圆锥曲线之焦点弦专题
圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题
可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2
＝0，Δ＝(－4k2)2－4(1＋2k2)·(2k2－2)＝8k2＋8>0，x1＋x2＝1＋4k22k2，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
解析
2k2－2 x1x2＝1＋2k2，所以|AB|＝
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝
答案
解析 因为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± 2 x，所以 b＝ 2a，则双曲线 C 的方程为ax22－2ya22＝1(a>0)，F1(－ 3a，0)，
F2( 3a，0)，所以直线 l 的方程为 y＝ 3(x－ 3a)，设 M(x1，y1)，N(x2，
y2)，由ax22－2ya22＝1，
A.8
3
3，3
3
C.8
3
2，3
2
B.8
3
2，3
3
D.3
2，8
3
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
答案
解析 当直线 l1，l2 有一条斜率不存在时，不妨设直线 l1 的斜率不存 在，则直线 l2 的斜率为 0，此时|AB|＝2ab2＝ 22＝ 2，|CD|＝2 2，所以|AB|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
解析
所以 A 正确，B 错误；对于 C，设 P(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x，y)，因为 P，H 在双曲线 E 上，所以y421－x21＝1 ①，y422－x22＝1 ②，由①－②并整
理，得yx11＋＋yx22·yx11－－yx22＝4，因为 kPH＝xy11－－xy22，kOM＝yx＝xy11＋＋xy22，所以 kOMkPH ＝4，所以 C 错误；对于 D，y421－x21＝1，即 y21－4x21＝4，所以点 P 到两条 渐近线的距离之积为|2x1＋y1|·5 |2x1－y1|＝|4x21－5 y21|＝45，所以 D 正确．故 选 AD曲线
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题
圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。
圆锥曲线中焦点弦问题(共16张PPT)
焦点弦问题
（1）焦点弦长的求法
方法三：焦点弦长公式 已知圆锥曲线 C 的离心率为 e，焦点为 F，焦准距（焦点到准线的距离）为 p，过点 F 的弦 MN 与曲线 C 的焦点所在的轴的夹角为 , (0,90 ] ，则有 2ep 2p | MN | | MN | ，在抛物线内 sin 2 |1 e 2cos 2 |
证明过程如下：
a2 设 N (x1, y1 ) ，根据第二定义可知 NF eNN ' e( x1 ) a ex1 c
在 RT DNF 中， x1 OD OF DF c NF cos ，代入上式得：
NF a e(c NF cos ) ，解得 NF
解析：本题考查焦点弦长公式，在抛物线中焦点弦=
2p ，所以 2 1 cos
| AB | | DE |
4 2p 16 1 cos2 1 cos2 ( ) sin 2 2 2
当分母取 1 时，原式子取得最小值，最小值为 16.
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 3： 过抛物线 C : y 2 4x 的焦点 F， 且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方） ， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为_________.
解析：作出图像运用抛物线唯一的性质即可，唯一的性质即为 MF MN ，且
又因为 e
2 ，故可解出 a 3, b 5 3
x2 y 2 1 椭圆Байду номын сангаас程为 9 5
（1）焦点弦长的求法
焦点弦问题
例 2：已知 F 为抛物线 C : y 2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ，直线 l1 与 C 交于 A, B 两点，直线 l2 与 C 交于 D, E 两点，则 | AB | | DE | 的最小值为________.
圆锥曲线焦点弦的八大结论
圆锥曲线焦点弦的八大结论圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。
本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。
一、椭圆的焦点弦椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2上；2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF1 - NF2；7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。
二、双曲线的焦点弦双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。
对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与双曲线渐近线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为双曲线渐近线的中点；5. 弦中点M到双曲线两个焦点的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即MF1 + MF2 = PM + PN；6. 弦端点P和N到双曲线两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2 = NF2 - NF1；7. 双曲线的两个焦点到弦的距离之积等于双曲线的常数c的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = c - AB，其中c为双曲线的常数；8. 弦段所在直线与双曲线中心连线的斜率等于双曲线焦点之间的距离和双曲线渐近线的斜率之和的倒数，即PG/PM = (F1F2/c) + (c/PN)。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练专题16 圆锥曲线焦点弦微点5 圆锥曲线焦点弦问题综合训练 一、单选题：（2022·四川广安·模拟预测（文））1．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（ ）A 0y --=B ．40y --=C ．390x y --=D ．330x y --=2．抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（ ） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）3．如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x ya bb >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D（2022·湖南师大附中高二阶段练习）4．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221412x y -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭二、多选题：（多选题）（2022江苏南京市第二十九中学）5．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 相交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.若PQ 的最小值为6，则（ ） A ．抛物线C 的方程为26y x =B ．PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3C ．1236y y =-D ．当直线PQ 的倾斜角为60时，F 为PQ 的一个四等分点 （多选题）（2022广东韶关）6．已知()1,3M -，过抛物线C ：24y x =焦点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，P 为C 上任意一点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A ．过M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线有两条 B ．PM 与P 到抛物线C 的准线距离之和的最小值为3 C ．若AF ，OM ，BF 成等比数列，则10AB = D ．抛物线C 在A 、B 两点处的切线互相垂直 （多选题）（2022山东师范大学附中）7．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线12x =-相交 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，9||2AB =D ．||AB 的最小值为4（多选题）（2022双峰县第一中学）8．抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 交x 轴于点Q （－2，0），过焦点的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．p ＝2B ．||8ABC ．直线AQ 与BQ 的斜率之和为0D ．准线l 上存在点M ，若△MAB 为等边三角形，可得直线AB 的斜率为±三、填空题9．设椭圆221259x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF △的内切圆的面积为4π.设A ，B 的两点坐标分别为()11,,A x y ()22,B x y ，则12y y -值为________.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，过左焦点F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A B ，两点，则AOB (其中O 为原点)的形状为________.12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A B ，两点，且2ABF △的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则线段AB 的长度的取值范围是_________ 四、解答题13．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.14．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆O ：222x y a +=，12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α（0,2πα⎛∈⎤⎥⎝⎦）的动直线l 交椭圆C 于,A B两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）.当4πα=时，弦PQ（1）求圆O 与椭圆C 的方程；（2）若22,,AF BF AB 依次成等差数列，求直线PQ 的方程.15．已知1F ，2F 分别是椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，1B ，2B 分别为上、下顶点，且四边形1122B F B F （1）求C 的方程；（2）过点1F 的直线l 与C 交于P 、Q 两点，若12PF F △的面积是12QF F 的面积的3倍，求2PQF 的面积．（2022·全国·高三专题练习）16．12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左右焦点，过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB 不为长轴，1ABF 的周长为8，椭圆C 的离心率为12.