圆锥曲线焦点弦的一个性质
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。
若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。
a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。
a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。
设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。
e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。
∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。
c2∴p q 2c2。
又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。
证毕。
pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。
双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程 知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=+，则点P 的轨迹是 2若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：①点P 在椭圆上⇔ ；②点P 在椭圆内部⇔ ； ③点P 在椭圆外部⇔ .(2)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：先联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得一个一元二次方程是：(3)弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．（4）直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆：()012222>>=+b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 二、双曲线方程. 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==-，则点P 的轨迹是 2（1）等轴双曲线：双曲线a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby a x 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为 .（3）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 . 3、直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ……① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ……②把①代入②得关于x 的一元二次方程为 . ①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线与双曲线C ． ②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ＝0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ<0⇒直线与双曲线 公共点，此时称直线与双曲线 ． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．（2）直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线：()0,012222>>=-b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 三、抛物线方程. 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．思考1：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 经过点F )，点的轨迹是 2、抛物线的性质：3、抛物线的焦点弦的性质1．如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 的位置关系是 ； (2)|AB |＝ (焦点弦长用中点M 的坐标表示)； (3)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB |＝ (焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；抛物线的通径等于 . (4)求证A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝ ，y 1·y 2＝ . 4、直线与抛物线的位置关系1．设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于x 的一元二次方程为 ，(1)若k ＝0，直线与抛物线有 个公共点，此时直线 于抛物线的对称轴或与对称轴 ． 因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的 条件． (2)若k ≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线 ，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线 ，无公共点．2．直线l ：y ＝kx ＋m 与抛物线：y 2＝2px (p >0)的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用p 和x 0，y 0表示)3．抛物线：y 2＝2px (p >0，y >0)在点A (x 0，02px )处的切线方程为 ，4．抛物线：x 2＝2py (p >0)在点A (x 0，px 220)处的切线方程为 ，。
圆锥曲线焦点弦的六个性质
Ｉ Ａ Ｆ ｔ 一幽 一— 一生
Ｉ Ａ Ｂ Ｉ Ｉ ＮＢ ｌ 。 魁
ｅ
２ ｉ Ｂ ＦＩ
ｙ
一
到与焦点 Ｆ相应 的准线 的距 离 ｄ一
ｌ ＡＢｌ 一， 一
一
幽
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×
ａ
