圆锥曲线焦点弦的性质
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案
圆锥曲线中点弦直角弦焦点弦三大弦案一、用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题我们可以使用“点差法”来解决圆锥曲线的中点弦问题，即将弦的端点坐标代入圆锥曲线方程并作差，得到一个关于弦的中点和斜率的式子，从而减少运算量。
例1：对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=-2b^2/2a^2.例2：对于双曲线x^2/4-y^2/9=1，如果AB是不平行于对称轴的弦，M是其中点，那么我们可以使用点差法证明K_AB=2b^2/2a^2.二、直角弦对于椭圆x^2/8+y^2/4=1上的点P(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的XXX和PB来求直线AB的方程。
例2：对于双曲线-x^2/4+y^2/1=1的顶点M(2,0)，如果过M作两条互相垂直的直线与椭圆x^2/8+y^2/4=1相交于A、B 两点，我们需要判断直线AB是否过定点。
例3：对于抛物线y^2=2x上的点M(2,2)，我们可以通过作两条互相垂直的弦MP和MQ来求直线AB过的定点。
例4：对于椭圆x^2/84+y^2/36=1，如果OA垂直OB，且直线AB的斜率为1，我们需要求直线AB的方程。
三、焦点弦1、对于抛物线y=x^2上的点P，如果线段PF1垂直于F1F2且PF1=8，我们需要求过P且倾斜角为θ的直线与抛物线的交点。
2、对于椭圆x^2/9+y^2/4=1，如果点P(3,0)在其上，且线段F1P和F2P的长度之和为10，我们需要求离心率。
3、对于双曲线x^2/16-y^2/9=1，如果其右焦点为(5,0)，且过点P(1,2)且斜率为k的直线与双曲线交于两点，我们需要求离心率。
4、对于椭圆x^2/16+y^2/9=1，如果其左、右焦点分别为(-3,0)和(3,0)，过点P(0,2)的直线与椭圆交于A、B两点，且A、B关于点M(0,-2)对称，我们需要求四边形面积的最小值。
练：1、对于椭圆x^2/4+y^2/2=1，如果点P在其上，且PF1垂直于F1F2且PF1=4，PF2=3，我们需要求椭圆的标准方程和直线l的方程。
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例
圆锥曲线焦点弦的一个性质及其应用举例22性质 ⑴过 椭圆 x2 + y2 =1（a >b >0）焦点 F 的直 线交椭圆 于 A 、B 两点 ，设 abAF p, BF =q 。
若 A 、B 两点在双曲线的同一支上（此时称 AB 为双曲线的同支焦点弦）AF p, BF =q ， 11 则 + = pq 2a b 2 2 = e 2d 0 ,其中d = b c 2是焦准距，cce= 是离心率。
a⑵过双曲线 22x 2 y 2 122 ab(a > 0,b > 0) 焦点 F 的直线交双曲线于 A 、 B 两点，设1 12 b 2则 + = ，其中 d 0 = 是焦准距； p q ed 0 c若 A 、B 两点分别位于双曲线的左支和右支上 时称 AB 为双曲线的异支焦点弦），则1 - 1pqe 2d 0 ,其中d 0 b 2c 是焦准距， ce= 是离心率。
a（抛物线的类似性质，本文从略） 证明：（只证性质⑴ , 性质⑵的证明从略） 由对称性，不妨取 F 为右焦点。
设右准线 l 与 x 轴交于点 D ，过 A 作 AG ⊥l 于 G ，过 B 作 BH ⊥l 于点 H ，则 AG ∥FD ∥ BH ；且由椭圆的第二定义知， |AG|= AF p，|BH|= BF q。
e e e e令|FE|= m ,|ED|= n ，故由 mq,n = pmnpq p = p+q,q =。
∴e(p q)e e因此， b2 m +n = ? c 2pq b2e(p q) 。
c2∴p q 2c2。
又 ec，从而1 1 p q 2a2= 2 ,其中d0= b就是焦准距。
证毕。
pqeb 2a p q pqb 2ed 0 c[ 说明 ] ①在上述证明过程中出现的“ m = n ”， “即 |FE|=|ED| ”，亦即 E 为线段 FD 的中点（如图 1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。