（1）求此椭圆C 的方程；（2）2A 为其右顶点，求证：直线2A A ，2A B 两直线的斜率之积为定值，并求出此定值. （2022上海·上外浦东附中高三阶段练习）17．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为22(1x y +=．（1）求椭圆段的方程；（2）已知直线l 过点1F 与“椭圆帽”的交于两点为M ，N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程；（3）已知P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l 经过点1F ，与“椭圆帽”交于两点为M ，N ，若10F P MN ⋅=，求PM PN ⋅的取值范围． （2022·浙江·效实中学模拟预测）18．已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左､右焦点，长轴长为12,B B分别为椭圆的上、下顶点，且四边形1122F B F B 的面积为 (1)求椭圆E 的方程；(2)若椭圆E 过点1F 的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，设AB 的中点为M ，C D 、两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且0()CO OM λλ>=，求四边形ACBD 面积的取值范围.19．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A 、B （不与左右顶点重合），连结2F A 、2F B ，已知2ABF △周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，求AOB 的面积； （3）设2122F F F A F B λμ→→→=+，且1192λμ+=，求直线l 的方程. 20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>离心率为12，点1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.过点2F 任作一条不与y 轴垂直的直线与椭圆C交于M ，N 两点，1△MNF 的周长为8.（1）求椭圆C 的方程.（2）若直线1A M ，2A N 交于点D ，试判断点D 是否存在某条定直线x t =上.若是，求出t 的值；若不是，请说明理由.（2022·江西·奉新县第一中学高二阶段练习（理））21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为 （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，若椭圆E 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，记1F MN △的内切圆的半径为r ，试求r 的取值范围.（2022·宁夏·平罗中学三模（理））22．已知椭圆C ：()222210x x a b a b+=>>的左、右焦点1F ，2F 恰好是双曲线2218x x -=的左右顶点，椭圆C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 上是否存在点M 使得四边形OAMB （O 为原点）为平行四边形？若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程求得F ，写出直线l 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合抛物线的定义求得k ，由此求得直线l 的方程.【详解】椭圆2212516x y +=，3c =，所以3,0F （），3,2122pp ==，所以抛物线C :212y x =. 设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为(3)(0)y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩ 消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=， 则12122126,9x x x x k +=+=. ()1212||3||,333,36AF BF x x x x =+=+∴-=212121222212936,6,, ?9,3x x x x x x k k k k+=+∴=+==∴=又0,k k >∴=因此直线l 0y --=. 故选：A. 2．A【分析】根据抛物线的定义可得焦点弦11AF x =+，21BF x =+，联立过焦点的直线方程和抛物线方程，根据韦达定理即可求解. 【详解】抛物线的焦点()1,0F ，准线x ＝－1，设()1y k x =-，把它代入24y x =得()2222220k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121=x x ，由抛物线定义可得11AF x =+，21BF x =+， △()()()1212112m n x x x x +=+++=++，()()()()121212121112mn x x x x x x x x =++=+++=++， △m ＋n ＝mn ． 故选:A 3．C【分析】不妨令3AB =，24BF =，25AF =，根据双曲线的定义可求得1a =，290ABF ∠=，再利用勾股定理可求得2452c =，从而可求得双曲线的离心率．【详解】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a ∴=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴=∴双曲线的离心率ce a=故选;C 4．B【分析】利用平面几何和内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN △x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，根据θ△(60∘,90∘]，将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解：设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， △122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan ()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， △233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan θ<tan θ>△1tan θ<<10tan θ≠，△443||||0,tan 3⎛⎫⎛⎫-=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ， 综上所述，4||||tan ⎛-=∈ ⎝⎭ME NE θ. 故选：B. 5．ABD【分析】A 选项：考虑直线PQ 的斜率不存在与斜率存在两种情况，分别用含p 的式子表达出PQ ，利用PQ 的最小值为6求出p 的值，B 选项结合A 选项求出的p 的值即可判断当斜率不存在的时候，PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3；C 选项利用韦达定理求出12y y 的值，作出判断；D 选项，求出当直线PQ 的倾斜角为60时的PF 与QF 的值，进行判断. 【详解】当直线PQ 的斜率不存在时，因为直线PQ 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，所以PQ 的方程为：2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩ 可得y p =±，此时2PQ p =，当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11,P x y ，()22,Q x y ，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：()22222204k p k x k p p x -++=， 所以2122222k p p px x p k k++==+，22212244k p p x x k ==， 所以12222222p px x p p p p p k k PQ ++=+++>==， 对于A ：由以上证明可知：当直线PQ 的斜率不存在时，min 26PQ p ==，可得3p =， 所以抛物线C 的方程为26y x =，故选项A 正确；对于B ：当直线PQ 的斜率不存在时，PQ 的中点到准线l 的距离为322p pp +==， 当直线PQ 的斜率存在时，PQ 的中点横坐标为122222x x p p pk +=+>，此时PQ 的中点到准线l 的距离22p pd p >+=，故选项B 正确； 对于C ：当直线PQ 的斜率不存在时，,2p Q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2129y y p =-=-，故选项C 不正确；对于D ：当直线PQ 的倾斜角为60时，直线PQ的方程为：32y x ⎫=-⎪⎭，由2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得：242090x x -+=，即()()21290x x --=， 不妨设12P x =，92Q x =， 所以132222P p PF x =+=+=，936222Q p QF x =+=+=， 所以13PFQF =，所以F 为PQ 的一个四等分点，故选项D 正确；故选：ABD 6．BCD【分析】根据抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系逐项验证即可.【详解】解：设过M 的直线方程为：()31x m y =++，又 抛物线C 的方程为：24y x =，联立方程可得：()2314x m y y x⎧=++⎨=⎩化简得： 241240y my m ---=()()()22441241631m m m m ∴∆=++=++0∆=时，解得m =. 又=3y -时，94x =，所以直线=3y -与抛物线24y x =有一个交点 ∴过M 与抛物线C 相交且有一个公共点的直线有三条，选项A 错误；()1,0F ，PM 与P 到抛物线C 的准线距离之和等于PM PF +，又3PM PF MF +=≥，选项B 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，直线BA 的方程为1x ny =+， 代入抛物线的方程可得2440y ny --=，所以124y y =-，221212116y y x x ==，因为()()212121212111210AF BF x x x x x x x x OM =+==+++=++==， 所以12210AB AF BF x x =+=++=，选项C 正确； 不妨设210y y <<，由y ='y =y =-'y = 所以抛物线C 在A，在B处的切线的斜率为，1⎛⎫==-⎝，所以两条切线相互垂直，选项D正确．故选：BCD．7．ACD【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A；当直线AB的斜率不存在时，显然成立；当直线AB的斜率存在时，设为1，求得A，B，M 的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cosρθ=-，设1(Aρ，)θ，2(Bρ，)πθ+，求得||AF，||FB，可判断C；考虑直线AB垂直于x轴，取得最小值，可判断D．