的次数，余弦函数则是正弦函数相位向右移动90度得到的。
基函数的频率可以用角频率ω表示。
3. 傅里叶级数公式：傅里叶级数表示一个周期函数f(t)可以表示为一个无穷级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) +
bn*sin(nωt))，其中a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的系数。
4. 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数an和bn可以通过积分计算得到。
an表示在周期T内函数f(t)与cos(nωt)的乘积的平均值，bn则是与sin(nωt)的乘积的平均值。
这些系数代表了基函数的贡献程度。
5. 频谱：傅里叶级数可以将一个周期函数表示成一系列频率成分的和。
这些频率成分称为频谱，由基函数的频率ω和对应的系数确定。
傅里叶级数的基本概念可以帮助我们理解和分析周期函数的特性，以及应用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π
《傅里叶级数》课件
傅里叶系数： a_n和b_n，可 以通过积分计算 得到
傅里叶级数的收 敛性：对于满足 一定条件的函数， 傅里叶级数收敛 于该函数
傅里叶级数的计算步骤
傅里叶级数的计算实例
实例：计算正弦函数的傅里 叶级数
计算步骤：确定周期、确定 频率、确定振幅、确定相位
傅里叶级数的定义：将周期函 数分解为无穷多个正弦和余弦 函数的和
傅里叶级数未来的研究方向与挑战
傅里叶级数的快速算法研究 傅里叶级数的应用领域拓展 傅里叶级数的理论研究与证明 傅里叶级数的计算复杂性与优化
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实例：计算余弦函数的傅里 叶级数
实例：计算三角函数的傅里 叶级数
实例：计算复杂函数的傅里 叶级数
傅里叶级数的应 用实例
信号处理中的应用
滤波器设计：傅里叶级数可以用于设计各种滤波器，如低通滤波器、高通滤波器等。 信号分析：傅里叶级数可以用于分析信号的频率成分，如分析信号的频谱、功率谱 等。
信号处理：傅里叶级数可以用于处理信号，如信号的压缩、增强、去噪等。
傅里叶级数的周期性
傅里叶级数是一种周期函数 周期性是傅里叶级数的基本性质之一 周期性是指函数在一定区间内重复出现 周期性是傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域里叶级数的展开式
傅里叶级数的定 义：将周期函数 分解为无穷多个 正弦函数和余弦 函数的线性组合
傅里叶级数的展 开式：f(x) = a_0 + Σ[a_n * cos(nωx) + b_n * sin(nωx)]
数值分析中的应用
傅里叶级数在信号处理中的应用 傅里叶级数在图像处理中的应用 傅里叶级数在音频处理中的应用 傅里叶级数在金融数据分析中的应用
其他应用领域
傅里叶级数
2. 三角级数的一般形式
一般的三角级数为
取 1, 由于
A A i n ( n x ) 0 ns n
n 1
s i n c o s n x c o s s i n n x s i n ( n x ) n n n
a0 设 A0 , 2
A s i n a , A c o s b n n n n n n
最简单的周期运动，可用正弦函数
y A s i n ( x )
( 1 )
来描写。 由(1)所表达的周期运动称为简谐振动
初 相 角 , 其 中 A 振 幅 , 角 频 率 ,
简谐振动(1)的周期为
2 T
对于较为复杂的周期运动，常可以用几个 简谐振动
f ( x )cos nxdx ，
1
n0,1,2,
f ( x )sin nxdx
1
， n 1 , 2 ,
2. Fourier系数和Fourier级数 Euler―Fourier公式：
如 f 是以2 为周期 的函数 , 则
可换为
c 2
c
设函数 f ( x ) 在区间[ , ] 上可积，称公式
1 , s i n k x sinkxdx 0 ,
k 1 , 2 , ;
k , h 1 , 2 ,
s i n k x c o s h x d x s i n, k x c o s h x 1 s i n ( kh ) x s i n ( kh ) x d x 0, 2
傅里叶级数的定理
傅里叶级数的定理傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数的级数展开形式的数学工具。
它是由法国数学家傅里叶在18世纪提出的，被广泛应用于物理学、工程学和信号处理等领域。