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ｏ ， 一
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一丽
．
’
２ ａ’
＼ ｌ
ｏ
对 于椭 圆 ， ０ ％ｅ ％１ ， 因而 ｄ ＞ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相离 ； 对 于抛物线 ， Ｐ 一１ ， 因而 ｄ ＝ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相切 ； 对 于双曲线 ， ｅ ＞ｌ ， 因而 ｄ ％ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相交． 性质三 ： 设过 圆锥 曲线 的焦 点 Ｆ 的弦 的端 点 Ａ、 Ｂ 在该 焦点相应 的准线 上 的射影 分别 为 Ｍ 、 Ｎ， 该 准线 与 对称轴 （ 椭 圆为 长 轴 ， 双 曲线 为 实 轴 ） 的 交点 为 Ｅ ． 若
Ａ Ｍ、 Ｂ Ｎ相 交 ， 则 交点 平分 ＥＦ ．
２ ． ２
一
．
￡ １ Ｌ ｌ 旦 ￡！ 一
ｌ ＡＢｌ
一 ｌ ＡＦ Ｊ
上 一 Ｊ Ｂ Ｆｌ
图 ３
Ｉ Ａ Ｆｌ ＋Ｉ Ｂ Ｆｌ— ｌ Ａ Ｂｌ — ｊ ＡＦ Ｊ ・！ Ｂ Ｆ！ ｝ ＡＦ Ｊ ・｛ Ｂ Ｆ Ｊ
～
２（
ｃ
一ｃ ）
以
日
２
一
图１
０１ ． ２
２
当且仅 当 Ａ Ｂ ￣３ ７轴时 ， ｌ ＡＢｌ 有最 小值
最短．
， 即通 径
．
一
对于双曲线 ， 证 明如下 ： 如图 ３ ， 设 双 曲线方程 为
圆锥曲线焦点弦角度公式推导过程
让我们来深入探讨一下圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
1. 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指平面上与一个圆锥相交得到的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都有各自独特的性质和特点，例如焦点、准线、离心率等。
2. 焦点、准线和焦点弦角度的概念在圆锥曲线中，焦点是一个重要的点，具有特殊的几何性质。
准线是与焦点相关的直线，它们共同构成了圆锥曲线的性质。
焦点弦角度是指过焦点的两条相交弦所夹的角度。
3. 圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程接下来，我们将从推导焦点弦角度的定义出发，逐步推导出其数学公式。
我们需要利用圆锥曲线的几何特性，结合焦点和准线的定义，来得出焦点弦角度的数学表达式。
我们将使用坐标系和几何代数的方法，结合圆锥曲线的方程式，推导出具体的焦点弦角度公式。
这个过程涉及到大量的数学运算和推理，需要严谨的逻辑和思维，同时也需要对圆锥曲线的性质有深入的理解。
4. 个人观点和理解在我看来，圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程是非常有意义的。
它不仅涉及到几何和代数知识的综合运用，还能帮助我们更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
通过深入研究焦点弦角度的推导过程，我们可以更好地理解圆锥曲线的几何意义，同时也能对数学运算和推理能力进行提升。
总结回顾：在本文中，我们深入探讨了圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
通过对圆锥曲线的定义和性质进行分析，我们逐步推导出了焦点弦角度的数学表达式，并通过坐标系和代数方法得到具体的公式。
我们也共享了个人观点和理解，认为这一过程对我们的数学思维和几何理解有着重要的意义。
我希望通过这篇文章的阅读，您能够更深入地理解圆锥曲线焦点弦角度的推导过程，并对数学知识有一个更全面、深刻的理解。
也希望能够引发您对圆锥曲线和数学推导过程的兴趣，激发您对数学研究的进一步探索。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，涉及到几何、代数以及数学推导等多个方面的知识。
其性质和特点的深入理解对于数学的学习和研究具有重要意义。
圆锥曲线的焦点弦的三个性质
Ｃ Ｏ Ｓ ０ ＝ １， ｔ ａ ｎ０ ＝ ０ ．
・ ． ．
满 足题 设条 件 的直线 方程 为 Ｙ＝０或 ：± ． ．
４ ５ ） ，故选 ｃ ． 笔者并不满足对原 问题的求解 ，对原 问题作进
２ 问题 的解决 方案 （ 高 中数学综合复 习与 练 习 提 供 ） 方案 １（ 参数法 ） 设过 （ √ ５ ， ０ ） 的直线 的参数
・ ． ．
Ａ Ｂ的倾斜角为 ，则 Ｉ 【 ＝
６，
广 ．
证 明 以椭 圆左 焦 点 Ｆ． 为极 点 ，Ｆ ， ｘ 为极 轴 建立
（ ４ ・
极坐标系，则椭圆方程为
￣
・ ． ．
ｅ ｐ ，
ｓ ｉ ｎ ａ：０ ｔ ａ ｎ ｇ：± ．
设 （ ， ）， Ｂ （ ， ＋兀 ） ，
２ ａ ｂ
、
Ｉ ｂ 一ｃ ｓ ｉ ｎ Ｉ 。
①若 ｍ＞
②若 ｍ＝
，则这样 的直线共有四条 ；
，则这 样 的直线 共有 三条 ；
性质 ３ Ａ Ｂ是过抛物线 Ｙ ＝ ２ ｐ ｘ （ ｐ＞ ０ ） 焦点 的
， ＇Ｄ
弦，若 Ａ Ｂ的倾斜角为口，则ｌ Ａ Ｂ Ｉ 一
１ ０
福建中学数学
２ ０ １ ６ 年第 １ ２ 期
圆锥 曲线 的焦 点弦的三个性 质
苏 昌盛
１问题 的提 出 南京 师 范 大 学 出版 的 高 中数 学 综 合复 习与 练 习 （ ２ ０ ０ ０ 年版） 第 １ １ ８页例 题 １（ ３ ） ： 过 双 曲线 一 Ｙ ＝ｌ 的右焦 点 ，的直线 交双 曲线 于 点 ， ， 则 满 设Ｐ １ （ ｔ ９ １ ， ０ ） ， Ｐ ２ （ Ｐ ２ ， ＋ ７ ｃ ） ， 若 ， 均 在右 支 上 ，
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线的一些性质
9
巧用向量求满足二次方程的函数取值范围
2 2 2 2 2 2
例 9 设 a + b + c = 4, x + y + z = 9. 则 ax + by + cz 的取值范围是多少?( 第 7 届希望杯 全国数学邀请赛高二培训题) 解: 设 A = ( a, b, c ) , B = ( x , y , z ) 由定理得 4 = a2 + b 2 + c 2 = | A | 2 ( A B) 2 | B |2 2 ( ax + by + cz ) ( ax + by + cz ) 2 = = 2 2 2 9 x + y + z 2 ( ax + by + cz ) 36, ax + by + cz 的取值范围是 - 6 ax + by + cz 6.