双曲线与抛物线也则 m +n =|FD|=FEBF，AGBA，BH GB =AB可得：②如图 1，若设∠ AFD =θ，并分别过 A 、F 作 FD 和 BH 的垂线，则可证： p= ba+ ccos θ2ab2； 从 而 得 焦 点 弦 长 公 式 ： |AB| = p + q= 2 2 2 q =1 - e cos θa -c cos θ22d0e2,其中d 0 就是焦准距 b。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程 知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==+，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=+，则点P 的轨迹是 2若P 是椭圆：12222=+by a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：①点P 在椭圆上⇔ ；②点P 在椭圆内部⇔ ； ③点P 在椭圆外部⇔ .(2)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：先联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消y 得一个一元二次方程是：(3)弦长公式：设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2＝1＋k 2·（x 1－x 2）2＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1ky 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2＝1＋1k2×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．（4）直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆：()012222>>=+b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 二、双曲线方程. 1、双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF <=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF >=-，则点P 的轨迹是 平面内与两个定点F 1、F 2，点P 满足21212F F a PF PF ==-，则点P 的轨迹是 2（1）等轴双曲线：双曲线a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为 ，离心率（2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby a x 的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为 .（3）从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于 . 3、直线与双曲线的位置关系(1)一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m ……① 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) ……②把①代入②得关于x 的一元二次方程为 . ①当b 2－a 2k 2＝0时，直线l 与双曲线的渐近线 ，直线与双曲线C ． ②当b 2－a 2k 2≠0时，Δ>0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ＝0⇒直线与双曲线有 公共点，此时称直线与双曲线 ； Δ<0⇒直线与双曲线 公共点，此时称直线与双曲线 ． 注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点．（2）直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线：()0,012222>>=-b a by a x 的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用x 0，y 0表示) 三、抛物线方程. 1、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．思考1：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 经过点F )，点的轨迹是 2、抛物线的性质：3、抛物线的焦点弦的性质1．