傅里叶级数的定理提供了一种将任意周期函数分解为正弦和余弦函数的方法，使得我们可以更好地理解和分析周期性的现象。
傅里叶级数的定理可以简单地表述为：任意一个周期为T的函数f(x)可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，即f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中an和bn是傅里叶系数，表示了函数f(x)中各个频率分量的振幅，ω=2π/T是角频率。
a0是直流分量，对应于频率为0的分量。
傅里叶级数的定理是基于正交函数的思想而来。
正交函数是指在某个区间上两两内积为0的函数。
在傅里叶级数中，正弦和余弦函数是互相正交的，因此可以通过内积运算来确定各个傅里叶系数的值。
傅里叶级数的定理在实际应用中具有重要意义。
首先，它可以将复杂的周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，使得我们能够更好地理解函数的频域特性。
其次，傅里叶级数的定理为信号处理提供了一种便捷的方法，可以对信号进行频谱分析和滤波处理。
此外，傅里叶级数还被广泛应用于图像处理、音频处理和通信系统等领域。
傅里叶级数的定理具有一些重要的性质。
首先，对于一个具有奇对称性或偶对称性的函数，其傅里叶级数只包含正弦函数或余弦函数。
其次，傅里叶级数的收敛性得到了严格的数学证明，即对于一个光滑的函数，其傅里叶级数可以收敛到原函数。
此外，傅里叶级数还满足线性性质，即两个函数的傅里叶级数之和等于它们的傅里叶级数之和。
傅里叶级数的定理虽然强大，但也有一些限制。
首先，傅里叶级数只适用于周期函数，对于非周期函数需要进行适当的处理才能使用傅里叶级数展开。
其次，傅里叶级数的展开系数需要通过积分计算，对于一些复杂的函数可能无法得到解析解，需要使用数值方法进行近似计算。
傅里叶级数的定理为我们理解和分析周期函数提供了一种有效的工具。
傅里叶级数
a0 dx an cos nxdx bn sin nxdx 2 n 1 n 1
a0 2 a0 2
1 a0 f ( x )dx
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
(2) 求ak .
a0 f ( x )cos kxdx 2
cos kxdx
[an cos nx cos kxdx bn sin nx cos kxdx ]
n 1
ak cos 2 kxdx ak ,
ak
f ( x )cos kxdx
1
( k 1, 2, 3,)
傅里叶级数
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
傅里叶级数:以傅里叶系数为系数的三角级数.
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题:
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
傅里叶级数
§9.4 傅里叶级数
3、收敛条件 定理：若 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，且在一个 周期内连续或只有有限个第一类间断点,则 f ( x ) 的傅 里叶级数收敛,并且
(1) 当 x 是 f ( x ) 的连续点时,级数收敛于 f ( x ) .
f ( x 0) f ( x 0) (2)当 x是 f ( x ) 的间断点时,收敛于 . 2
f ( 0) f ( 0) (3) 当 x为端点 x 时,收敛于 . 2
傅里叶级数
§8.4 傅里叶(Fourier)级数
π 1 l an= ∫ f ( x) cos n xdx,(n = 0,1,2,L) l −l l π 1 l bn= ∫ f ( x) sin n xdx,(n = 1,2,L) l −l l
例8.4.5设f ( x )是周期为4的函数， 且在[ −2， ]上的表达式为 2 0.当 − 2 ≤ x ≤ 0时； f ( x) = 1， 当0 ≤ x < 2时。 将f ( x )展开成傅里叶级数。
例8.4.1设方波函数y ( x )的周期为2π， 它在[ −π， π ]上的表达式为 − 1,−π ≤ x < 0; y( x) = 1,0 ≤ x < π . 把y ( x )展开成傅里叶级数.
− 2π
y
１
−π
Ｏ
π
－１
2π
x
设 f ( x )是周期为 2的同期函数 ， 它在区间 ( −1,1]上定义为 2 , − 1 < x ≤ 0, f ( x) = 3 则 f ( x )的傅里叶级数在 x = 1处收敛于 x ,0 < x ≤ 1 .