0[
FA , FB 的反向交 E2 于 C, D, 直线 AB, CD 交于M , e1 p 1 + e2 p 2 则 M 在直线: cos = 上. e 2 + e1 证明 将 M 代入直 线AB, CD 方 程中, 两 式 相加即证. 定理 15 设射线 FA 交E 1 于 A , 交 E 2 于 B; E1 的切线 AM , E2 的切线 BM 交于 M, 则 M 在 直线: e 1p 1 - e2 p 2 cos 上. e2 - e1 定理 16 设直线 FA 交E 1 于 A , 交 E 2 于 B, A , B 在 F 两则; E1 的切线 AM , E 2 的切线 BM 交于M , 则 M 在直线: cos = 两式相减, 加即证.
31+ 4 2+
圆锥曲线知识点汇总
圆锥曲线知识点汇总在数学的世界里，圆锥曲线如同璀璨的明珠，闪耀着独特的魅力。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学、物理以及工程等领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一同深入探索圆锥曲线的奥秘。
一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
椭圆的标准方程有两种形式：当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）表示椭圆的长半轴，＼（b\）表示椭圆的短半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
椭圆的性质包括：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leqb\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线双曲线是平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的动点 P 的轨迹。
双曲线的标准方程也有两种形式：焦点在 x 轴上时，双曲线的标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）表示双曲线的实半轴，＼（b\）表示双曲线的虚半轴，＼（c\）（＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\））表示半焦距，焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
圆锥曲线重要结论
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。
圆锥曲线焦半径圆的性质
B1 P F2 O F1 x
焦点弦圆的性质
x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0), 过椭圆右焦点 F2 a b 的直线l与椭圆交于A, B两点，则以AB为直 径的圆与该椭圆的右准 线（） A.相切 B.相离
y
C.相交
D.无法确定
B1 x F2 O P F1
焦点弦圆的性质
已知抛物线y 2 2 px( p 0), 过其焦点F的直线l 交抛物线与点A，B两点，则以AB为直径的圆 与准线（） A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定
y
x 1(a 0, b 0), 过双曲线右焦点 F2 a b 的直线l与双曲线交于A, B两点，则以AB为直径的圆与 该双曲线的右准线（） A.相切 B.相离 C.相交 D.无法确定
圆锥曲线焦半径圆 与焦点弦圆的性质
结论1
1、椭圆中以焦半径为直径的圆必与长轴为直径
的圆内切；
2、双曲线中以焦半径为直径的圆必与实轴为直
径的圆外切；
3、抛物线中以焦半径为直径的圆必与顶点处的
切线相切；
结论2
1、椭圆中以焦点弦为直径的圆必与准线
相离；
2、双曲线中以焦点弦为直径的圆必与准
线相交；
3、抛物线中以焦点弦为直径的圆必与准
线相切；
焦半径圆的性质
x2 y2 已知点M是双曲线 2 2 1右支上的任意一点， F1 a b 是它的右焦点，则以 MF1为直径的圆与圆： x2 y2 a2 的位置关系是什么？
y
x F2 O F1
M
焦半径圆的性质
x2 y 2 已知点A是椭圆 2 2 1上的任意一点， F1是它的右焦点， a b 则以AF1为直径的圆与圆： x 2 y 2 a 2的位置关系是什么？
圆锥曲线与焦点弦有关的一个统一性质
．
．
湖南省常德市第六 中学 （１０ ３ ４ ５０ ）
口 （ｌ Ｙ ）－（ｌｏ Ｙ — ０－ ｘＹ 一 ４ ｃ ） ｃ（ｌ Ｘ） 一 ｔ — ｏ ＝０． ｘ
ｙ
直线 Ｂ Ｆ的方程为 一 一 ）一 ＝ ， （ ｃｙ ０ ．
Ｂ
易 算得 点 Ｍ 的坐标 为 （ 一ｐ ，点 Ⅳ 的坐标 为 一Ｐ， ）
（ 旦， ） 一 口
２
・
ｙ８
．
令 ： 昙， ： ， 一 得
Ｆ ＝（ｐ 一ｐ Ｆ ＝（ｐ ｐ ． Ｍ － ， ），一 Ｎ － ， ）
Ｆ ｉ 一 ：Ｐ 一Ｐ ＝０， Ｘ ．Ｎ Ｆ
—
Ｉ 一 ｃ Ｉ －ｏ ｌ 一 ｃｆ ｏ 一 （ Ｃ） 一ｃ（－ｑ ６ ２ ） Ｘ－ ２ ６ ）ｌ ）
ｔ Ｘ２ ％ ） ￣ ａ一 １
・ — －： ・ － － － －－ － － － － － －－ － － － － －・ － － — — － － －－ － —－ － － — ・－ － － － ・ －： － － ： － － － － －－ － － － － －－ － － － － －－ － ・ － — － － －－ — －－ － － － －・ － － － ・ ・・
一
性质 ２ 如图 ２ 设 是双曲线 ｘ ２
＝
１
（ ＞０ ｂ＞０过焦点 Ｆ的弦 ， Ｐ是双 曲线上 异于 Ａ ， 口 ， ）
Ｂ的任 一点 ，直线 Ｐ交相应 于焦 点 Ｆ的准线 ， 点 于
— — —
－
ｃ
— 一
） ｃ ｔ
：
—
Ｙ ｂ２ ｏ
— — —
－
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有心圆锥曲线焦点弦的一个性质及推广
有心圆锥曲线焦点弦的一个性质及推广作者：秦本尧来源：《读写算》2011年第10期问题:点是椭圆上任意一点,弦分别过椭圆的左右焦点,则点分别分有向线段的比之和是否为定值？解:如图,设动点,焦点当点与椭圆的长轴顶点重合时,;当点与椭圆长轴的顶点不重合时,则直线的方程分别为:。
由得,则;同理有。
由得,又,则方程变形为。
所以,故。
同理可得。
所以。
综上所述,对于椭圆上任意一点,左右焦点分焦点弦对应的有向线段的比之和为定值。
性质1:椭圆的共端点的焦点弦被相应焦点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