如图，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 的位置关系是 ； (2)|AB |＝ (焦点弦长用中点M 的坐标表示)； (3)若直线AB 的倾斜角为α，则|AB |＝ (焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；抛物线的通径等于 . (4)求证A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝ ，y 1·y 2＝ . 4、直线与抛物线的位置关系1．设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成 关于x 的一元二次方程为 ，(1)若k ＝0，直线与抛物线有 个公共点，此时直线 于抛物线的对称轴或与对称轴 ． 因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的 条件． (2)若k ≠0， 当Δ>0时，直线与抛物线 ，有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线 ，有一个公共点； 当Δ<0时，直线与抛物线 ，无公共点．2．直线l ：y ＝kx ＋m 与抛物线：y 2＝2px (p >0)的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M （x 0，y 0），则k = (用p 和x 0，y 0表示)3．抛物线：y 2＝2px (p >0，y >0)在点A (x 0，02px )处的切线方程为 ，4．抛物线：x 2＝2py (p >0)在点A (x 0，px 220)处的切线方程为 ，。
圆锥曲线焦点弦的六个性质
Ｉ Ａ Ｆ ｔ 一幽 一— 一生
Ｉ Ａ Ｂ Ｉ Ｉ ＮＢ ｌ 。 魁
ｅ
２ ｉ Ｂ ＦＩ
ｙ
一
到与焦点 Ｆ相应 的准线 的距 离 ｄ一
ｌ ＡＢｌ 一， 一
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×
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ｏ ， 一
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一丽
．
’
２ ａ’
＼ ｌ
ｏ
对 于椭 圆 ， ０ ％ｅ ％１ ， 因而 ｄ ＞ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相离 ； 对 于抛物线 ， Ｐ 一１ ， 因而 ｄ ＝ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相切 ； 对 于双曲线 ， ｅ ＞ｌ ， 因而 ｄ ％ｒ ， 圆 Ｃ与准线 ｚ 相交． 性质三 ： 设过 圆锥 曲线 的焦 点 Ｆ 的弦 的端 点 Ａ、 Ｂ 在该 焦点相应 的准线 上 的射影 分别 为 Ｍ 、 Ｎ， 该 准线 与 对称轴 （ 椭 圆为 长 轴 ， 双 曲线 为 实 轴 ） 的 交点 为 Ｅ ． 若
Ａ Ｍ、 Ｂ Ｎ相 交 ， 则 交点 平分 ＥＦ ．
２ ． ２
一
．
￡ １ Ｌ ｌ 旦 ￡！ 一
ｌ ＡＢｌ
一 ｌ ＡＦ Ｊ
上 一 Ｊ Ｂ Ｆｌ
图 ３
Ｉ Ａ Ｆｌ ＋Ｉ Ｂ Ｆｌ— ｌ Ａ Ｂｌ — ｊ ＡＦ Ｊ ・！ Ｂ Ｆ！ ｝ ＡＦ Ｊ ・｛ Ｂ Ｆ Ｊ
～
２（
ｃ
一ｃ ）
以
日
２
一
图１
０１ ． ２
２
当且仅 当 Ａ Ｂ ￣３ ７轴时 ， ｌ ＡＢｌ 有最 小值
最短．
， 即通 径
．
一
对于双曲线 ， 证 明如下 ： 如图 ３ ， 设 双 曲线方程 为
圆锥曲线焦点弦角度公式推导过程
让我们来深入探讨一下圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
1. 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是指平面上与一个圆锥相交得到的曲线。
常见的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们都有各自独特的性质和特点，例如焦点、准线、离心率等。
2. 焦点、准线和焦点弦角度的概念在圆锥曲线中，焦点是一个重要的点，具有特殊的几何性质。
准线是与焦点相关的直线，它们共同构成了圆锥曲线的性质。
焦点弦角度是指过焦点的两条相交弦所夹的角度。
3. 圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程接下来，我们将从推导焦点弦角度的定义出发，逐步推导出其数学公式。
我们需要利用圆锥曲线的几何特性，结合焦点和准线的定义，来得出焦点弦角度的数学表达式。