例8.4.3在0 < x < 2π上把f ( x ) = x展开成傅里叶级数。
2.设f ( x )只在[0， π ]上有定义， 有满足收敛定理， 我们可以作以2π为周期的函数 F ( x ), 使得在(0， π )内，F ( x ) ≡ f ( x ), 然后将F ( x )展开成为傅里叶级数， 则在(0， π )上， 该傅里叶级数就是f ( x )在(0， π )上的傅里叶级数， 对于区间端点x = 0, x = π , 可根据 收敛定理判定基收敛性。 由于这里仅给出半个周期定义， 所以在作周期延拓时， 首先需定义[0， π ]上F ( x )的值， 这里可以用两种延拓方法来定义F ( x ) :
信号与系统课件--§4.2 傅里叶级数
an =0，展开为正弦级数。 例
▲ ■ 第 5页
3 .f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t±T/2)
此时 其傅里叶级数中 只含奇次谐波分量， 而不含偶次谐波分量 即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t)
0
T/2
T
t
4． f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中 只含偶次谐波分量， 而不含奇次谐波分量 即 a1=a3=…=b1=b3=…=0
系数an , bn称为傅里叶系数
an 2 T
T
2 T 2
f (t ) cos( nt ) d t
bn
T
2
T 2 T 2
f (t ) sin( nt ) d t
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
▲ ■ 第 3页
其他形式
f (t ) A0 2
将上式同频率项合并，可写为n 1
1 2
An
2
n
| Fn |
2
直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。 n≥0时， |Fn| = An/2。 证明 这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。
▲
■
第 9页
bn An sin n
bn n arctan a n
n的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数: bn ，n
▲ ■ 第 8页
四、周期信号的功率——Parseval等式
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
T 0
f (t )dt (
傅里叶级数
b
则称ϕ 与 ψ 在 [a , b] 上是正交的, 或在 [a , b]上具有正 上具有正 上是正交 正交的 交性. 由此三角函数系(4)在 交性 由此三角函数系 在 [ − π, π ] 上具有正交性 上具有正交性 正交性. 或者说(5)是正交函数系. 或者说 是正交函数系. 是正交函数系
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二、以 2π 为周期的函数的傅里叶级数
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数 现应用三角函数系 的正交性来讨论三角级数(4) 的正交性来讨论三角级数 之间的关系. 与级数(4)的系数 的和函数 f 与级数 的系数 a0 , an , bn 之间的关系 定理15.2 若在整个数轴上 定理 a0 ∞ f ( x ) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) (9) 2 n=1 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式: 1 π an = ∫ f ( x )cos nxdx , n = 0,1,2,L , (10a ) π −π 1 π bn = ∫ f ( x )sin nxdx , n = 1,2,L , (10b ) π −π
所产生的一般形式的三角级数. 所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数( )收敛, 容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 为周期的函数. 个以 2π 为周期的函数. 关于三角级数( )的收敛性有如下定理: 关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
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定理 15.1 若级数 | a0 | ∞ + ∑ (| an | + | bn |). 2 n =1 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. (4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛 收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. 对任何实数x, 证 对任何实数 ,由于
傅里叶级数理解傅里叶级数的概念和计算方法
傅里叶级数理解傅里叶级数的概念和计算方法傅里叶级数：理解傅里叶级数的概念和计算方法傅里叶级数是一种数学工具，用于将任意周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的和。
它是由法国数学家傅里叶提出的，具有重要的物理和工程应用。
本文将介绍傅里叶级数的概念和计算方法。
一、傅里叶级数的概念傅里叶级数的核心思想是利用正弦和余弦函数的线性组合来表示周期函数。
对于一个周期为T的函数f(t)，如果它满足一定条件（可积、狄利克雷条件等），则可以用以下公式表示：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0、an、bn是待确定的系数，n表示正整数，ω=2π/T是角频率。
a0表示直流分量，即周期函数在一个周期内的平均值。
an和bn表示交流分量，分别代表正弦和余弦函数的振幅。
二、傅里叶级数的计算方法1. 计算a0：将周期函数在一个周期内的积分除以周期T即可得到a0。
2. 计算an和bn：将周期函数与正弦或余弦函数相乘后在一个周期内积分，最后除以周期T即可得到an或bn。
