树以及树的存储结构
二叉树的存储结构及基本操作
二叉树的存储结构及基本操作二叉树是一种常见的数据结构，广泛应用于计算机科学领域。
二叉树具有其独特的存储结构和基本操作，下面将详细介绍。
一、二叉树的存储结构二叉树的存储结构通常有两种形式：顺序存储和链式存储。
1. 顺序存储顺序存储是将二叉树中的所有元素按照一定的顺序存储在一段连续的内存单元中，通常采用数组来表示。
对于任意一个节点i，其左孩子节点的位置为2*i+1，右孩子节点的位置为2*i+2。
这种存储方式的优点是访问速度快，但需要预先确定节点总数，且不易于插入和删除操作。
2. 链式存储链式存储是采用指针的方式将二叉树的节点链接起来。
每个节点包含数据元素以及指向左孩子节点和右孩子节点的指针。
链式存储方式的优点是易于插入和删除操作，但访问速度较慢。
二、二叉树的基本操作1. 创建二叉树创建二叉树的过程就是将数据元素按照一定的顺序插入到二叉树中。
对于顺序存储的二叉树，需要预先分配内存空间；对于链式存储的二叉树，可以直接创建节点对象并链接起来。
2. 遍历二叉树遍历二叉树是指按照某种规律访问二叉树中的所有节点，通常有前序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
前序遍历的顺序是根节点-左孩子节点-右孩子节点；中序遍历的顺序是左孩子节点-根节点-右孩子节点；后序遍历的顺序是左孩子节点-右孩子节点-根节点。
对于顺序存储的二叉树，可以采用循环结构实现遍历；对于链式存储的二叉树，需要使用指针逐个访问节点。
3. 查找元素在二叉树中查找元素，需要根据一定的规则搜索所有节点，直到找到目标元素或搜索范围为空。
对于顺序存储的二叉树，可以采用线性查找算法；对于链式存储的二叉树，可以采用深度优先搜索或广度优先搜索算法。
4. 插入元素在二叉树中插入元素需要遵循一定的规则，保证二叉树的性质。
对于顺序存储的二叉树，插入操作需要移动大量元素；对于链式存储的二叉树，插入操作相对简单，只需修改指针即可。
5. 删除元素在二叉树中删除元素同样需要遵循一定的规则，保证二叉树的性质。
树的四种存储表示方法
树的四种存储表示方法
树是一种常见的数据结构，由节点和边组成，节点之间的关系是层级的。
树的存储方式有四种，分别是双亲表示法、孩子兄弟表示法、双向链表表示法和数组表示法。
1. 双亲表示法
双亲表示法是指每个节点都有一个指向其父节点的指针，根节点的指针为null。
这种表示法简单易懂，但是查找父节点比较麻烦。
2. 孩子兄弟表示法
孩子兄弟表示法是指每个节点都有指向其第一个孩子节点和下
一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找子节点和兄弟节点，但是查找父节点比较麻烦。
3. 双向链表表示法
双向链表表示法是指每个节点都有指向其父节点、第一个子节点和下一个兄弟节点的指针。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点。
4. 数组表示法
数组表示法是指将节点存储在一个数组中，每个节点的位置和数组下标一一对应。
这种表示法可以方便地查找父节点、子节点和兄弟节点，但是浪费空间，因为如果树的深度不够大，数组中会存在大量的空节点。
以上四种树的存储表示方法各有利弊，根据具体情况选择最合适的方法可以提高程序的效率。
数据结构习题及答案与实验指导(树和森林)7
第7章树和森林树形结构是一类重要的非线性结构。
树形结构的特点是结点之间具有层次关系。
本章介绍树的定义、存储结构、树的遍历方法、树和森林与二叉树之间的转换以及树的应用等内容。
重点提示：●树的存储结构●树的遍历●树和森林与二叉树之间的转换7-1 重点难点指导7-1-1 相关术语1．树的定义：树是n（n>=0）个结点的有限集T，T为空时称为空树，否则它满足如下两个条件：①有且仅有一个特定的称为根的结点；②其余的结点可分为m（m>=0）个互不相交的子集T1，T2，…，T m，其中每个子集本身又是一棵树，并称为根的子树。
要点：树是一种递归的数据结构。
2．结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。
3．树的度：一棵树的度指该树中结点的最大度数。
如图7-1所示的树为3度树。
4．分支结点：度大于0的结点为分支结点或非终端结点。
如结点a、b、c、d。
5．叶子结点：度为0的结点为叶子结点或终端结点。