我们将使用坐标系和几何代数的方法，结合圆锥曲线的方程式，推导出具体的焦点弦角度公式。
这个过程涉及到大量的数学运算和推理，需要严谨的逻辑和思维，同时也需要对圆锥曲线的性质有深入的理解。
4. 个人观点和理解在我看来，圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程是非常有意义的。
它不仅涉及到几何和代数知识的综合运用，还能帮助我们更深入地理解圆锥曲线的性质和特点。
通过深入研究焦点弦角度的推导过程，我们可以更好地理解圆锥曲线的几何意义，同时也能对数学运算和推理能力进行提升。
总结回顾：在本文中，我们深入探讨了圆锥曲线焦点弦角度公式的推导过程。
通过对圆锥曲线的定义和性质进行分析，我们逐步推导出了焦点弦角度的数学表达式，并通过坐标系和代数方法得到具体的公式。
我们也共享了个人观点和理解，认为这一过程对我们的数学思维和几何理解有着重要的意义。
我希望通过这篇文章的阅读，您能够更深入地理解圆锥曲线焦点弦角度的推导过程，并对数学知识有一个更全面、深刻的理解。
也希望能够引发您对圆锥曲线和数学推导过程的兴趣，激发您对数学研究的进一步探索。
圆锥曲线是数学中非常重要的一个概念，涉及到几何、代数以及数学推导等多个方面的知识。
其性质和特点的深入理解对于数学的学习和研究具有重要意义。
圆锥曲线的焦点弦的三个性质
Ｃ Ｏ Ｓ ０ ＝ １， ｔ ａ ｎ０ ＝ ０ ．
・ ． ．
满 足题 设条 件 的直线 方程 为 Ｙ＝０或 ：± ． ．
４ ５ ） ，故选 ｃ ． 笔者并不满足对原 问题的求解 ，对原 问题作进
２ 问题 的解决 方案 （ 高 中数学综合复 习与 练 习 提 供 ） 方案 １（ 参数法 ） 设过 （ √ ５ ， ０ ） 的直线 的参数
・ ． ．
Ａ Ｂ的倾斜角为 ，则 Ｉ 【 ＝
６，
广 ．
证 明 以椭 圆左 焦 点 Ｆ． 为极 点 ，Ｆ ， ｘ 为极 轴 建立
（ ４ ・
极坐标系，则椭圆方程为
￣
・ ． ．
ｅ ｐ ，
ｓ ｉ ｎ ａ：０ ｔ ａ ｎ ｇ：± ．
设 （ ， ）， Ｂ （ ， ＋兀 ） ，
２ ａ ｂ
、
Ｉ ｂ 一ｃ ｓ ｉ ｎ Ｉ 。
①若 ｍ＞
②若 ｍ＝
，则这样 的直线共有四条 ；
，则这 样 的直线 共有 三条 ；
性质 ３ Ａ Ｂ是过抛物线 Ｙ ＝ ２ ｐ ｘ （ ｐ＞ ０ ） 焦点 的
， ＇Ｄ
弦，若 Ａ Ｂ的倾斜角为口，则ｌ Ａ Ｂ Ｉ 一
１ ０
福建中学数学
２ ０ １ ６ 年第 １ ２ 期
圆锥 曲线 的焦 点弦的三个性 质
苏 昌盛
１问题 的提 出 南京 师 范 大 学 出版 的 高 中数 学 综 合复 习与 练 习 （ ２ ０ ０ ０ 年版） 第 １ １ ８页例 题 １（ ３ ） ： 过 双 曲线 一 Ｙ ＝ｌ 的右焦 点 ，的直线 交双 曲线 于 点 ， ， 则 满 设Ｐ １ （ ｔ ９ １ ， ０ ） ， Ｐ ２ （ Ｐ ２ ， ＋ ７ ｃ ） ， 若 ， 均 在右 支 上 ，
圆锥曲线焦点弦为直径的圆的一个性质
２０ ０９年第 １ 期 ０ Ｙ得 ＋
，
‘
福 建中学数学
ｌ ５
，
注意到 ２ ２ 刈 … ＝。…①
２ａ一
从而直线
过定点 ７ ’ （
日
，） ０．
一
— ＿ ＿
ａｃ 一ａ ｂ ｍ
＝ …② ０
＝
列 有趣的 轨迹； 甚至改为 Ｉ＇＝ ０ｒ ．ｏ１ “ ￣ １ ＋ Ｉ ｏ１ ￣
（ ｅＮ ） 一样也有类似 的美妙轨迹 ．有兴趣 的读者 Ｆ ” ／
不妨试试． 参考文献 【】 １李永利 ，高文君．关于 圆锥 曲线 与等 比数列 的一 个性 质．数学通讯 。２ ０ ６） ２ ３ ０ ６（ 。３ —３ ［】 ２李永利 ，王军华．关于 圆锥 曲线 的一 类轨迹．数
・
Ｙ ：２２ ｌ Ｐ ２ ． （ｐ ＋ Ｐ
若将本文各定理条件中的 Ｉ ＝ Ｉ ｌｐ Ｂ “ ＋ ［Ｉ 卅 Ｏ” 改为“ ｐ ： ｏＩ Ｉ Ｉ ． ｌ ｌ Ｉ ∞ 一样可以 ｏ ＋ ” 得到一系
ｌ ｂ＞Ｏ （ ａ＞ ），双曲
类似可证 明以下三个定理 ： 定理 ４ 设椭 圆 ｃ ： ２ ｙ Ｘ ２
２
一
ａ２ ￣２
＿
ｂ ａ２ ２ ４ ｍ ｂ
＿ —
＋—
—
一
Ｏ…③
将 ｍ换成 ＂得以 Ｃ Ｄ为直径 的圆的方程为
， ，
．
．
．
２
＝
２口 ｃ
２ ｂｃ
ｌ （ ａ＞０， ＞０ 焦点 Ｆ 的任 意两 弦（ ｂ ） 两弦关
‘ Ｙ 一 ‘
ａ２ ｃ２
＿
－ ＝
＿
＿ Ｙ
（ ２）当直线 Ａ Ｃ Ｂ， Ｄ有一个 与 轴重合 时 ，容
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
16．过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，则 的值为________.