【详解】解：24y x=的焦点(1,0)F，准线方程为=1x-，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由||||AF AA'=，||||BF BB'=，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB'''=+=+=，可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线12x=-相交，故A对；当直线AB的斜率不存在时，显然以线段BM为直径的圆与y轴相切；当直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为y kx k=-，联立24y x=，可得2222(24)0k x k x k-++=，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，可得12242x xk+=+，121=x x，设13x=+23x=-可得M的横坐标为221k+，MB的中点的横坐标为2212(1)2xk++，222||1|BM xk--，当1k=时，MB的中点的横坐标为521||22MB=，显然以线段BM为直径的圆与y轴相交，故B错；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为21cosρθ=-，设1(Aρ，)θ，2(Bρ，)πθ+，可得121cosρθ=-，2221cos()1cosρπθθ==-++，可得111cos 1cos 1||||22AF BF θθ-++=+=，又||2||AF FB =，可得||3AF =，3||2FB =，则9||||||2AB AF FB =+=，故C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故D 正确． 故选：ACD ．8．BCD【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解. 【详解】对A ，由准线l 交x 轴于点Q （－2，0）， 所以22p-=-，4p =，故A 错误， 对B ，抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于x 轴时， 令2x =，可得4y =±，||8AB =， 所以||8AB ，故B 正确；对C ，设直线m 的方程为2x ny =+， 代入抛物线方程可得：28160y ny --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有：12128,16y y n y y +==-， 所以12211122121222+22(2)(2)AQ BQ y y x y y x y y k k x x x x +++=+=++++ 1212121224()32320(2)(2)(2)(2)ny y y y n nx x x x ++-+===++++，故C 正确；对D ，若△MAB 为等边三角形，设A ，B 中点为(,)N a b ， 则21212()44222x x n y y a n +++===+，1242y y b n +==，设(2,)M t -，所以2444n tn n -=-+，所以348t n n =+，则3(2,48)M n n -+，则点3(2,48)M n n -+到直线m 的距离d =而21212()4488AB x x p n y y n =++=+++=+，由d =28)n =+，n =此时AB 的斜率为D 正确. 故选：BCD 9．5【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为()14,0F -，()14,0F ，根据2ABF △的内切圆的面积，得到2ABF △的面积，再根据21212124ABF AF F BF F SSSy y =+=-，从而得到12y y -的值.【详解】因为椭圆221259x y +=中，4=c ， 所以焦点为()14,0F -，()14,0F ， 设2ABF △的内切圆的半径为r ， 所以24S r ππ==，得2r =，根据椭圆的定义()()221212420AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==， 所以()222112022022ABF SAB AF BF r =++⋅=⨯⨯=， 又因为21212ABF AF F BF F SSS=+1122121212111222y F F y F F y y F F =⋅+⋅=-⋅ 124y y =-所以12420y y -=，即125y y -=. 故答案为：5.【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆中的三角形的面积问题，三角形内切圆的性质，属于中档题.10【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1x y k =， 联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为2222163c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a-=， 设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1x y k =，与双曲线222231131x y a a x y k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立得22213169303y a k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()22121221693133a k y y y y k +=⋅=-，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()22222216943133a k y y k ==-，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以k =11．钝角三角形【分析】由椭圆的离心率可求得2223a b =，从而可表示出椭圆方程，求出右焦点坐标，则可表示出直线l 的方程，代入椭圆方程中，消去y 整理利用根与系数的关系，再表示出12y y ，然后求出OA OB ⋅，由其正负可判断出三角形的形状=2223a b =， 则椭圆的方程为2222123x y a a +=，椭圆的右焦点为0F ⎫⎪⎪⎝⎭，，由直线l的方程为12y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由222212312x y a a y x ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可得221170x a --=， 设()()1122 A x y B x y ，，，，由韦达定理得21212711a x x x x -+==，，则121214y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2121211()43x x x x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦221714113a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2433a =-则2121225033OA OB x x y y a ⋅=+=-<， 所以AOB ∠一定为钝角，所以AOB (其中O 为原点)的形状为钝角三角形， 故答案为：钝角三角形 12．⎣ 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ,利用三角形内切圆面积计算可得12114222a r c y y ⨯⨯=⨯⨯-，化简得1222a y y c e -==，由离心率范围求得12843y y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，再利用弦长公式即可求得答案. 【详解】如图示，由椭圆定义可得1212||+||=2,||+||=2AF AF a BF BF a ,则2ABF △的周长为4a ,设1122(,),(,)A x y B x y ，设2ABF △内切圆半径为r ，2ABF △的内切圆的周长是2π， 故2π=2π,1r r ∴= ，由题意得12114222a r c y y ⨯⨯=⨯⨯- ，得1222a y y c e -==，由于13,24e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故128,43y y ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以由121,2AB y k =-=可得12AB y =-∈⎣，故答案为：⎣ 13．（1（2）22132x y +=.【解析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a = （2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b+=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ， 由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以 32x =，2by =-． 代入22221x ya b+=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=，所以椭圆方程为221 32x y+=．【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.14．（1）椭圆C的方程为：22143x y+=，O：224x y+=；（2）直线PQ的方程为：y=【详解】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求,a b的值，而,a b本身满足2221a b c-==，只要再建立一个关于,a b的等式即可求出,a b的值，这可从直线被圆截得的,a b等式；（2）求直线PQ的方程，因为直线PQ已经经过1(1,0)F-，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为22,,AF BF AB成等差数列，结合椭圆的定义，可求得2BF的长，从而可求得B的坐标，最终可求得直线PQ的方程.试题解析：（1）取PQ的中点D，连,OD OP，由4πα=，1c=，知OD14PQ=22244PQOQ OD∴=+=，即24a=，从而23b=，∴椭圆C的方程为：22143x y+=，O：224x y+=.（2）设22,AF s BF t==，121224,24AF AF a BF BF a+==+==，又22,,AF BF AB的长成等差数列，28t s s t∴=+--，83t∴=设00(,)B x y，由2200220064(1)9{143x yx y-+=+=解得004,3x y=-=4,3B⎛-⎝⎭，k∴=∴PQ：y=考点：直线与圆、直线与椭圆.15．（1）2212x y +=；（2）43.【分析】（1）根据四边形1122B F B F,a b 即可．（2）设直线l 的方程为1x ty =-，与椭圆方程联立，由12PF F △的面积等于12QF F 的面积的3倍，得到123y y =-，由韦达定理求得点P ,Q 的坐标，然后由以21212PQF PF F PF F S S S =+△△△求解. 【详解】（1）由四边形1122B F B F得a =1b c ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()22221221012x ty t y ty x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 则12222t y y t +=+，12212y y t =+ 由12PF F △的面积等于12QF F 的面积的3倍， 不妨令10y >，20y <，得123y y =-， 代入上式，得22222t y t -=+，222132y t -=-+， 即222t y t -=+，222132y t =+， 消去2y ，解得21t =，1t =±． 所以21212122214244223PQF PF F PF F t S S S c y y y t -=+=⋅⋅-==⋅=+△△△． 故2PQF 的面积为43．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．（1）22143x y +=；（2）94-．【分析】（1）根据椭圆的定义和椭圆的离心率可求得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A B x y x y ，，直线2AF 的方程为+1x my =，与椭圆的方程联立，得出根与系数的关系，表示2A A ，2A B 两直线的斜率，代入可求得其之积为定值.