如e、f、g、h、i。
6．结点的层数：树是一种层次结构，根结点为第一层，根结点的孩子结点为第二层，…依次类推，可得到每一结点的层次。
7．兄弟结点：具有同一父亲的结点为兄弟结点。
如b、c、d；e、f；h、i。
8．树的深度：树中结点的最大层数称为树的深度或高度。
9．有序树：若将树中每个结点的子树看成从左到右有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。
10．森林：是m棵互不相交的树的集合。
7-1-2 树的存储结构1．双亲链表表示法以图7-1所示的树为例。
（1）存储思想:因为树中每个元素的双亲是惟一的，因此对每个元素，将其值和一个指向双亲的指针parent构成一个元素的结点，再将这些结点存储在向量中。
（2）存储示意图:-1 data:parent:（3）注意: Parrent域存储其双亲结点的存储下标，而不是存放结点值。
下面的存储是不正确的：-1 data:parent:2．孩子链表表示法（1）存储思想：将每个数据元素的孩子拉成一个链表，链表的头指针与该元素的值存储为一个结点，树中各结点顺序存储起来，一般根结点的存储号为0。
树形结构文件的存储结构
树形结构文件的存储结构在计算机科学领域中，树形结构是一种常见的数据存储和组织方式。
它模拟了现实世界中的树，由根节点、分支和叶子节点构成。
每个节点都可以包含多个子节点，形成了一个层级结构。
树形结构文件的存储结构可以简单描述为以下几个要素。
1. 根节点：树的顶部节点，它没有父节点，是整个树的起点。
根节点可以有多个子节点，但每个子节点只能有一个父节点。
2. 分支节点：分支节点是树的中间节点，它既有父节点，又有子节点。
分支节点连接树的不同部分，起到了桥梁的作用。
3. 叶子节点：叶子节点是树的末端节点，它没有子节点。
叶子节点存储了实际的数据或信息，是树形结构的最终目标。
4. 层级关系：树形结构中的节点按照层级关系进行组织。
根节点位于最高层级，每一层级的节点都与其父节点和子节点有着特定的关系。
5. 父子关系：每个节点都有一个父节点和多个子节点。
父节点是当前节点的上一级节点，子节点是当前节点的下一级节点。
6. 子树：树形结构可以分为多个子树，每个子树都是一个独立的树形结构，有自己的根节点和层级关系。
7. 基于指针的实现：树形结构的存储可以通过指针来实现。
每个节点通过指针连接到其父节点和子节点，使得树的遍历和操作更加高效。
树形结构文件的存储结构可以用来存储各种类型的数据，例如文件系统、XML文档、组织架构等。
通过合理地组织和存储数据，树形结构可以提供快速的访问和搜索能力，方便用户对数据进行管理和操作。
总结起来，树形结构文件的存储结构是一种基于层级关系的数据组织方式，通过根节点、分支节点和叶子节点的组合，实现了数据的存储和访问。
它不仅提供了高效的数据操作能力，还能够清晰地展示数据之间的关系，为用户提供了便利和灵活性。
二叉树的存储结构
二叉树的存储结构二叉树是一种常见的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。
它的存储结构有多种形式，包括顺序存储和链式存储。
下面将详细介绍这些存储结构。
1.顺序存储：顺序存储是将二叉树的节点按照从上到下、从左到右的顺序依次存储在一个数组中。
对于完全二叉树来说，这种存储方式最为简单有效，可以节省空间。
但是对于一般的二叉树，由于节点的数量不固定，会浪费一定的存储空间。
具体的存储方式可以按照如下的规则进行：-对于二叉树的第i个节点（i从1开始计数），其左子节点存储在数组中的位置为2i，右子节点存储在位置为2i+1、根节点存储在位置为1、这种存储方式可以方便地根据节点的索引计算出其子节点的索引。
- 如果一些位置没有节点，则用一个特殊的标记（如null或者0）代替。
-这种存储方式要求节点按照其中一种顺序进行填充，通常采用层序遍历的方式进行填充。
-在进行节点遍历的时候，可以根据节点的索引来判断其父节点的位置，从而方便地进行遍历。
虽然顺序存储可以节省存储空间，但是在插入和删除节点时涉及到数组元素的移动，效率比较低。
2.链式存储：链式存储是通过节点之间的引用关系来实现。
每个节点包含一个数据域和两个指针域，分别指向其左子节点和右子节点。
链式存储充分利用了指针的特性，可以方便地进行插入和删除节点的操作。
同时，链式存储可以灵活地处理任意形状的二叉树，不需要事先确定节点的数量。