17．过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两点（ 在 轴左侧），则 _______________________．
注意：夹角不是直线的倾斜角，而是直线与焦点所在轴的夹角，这样就不需要区的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 两点，求弦长 ．
三、圆锥曲线坐标式焦点弦长公式
1．椭圆的坐标式焦点弦长公式
例9
9．已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，求 ．
【结论6】椭圆的坐标式焦点弦长公式：
我们有如下结论：
【结论6】双曲线的坐标式焦点弦长公式：
（1）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ；
（2）双曲线 的焦点弦长公式：
同支弦 ；异支弦 ，统一为： ．
3．抛物线的坐标式焦点弦长公式
由抛物线的定义易得
【结论7】抛物线的坐标式焦点弦长公式：
（1）抛物线 的焦点弦长公式： ；
（2）抛物线 的焦点弦长公式： ；
说明：特殊情形，当倾斜角为 时，即为椭圆的通径，通径长 ．
2．双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
例2
2．设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于 ， 两点，求弦长 ．
可得如下结论2：
【结论2】双曲线的倾斜角式焦点弦长公式：
（1） 为双曲线 的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，则 ．
专题16 圆锥曲线焦点弦 微点3 圆锥曲线焦点弦长公式及其应用
专题16圆锥曲线焦点弦
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线焦点弦公式
圆锥曲线是指圆锥与平面相交而产生的曲线。
焦点弦是指通过
焦点，并且与曲线相交于两点的直线。
对于圆锥曲线的焦点弦公式，具体的形式取决于所讨论的具体曲线类型，比如椭圆、双曲线或抛
物线。
下面我将分别介绍这三种情况下的焦点弦公式。
对于椭圆而言，焦点弦的公式可以表示为，对于椭圆
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$。
对于双曲线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于双曲线
$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，焦点弦的公式可以表示为$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = -1$。
对于抛物线而言，焦点弦的公式可以表示为，对于抛物线$y^2
= 4ax$，焦点弦的公式可以表示为$y = mx + \frac{a}{m}$。
需要注意的是，以上给出的焦点弦公式是简化的形式，实际应
用中可能会根据具体问题的要求进行变形。
焦点弦在几何学和物理
学中有着重要的应用，比如在光学中的折射定律、天体运动中的轨
道分析等方面都有着重要的作用。
希望这些信息能够帮助到你理解焦点弦的公式。
圆锥曲线焦点弦的几个重要结论
圆锥曲线焦点弦的几个重要结论作者：潘继军张海芳李荣玲来源：《科教导刊》2020年第15期摘要文献[1]用代数法在椭圆和双曲线领域中研究了“焦点弦”的问题，得出两个统一的定值，但在双曲线领域只研究了“焦点弦”在双曲线同一支上的情况，且用代数方法研究导致计算比较繁杂，本文用几何法进一步研究文献[1]中的相关问题，这样的研究非常简捷，同时将研究领域拓展和引申到抛物线，以及“焦点弦”分别在双曲线两支上的情况，便将文献[2]的性质进一步拓展和引申。
关键词圆锥曲线焦点弦性质Abstract In reference， we use algebraic method to study the problem of "focus string" in the field of ellipse and hyperbola， and get two unified fixed values. But in the field of hyperbola， we only study the situation that "focus string" is on the same branch of hyperbola， and using algebraic method to study leads to more complicated calculation. In this paper， we use geometric