量子力学导论期末考试试题内含答案

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量子力学期末考试试卷及答案范文

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。

二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。

综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。

针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。

谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。

量子力学期末试题及答案

（11）
⎛−i⎞
1⎜ ⎟
ψ1
=
2
⎜ ⎜
⎝
2 ⎟;
i
⎟ ⎠
ψ2 =
⎛1⎞
1
⎜⎟ ⎜ 0 ⎟;
2
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎛i⎞
1⎜ ⎟
ψ3
=
2
⎜ ⎜
⎝
2⎟
−
i
⎟ ⎠
（12）
Lˆ x 满足的本征方程为
相应的久期方程为将其化为
ℏ 2
⎛ ⎜
⎜ ⎜⎝
0 1 0
1 0 1
0 ⎞ ⎛ c1 ⎞
⎛ c1 ⎞
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜
c2
c1
⎞ ⎟
⎛ ⎜
c1
⎞ ⎟
0 − i⎟ ⎜ c2 ⎟ = λ ⎜ c2 ⎟
i
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
⎜ ⎝
c3
⎟ ⎠
iℏ
−λ −
0
2
iℏ
−λ
− iℏ = 0
2
2
0
iℏ
−λ
2
（8）（9）
λ3 − ℏ 2λ = 0
（10）
得到三个本征值分别为 λ1 = ℏ; λ 2 = 0; λ 3 = −ℏ
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
Wˆ ψ 0
显然，求和号中不为零的矩阵元只有
ψ 0 Wˆ ψ 23
= ψ 23 Wˆ ψ 0
λ =−
2α 2
于是得到基态能量的二级修正为
E0(2)
=
E00
1 − E20
λ2 4α 4
λ2ℏ =−
8µ 2ω 3

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：BA. Ψ代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：DA. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：AA.*ψ一定也是该方程的一个解；B.*ψ一定不是该方程的解；C. Ψ与*ψ一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：CA. 粒子在势垒中有确定的轨迹；B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒；D粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l表示角动量算符，则对易运算],[yxll为：BA. ih∧z lB. ih∧zlC.i∧x l D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA.ψ 一定不是∧B 的本征态； B.ψ一定是 ∧B 的本征态； C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：CA. 一定处于其本征态；B.一定不处于本征态；C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ；B.)2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D.z σ本征值为1.二填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

一、波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1）将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2）若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4）将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5）若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6）有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7）此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2）可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5）知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值（8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值（9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值（10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。

量子力学期末考试题解答题

1。

你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明.（简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件.首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法；其次,Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如:散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2。

什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的?答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律:a。

对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率，当照射光频率时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出；b。

每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻观测到光电子.爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。

（2）所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。

（3)光子能量与其频率成正比,频率越高，对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答:对于一般情况，如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：（是复数）也是这个体系的一个可能状态。

量子力学期末考试题解答题

量子力学期末考试题解答题[标签:标题]篇一：量子力学期末考试题解答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。

首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率?0，当照射光频率0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻?10?9s观测到光电子。

爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。

(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。

(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

厦门大学量子力学期末考试试卷及答案集

( x,0)
Exp(ip0
x
/
h)
，求
( x, t )
。（10
分）
3．计算
z
表象变换到
x
表象的变换矩个单态1 ， 2 ，3 ，把所有满足对称性要求的态写出来。（10 分）
B卷一、（共 25 分）
1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4 分）
n
n
4．如果选用的函数空间基矢为，则某波函数
处于态的几率用 Dirac 符号表示为———
———————，某算符 A
在
态中的平均值的表示为——————————。
5．在量子力学中，波函数
在算符操作下具有对称性，含义是———————————————
———————————，与对应的守恒量 F 一定是——————————算符。
4、在一维情况下，求宇称算符 Pˆ 和坐标 x 的共同本征函数。（6 分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间 t 和能量 E 的测不准关系。（5 分）二、（15 分）已知厄密算符 Aˆ, Bˆ ，满足 Aˆ 2 Bˆ 2 1，且 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 ，求
1、在 A 表象中算符 Aˆ 、 Bˆ 的矩阵表示； 2、在 A 表象中算符 Bˆ 的本征值和本征函数；
A.
一定也是该方程的一个解；
B. 一定不是该方程的解；
C. Ψ 与一定等价；
D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。