具体的链式存储方式有以下几种：-树的孩子兄弟表示法：每个节点包含两个指针，一个指向其第一个子节点，另一个指向其下一个兄弟节点。
这种表示方式适用于任意形状的二叉树，但是树的操作比较复杂。
-二叉链表表示法：节点包含三个指针，一个指向其左子节点，一个指向其右子节点，另一个指向其父节点。
这种表示方式适用于二叉树，可以方便地进行遍历和操作。
-线索二叉树：在二叉链表表示法的基础上，加入了线索信息。
节点的左指针指向其前驱，右指针指向其后继。
这种方式可以方便地进行中序遍历，节省了遍历时的存储开销。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
D
E
F
G
H
I
J
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第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
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第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
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第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
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第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
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第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
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第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
树的特征和作用
树的特征和作用
树是一种具有根节点、节点和边的数据结构，它的特征和作用如下：
特征：
1. 根节点：树的顶层节点，没有父节点，所有其他节点都是根节点的后代。
2. 节点：树中的元素，可以包含一个或多个子节点，除了根节点外，每个节点都必须有一个父节点。
3. 边：连接节点的线，表示节点之间的关系。
作用：
1. 层次结构：树可以用来表示层次结构，例如组织结构、文件系统等。
树的层次关系可以方便地进行分层管理和访问。
2. 数据存储：树可以用来储存和组织数据，例如二叉搜索树可以快速地进行查找、插入和删除操作。
3. 排序和搜索：树的结构可以用来进行排序和搜索，例如二叉搜索树和平衡二叉树可以快速地进行排序和查找操作。
4. 算法设计：树也是许多算法的基础，例如最小生成树算法、哈夫曼编码等。
树的特性可以帮助解决各种问题。
总之，树的特征和作用使得它成为一种重要的数据结构，广泛应用于计算机科学和信息技术领域。
树的结构
图 1 树的层次结构 由图 1 可以看出树的形状就像一棵现实中的树，只不过是倒过来的。
树的相关术语
1. 一个结点的儿子结点的个数称为该结点的度。 一棵树的度是指该树中结点 的最大度数。 2. 树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
3. 树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。 除根结点外的分枝结点 统称为内部结点。 例如在图 1 中，结点 A，B 和 E 的度分别为 3，2，0。其中 A 为根结点,B 为内 部结点，E 为叶结点，树的度为 3。 4. 如果存在树中的一个结点序列 K1,K2,..,Kj， 使得结点 Ki 是结点 Ki+1 的父结 点(1≤i≤j)，则称该结点序列是树中从结点 K1 到结点 Kj 的一条路径或道路。我们称这 条路径的长度为 j-1，它是该路径所经过的边(即连接两个结点的线段)的数目。树中 任一结点有一条到其自身的长度为零的路径。 例如，在图 1 中，结点 A 到结点 I 有一条路径 ABFI，它的长度为 3。 