method to further study the related problems in reference ， which is very simple and convenient. When the research field is extended to parabola and "focus string" to hyperbola， the properties of reference are further extended.Keywords conic curve; focus string; nature0 引言關于圆锥曲线焦点弦的研究，人们已取得了一些研究成果，如：文献[1]用代数法研究了椭圆以及“焦点弦”在双曲线同一支上的“焦点弦”问题，并得出两个统一的定值及应用，文献[2]得出了三种圆锥曲线的“焦点弦”的一些优美性质，文献[3]得出“焦点弦长公式”，下面结合于文献[2]、文献[3]采用几何法进一步将文献[1]研究领域拓展和引申到抛物线，以及“焦点弦”分别在双曲线两支上的情况，便将文献[2]的性质进一步拓展和引申。
圆锥曲线重要结论
双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数圆锥曲线中的重要性质经典精讲上性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆 双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段（长为2b ）2 21已知动点P 在椭圆—L 4 3 1上，F i , F 2为椭圆之左右焦点，点 G F 1PF 2内心，试求点G 的轨迹方程 x 2 2 •已知动点P 在双曲线一 4 3 仝 1上，F 1, F 2为双曲线之左右焦点,圆G 是厶F 1PF 2的内切圆，探究圆G 是否过定点，并证明之• 性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 IAF 1 | |BF 1 |ep|AF | |BF | epAB 在同支时I AR | | BF 1 | ep—AB 在异支时ep性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数此求四边形ABCD 面积的最小值•性质四：椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦直线被曲线及对称轴所分比之和为定值X 2 y 25.已知椭圆-冷1,点F 1为椭圆之左焦点，过点F 1的直线11分别交椭圆于A , B 两点,II设直线AB 与 y 轴于点M , MA AFtMB BF 1,试求性质五：椭圆、双曲线的焦半径向量模的比之和为定值过椭圆或双曲线上任点 A 作两焦点的焦点弦AB AC 其共线向量比之和为定值. 即AF 1 F 1 B AF 2 F 2C12 1F A?FB 恒成立•并由此求I ABI 的最小值•椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数2 e 2双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数|AB||CD|2ep|AB||CD ||2 e 2|2ep2 e 2|AB||CD|2ep24.已知椭圆—4 2红 1 , F 1为椭圆之左焦点，过点 F 1的直线11,12分别交椭圆于 A, B 两3点和C, D 两点，且 I 112 ,是否存在实常数，使的值.实常数 ，恒成立•并由⑴求椭圆C 的方程;⑵设E 为椭圆C 上任一点，过焦点 F i , F 2的弦分别为ES, ET ,设圆锥曲线中的重要性质经典精讲中2性质一：过圆锥曲线焦点所在轴上任意一点N( t,0 )的一条弦端点与对应点Y ，0的连线所成角被对称轴平分。
有心圆锥曲线焦点弦的一个性质及推广
有心圆锥曲线焦点弦的一个性质及推广作者：秦本尧来源：《读写算》2011年第10期问题:点是椭圆上任意一点,弦分别过椭圆的左右焦点,则点分别分有向线段的比之和是否为定值？解:如图,设动点,焦点当点与椭圆的长轴顶点重合时,;当点与椭圆长轴的顶点不重合时,则直线的方程分别为:。
由得,则;同理有。
由得,又,则方程变形为。
所以,故。
同理可得。
所以。
综上所述,对于椭圆上任意一点,左右焦点分焦点弦对应的有向线段的比之和为定值。
性质1:椭圆的共端点的焦点弦被相应焦点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
由于左右焦点关于椭圆的中心对称,自然地可以考虑:若椭圆的共端点的两条弦所在的直线过其长轴所在直线上关于中心对称的两定点,则以端点为起点的有向线段被此两定点分得的比之和是否为定值呢？根据上面问题的推导过程知,只需在表示式用定点的坐标替代对应焦点的坐标即得:推论1.1:椭圆的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