3. 根据需要确定级数的取舍：当n趋向于无穷大时，傅里叶级数能准确地还原原始函数。
但实际应用中，通常会根据需要截断级数，只考虑前几项的和来逼近原函数。
三、傅里叶级数的应用傅里叶级数在物理和工程领域有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 信号处理：傅里叶级数可以将信号分解成不同频率的分量，用于信号滤波、降噪等处理。
2. 电路分析：傅里叶级数可以将电路中的周期性电信号转化为频域上的分布，用于电路分析和设计。
3. 通信系统：傅里叶级数是调制和解调过程的基础，用于信号的传输和接收。
4. 图像处理：傅里叶级数在图像压缩、频域滤波和图像识别等方面有重要应用。
四、总结傅里叶级数是将任意周期函数分解成正弦和余弦函数的和的数学工具。
通过计算待确定的系数，可以将周期函数用傅里叶级数表示。
傅里叶级数在物理和工程领域的应用广泛，包括信号处理、电路分析、通信系统和图像处理等。
一般周期的傅里叶级数
FFT具有高效性、稳定性和易于实现 等优点，是数字信号处理领域的重要 算法之一。
FFT广泛应用于语音识别、图像处理 、频谱分析、雷达和声呐信号处理等 领域。
小波变换（Wavelet Transform）
定义
小波变换是一种时频分析方法， 它通过小波基函数的伸缩和平移 来分析信号在不同尺度上的变化 特性。小波变换能够提供信号在 不同频率和时间尺度上的信息， 具有多分辨率分析的特点。
周期函数的傅里叶级数展开可以通过傅里叶变换来实现，傅里叶变换将 时域信号转换为频域信号，提供了一种分析信号频率成分的有效方法。
非周期函数的展开
非周期函数的特性
非周期函数没有固定的重复模式，其波形不具有周期性。
非周期函数的近似展开
对于非周期函数，傅里叶级数展开式中的正弦和余弦函数具有连续的频率，这些频率覆盖了整个频域。通过选取一定 数量的频率分量，可以对非周期函数进行近似展开。
三角恒等式
正弦和余弦函数的线性组合
对于任意的实数$a$和$b$，有$sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b$和$cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b$。
三角恒等式的应用
在傅里叶级数展开中，三角恒等式用于将一个复杂的周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。
其中，a0、an和bn为常数，n为整数 ，Σ表示求和符号，x为自变量。
傅里叶级数的一般形式为：f(x) = a0 + Σ[(an * cos(nx)) + (bn * sin(nx))]
傅里叶级数的历史背景
傅里叶级数的起源可以追溯到18世纪 初，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫· 傅里叶在研究热传导问题时提出了该 理论。
傅里叶级数的理解
傅里叶级数的理解
一、傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的。
傅里叶级数是将一个周期函数表示为无穷个正弦函数和余弦函数的线性组合，其中每个正弦函数和余弦函数都具有一定的幅度和相位。
二、傅里叶级数的展开
傅里叶级数的展开是将一个周期函数表示为无穷个正弦函数和余弦函数的线性组合的过程。
三、傅里叶级数的三角形式
傅里叶级数的另一种表示形式是三角形式，它将每个正弦和余弦函数合并为一个三角函数形式。
这种形式更加简洁，并且可以更容易地看出函数的对称性和周期性。
四、傅里叶系数的计算
傅里叶系数的计算是傅里叶级数展开的关键步骤，它可以通过对函数的积分来得出。
五、傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数是一个无穷级数，因此需要满足一定的条件才能收敛到原函数。
傅里叶级数
一、三角函数系的正交性 函数集合
{ 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,..., cos nx , sin nx ,... }
称为三角函数系。 1、系中任意两个不同函数的乘积在区间[−π , π ] 上的积分为 0 , 这一性质称为三角函数系的 正交性。 2、 系中任一函数自己与自己的乘积在区间[−π , π ] 上的积分不为0。
ω
y 一列简谐振动， = An sin( nω t + ϕ n ) n = 0,1,2,... 2π 它们有公共周期 T = ω 2π 问： 给了一个复杂的波， 其周期为 ， ω 能否将它表示为许多个简谐振动之和？
即：
f (t )
= ∑ An sin( nω t + ϕ n ) ?
n =0
∞
这一展开的物理意义是： 一个复杂的周期运动 可以分解成许多不同频率的简谐振动的叠加。 电工学中， 将这种展开称为 谐波分析 A0 sin ϕ 0 ： f ( t ) 的直流分量 A1 sin(ωt + ϕ1 ) ： f ( t ) 的一次谐波(或基波)
f ( x ) 的傅里叶系数， 简称傅氏系数。
以傅氏系数构成的三角级数
a0 + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) 2 n =1
∞
称为函数 f ( x )的傅里叶级数， 简称傅氏级数。
说明
只要(2)(3)式中的积分存在， 就可求出
傅氏系数 a0、an、bn , ( n = 1,2,...) ， 从而， 就得到函数 f ( x ) 的傅氏级数
2
( −1)n +1 cos nx + sin nx n
傅里叶级数
1
an
1
f ( x)cos nxdx
0
x
cos
nxdx
1
n2
2
(1
(1)n )
n 1, 2, 3, .... n0
1
bn f ( x)sin nxdx
1 0
(1)n1
x sin nxdx
n
(n 1, 2, 3, )
在 [ , )上应用收敛定理得：
当 x 时,
定义在[0, ]上的函数展开为Fourier级数： 设 f (x) 在[0, ]上有定义,
( 1 ) 要把 f ( x) 展成正弦级数 :
f ( x) x (0, ]
令 F ( x) 0
x0
---f ( x)的奇式延拓.
f ( x) x [ , 0)
则F( x)在[ , ]上为奇函数, F( x)的Fourier级数为
2
4x
例 6 把 f ( x) 2 x 在 (0, 2)内展成以4为周期的 2
正弦级数,并作出其和函数在[4, 4]上的图形.