5. 如果在树中存在一条从结点 K 到结点 M 的路径， 则称结点 K 是结点 M 的 祖先，也称结点 M 是结点 K 的子孙或后裔。 例如在图 1 中， 结点 F 的祖先有 A， B 和 F 自己， 而它的子孙包括它自己和 I,J。 注意，任一结点既是它自己的祖先也是它自己的子孙。 6. 我们将树中一个结点的非自身祖先和子孙分别称为该结点的真祖先和真 子孙。在一棵树中，树根是唯一没有真祖先的结点。叶结点是那些没有真子孙的结 点。子树是树中某一结点及其所有真子孙组成的一棵树。 7. 树中一个结点的高度是指从该结点到作为它的子孙的各叶结点的最长路 径的长度。树的高度是指根结点的高度。 例如图 1 中的结点 B，C 和 D 的高度分别为 2，0 和 1，而树的高度与结点 A 的高度相同为 3。 8. 从树根到任一结点 n 有唯一的一条路径， 我们称这条路径的长度为结点 n 的深度或层数。根结点的深度为 0，其余结点的深度为其父结点的深度加 1。深度相 同的结点属于同一层。 例如，在图 1 中，结点 A 的深度为 0；结点 B，C 和 D 的深度为 1；结点 E，F， G，H 的深度为 2；结点 I 和 J 的深度为 3。在树的第二层的结点有 E，F，J 和 H， 树的第 0 层只有一个根结点 A。 9. 树的定义在某些结点之间确定了父子关系， 我们又将这种关系延拓为祖先 子孙关系。但是树中的许多结点之间仍然没有这种关系。例如兄弟结点之间就没有 祖先子孙关系。如果我们在树的每一组兄弟结点之间定义一个从左到右的次序，则 得到一棵有序树；否则称为无序树。设结点 n 的所有儿子按其从左到右的次序排列 为 n1,n2,..,nk，则我们称 n1 是 n 的最左儿子，或简称左儿子，并称 ni 是 ni-1 的右邻兄 弟，或简称右兄弟(i=2,3,..k)。 图 2 中的两棵树作为无序树是相同的，但作为有序树是不同的，因为结点 a 的 两个儿子在两棵树中的左右次序是不同的。后面，我们只关心有序树，因为无序树 总可能转化为有序树加以研究。
二叉树顺序存储结构和链式存储结构
二叉树顺序存储结构和链式存储结构二叉树是一种非常重要的数据结构，它在计算机科学中有着广泛的应用。
在二叉树中，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以用两种方式进行存储，分别是顺序存储结构和链式存储结构。
一、二叉树顺序存储结构二叉树顺序存储结构是将二叉树中的节点按照层次顺序依次存储在一个一维数组中。
具体来说，假设二叉树的深度为d，那么数组的长度就应该为2^d-1。
对于任意一个节点i，它的左子节点的下标为2i，右子节点的下标为2i+1，它的父节点的下标为i/2。
二叉树顺序存储结构的优点是可以快速地访问任意一个节点，因为它们在数组中是连续存储的。
同时，由于不需要额外的指针来存储节点之间的关系，因此空间利用率比较高。
但是，它的缺点也很明显，那就是当二叉树的深度比较大时，数组中会存在大量的空节点，造成空间浪费。
二、二叉树链式存储结构二叉树链式存储结构是将二叉树中的每个节点看作一个对象，每个对象包含三个属性，分别是节点的值、左子节点的指针和右子节点的指针。
通过这种方式，可以将二叉树中的节点按照任意顺序存储在内存中。
二叉树链式存储结构的优点是可以有效地利用内存空间，因为只有实际存在的节点才会占用内存。
同时，由于每个节点都有指向左右子节点的指针，因此可以方便地进行节点的插入、删除和查找操作。
但是，它的缺点也很明显，那就是需要额外的指针来存储节点之间的关系，因此空间利用率比较低。
三、二叉树顺序存储结构和链式存储结构的比较二叉树顺序存储结构和链式存储结构各有优缺点，具体使用哪种方式取决于具体的应用场景。
一般来说，如果需要频繁地进行节点的插入、删除和查找操作，那么应该选择链式存储结构；如果需要快速地访问任意一个节点，那么应该选择顺序存储结构。
二叉树的存储结构还可以根据具体的应用场景进行优化。
例如，在某些情况下，可以使用哈希表来存储二叉树中的节点，以提高访问速度和空间利用率。
二叉树是一种非常重要的数据结构，它的存储结构对于算法的效率和空间利用率有着重要的影响。
第四篇 数据结构-树
第十章非线性结构—树和图第九章讨论的线性表（包括栈、队列、与串）属于线性结构。
在这种结构中，不管其存储方式如何，数据元素的逻辑位置之间呈线性关系，每一个数据元素通常只有一个前件（除第一个元素外）和一个后件（除最后一个元素外）。