若将定点取在短轴所在直线上,由椭圆的对称性,有:推论1.2:椭圆的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
又由圆锥曲线的仿射性质知,当将椭圆仿射为双曲线时, 双曲线的离心率对应于椭圆的离心率的倒数,故应有: 点是双曲线上任意一点,且焦点弦存在即点与点不重合时,则点分别分有向线段的比之和为。
具体证明方法与椭圆相同,留给读者。
性质2: 双曲线上共端点的两焦点弦被两焦点所分得的以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
同样地将焦点一般化为在双曲线的实轴上且关于中心对称的对称定点,则有:推论2.1:双曲线的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
对应地有:推论2.2: 双曲线的共端点的两条弦所在的直线过定点,其中,则两定点分以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
综合上面的两个结论,可得到有心圆锥曲线的共端点的焦点弦的统一性质:性质3:有心圆锥曲线的共端点的两焦点弦被焦点所分得的以该端点为起点的有向线段之比的和为定值。
圆锥曲线焦点弦的一组有趣性质及推广
± 一
２ ｘ — ２ｘ ｐ １ ｐ ２ 一 Ｙ ；
一 Ｌ ， 直线 Ａ Ｃ
Ｙ — Ｙ 一 ｌ ２来自的方 程 为 Ｙ— Ｙ ＝ —
—
（ ｚ— ｚ ） ，即 Ｙ 一
＋ 二丝
．
由 ． ） ， 。一一 户 ， 到 一 ｚ得
１ （ｋ ＋ ２ ） ２。 ｋ＋ １ ，２ — ２ ， ） ｋ
ｋ 一 １这 说 明整 数 边 三 角 形 的高 与 底 边 之 比 。 ，
可 以为 ｋ 一 Ｉ 的整 数． 。 型
约 去 ｋ 得 相 似 的整 数 边 三 角 形 的 三 边 长 （ ，
＋ １ （ｋ — ２ ）２ ｋ＋ １ ， 尼一 １ （ ｋ ＋ ２ ）（ ）２ ｋ＋ １ ， ｋ， ）２ 即
２。 ｋ 一ｋ ＋１ ２ 。 一 １ ２ ． １ 出 了前 １ 个 这 ，ｋ 一ｋ ，走 表 列 ０
样 的整数 边 三角形 ．
参 考 文 献
［ ］ Ｒ ｎ ｌ Ｊ ｖｎ．Ｐ ｏ ｌ Ｅ ６ ５［ ］ ｍｅｉ ｎ １ ｏ ａ Ｅ ａ ｓ ｒｂｅ ｄ ｍ ２ ８ Ｊ ．Ａ ｒ ａ ｃ
—
焦 点 Ｆ， 应准 线交 实 轴所 在直 线 于 Ｎ ， Ｎ 的直 相 过 线交双 曲线 于 Ａ， Ｂ两 点 ， 直 线 Ｆ ， Ｂ 关 于 实 则 Ａ Ｆ
轴 所在 直线 对称 ． 将 这三 个结 论 概 括 获 得 结 论 ４ 已 知 圆 锥 曲 ：
（＋妻）即 ， 直线Ａ 过点Ｎ －要， ． Ｃ （ ｏ ）
Ｍ ａ ｈｅ ａ ｉａ ｏｎｔ ｌ １ ７， ． ｔ ｍ ｔｃ ｌＭ ｈ ｙ， ９７ ８４ ．
［ ］ Ｒ Ｋ盖 伊 著 ， 明 尧 译 ． 论 中 未 解 决 的 问 题 ［ ． ２ 张 数 Ｍ］
圆锥曲线--抛物线
【例 4】如图 7，过抛物线 y2＝2px（P＞0）的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点， 自 M、N 向准线 l 作垂线，垂足分别为 M1、N1，求证：FM1⊥FN1
★⑵
1 1 2 ＋ ＝p | AF | | BF |
p2 p p 【证法一】由⑴x1x2＝ ，且| AF |＝x1＋ ，| BF |＝x2＋ . 4 2 2 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 1 1 1 1 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ | AF | | BF | p p p p p p2 x1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ ) x1x2＋ (x1＋x2)＋ 2 2 2 2 2 4 x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2 ＝ 2 ＝ ＝ p p p2 p p ＋ (x ＋x )＋ (x ＋x ＋p) 4 2 1 2 4 2 1 2 p p p 【证法二】由| AF |＝1＝ ，| BF |＝2＝ ＝ . 1－cos 1－cos(＋ ) 1＋cos 1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2 ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ | AF | | BF | 1 2 p p p