解：把 f (x) 延拓成(2, 2)上的奇函数
an 0,
bn
2 l
l 0
f (x) sin n x dx
l
2
(1
x ) sin
n
x
dx
2
0
2
2
n
2 x 2 sin nx x (0, 2)
定理1 (Dirichlet(狄利克雷 )收敛定理)
设 f ( x)以2 为周期, 在[ , ]上满足：
1.连续或只有有限个第一类间断点, Dirichlet条件
2.只有有限个极值点,
则 f ( x) 的Fourier级数
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
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傅里叶级数诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。
当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。
1.什么是投影我们先来复习什么是投影吧。
考虑一个简单的二维平面的例子。
如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。
这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。
图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。
我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。
我们知道 u-cv这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是(u-cv)T v=0。
我们马上就可以得到 c 的表达式如下。
（1）2.向量在一组正交基上的展开在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。
如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。
回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式（2）从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。
问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。
没错，数学上是这么做的。
但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式：（3）3.傅里叶级数的几何意义现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的 v 换成新坐标轴就好了。
说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。
给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：（4）其中系数表达式如下：（5）我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。
傅里叶告诉我们，f(x)可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，（6）这里我们需要在广义上来理解“正交”。
我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product）为零。
“内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。
在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间[a,b]上的两个实函数 u(x),v(x)来说，它们的内积定义为（7）正交基(6)中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。
上面(5)式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。
现在的问题是我们不能直接用(1)式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。
在无限维的函数空间，我们需要把(1)式中分子分母的点积分别替换成(7)式。
那么(5)式中的所有系数马上可以轻松的写出：（8）值得注意的是，(8)式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。
也就是说，不管是 [-l,l]还是[0,2l]，答案都是一样的。
有同学会说，老师上课教的是对(4)式两边乘以1，cos(nπx/l)，或 sin(nπx/l),然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到(5)式。
这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。
但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。
熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。
给定一个周期是 2l 的周期函数f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：（9）其中系数表达式如下：（10）这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，（11）我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。
对于定义在区间[a,b]上的两个复函数 u(x),v(x)来说，它们的内积定义为（12）其中v加上划线意思是它的共轭。
(10)中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。
现在我们同样可以把原函数分别投影到(11)中的每个函数所在的“坐标轴”来求出对应的“坐标”，也就是系数cn：（13）这里我想强调一下这个“正交基”的重要性。
在一个有限维的向量空间，给定任何向量都可以被一组基展开，它可以不必是正交的，这个时候展开项中的系数（也就是沿这组基中任一坐标轴的坐标）需要求解一个线性方程组来得到。
只有当这组基是正交的时候，这些系数才能从给定向量往各坐标轴上投影得出，也就是(1)式。
同样的，在无限维的函数空间，我们可以把一个函数在某个“基”中展开，但是只有在“正交基”中，展开项中的系数才能看成是函数投影的结果。
最后做一个总结，不管是向量 u 还是函数 u，他们都可以被一组正交基{vn：n=1,...,N}（有限个向量）或{vn：n=1,...,∞}(无限个函数）展开如下:（14）上式中的 cn 代表 u 在 vn 所在的坐标轴上投影产生的坐标。
而(14)式中内积的定义视情况而定，在有限维的向量空间（实数域），向量 u 和 v 的内积是点积uTv；在无限维的函数空间，函数u(x)和v(x)的内积的通用形式是(12)，如果它们是实函数，那么(12)就可以简化成(7)的形式。
我们可以看到，用几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为我相信所有人都能理解投影的概念；同时，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想要遗忘都难了。
我们在学习不同学科的时候可以经常的去做联系，尝试着用不同的角度去看待同一个问题，我相信这么做是很有好处的。
傅里叶变换要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。
但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。
为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。
用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。
一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。
且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
三、傅立叶变换分类根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅立叶变换（Fourier Transform）2周期性连续信号傅立叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4周期性离散信号离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。
因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。
面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。
还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离解信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。
每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT)，再去理解复数傅立叶就更容易了，所以我们先把复数的傅立叶放到一边去，先来理解实数傅立叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。
还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。