在实际生活中，可以用线性结构描述数据元素之间逻辑关系的问题是很广泛的，但也有很多问题不能依靠线性结构来解决，因此在这类问题中，数据元素间的逻辑关系不能用线性结构明确、方便地描述出来。
一般来说，至少存在一个结点（数据元素）有多于一个前件或后件的数据结构称为非线性结构。
具有非线性结构特征的数据结构有两种1.⑴树2.⑵图§10.1 树例如某学校试图将学生成绩表中的百分制成绩转换成五个等级，其中成绩0～59分为不及格，60～69分为及格，70～79分为中，80～89分为良，90～100分为优。
现有n个学生的百分制成绩，如何将他们的成绩转换成五级分制。
下图揭示了一个百分制成绩的判定转换过程。
对于这样一张简单的表，已经不能用线性结构来表示。
因为表中数据元素可能有两个后件，它们之间的关系已经不是线性的了。
上图中所示的表是一个非线性结构。
由该图可以看出，虽然每一个结点可能有多个后件，但它们的前件却只有一个（第一个结点无前件）。
这种非线性结构称为树，树表示了数据元素之间的层次关系，而这种层次关系仿佛像一棵倒长的树。
下面讨论树的基本概念，其中重点讨论的是二叉树。
一、.树的概念1、树的定义树是一种常见的非线性的数据结构。
树的递归定义如下：树是n(n>0)个结点的有限集，这个集合满足以下条件：⑴有且仅有一个结点没有前件（父亲结点），该结点称为树的根；⑵除根外，其余的每个结点都有且仅有一个前件；⑶除根外，每一个结点都通过唯一的路径连到根上。
这条路径由根开始，而未端就在该结点上，且除根以外，路径上的每一个结点都是前一个结点的后件（儿子结点）；由上述定义可知，树结构没有封闭的回路。
下图给出了树的几个示例：2、结点的分类在树中，一个结点包含一个元素以及所有指向其子树的分支。
数据结构4.4.2 树的顺序存储
A
B
C
G
H
DEF
I
L
J
K
《数据结构》 精品课程
第8页
4. 树的后根序列及结点次数表示法
为什么 D、E、F是 C 的 3个儿子?
树还可用后根序列和结点次数进行顺序存储. 树的后根遍历递归定义：
① 从左向右依次后根遍历根结点的诸子树 （若存在）；
② 访问树的根结点。
后根次序和结点次数表示法 后根序列 B D E F C G J K I L H A 结点次数 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 2 4 结点层数 1 2 2 2 1 1 3 3 2 2 1 0
《数据结构》 精品课程
结
点 下
标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数
据 域
双
亲
下 标
0 R 1
1A0
2B0
3C0
4D1
5E1
6F3
7G6
8H6
9K6
第2页
2.孩子表示法:层次顺序+子结点下标
R
结
点 下
标
数
据 域
子结点下标
A
B
C
0R1 2 3 1A4 5 0
DE
F
2B0 0 0
GHK
3C6 0 0
对树 T 中结点，按层次顺序用自然 数从 0 开始编号；
《数据结构》 精品课程
第10页
《数据结构》 精品课程
第9页
5. 树的层次序列和结点次数表示法
由一棵树 T 的层次序列和 T 的每个结点的次 数，则能唯一确定 T 的结构。
A
B
C
G
H
D
E
F
I
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
树的储存结构
树的储存结构
⼀、树的储存结构有三种：
1.双亲表⽰法
2.孩⼦表⽰法
3.孩⼦兄弟表⽰法
⼆、
双亲表⽰法：
⽤⼀组连续空间储存树的结点，同时在每⼀个结点中增加⼀个指⽰器，⽤来标记双亲的位置。
⽅便寻找双亲，不放便查找孩⼦
孩⼦表⽰法：数据区不再是双亲的节点位置⽽是此双亲的左右孩⼦
左右分⽀均是存储的本结点的孩⼦，若没有则指针指向NULL；
孩⼦兄弟表⽰法: 先把原先的⼆叉树画出然后右孩变兄弟
同孩⼦表⽰法相似，只是将右指针域指向⾃⼰的兄弟
附加：
线索化⼆叉树：
同孩⼦表⽰法相似，但是如果没有左孩⼦，则将左指针指向此节点的前继，若没有右孩⼦，则右指针指向后继，值得注意的：注意储存⽅式顺序？中序？后序？。
数据结构与算法(电子)0615树的存储结构-孩子兄弟表示法
孩子兄弟法又称二叉树表示法，或二叉链 表表示法，它是一种应用较为普遍的树的存储方 法，这种方法以二叉链表作树的存储结构。