【详解】（1）由椭圆的定义得1212+2,+2,AF AF a BF BF a ==又1ABF 的周长为8，所以111122+++++2+28AF BF AB AF BF AF BF a a ===， 所以2a =，又12c a =，所以1c b ==， 所以此椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）得()()222010A F ，，，，设()()1122,,A B x y x y ，，直线2AF 的方程为+1x my =， 联立22+1143x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()223+4+690my m y -=，则12122269+,3+43+4m y y y y m m =-=-，直线221212121222+12+12A B A A y y y y k k x x my my ⋅=⋅=⋅---- ()22221212122993+496++14+13+43+4y y m y y m y y m m m m m m -===--⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2A A ，2A B 两直线的斜率之积为定值，此定值为94-.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式.17．（1）221,42x y x +=≤（2）y x =+y x =-（3）⎡⎤-⎣⎦ 【分析】（1）设椭圆方程，根据))22,F A ，即可求得方程；（2）根据11F N =， 12F M =，设点(),,M x y x M 坐标即可得到直线方程；（3）根据题意11PM PN F M ⋅=-，转化为求1FM 的范围.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22222221,0,x y a b a b c a b+=>>=+，由图可得))22,F A ，所以21b c a ==，所以2,a b c ===椭圆段的方程：221,42x y x +=≤（2）由题11F N =，所以12F M =，设(),,M x y x(22221424x y x y ⎧+==⎪⎨⎪+⎩，解得：0x =或x =所以(M或(0,M ，所以直线l的方程：y x =+y x =- （3）若10F P MN ⋅=，()()2111111111PM PN PF F N PF F M PF F M F N F M ⋅=+⋅+=+⋅=-， 当M 点在右侧圆弧上时，13,1F M ⎡∈+⎣，当M 点在左椭圆弧上时，[]11,3F M ∈， 所以PM PN ⎡⎤⋅∈-⎣⎦ 18．(1)22132x y +=或2213x y +=(2)4,⎡⎣【分析】（1）根据题意利用待定系数法列出方程组即可求得a b 、的值，进而得到椭圆E 的方程；（2）设出直线AB 的方程并与椭圆E 的方程联立，利用设而不求的方法求得C D 、两点坐标，进而得到四边形ACBD 面积的表达式，从而求得该四边形面积的取值范围. （1）由2a =a =1222c b ⋅⋅=bc =由223b c bc ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩则椭圆E 的方程为22132x y +=或2213x y +=.（2）由椭圆E的离心率e =E 的方程为22132x y +=当直线AB 斜率k 存在时，设直线():1AB y k x =+，0k ≠ 代入22132x y +=，整理得()2222236360k x k x k +++-=则()()2224423336484806k k k k --=++>，22121222636,,2323k k x x x x k k --+==++ 则22232,,2323k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线2:3OM y x k =- 代入22132x y +=，整理得222932k x k =+，取C ⎛⎫，则D ⎛⎫C AB d -∴==D AB d -=)22123k AB k +=+())221112223ACBDC ABD AB k S AB d d k --+∴=⋅+=⋅⋅+==22233k +>，则21130223k <<+，则4<4ACBD S <<当直线AB 斜率k 不存在时，AB 的方程为=1x -，AB =此时()0,1,M-)C，()D，CD =11422ACBD S AB CD =⋅=⨯=， 综上，四边形ACBD面积的取值范围为4,⎡⎣.19．（1）22143x y +=；（2）7；（3）550x ++=或550x -+=【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得a ，c ，再由a ，b ，c 的关系可得b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线l 的方程，联立椭圆方程，消去x ，运用韦达定理，结合AOB 的面积为1121||||2S OF y y =-，计算可得所求值； （3）设直线l 的方程为1x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，运用韦达定理，由2122F F F A F B λμ→→→=+，得出1λμ+=，结合1192λμ+=，设λμ<，所以13λ=，23μ=，运用韦达定理可求出t ，进而得到所求直线l 方程． 【详解】（1）解：由题可知，2ABF △周长为8， 由椭圆的定义，可知2ABF △的周长等于4a ， 则48a =，所以2a =， 又12c e a ==，所以1c =，b 因此椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）解：依题意，直线l 的方程为1x y =-，与椭圆方程联立221431x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：27690y y --=， 由韦达定理：1267y y +=，1297y y ⋅=-，11212ABC S OF y y =-△= （3）解：设直线l 的方程为1x ty =-，()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，由韦达定理：122634ty y t +=+△，122934y y t ⋅=-+△， 因为2122F F F A F B λμ→→→=+，所以()()()11221,1,2,0x y x y λμ-+--=，即121220x x y y λλμμλμ-=-+-⎧⎨=+⎩，由111x ty =-，221x ty =-，得：()()()12122112()ty ty t y y λλμμλμλμ-=--+--=+-+， 所以1λμ+=， 又1192λμ+=，不妨设λμ<，所以13λ=，23μ=， 代入120y y λμ+=，所以122y y =-，所以211252y y y y +=-，整理得()2121212y y y y +=-， 代入△△22261349234t t t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=--+，计算得t = 所以直线l的方程为550x ++=或550x -+=.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程和简单几何性质，考查运用直线和椭圆的位置关系求三角形面积，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查三点共线的向量表示，突出考查化简运算能力，属于中档题． 20．（1）22143x y +=；（2）存在；4t =.【解析】（1）根据题设条件和椭圆的定义，得到48a =，求得2a =，再由12c e a ==，求得23b =，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线:1MN x y λ=+，联立方程组，根据根与系数的关系，得到1212,y y y y +⋅，在由由直线1,A M AN 的方程联立，得到()()122121*********y x y x y y x y x y x y y ++-⎡⎤⎣⎦=-++，将1212,y y y y +⋅代入求得4x =，即可得到结论.【详解】（1）由题意知1△MNF 的周长为8，根据椭圆的定义得()()11121248MN MF NF MF MF NF NF a ++=+++==，解得2a =，又由离心率12c e a ==，可得2234b a =，所以23b =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）设直线:1MN x y λ=+()R λ∈，联立方程组221431x y x y λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690y y λλ++-=， 可得122634y y λλ+=-+，122934y y λ⋅=-+，由直线()111:22y A M y x x =++与()222:22yA N y x x =--， 联立得()()122121*********y x y x y y x y x y x y y ++-⎡⎤⎣⎦=-++， 将111x y λ=+，221x y λ=+代入，可得()()1212212212112242846232y y y y y y y y y x y y y y y λλ-+++-==+++.即()()()()()2222492683446234y x y λλλλλ---++==-++，即直线1A M 与2A N 的交点D 的横坐标为4，故点D 在直线4x =上，所以4t =.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
圆锥曲线之焦点弦专题
圆锥曲线之焦点弦专题圆锥曲线之焦点弦专题一．圆锥曲线常用的几种方法：1.定义法2.韦达定理3.设而不求点差法4.弦长公式法5.数形结合法6.参数法（点参数；K参数：角参数）7.代入法中的顺序8.充分利用曲线系方程法二．圆锥曲线七种常见题型1.中点弦问题2.焦点三角形问题3.直线与圆锥曲线位置关系4.圆锥曲线的有关最值（范围）问题5.求曲线的方程问题6.存在两点关于直线对称问题7.两线段垂直问题三．焦点弦题型讲与练模型：e=√1+k2|?-1/?+1|或|ecos?|=|?-1/?+11.已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k的直线与c交与A.B两点,若向量AF=3FB.求k的值。
2设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2/2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆E的方程为___ ．3.设F1.F2分别为椭圆x2/3+y2=1的左右的焦点,点A,B在椭圆上，若向量F1A =5F2B，则A点的坐标 .4.椭圆的左右焦点分别为F1F2，A、B是椭圆上的两点，AF1＝3F1B，∠BAF＝90，椭圆的离心率是（）A 1/2 B√2/2 C√3/2 D3/45．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(I) 求E的离心率；(II) 设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．6.设F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一交点为N．(Ⅰ)若直线MN的斜率为3/4，求C的离心率；(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．7．设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．。
高考中一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法
高考中一类圆锥曲线关于焦点弦问题的新解法
高考中，学习椭圆、双曲线及其圆锥曲线的弦问题是极具有挑战性的工作。
更
具有挑战性的是圆锥曲线的弦问题，尤其是源于圆锥曲线的焦点弦问题。
近年来，国内外学者共同研究，从而提出了新的解法，从而作出了有益的贡献。
首先，学习弦问题，还有一个关键性的一步就是建立对应的函数模型。
针对圆
锥曲线的焦点弦的研究，国内外学者们利用标准的参数，比如圆锥曲线的两个焦点和一条弦，建立了双曲线方程与圆锥曲线的函数模型，进而可以有效的推导出一个新的标准的弦长公式，其证明十分简洁。
其次，为切实解决高考中焦点弦问题，研究者们引入了两个有效的算法，一个
叫做“奇偶”法、另一个叫做“三元组”方法，并依据具体问题来互相调整使用，大大提高了计算的准确性。