由于左右焦点关于椭圆的中心对称,自然地可以考虑:若椭圆的共端点的两条弦所在的直线过其长轴所在直线上关于中心对称的两定点,则以端点为起点的有向线段被此两定点分得的比之和是否为定值呢？根据上面问题的推导过程知,只需在表示式用定点的坐标替代对应焦点的坐标即得:推论1.1:椭圆的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
若将定点取在短轴所在直线上,由椭圆的对称性,有:推论1.2:椭圆的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
又由圆锥曲线的仿射性质知,当将椭圆仿射为双曲线时, 双曲线的离心率对应于椭圆的离心率的倒数,故应有: 点是双曲线上任意一点,且焦点弦存在即点与点不重合时,则点分别分有向线段的比之和为。
具体证明方法与椭圆相同,留给读者。
性质2: 双曲线上共端点的两焦点弦被两焦点所分得的以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
同样地将焦点一般化为在双曲线的实轴上且关于中心对称的对称定点,则有:推论2.1:双曲线的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
对应地有:推论2.2: 双曲线的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
综合上面的两个结论,可得到有心圆锥曲线的共端点的焦点弦的统一性质:性质3:有心圆锥曲线的共端点的两焦点弦被焦点所分得的以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
补上一课 利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题
补上一课 ,利用圆锥曲线的二级结论秒解选择、填空题)1．焦点三角形的面积、离心率(1)设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则 ①|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tanθ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.(2)设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则 ①|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；②S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；③e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.2．中心弦的性质设A ，B 为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P 是曲线上与A ，B 不重合的任意一点，则k AP ·k BP ＝e 2－1. 3．中点弦的性质设圆锥曲线以M (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦AB 所在的直线的斜率为k . (1)若圆锥曲线为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则k AB ＝－b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则k AB ＝b 2x 0a 2y 0，k AB ·k OM ＝e 2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则k AB ＝py 0.4．焦点弦的性质(1)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B两点，且|AF → |＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF → |＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.(3)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p1－cos θ，p1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2psin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.题型一 椭圆焦点三角形的面积、离心率【例1】 在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________； (2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________． 答案 (1)33 (2)6－22解析 (1)由焦点三角形公式，得S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，即S △PF 1F 2＝3 3.(2)由公式e ＝sin （α＋β）sin α＋sin β＝sin 60°sin 45°＋sin 75°＝6－22.【训练1】 (1)若P 是x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1，F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．(2)在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，∠PF 2O ＝45°，∠PF 1O ＝15°，则椭圆的离心率e ＝________． 答案 (1)6433 (2)32－62解析 (1)S △F 1PF 2＝b 2tan α2＝64×33＝6433.(2)由公式e ＝sin （β＋α）sin β＋sin α，即得e ＝32－62. 题型二 中心弦的性质【例2】 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上异于A ，B 两点，若AP 与BP 的斜率之积为－12，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 k AP ·k BP ＝－12，e 2－1＝－12，∴e 2＝12，e ＝22.【训练2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，实轴的两个端点为A ，B ，点P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA 与PB 的斜率之积为________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ，e ＝35，若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为________．