链表中结点的两个链域分别指向该结点的 第一个孩子结点和下一个兄弟结点，分别命名为 f irstchild域和nextsibling域。
结点形式如图所示。
firstchild
双亲表示法孩子表示法孩子兄弟表示法这种存储结构从物理形式上和二叉树的二叉链表结构一模一样如果我们将上面的存储结构解释为一棵二叉树的话其对应的二叉树就是双亲表示法孩子表示法孩子兄弟表示法树与二叉树对应树根相连森林与二叉树对应将下图所示的二叉树转换为对应的森林
树的存储结构—— 孩子兄弟法
双亲表示法 孩子表示法
data nextsiling
பைடு நூலகம்
双亲表示法 孩子表示法
孩子兄弟表示法
root
A^ ^B
C
^E
^D
F
^G
双亲表示法 孩子表示法
孩子兄弟表示法
利用这种存储结构易于实现找结点孩子等 的操作。例如:若要访问某结点的第1个孩子，则 只要先从firstchild域找到第1个孩子结点，然后 沿着孩子结点的nextsibling域连续走i-1步，便 可找到x的第i个孩子。当然，如果为每个结点增 设一个PARENT域，则同样能方便地实现找到孩 子双亲的操作。
双亲表示法 孩子表示法
这种存储结构从物理形式上和二叉树的二 叉链表结构一模一样，如果我们将上面的存储结 构解释为一棵二叉树的话，其对应的二叉树就是
孩子兄弟表示法
双亲表示法 孩子表示法
树与二叉树对应
孩子兄弟表示法
森林与二 叉树对应
树根相连
将下图所示的二叉树转换为对应的森林。
树与森林的遍历
哈夫曼树的存储结构
哈夫曼树的存储结构1. 哈夫曼树简介哈夫曼树是一种特殊的二叉树，它被广泛应用于数据压缩和编码算法中。
哈夫曼树的主要特点是，频率越高的字符或数据在树中越靠近根节点，频率越低的字符或数据在树中越靠近叶子节点。
哈夫曼树是通过构建最优前缀编码来实现数据压缩的。
最优前缀编码指的是每个字符或数据都有唯一对应的编码，且任何一个字符或数据的编码都不是其他字符或数据编码的前缀。
2. 哈夫曼树的构建算法哈夫曼树的构建算法可以分为以下几个步骤：步骤1：统计字符或数据出现频率首先需要统计待编码的字符或数据出现的频率。
可以通过扫描待编码的文本或文件，记录每个字符或数据出现的次数。
步骤2：创建叶子节点列表将每个字符或数据及其对应的频率作为一个叶子节点，并将它们放入一个列表中。
步骤3：构建哈夫曼树重复以下步骤，直到列表中只剩下一个节点：1.从列表中选择两个频率最低的叶子节点作为左右子节点。
2.将这两个叶子节点的频率之和作为新节点的频率，并将新节点插入到列表中。
3.从列表中删除这两个被选中的叶子节点。
步骤4：生成哈夫曼编码通过遍历哈夫曼树，可以生成每个字符或数据对应的哈夫曼编码。
从根节点开始，遍历左子树时添加0，遍历右子树时添加1，直到达到叶子节点。
3. 哈夫曼树的存储结构哈夫曼树的存储结构可以使用数组或链表来实现。
以下是两种常见的存储结构：数组表示法在数组表示法中，将哈夫曼树的每个节点都保存在一个数组元素中。
假设有n个字符或数据，则需要2n-1个元素来保存所有的节点。
具体存储方式如下：1.使用一个二维数组tree来保存所有的节点信息。
tree[i][0]表示第i个节点的权值（频率），tree[i][1]表示第i个节点的父亲节点索引，tree[i][2]表示第i个节点的左孩子索引，tree[i][3]表示第i个节点的右孩子索引。
2.哈夫曼树的根节点存储在tree[n-1][0]中，叶子节点存储在tree[0]到tree[n-2]中。
树的定义和树的三种存储结构
树的定义和树的三种存储结构秩也就是他的⾼度；⼀、树的定义1.树的定义树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。
n=0时称为空树。
在任意⼀颗⾮空树中：1. 有且仅有⼀个特定的称为根（root）的结点；2. 当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互补交互的有限集T1、T2...Tm，其中每⼀个集合本⾝⼜是⼀棵树，并称为根的⼦树（SubTree）。
<p>Tree</p></li>2.树的特点n>0时，根节点是唯⼀的，不可能存在多个根节点。
数据结构中的树只有⼀个根节点。
m>0时，⼦树的个数没有限制，但他们⼀定是互不相交的。
3.结点的分类结点：树的结点包含⼀个数据元素和若⼲指向其⼦树的分⽀。
结点的度（Degree）：结点拥有的⼦树。
叶⼦结点（Leaf）/终端结点：度为0的结点。