最后，基于圆锥曲线的焦点弦的计算结果，国内外学者们还做了进一步的研究，从而提出了新的计算判断标准，当做判断两个圆锥曲线弦是否相等的参考依据，使得圆锥曲线的弦等量分析更加精准高效。
综上，新的解法为高考中处理一类圆锥曲线关于焦点弦问题提供了新思路，帮
助广大考生更好地理解并分析复杂的数学理论，从而培养参考高考中数学知识的科学思维和分析能力。
圆锥曲线的焦点弦问题(特征梯形)
课题：探究抛物线中的焦点弦问题【学习目标】：探讨解决抛物线中有关焦点弦问题的思想方法.【问题探究】：抛物线定义：平面内与一个定点F 的距离和一条定直线l 距离相等的点的轨迹.问题一：已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则?AB = （1）：12AB x x p =++ （2）：m i n AB问题二、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影， 则''?A FB ∠= （3）：''90A FB ∠=（4）：以Q 为圆心，以''A B 为直径的圆切AB 于F 点(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyF´B´A´Q问题三、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，'',A B 为,A B 在准线上的射影， 则以,A B 为直径的圆与准线的位置关系？（5）：以P 为圆心，以AB 为直径的圆切''A B 于Q 点 （6）：90AQB ∠=问题四、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则1212?,?x x y y == （7）：221212,4p x x yy p ==-问题五、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，则11?AF BF+= （8）：112A F B F p+=(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´QP(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy(x 1,y 1)(x 2,y 2)xy例1、过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =变式：过抛物线24y x =的焦点做直线交抛物线于,A B 两点，如果8AB =，O 为坐标原点，则OAB ∆的重心的横坐标是例2、直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果''A B a =，Q 为''A B 的中点， 则QF = （用a 表示）变式：直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，由,A B 分别向准线引垂线'',AA BB ，垂足分别为'',A B ，如果,AR a BF b ==，Q 为''A B 的中点， 则QF = （用,a b 表示）例3、设坐标原点为O ，过焦点的直线l 交抛物线24y x =于,A B 两点，则OA OB ⋅=例4、过抛物线22(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q+=小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个 直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形 的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.(x 1,y 1)(x 2,y 2)xyB´A´。
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
解析几何专题二(焦点弦及焦点三角形)
专题二:圆锥曲线焦点弦、焦点△知识专题【焦半径——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦【焦半径——双曲线】θ取弦与焦点轴的锐角为 (1) 单支焦点半径112::=-2(a ex );|AB |a e(x x );ρ=-+-+左焦半径左焦弦 1122::=ex a;|AB |e(x x )a;ρ=-+-右焦半径右焦弦(2) 双支焦点半径1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=+++异支左焦半径异支左焦弦 1122::=a ex;|AB |a e(x x );ρ=--+异支右焦半径异支右焦弦【焦半径——抛物线】θ取弦与焦点轴的锐角为1212==y x |AB |x x p;y |AB |y p ++++焦点在轴上焦点在轴上::【焦点弦有关推论——椭圆】θ取弦与焦点轴的锐角为1.过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则2.过双曲线的焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为3.过抛物线的焦点F直线交抛物线于A,B两点, 与焦点轴夹角为（1）4.已知点是离心率为的椭圆或双曲线的焦点, 过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为, 且。
（2）当焦点内分弦时, 有当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）, 有【椭圆焦三角形面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【椭圆【双曲线焦△面积】q为动点到原点的距离,,m,n为弦长,α为弦夹角【抛物线焦点弦与原点△面积】θ取弦与焦点轴的锐角为【焦点△顶角】椭圆:双曲线一、焦半径与焦点弦 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角22221x y a b+=焦点弦,准线图【焦半径——椭圆】 分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==+⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+12222111::=ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-小结:长半焦短半焦焦点弦分析: 如上右图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-12222111::=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-焦点在轴上结论:长半焦短半焦焦点弦22221y x a b += 22221y x a b+=分析: 如上左图,11111|F A |epx e |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθθ=⇒==-⇒=+设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==+⇒=-分析: 如上右图,11111|F A |epe |F A |e |AM |e(p |F A |cos )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==+⇒=-11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |sin )|F B ||BN |e sin θθ=⇒==-⇒=+121212::=2:=2a ex;a ex;|AB |a e(x x );|AB |a e(x x )ρρ=+=-++-+左焦半径右焦半径左焦弦右焦弦21a a a |F A |e |AM |e(x )a ex c ==+=+21b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c ==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==-=-22b ba |F B |e |BN |e(x )a ex c==-=-AB MN2b p c=2a x c=θ【焦半径——双曲线】内部焦点半径 2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角22221y x a b -=12222:=111ep ep ep;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:短结论:长半焦半焦焦点弦外部焦点半径 2πθ取弦与焦点轴小于的夹角分析: 如上左图,11111|F A |x e |F A |e |AM |e(|AM'|p )|AM |epe(|F A |cos p )|F A |e cos θθθ=⇒==-=-⇒=-设焦点弦与轴成角;11111|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+ 11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 分析: 如上右图,ABM N2b p c=2a x c=θθM‘MN’NBAABθN‘M’ N M22221|F A |epe |F A |e |AM |e(|AM'|p )e(|F A |cos p )|F A ||AM |e cos θθ=⇒==-=-⇒=-22221|F B |epe |F B |e |BN |e(p |F B |cos )|F B ||BN |e cos θθ=⇒==-⇒=+11222111ep ep ep|AB ||AF ||BF |e cos e cos e cos θθθ⇒=-=-=-+- 12222111焦点在轴上结论:=ep ep epx ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:长半焦半焦焦点弦:短同理可以推出:(也可从旋转的角度得出以下结论)12222111:短ep ep epy ;;|AB |e cos e cos e cos ρρθθθ==-+-:=焦点在轴上结论:长半焦半焦焦点弦【焦半径——抛物线】2）x(y πθ取弦与或轴小于的夹角从上图容易得出以下结论θM‘MN’NBA21a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c==+=+22a aa |F A |e |AM |e(x )a ex c ==-+=-122:==ab a b a b a b a ex;a ex|AB |a ex a ex e(x x )|AB |a ex a ex a e(x x )ρρ=+=-+--=--+-=-+异左焦半径异右焦半径异左异右122211p p p;;|AB |cos cos sin ρρθθθ==-+:=:短结论:长半焦半焦焦点弦从上图分析12在轴上=x |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |x x p −−−→=+=+++⇒++焦点定义:12在轴上=y |AB ||AM ||B N |(|AM'||M'M |)(|BN'||N'N |)|AB |y y p−−−→=+=+++⇒++焦点定义:【焦半径与焦点弦有关推论】 【推论1】——常用来求定值过椭圆、双曲线的一焦点F 交椭圆或双曲线(单支)于A,B 两点, 则21122a |AF ||BF |b ep+== 过双曲线的一焦点F 的直线分别与两支交于A,B, 与焦点轴夹角为21122cos a cos |AF ||BF |p b θθ•+==过抛物线的一焦点F 直线交抛物线于A,B 两点, 与焦点轴夹角为112|AF ||BF |p+= 【推论2】2πθ取弦与焦点轴小于的夹角————常用来求定角或斜率（3） 已知点 是离心率为 的椭圆或双曲线 的焦点, 过点 的弦与 的焦点所在的轴的夹角为 , 且 。
高中数学专题：圆锥曲线中焦点弦取值范围的探究