答案 (1)3 (2)1225解析 (1)k PA·k PB＝e2－1＝3.(2)设∠DBO＝θ，则cos∠F1BF2＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝725，cos2θ＝1625，cos θ＝45，利用Rt△F2OB易知k BD＝－43，e＝35，由k BD·k CD＝e2－1，得k CD＝1225.题型三 中点弦的性质【例3】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为( )A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1答案 B解析 由题意可知k AB＝－15－0－12－3＝1，k MO＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦中的斜率规律得k MO·k AB＝b2a2，即54＝b2a2，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5，故双曲线的方程为x24－y25＝1.【训练3】(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1(2)(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．答案 (1)D (2)2解析 (1)c ＝3，a 2－b 2＝9，AB 的中点记为P (－1，1)，由k AB ·k OP ＝e 2－1则 (－1)×－1－01－3＝－b 2a 2，∴a 2＝2b 2，解得a 2＝18，b 2＝9.(2)法一 取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别是A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线上，∴|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，∴MM ′平行于x 轴，∴y 0＝1，又由中点弦的性质得k AB ＝py 0＝2.法二 设抛物线的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则{y 21＝4x 1，y 2＝4x 2，所以y 21－y 2＝4(x 1－x 2)，则k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，取AB 的中点M ′(x 0，y 0)，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足分别为A ′，B ′，又∠AMB ＝90°，点M 在准线x ＝－1上，所以|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)．又M ′为AB 的中点，所以MM ′平行于x 轴，且y 0＝1，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法三 由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由{y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2(x －1)2＝4x ，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.由{y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去x 得y 2＝4(1ky ＋1)，即y 2－4ky －4＝0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，则∠AMB ＝90°，得MA → ·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0，将x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1与y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4代入，得k ＝2.题型四 焦点弦的性质【例4】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k＞0)的直线交椭圆于A ，B 两点，已知AF → ＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B.2 C.3 D ．2 答案 B解析 ∵λ＝3，e ＝32，由规律得32cos α＝3－13＋1，cos α＝33，k ＝tan α＝ 2.【训练4】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938C.6332D.94答案 D解析 抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.一、选择题1．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 k 1k 2＝－b 2a 2＝－12.2．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝A.12B ．1C ．2D ．4解析 直线y ＝k (x －2)过抛物线的交点F (2，0)，则1|FP |＋1|FQ |＝2p ＝12.3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( ) A.[12，34] B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]答案 B解析 由对称弦结论知kPA 1·kPA 2＝e 2－1＝(12)2－1＝－34，又kPA 2∈[－2，－1]，∴kPA 1＝－34kPA 2∈[38，34]. 4．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( ) A.32 B.62C.3D.6答案 B解析 设P 到x 轴的距离为y P ，故12×22×y P ＝12×1tan 30°，解得y P ＝62，故P 到x 轴的距离为62.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝2x D ．