安徽大学期末试卷量子力学复习及答案(88题).pdf

∂t 14.（L2 , L z）的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
2
安徽大学期末试卷
量子力学复习题答案（安徽大学）
( ) 解： L2 , L z 的共同本征函数是球谐函数Ylm (θ ,ϕ) 。
L2Ylm (θ ,ϕ) = l(l + 1)= 2Ylm (θ ,ϕ ) , LzYlm (θ ,ϕ ) = m=Ylm (θ ,ϕ)
⎣
d⎤
d
x
⎥ ⎦
=
?
解：(1)-1 （2） 2x 。
（2）
⎡ ⎢
⎣
d dx
,
x2
⎤ ⎥
=
?
⎦
2. 一维运动中，哈密顿量 H = p 2 + V (x) ，求 [x , H ] = ? [p , H ] = ?
2m
解： [x , H ] = = 2 d ，
m dx
[p , H ] = −i= d V (x) 。
x → ∞ , V (x) → 0 ）；
( b ) 该势与轨道角动量为 l 的氢原子态的径向势有何异同?
=2 解:( a ) E = − 2mx02
V (x)
=
=2 2m
⎡ n (n −1)
⎢ ⎣
x2
−
2n ⎤
x0
x
⎥ ⎦
( b ) 氢原子有效径向势为
6
安徽大学期末试卷
量子力学复习题答案（安徽大学）
±
=
2；
K （2）电子具有自旋磁矩 M ，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的 2 倍，即
gs
内禀磁矩 = 自旋
= e = 2 ⎜⎛取 e 为单位⎟⎞
mc ⎝ 2mc

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A)选择题（每题3分共36分）1．黑体辐射中的紫外灾难表明：CA. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；B. Ψ归一化后，ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度；C. Ψ一定是实数；D. Ψ一定不连续。

3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片；B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；D.每个光子以一定的几率通过偏振片。

4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：AA. *ψ 一定也是该方程的一个解；B. *ψ一定不是该方程的解；C. Ψ 与*ψ 一定等价；D.无任何结论。

5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。

6．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：BA. ih ∧zlB. ih∧z lC.i∧xl D.h∧xl7．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ=Aψ，则：BA. ψ 一定不是∧B 的本征态；B. ψ一定是 ∧B 的本征态；C.*ψ一定是∧B 的本征态；D. ∣Ψ∣一定是∧B 的本征态。

8．如果一个力学量 ∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒；D.其本征值出现的几率会变化。

9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。

10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23)h ω下，简并度为：BA. )1(21+N N ； B. )2)(1(21++N N ；C.N(N+1)；D.(N+1)(n+2)12．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：CA. 自旋单态；B.自旋反对称态；C.自旋三态；D. z σ本征值为1.二填空题（每题4分共24分）1．如果已知氢原子的电子能量为eV n E n 26.13-= ，则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题(每题3分共36分)1.黑体辐射中的紫外灾难表明:CA、黑体在紫外线部分辐射无限大的能量;B、黑体在紫外线部分不辐射能量;C、经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式;D、黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2.关于波函数Ψ的含义,正确的就是:BA、Ψ代表微观粒子的几率密度;B、Ψ归一化后,ψψ*代表微观粒子出现的几率密度;C、Ψ一定就是实数;D、Ψ一定不连续。

3.对于偏振光通过偏振片,量子论的解释就是:DA、偏振光子的一部分通过偏振片;B、偏振光子先改变偏振方向,再通过偏振片;C、偏振光子通过偏振片的几率就是不可知的;D、每个光子以一定的几率通过偏振片。

4.对于一维的薛定谔方程,如果Ψ就是该方程的一个解,则:AA、*ψ一定也就是该方程的一个解;B、*ψ一定不就是该方程的解;C、Ψ与*ψ一定等价;D、无任何结论。

5.对于一维方势垒的穿透问题,关于粒子的运动,正确的就是:CA、粒子在势垒中有确定的轨迹;B、粒子在势垒中有负的动能;C、粒子以一定的几率穿过势垒;D粒子不能穿过势垒。

6.如果以∧l表示角动量算符,则对易运算],[yxll为:BA、ih∧z lB 、 ih ∧zlC 、i∧x l D 、h∧xl7.如果算符∧A 、∧B 对易,且∧A ψ=Aψ,则:BA 、ψ 一定不就是∧B 的本征态; B 、ψ一定就是 ∧B 的本征态;C 、*ψ一定就是∧B 的本征态;D 、 ∣Ψ∣一定就是∧B 的本征态。

8.如果一个力学量∧A 与H∧对易,则意味着∧A :CA 、一定处于其本征态;B 、一定不处于本征态;C 、一定守恒;D 、其本征值出现的几率会变化。

9.与空间平移对称性相对应的就是:B A 、能量守恒; B 、动量守恒; C 、角动量守恒; D 、宇称守恒。

10.如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3、4ev,则 n=5能级能量为:D A 、 -1、51ev; B 、-0、85ev; C 、-0、378ev; D 、 -0、544ev11.三维各向同性谐振子,其波函数可以写为nlm ψ,且 l=N-2n,则在一确定的能量 (N+23)h ω下,简并度为:BA 、)1(21+N N ;B 、)2)(1(21++N N ;C 、N(N+1);D 、(N+1)(n+2)12.判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 就是什么性质:CA 、自旋单态;B 、自旋反对称态;C 、自旋三态;D 、z σ本征值为1、二填空题(每题4分共24分)1.如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ,则电子由n=5 跃迁到n=4 能级时,发出的光子能量为:———————————,光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试题库含答案22套

量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符（5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系。

（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H000000200030001ˆ 这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令y x iS S S +=+，y x iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -⋅=ψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。

【试题】量子力学期末考试题库含答案22套

【关键字】试题量子力学自测题（１）一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。

（6分）2、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？量子力学自测题（１）参考答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。