圆锥曲线中焦点弦的取值范围的探究本文主要探究圆锥曲线中焦点弦的取值范围，尤其时焦点弦弦长何时取最小值和最大值，运用直线的参数方程和弦长公式，得出椭圆、抛物线、双曲线的焦点弦的取值范围的以下结论：结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；探究一：已知椭圆:C 12222=+by a x ，点F 为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F ，交椭圆C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=--+b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t +=+，αα2222421sin cos a b b t t +-=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b +++= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b +=+++= α2222sin 2c b ab += 所以当0sin 2=α时，焦点弦AB 取最大值，a AB 2max =，即椭圆的长轴长，此时AB l 与x 轴重合；当1sin 2=α时，焦点弦AB 取最小值，ab AB 2min 2=，即椭圆的通经，此时直线x l AB ⊥轴；综上所述：焦点弦⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a b AB 2,22 结论1：椭圆焦点弦AB 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a b 2,22，其中最小值为椭圆的通经长，最大值为椭圆的长轴长；探究二：已知抛物线C ：px y 22=，点F 为抛物线C 的焦点，直线l 过点F ，交抛物线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围；解：)0,2(pF ，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=ααsin cos 2t y t p x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和抛物线C 的方程得： 0cos 2sin 222=--p pt t αα，由韦达定理得：αα221sin cos 2p t t =+，α2221sin p t t -=， 由弦长公式得：αααα2224222122121sin 2sin 4sin cos 44)(pp p t t t t t t AB =+=-+=-=， 因为直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，所以倾斜角0≠α，所以(]1,0sin 2∈α，则[)+∞∈,2p AB ，当1sin 2=α，即x l AB ⊥轴时，取最小值p AB 2min =，即通经长；结论2：抛物线焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2p ，其中最小值为抛物线的通经长；探究三：已知双曲线:C 12222=-by a x ，点F 为双曲线C 的左焦点，直线l 过点F ，交双曲线C 于A 、B 两点，求焦点弦AB 的取值范围； 解：)0,(c F -，设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧=+-=ααsin cos t y t c x （t 为参数）， 设点A 、B 对应的参数分别为1t ，2t ，联立直线l 和椭圆C 的方程得：0cos 2)sin cos (4222222=+--b ct b t a b ααα，由韦达定理得：ααα2222221sin cos cos 2a b c b t t -=+，αα2222421sin cos a b b t t -=， 由弦长公式得：21221214)(t t t t t t AB -+=-=ααααα2222422222224sin cos 4)sin cos (cos 4a b b a b c b ---= ααααααα222222222222224224sin cos 2)sin cos ()sin cos (4cos 4a b ab a b a b b c b -=---= α2222sin 2c b ab -= 因为[]1,0sin 2∈α，所以[]0,sin 222c c -∈-α， 所以[]22222,sin b a c b -∈-α，因为直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，所以ab±≠αtan ，即0sin 222≠-αc b ，所以[)(]22222,00,sin b a c b -∈-α，（1）若b a ≥，则(]2222,0sin a c b ∈-α，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22a b AB ，当1sin 2=α，即直线x l AB ⊥轴时，取最小值ab AB 2min2=，即双曲线的通经；（2）若b a <，则(]2222,0sin b c b ∈-α，[)+∞∈,2a AB ，当0sin 2=α，即AB l 与x 轴重合时，取最大值a AB 2max =，即双曲线的实轴长；结论3：（1）若b a ≥时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22a b ，其中最小值为双曲线的通经长； （2）若b a <时，双曲线的焦点弦AB 的取值范围为[)+∞,2a ，其中最小值为双曲线的实轴长；。
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总(学生版)
圆锥曲线焦点弦二级结论分类汇总题型1圆锥曲线通径二级结论题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论题型1圆锥曲线通径二级结论椭圆，双曲线的通径长AB=2b2 a.1(2022·全国·高三专题练习)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F c,0的弦中最短弦长是()A.2b2a B.2a2bC.2c2aD.2c2b【变式训练】1(2021秋·河北邯郸·高三校考阶段练习)已知过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为其右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.53B.32C.22D.332(2023秋·四川内江·高三期末)椭圆x24+y23=1的焦点为F1、F2，点M在椭圆上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.65B.3 C.113D.37113(2022·全国·高三专题练习)过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y216-x29=1的通径长是()A.94B.92C.9D.104(2022·全国·高三专题练习)抛物线y2=4x的通径(过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦)的长为．5(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，过F且垂直于y轴的直线与C 相交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为18，则p=．6(2023·全国·高三专题练习)过椭圆x29+y2=1的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且AB=23，则这样直线的条数为()A.0B.1C.2D.3题型2椭圆焦点弦三角形周长二级结论1．F1 , F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF2的周长为4a．2.F1, F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A , B两点，则△ABF1的周长为4a．注意：椭圆的焦点弦三角形周长为定值，即长轴长的2倍，与过焦点的直线的倾斜角无关．1(2022·全国·高三专题练习)如图，椭圆C:x24+y23=1的左焦点为F1，过F1的直线交椭圆于A , B两点，求△ABF2的周长．【变式训练】1在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22，过F1作直线l交C于A,B两点，且ΔABF2的周长为16，那么C的方程为．2椭圆焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ长为10，ΔPF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.633(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，短轴长为43，离心率为12，过点F1的直线交椭圆于A,B两点，则△ABF2的周长为()A.4B.5C.16D.324(2020下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线交椭圆于A ,B 两点，交y 轴于点C ，若F 1，C 是线段AB 的三等分点，△F 2AB 的周长为45，则椭圆E 的标准方程为()A.x 25+y 24=1B.x 25+y 23=1C.x 25+y 22=1D.x 25+y 2=15(2014·全国·高考真题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为33，过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为()A.x 23+y 22=1 B.x 23+y 2=1C.x 212+y 28=1D.x 212+y 24=16古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，其面积为43π，过点F 1的直线l 与椭圆C 交于点A ，B 且△F 2AB 的周长为16，则椭圆C 的方程为()A.y 216+x 23=1 B.y 216+x 212=1C.x 216+y 212=1D.x 216+y 23=17(2014·安徽·高考真题)设F 1,F 2分别是椭圆E ：x 2a2+y b 22=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|(1)若|AB |=4,ΔABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B =35，求椭圆E 的离心率.8(2022·全国·高三专题练习)已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点(1，0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，MN 2=4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．题型3双曲线焦点弦周长二级结论(同支)同支问题：F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线同支于A , B 两点，且AB =m ，则△ABF 2的周长为4a +2m ．证明：由双曲线的第一定义知，AF 2 -AF 1 =2a ①，BF 2 -BF 1 =2a ②，又AF 1 +BF 1 =m ③，由①②③，得AF 2 +BF 2 =4a +m , ∴AB +AF 2 +BF 2 =4a +2m ，即△ABF 2的周长为4a +2m ．1(2022·全国·高三专题练习)椭圆y249+x224=1与双曲线y2-x224=1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.52如图双曲线C:x2-y23=1的焦点为F1､F2，过左焦点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点．(1)求弦长AB的值；(2)求△ABF2的周长．3已知双曲线的左、右焦点分别为F1､F2，在左支上F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是()A.26B.21C.16D.54如果F1、F2分别是双曲线x216-y29=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=6，则ΔABF2的周长是5(2022·全国·高三专题练习)若F1,F2分别是双曲线x2m-y27=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=．6已知双曲线x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为π6的弦AB ．