分⽀结点/⾮终端结点：度不为0的结点。
内部结点：除根节点以外，分⽀结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最⼤值。
<p>结点的分类</p></li>4.结点之间的关系孩⼦（Child）和双亲（Parent）：结点的⼦树的根，相应的，该结点称为孩⼦的双亲。
（注意是双亲，不是单亲）兄弟（sibling）：同⼀个双亲的孩⼦之间互称兄弟。
结点的祖先：从根结点到该结点所经过分⽀上的所有结点。
⼦孙：以某结点为根的⼦树中的任⼀结点都称为该节点的⼦孙。
⽆序树和有序树：如果将树中结点的各⼦树看成从左⾄右是有次序的，不能互换的，则称该数为有序树，否则为⽆序树。
森林(fores):m(m>=0)棵互不相较的树的集合。
⼆、树的存储结构对于存储结构，可能会联想到前⾯的顺序存储和链式存储结构。
但是对于数这种可能会有很多孩⼦的特殊数据结构，只⽤顺序存储结构或者链式存储结构很那实现，那么可以将这两者结合，产⽣主要的三种存储结构表⽰法：双亲表⽰法、孩⼦表⽰法、孩⼦兄弟表⽰法。
数据结构存储结构定义汇总
数据结构存储结构定义汇总
数据结构的存储结构定义包括以下几种常见的方式：
1. 数组（Array）：数据元素在内存中以连续的方式存储，可
以通过下标直接访问元素。
2. 链表（Linked List）：数据元素在内存中以节点的方式存储，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针，可以通过遍历访问元素。
3. 栈（Stack）：数据元素按照先进后出的顺序存储，可以通
过压入和弹出操作来访问元素。
4. 队列（Queue）：数据元素按照先进先出的顺序存储，可以
通过入队和出队操作来访问元素。
5. 树（Tree）：数据元素以分层的方式存储，每个节点包含数
据和指向子节点的指针，可以通过遍历访问元素。
6. 图（Graph）：数据元素之间以边的关系连接，可以通过遍
历边来访问元素。
7. 散列表（Hash Table）：数据元素通过哈希函数映射到数组
中的位置存储，可以通过键值对来访问元素。
8. 堆（Heap）：数据元素以特定的堆序（大根堆或小根堆）
存储，可以通过堆化和删除操作来访问元素。
9. 图的邻接矩阵：用二维数组表示顶点之间的关系，可以通过索引访问元素。
10. 图的邻接表：使用链表或数组存储每个顶点的邻接顶点，可以通过链表或数组遍历访问元素。
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孩子 表示法
数组方式的 孩子表示法
链表方式的 孩子表示法
指针方式的孩子表示法
数组方式的孩子表示法
链表方式的孩子表示法
《数据结构（C语言版）》
一 二 三
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• 问题引入 • 新课讲授 • 总结反思
树的基本概念
A为根结点
子树
孩子、双亲：结点子树的根称为这个结点的孩 子，而这个结点又被称为孩子的双亲。 例如：B和C是A的孩子，C是E和F的双亲。 子孙：以某结点为根的子树中的所有结点都被 称为该结点的子孙。 例如：B的子孙有D、G、H、I。 祖先：从树结点到该结点路径上的所有结点。 例如：对于H来说，D、B、A都是它的祖先。 兄弟：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。 例如：B和C互为兄弟。
双亲 表示法
孩子 表示法
孩子兄弟 表示法
采用孩子表示法表示棵树时，树中每个结点除了存储其自 身的值之外，还必须指出其所有子女的位置，即整棵树中所有结 点的相互关系是通过指明结点子女的位置来体现的，称这种表示 法为孩子表示法。
指针方式的 孩子表示法
指针方式的孩子表示法中每个结点通常包含两个域：一个是 元素的值域data，另一个为指针数组，数组中的每个元素均 为一个指向该结点子女的指针；一棵m度的树，其指针数组的 大小即为m。 为了查找方便，可以将树中的所有结点存储在一个一维数组 中，这样每个结点子女的位置便可以通过数组的下标来体现， 称这种孩子表示法为数组方式的孩子表示法。 树的链表方式的孩子表示法中，把每个结点的子女排列起来 形成一个单链表，这样n个结点就形成n个单链表；而n个单链 表的头指针又组成一个线性表，为了查找方便，使用数组加 以存储。