2 2 2 2
p p 1 1 1 在直线 AB 方程 x＝my＋ 中令 x＝0，得 y3＝－ ，代入上式得 ＋ ＝ 2 2m y1 y2 y3
p p ④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋ ，| BF |＝| BC |＝x2＋ ， 2 2 | AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p 又| AB |＝ (x2－x1)2＋(y2－y1)2＝ ＝ ＝ 1＋m2 1＋m2 1＋m2| y2－y1 |
【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结 FM，则 FM＝DM. 又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 1 ∴∠2＋∠3＝ ×180＝90 2 ∴∠AMB＝90
高考数学专题07 圆锥曲线第二定义与焦点弦(原卷版)-2021高考数学满分突破之解析几何篇
专题07 圆锥曲线的第二定义与焦点弦【突破总分值数学之秒杀技巧与答题模板】：焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A 、B ，弦AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：①焦点弦长公式：θ222cos 12e a b -(θ为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：22b a (最短焦点弦)； ②焦点弦被焦点分成两局部,m n ，那么2112am n b+=(定值)(取通径即可)。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：①过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，那么:2p y y B A -=,42p x x B A =。
(焦点在y 轴上的性质比照给出。
)引伸:M (,0)a (0)a >在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上，过M 的直线交抛物线于两点。
1122(,),(,)A x y B x y ,12.y y =2pa -(定值)。
②α2sin 2||pAB =(α是直线AB 与焦点所在轴的夹角)=12x x p ++(焦点在x 轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为2p )最短。
③BF AF λ=，那么有11cos +-=λλθ，θcos 1-=p AF ，θcos 1+=p BF (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
④面积:θsin 22p S AOB=∆，θ32sin 2p S AMNB =(θ是直线AB 与焦点所在轴的夹角)。
⑤以AB 为直径的圆与准线MN 相切，切点为MN 中点Q ，BQ AQ ,分别是抛物线的切线，并且分别是NBA MAB ∠∠,的角平分线。
⑥以MN 为直径的圆与AB 相切，切点为焦点F 。
⑦以焦半径为直径的圆与y 轴相切。
⑧N O A ,,三点共线,M O B ,,三点共线。
圆锥曲线焦点弦的一个统一性质
p = b2 , 则
1
+
1
=
c e2 |P ห้องสมุดไป่ตู้|·|P B| |F C|·|F D|
(x − 1) + 2. 根据上面的对称函数构造原理可知该函数为
中心对称函数, 对称中心为 (1, 2). 对函数 f (x) 求导可得: f ′(x) = 3x2 − 6x + 4 > 0 恒成立. 所以 f (x) 在 R 上单调递
增.
原不等式
⇔
f (x)
+
1 f( )
x
>
2
×
2,
根据上面的定理
26
中学数学研究
2020 年第 8 期 (上)
圆锥曲线焦点弦的一个统一性质
山东省泰安市宁阳县第一中学 (271400) 刘才华
本文旨在给出圆锥曲线焦点弦的一个统一性质, 为此,
我们首先陈述并证明三个命题. x2 y2
命题 1 点 F 为椭圆 a2 + b2 = 1(a > b > 0) 的左 焦点, P 为椭圆的左准线与 x 轴的交点, 过 P 作直线交椭
则
|F C|·|F D|
=
a2
cos2
b4 θ+
b2 sin2
. θ
由
(1)
和
(2)
得
|F C|·|F D|
=
a2
cos2
b4 θ+
b2 sin2
. θ
于是
1 e2 |P A|·|P B|
+
1 |F C|·|F D|
=
a2+b2 b4
=
2 a2−c2 b4