求：(1)AB 的长；(2)△F 2AB 的周长．7已知双曲线C 经过点P 3,2 ，它的两条渐近线分别为x +3y =0和x -3y =0.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左､右焦点分别为F 1､F 2，过左焦点F 1作直线l 交双曲线的左支于A ､B 两点，求△ABF 2周长的取值范围.题型4双曲线焦点弦周长问题二级结论(不同支)双曲线异支焦点弦三角形周长【结论3】如图，F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 2的直线l 与双曲线C 右支、左支分别交于A , B 两点，且AB =m ，则焦点弦三角形F 1AB 的周长：C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．证明：令AF 2 =u , BF 2 =v ，则AF 1 =2a +u , BF 1 =v -2a ，ΔF 1AB 的半周长s =v ，由秦九韶-海伦公式得S ΔFAB =s s -AB s -AF 1 s -BF 1 =2a m -2a uv ．又cos ∠AF 2F 1=cos ∠BF 2F 1，由余弦定理推论，得u 2+4c 2-2a +u 22u ⋅2c =v 2+4c 2-v -2a 22v ⋅2c ，∴b 2-au u =b 2+av v , ∴b 2u -b 2v =2a , ∴uv =b 2v -u 2a =b 2m 2a ，将u =v -m 代入uv =b 2m2a，得v -m v =b 2m 2a ，解这个关于v 的一元二次方程，得v =12m +m m +2b 2a ．又ΔF 1AB 的半周长s =v ，因此异支焦点弦三角形F 1AB 的周长C ΔF 1AB =m +m m +2b 2a．1(2021·浙江·统考一模)如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若AB ∶BF 2∶ AF 2 =3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A.2B.15C.13D.3【变式训练】1(2021下·安徽安庆·高三校联考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为边长为4的等边三角形，则△AF 1F 2的面积为()A.23B.33C.43D.632(2021·高三课时练习)已知双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M 0,2 ，则△PFM 的周长的最小值为()A.2+42B.4+22C.32D.26+33已知F 1、F 2分别是双曲线x 23-y 26=1的左右焦点，过右焦点F 2作倾斜角为30°的直线交双曲线于A 、B 两点．(Ⅰ)求线段AB 的长；(Ⅱ)求△AF 1B 的周长．题型5椭圆倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论1.圆锥曲线的角度式焦半径公式与焦点弦公式设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，不妨设AF >BF ，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线半通径为p =b 2a，则AF =p 1-e cos θ , BF =p 1-e cos θ+π =p 1+e cos θ , ∴AB =AF +BF =2p1-e 2cos 2θ，即圆锥曲线的焦半径公式与焦点弦公式分别为：AF =p 1-e cos θ , BF =p 1+e cos θ , ∴AB =2p1-e 2cos 2θ①.二级结论2.椭圆的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2p 1-e 2cos 2θp =b 2a；(2)F 1 , F 2为椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ=2p 1-e 2sin 2θp =b 2a．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为椭圆的通径，通径长AB =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)如图，F 1 , F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1经过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB的长.2(2022上·全国·高二专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为33，过椭圆的右焦点且斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，则△AOB (其中O 为原点)的形状为.3(2022上·全国·高三专题练习)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2，斜率为12的直线l 过左焦点F 1且交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为e ∈12,34，则线段AB 的长度的取值范围是4(2022·全国·高三专题练习)过椭圆3x 2+4y 2=48椭圆的左焦点引直线交椭圆于A ，B 两点，|AB |=7，求直线方程．5(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 29+y 28=1的左右焦点分别为F 1 , F 2，若过点P 0，-2 及F 1 的直线交椭圆于A ，B 两点，求△ABF 2的面积.6(2023·四川广安·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点F 与椭圆x 225+y 216=1的右焦点重合．斜率为k k >0 直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若AF =3BF ，则直线l 的方程是()A.3x -y -33=0B.43x -4y -33=0C.3x -y -9=0D.x -3y -3=0题型6双曲线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：曲线的倾斜角式焦点弦长公式：(1)F 1 , F 2为双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 的左、右焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ =2p 1-e 2cos 2θ p =b 2a ．(2)F 1 , F 2为双曲线C :y 2a2-x 2b 2=1a >0 , b >0 的上、下焦点，过F 1倾斜角为θ的直线l 与双曲线C 交于A , B 两点，则AB =2ab 2a 2-c 2sin 2θ =2p 1-e 2sin 2θ p =b 2a ．说明：特殊情形，当倾斜角为θ=90°时，即为双曲线的通径，通径长2p =2b 2a．圆锥曲线统一的倾斜角式焦点弦长公式：设直线l 过圆锥曲线焦点F 且交圆锥曲线于A , B 两点，若已知直线l 倾斜角为θ，设圆锥曲线通径为2p =2b2a，则圆锥曲线统一的焦点弦长公式：AB =2p1-e 2cos 2θ焦点在x 轴上2p1-e 2sin 2θ焦点在y 轴上．1(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x 2a2-y 2b 2=1a >0 , b >0 ，其中两焦点坐标为F 1-c ,0 F 2c ,0 ，过F 1的直线l 的倾斜角为θ，交双曲线于A ，B 两点，求弦长AB ．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．2(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为150°直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．3(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 24-y 28=1的右焦点F 作倾斜角为45°的直线，交双曲线于A , B 两点，求弦长AB ．4(2022·全国·高三专题练习)过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长AB ．5(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线x 23-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，若过点P (0，-2)及F 1的直线交双曲线于A ，B 两点，求△ABF 2的面积题型7抛物线倾斜角式焦点弦长二级结论二级结论：1.抛物线的焦点弦长：AB =2psin 2θ焦点在x 轴上2pcos 2θ焦点在y 轴上．2.过抛物线y 2=2px (p >0)焦点的直线交抛物线于A ,B 两点，则：y A y B =-p 2,x A x B =p 24.(焦点在y 轴上的性质对比给出.)引伸：M (a ,0)(a >0)在抛物线y 2=2px (p >0)的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点.A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,y 1,y 2=-2pa (定值).3.|AB |=2p sin 2α(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=x 1+x 2+p (焦点在cos θ =λ-1λ+1 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦，长为2p )最短.4.AF =λBF ，则有cos θ|=|λ-1λ+1|,AF =p 1-cos θ，BF =p 1+cos θ(θ为直线与焦点所在轴的夹角).1(2022·全国·高三专题练习)如图，抛物线y 2=2px p >0 与过焦点F p2,0的直线l 相交于A ,B 两点，若l 的倾斜角为θ，求弦长AB ．【变式训练】1(2020·山东·统考高考真题)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =．2已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2，直线l 1与C 交于A ,B 两点，直线l 2与C 交于D ,E 两点，则AB +DE 的最小值为()A.16B.14C.12D.103(2021上·江西·高三校联考阶段练习)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作倾斜角为θθ≠π2的直线，交抛物线于A ,B 两点，当θ=π3时，以FA 为直径的圆与y 轴相切于点T 0,3 .(1)求抛物线的方程；(2)试问在x 轴上是否存在异于F 点的定点P ，使得FA ⋅PB =FB ⋅PA 成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.4(2020·四川遂宁·统考二模)过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 作直线交抛物线于M ，N 两点(M ，N 的横坐标不相等)，弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ，若MN =40，则HF =()A.14B.16C.18D.205设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A , B 两点.若|AF |=3|BF |，则l 的方程为()A.y =x -1或y =-x +1B.y =33(X -1)或y =-33(x -1)C.y =3(x -1)或y =-3(x -1)D.y =22(x -1)或y =-22(x -1)6(2022·全国·高三专题练习)已知点F 和直线l 是离心率为e 的双曲线C 的焦点和对应准线，焦准距(焦点到对应准线的距离)为p ．过点F 的弦AB 与曲线C 的焦点所在的轴的夹角为θ0°<θ≤90° ，则有．题型8椭圆、双曲线点坐标式焦半径公式二级结论一．