y 2＝6x解析 |AB |＝2p sin 2θ，∴2p ＝|AB |sin 2θ＝8×sin 2π6＝2，∴y 2＝2x .6．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，(点A 在第一象限)，若BA → ＝4BF →，则△AOB 的面积为( )A.833 B.433 C.832 D.432 答案 B 解析 由题意知AF BF ＝3，AF ＝p 1－cos θ，BF ＝p1＋cos θ， ∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32，S ＝p 22sin θ＝43＝433.7．(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A.5 B ．2 C.3 D.2 答案 C解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝ba x ，则F 2到y ＝ba x 的距离等于b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－ac ，即3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝ca ＝ 3. 8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A ．24 B ．8 C ．12 D ．16解析 p ＝2，S △AOB ＝p 22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB |＝2p sin 2θ＝24.9．(2021·广州调研)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与Γ相交于A ，B 两点，且AF → ＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2 C.3 D.2 答案 D解析 依题意a ＝2b ，e ＝1－(ba)2 ＝32，又λ＝3，由e ＝|λ－1（λ＋1）cos α|得32＝|3－1（3＋1）cos α|，|cos α|＝33，又k ＞0，∴α∈(0，π2)，得cos α＝33，k ＝tan α＝2.10．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10 答案 A解析 (极坐标法)设l 1的倾斜角为θ，那么|AB |＝|AF |＋|BF |＝21－cos θ＋21－cos （π＋θ）＝21－cos θ＋21＋cos θ＝4sin 2θ，因此l 2的倾斜角为θ＋π2或θ－π2，即|DE |＝4sin 2(θ±π2)，因此即求4(1sin 2θ＋1cos 2θ)在[0，π2]上的最小值，令f (θ)＝4sin 2θcos 2θ，取最小值时sin θcos θ取最大值，因此θ＝π4，结果414＝16. 11．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，椭圆上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．(0，1) B.(0，12]C.(0，22) D.[22，1)答案 D解析 设B 为短轴上端点，则S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝b 2≤S △F 1BF 2＝bc ，∵a ＞b ＞0，∴b ≤c ，即b 2≤c 2，∴e 2＝c 2a 2≥12，又∵e ＜1，∴22≤e ＜1，故选D.二、填空题12．已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若PF 1→ ·PF 2→|PF 1→ ||PF 2→ |＝12，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 3 3解析 设〈PF 1→ ，PF2→ 〉＝θ，则由PF 1→ ·PF 2→|PF 1→ ||PF 2→ |＝12， 知cos θ＝12，θ＝π3，∴S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝9×33＝3 3.13．经过椭圆x 24＋y 2＝1上一点(3，12)的切线方程为________________． 答案 3x ＋2y －4＝0解析 把(3，12)代入椭圆的切线方程x 0x a 2＋x 0y b 2＝1，得3x 4＋y 2＝1，即3x ＋2y －4＝0.14．在椭圆Ax 2＋By 2＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，椭圆离心率e ＝12，∠PF 2O ＝60°，则tan ∠PF 1O 的值为________．答案 3解析 设∠PF 1O ＝θ，由题意可得12＝sin （θ＋60°）sin θ＋sin 60°，解得cos θ＝12，∴θ＝60°，故tan ∠PF 1O ＝tan θ＝3.15．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP → ·FP →的最小值为________． 答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1，0)，∴OP → ＝(x ，y )，FP → ＝(x ＋1，y )，∴OP → ·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19(x ＋92)2 ＋234.∵－3≤x ≤3， ∴32≤x ＋92≤152，∴94≤(x ＋92)2 ≤2254， ∴14≤19(x ＋92)2 ≤22536， ∴6≤19(x ＋92)2 ＋234≤12，即6≤OP → ·FP → ≤12，故最小值为6.16．已知P为椭圆C：x24＋y23＝1上一个动点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处切线的距离为d，若|PF1|·|PF2|＝247，则d＝________．答案 14 2解析 由椭圆的焦半径公式得|PF1||PF2|＝|(2＋12x0)(2－12x0)|＝4－14x20＝247，x20＝167，∴y20＝97，不妨取P(47，37)，切线47x4＋37y3＝1.x＋y＝7，∴d＝142.。
圆锥曲线焦点弦的一个统一性质
p = b2 , 则
1
+
1
=
c e2 |P ห้องสมุดไป่ตู้|·|P B| |F C|·|F D|
(x − 1) + 2. 根据上面的对称函数构造原理可知该函数为
中心对称函数, 对称中心为 (1, 2). 对函数 f (x) 求导可得: f ′(x) = 3x2 − 6x + 4 > 0 恒成立. 所以 f (x) 在 R 上单调递
增.