椭圆的焦半径及其应用：1.焦半径公式：Px 0，y 0是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是左、右焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a +ex 0,PF 2=a -ex 0，Px 0，y 0是椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1 , F 2是上、下焦点，e 椭圆的离心率是则,PF 1=a -ey 0,PF 2=a +ey 0，2.椭圆的坐标式焦点弦长公式：(1)椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a +e x A +x B (过左焦点)；AB =2a -e x A +x B (过右焦点)，即AB =2a -e x A +x B ；(2)椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的焦点弦长公式：AB =2a -e y A +y B (过上焦点)；AB =2a +e y A +y B (过下焦点)，即AB =2a -e y A +y B ．二．双曲线的焦半径及其应用：1:定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径.2.当点P 在双曲线上时的焦半径公式，(其中F 1 为左焦点，F 2为右焦点)它是由第二定义导出的，其中a 是实半轴长，e 是离心率，x 0是P 点的横坐标.当焦点在x 轴，P 在左支时：PF 1=-(ex 0+a ),PF 2=-(ex 0-a ).当焦点在x 轴，P 在右支时：PF 1=ex 0+a ,PF 2=ex 0-a .当焦点在y 轴:P 在上支时：PF 1=ey 0+a ,PF 2=ey 0-a当焦点在y轴:P在下支时：PF1=-(ey0+a),PF2=-(ey0-a)三．双曲线的坐标式焦点弦长公式：(1)双曲线x2a2-y2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e x A+x B-2a=2ab21+k2a2k2-b2；异支弦AB=2a-e x A+x B=2ab21+k2b2-a2k2，统一为：AB=e x A+x B-2a =2ab21+k2a2k2-b2；(2)双曲线y2a2-x2b2=1a>0 , b>0的焦点弦长公式：同支弦AB=e y A+y B-2a；异支弦AB=2a-e y A+y B，统一为：AB=e y A+y B-2a．1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，若过左焦点的直线交椭圆于A , B两点，求AB．【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x22+y21=1的左右焦点分别为F1，F2，若过点P0,-2及F1的直线交椭圆于A，B两点，求AB．2(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x249+y213=1，若过左焦点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B两点的横坐标之和是-7，求AB．3(2022·全国·高三专题练习)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其中两焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．题型9抛物线点坐标式焦半径公式二级结论抛物线的坐标式焦点弦长公式：(1)抛物线y2=2px p>0的焦点弦长公式：AB=p+x A+x B；(2)抛物线y2=-2px p>0的焦点弦长公式：AB=p-x A+x B；(3)抛物线x2=2py p>0的焦点弦长公式：AB=p+y A+y B；(4)抛物线x2=-2py p>0的焦点弦长公式：AB=p-y A+y B．1(2021·河北·高三专题练习)过抛物线y2=2px p>0的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则P=.【变式训练】1(2023·北京·人大附中校考三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则p=．2(2023·全国·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，则过点F且斜率为3的直线l截抛物线C所得弦长为()A.223B.163C.193D.833题型10焦点弦定比分点求离心率二级结论1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．【变式训练】1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过F 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆相交于不同两点A ,B ，已知AF =2FB．(1)求椭圆的离心率；(2)若|AB |=154，求椭圆方程．4(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.322(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为433，过左焦点F 且斜率为k >0的直线交C 的两支于A ,B 两点．若|FA |=3|FB |，则k =．3(多选)(2022·辽宁沈阳·统考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2的直线与双曲线右支交于P ，Q 两点，且PF 1 =2PF 2 ，下列说法正确的是()A.PF 2 与双曲线的实轴长相等B.e ∈1,3C.若P 在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为y =±4xD.若PF 1 =QF 2 ，则直线PQ 的斜率为±424(2021·四川成都·石室中学校考三模)已知直线经过抛物线y 2=2px p >0 的焦点F 并交抛物线于A ，B 两点，则AF =4，且在抛物线的准线上的一点C 满足CB =2BF，则p =.5(2020·全国·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (3,1)，且左、右顶点分别为A 1,A 2，左焦点为F 1，上、下两个顶点分别为B 1,B 2,0为坐标原点，△A 1B 1F 1与△OA 2B 2面积的比值为3-63．(1)求C 的标准方程；(2)过F 1且斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，点D 在y 轴上，且满足PD =QD ，已知E (0,-2)，求△EPQ 与△A 2OD 面积比值的最小值．6(2021·江西新余·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)和圆O :x 2+y 2=a 2,F 1(-1,0),F 2(1,0)分别是椭圆的左、右两焦点，过F 1且倾斜角为α∈0,π2的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，交圆O 于P ,Q 两点(如图所示)，当α=π4时，弦PQ 的长为14．(1)求圆O 和椭圆C 的方程(2)若点M 是圆O 上一点，求当AF 2,BF 2,AB 成等差数列时，△MPQ 面积的最大值．7(2020·安徽蚌埠·统考一模)已知M 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，F 1、F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，且F 1F 2 =2，∠F 1MF 2=π3，△F 1MF 2的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆C 右焦点F 2，交该椭圆于A 、B 两点，AB 中点为Q ，射线OQ (O 为坐标原点)交椭圆于P ，记△AOQ 的面积为S 1，△BPQ 的面积为S 2，若S 2=3S 1，求直线l 的方程．8(2010·全国·高考真题)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C于点D ，且BF =2FD，则C 的离心率为9(2010·全国·高考真题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF =3FB，则k =()A.1B.2C.3D.210(2009·全国·高考真题)已知双曲线C :χ2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.65B.75C.85D.9511(2023·全国·统考高考真题)(多选)设O 为坐标原点，直线y =-3x -1 过抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则()．A.p =2B.MN =83C.以MN 为直径的圆与l 相切D.△OMN 为等腰三角形。
圆锥曲线有关焦点弦问题
圆锥曲线有关焦点弦问题如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，题型多为小题，偶有大题。
定理1 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1 已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿图3解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5 已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2 已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。
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圆锥曲线之焦点弦专题
一．圆锥曲线常用的几种方法：
1.定义法
2.韦达定理
3.设而不求点差法
4.弦长公式法
5.数形结合法
6.参数法（点参数；K参数：角参数）
7.代入法中的顺序
8.充分利用曲线系方程法
二．圆锥曲线七种常见题型
1.中点弦问题
2.焦点三角形问题
3.直线与圆锥曲线位置关系
4.圆锥曲线的有关最值（范围）问题
5.求曲线的方程问题
6.存在两点关于直线对称问题
7.两线段垂直问题
三．焦点弦题型讲与练
模型：e=√1+k2|ƛ-1/ƛ+1|或|ecosƟ|=|ƛ-1/ƛ+1
1.已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k的直线与c交与A.B两点,若向量AF=3FB.求k的值。
2设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2/2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为___ ．3.设F1.F2分别为椭圆x2/3+y2=1的左右的焦点,点A,B在椭圆上，若向量F1A =5F2B，则A点的坐标 .
4.椭圆的左右焦点分别为F1F2，A、B是椭圆上的两点，AF1＝3F1B，∠BAF＝90，椭圆的离心率是（）
A 1/2 B√2/2 C√3/2 D3/4
5．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：的左，右焦点，
过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(I) 求E的离心率；
(II) 设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
6.设F1，F2分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且MF2
与x轴垂直．直线MF1与C的另一交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为3/4，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b．
7．设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．。