原不等式
⇔
f (x)
+
1 f( )
x
>
2
×
2,
根据上面的定理
26
中学数学研究
2020 年第 8 期 (上)
圆锥曲线焦点弦的一个统一性质
山东省泰安市宁阳县第一中学 (271400) 刘才华
本文旨在给出圆锥曲线焦点弦的一个统一性质, 为此,
我们首先陈述并证明三个命题. x2 y2
命题 1 点 F 为椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左 焦点, P 为椭圆的左准线与 x 轴的交点, 过 P 作直线交椭
则
|F C|·|F D|
=
a2
cos2
b4 θ+
b2 sin2
. θ
由
(1)
和
(2)
得
|F C|·|F D|
=
a2
cos2
b4 θ+
b2 sin2
. θ
于是
1 e2 |P A|·|P B|
+
1 |F C|·|F D|
=
a2+b2 b4
=
2 a2−c2 b4
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圆锥曲线焦点弦的一个性质
浙江省台州市实验中学 张铭
由于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）有着统一的内在规律，因而它们的一些性质逐渐被人们揭示。
本人在研究圆锥曲线焦点弦时，发现了一个统一性质，现叙述如下：
定理１：已知抛物线E:y 2＝2px (p>0)的焦点为F ，其准线为L: 2p x =-,,过焦点F 的直线m 与抛物线交于A 、B 两点.则112||||AF BF p += 证明：若过点F 的直线m 的斜率存在为k(k ≠0)，则m 的方程为()2
p y k x =-. 设1122(,),(,)A x y B x y ，将()2p y k x =-代入抛物线方程可得22()22
p k x px -= 即22222
(2)04k p k x p k x -++= 22
12122(2),4p k p x x x x k +∴+=⋅= 1112||||,||||22
p p AF AA x BF BB x ==+==+又 221222
(2)2(1)||||p k p k AF BF x x p p k k ++∴+=++=+= (1) 2
1212122222222||||()()()2224(2)1424p p p p AF BF x x x x x x p p p k p k p k k
⋅=++=⋅+++++=+⋅+=⋅ (2) (1) 除以（2）得 ||||22||||AF BF AF BF p p
+=+=⋅11 ，即 |AF||BF| 若过F 点的直线m 的斜率不存在，此时直线m 的方程为：2
p x =
则A.B 两点坐标为(,)(,)||||22p p p p AF BF p -∴==和 11112||||AF BF p p p
∴+=+= 命题也成立。
综上，定理得证。
定理2：已知椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>,其焦点F(c,0)对应的准线为2:a l x c = 焦点F 到准线L 的距离|FK|=p,过F 点的直线m 与椭圆E 相交于A,B 两点. 则112||||AF BF ep
+=.(其中e 为椭圆的离心率) 证明：过A 点作AA 1垂直L,AM 垂直x 轴,垂足分别为A 1,M..
则根据椭圆第二定义：|AF|=e|AA 1|=e(|FK|-|FM|)
.|(||cos )
||||cos ,||1cos AFM AF e p AF ep AF ep AF e AF e θθθθ
∠==-∴=-⋅∴=+设则 | 同样，过B 点作BB 1垂直L,BN 垂直x 轴，垂足分别为B 1,N.
则1||||(||||)(||cos )
||||cos ,||1cos 111cos 1cos 2||||BF e BB e FN FK e BF p ep
BF BF e ep BF e e e AF BF ep ep ep θθθ
θθ==+=+∴-=∴=-+-∴+=+=
定理得证。
定理3：已知双曲线E:22221x y a b -=,其焦点F(c,0)对应的准线为2
:a l x c = 焦点F 到准线L 的距离|FK|=p,过F 点的直线m 与双曲线E 相交于A,B 两点. 则112||||AF BF ep
+=.(其中e 为双曲线的离心率) 证明：过A 点作AA 1垂直L,AM 垂直x 轴,垂足分别为A 1,M..
则根据双曲线第二定义：|AF|=e|AA 1|=e(|FK|+|FM|)
.|(||cos )
||||cos ,||1cos AFM AF e p AF ep AF ep AF e AF e θθθθ
∠==+∴=+⋅∴=-设则 | 同样，过B 点作BB 1垂直L,BN 垂直x 轴，垂足分别为B 1,N.
则1||||(||||)(||cos )
||||cos ,||1cos 111cos 1cos 2..||||BF e BB e FK FN e p BF ep BF BF e ep BF e e e AF BF ep ep ep θθθ
θθ==-=-∴+=∴=
+-+∴+=+=证毕
综上，可得如下定理：
定理：若过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线有两个交点，则这两个交点到圆锥
曲线焦点的距离的倒数和是一个定值2
ep。
（其中p为圆锥曲线的焦点到相应准线的
距离，e为圆锥曲线的离心率。
）。