性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。

3、全同费米子的波函数是反对称波函数。

两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。

4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。

5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。

以、和依次表示、和在态中的平均值，令，，则有，这个关系式称为测不准关系。

坐标和动量之间的测不准关系为：2、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A 表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，令，其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为： 2、类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：，即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对有：，对有：所以，在B 表象中算符的本征值是，本征函数为和 3、类似地，在A 表象中算符的本征值是，本征函数为和从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：已知氢原子的本征解为：，将向氢原子的本征态展开， 1、=，不为零的展开系数只有三个，即，，，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为：，，（1）能量的取值几率，，平均值为：（2）取值几率只有：，平均值（3）的取值几率为：，，平均值 2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。

安徽大学2021 - 2022 学年第 2 学期《量子力学》期末考试试卷(A卷)试题及答案

安徽大学2021 -2022 学年第 2 学期《量子力学》期末考试试卷（A卷）试题及答案（时间120分钟）年级院系专业姓名学号座位号分，共40分）1．用球坐标表示，粒子波函数表为，写出粒子在球壳中被测到的几率。

解：。

2．一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

解：3．写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。

解：；。

4．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。

在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。

原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

5．量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。

解：。

6．一个电子运动的旋量波函数为，写出表示电子自旋向上、位置在处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解：电子自旋向上（）、位置在处的几率密度为；电子自旋向下（）的几率为。

7．量子力学中，一个力学量守恒的条件是什么？用式子表示。

解：有两个条件：。

8．描述电子组态的四个量子数是什么？答：主量子数，角量子数，磁量子数，自旋量子数分）9．计算下列对易式：(1)（2）（15分）解：设是任意波函数。

(1)，因任意，所以。

（2）因任意，所以。

10．在状态中，讨论的值，并求。

（10分）解：的本征函数为，本征值为but显然，是由的两个本征函数叠加而成，这两个本征态对应于，且取的概率相同，各为。

的本征值自然为零＝。

11．对于氢原子基态,求电子处于经典禁区的几率(已知氢原子能级,基态波函数为半径, 势能 )。

（15分）解：氢原子基态波函数为，为半径。

相应的能量。

动能。

是经典禁区。

由上式解出。

因此，电子处于经典禁区的几率为。

12．一维无限深势阱中的粒子，受到微扰的作用，求基态能量的一级修正。

（20分） 0 解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为基态，。

(完整版)量子力学期末考试题及解答

2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案☎✌✆选择题（每题分共 分）．黑体辐射中的紫外灾难表明：✌ 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； 黑体在紫外线部分不辐射能量；经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

．关于波函数➢ 的含义，正确的是：✌ ➢ 代表微观粒子的几率密度； ➢归一化后，ψψ*代表微观粒子出现的几率密度； ➢一定是实数； ➢一定不连续。

．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：✌ 偏振光子的一部分通过偏振片；偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片；偏振光子通过偏振片的几率是不可知的；每个光子以一定的几率通过偏振片。

．对于一维的薛定谔方程，如果 ➢是该方程的一个解，则：✌✌ *ψ一定也是该方程的一个解；*ψ一定不是该方程的解； ➢ 与*ψ 一定等价；无任何结论。

．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是： ✌ 粒子在势垒中有确定的轨迹； 粒子在势垒中有负的动能； 粒子以一定的几率穿过势垒；粒子不能穿过势垒。

．如果以∧l 表示角动量算符，则对易运算],[y x l l 为：✌ ♓♒∧z l  ♓♒∧zl♓∧x l ♒∧xl．如果算符∧A 、∧B 对易，且∧A ψ✌ψ，则：✌ ψ 一定不是∧B 的本征态；  ψ一定是 ∧B 的本征态；*ψ一定是∧B 的本征态； ✁➢✁一定是∧B 的本征态。

．如果一个力学量∧A 与H∧对易，则意味着∧A ：✌ 一定处于其本征态； 一定不处于本征态；一定守恒；其本征值出现的几率会变化。

．与空间平移对称性相对应的是： ✌ 能量守恒； 动量守恒； 角动量守恒； 宇称守恒。

．如果已知氢原子的 ⏹能级的能量值为 ♏❖，则 ⏹能级能量为： ✌ ♏❖ ♏❖ ♏❖  ♏❖．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlmψ，且 ●☠⏹，则在一确定的能量☎☠23✆♒ω下，简并度为：✌ )1(21+N N ；  )2)(1(21++N N ；☠☎☠✆； ☎☠✆☎⏹✆．判断自旋波函数 )]1()2()2()1([21βαβαψ+=s 是什么性质：✌ 自旋单态；自旋反对称态； 自旋三态； z σ本征值为 二填空题（每题分共 分）．如果已知氢原子的电子能量为eV nE n 26.13-= ，则电子由⏹ 跃迁到⏹ 能级时，发出的光子能量为：———————————，光的波长为———— ————————。

量子力学期末考试题解答题

量子力学期末考试题解答题1. 你认为的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。

(简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？)答：理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。

首先，的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。

2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。

(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。

(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。

量子力学导论期末考试试题内含答案

量子力学试题(1)(2005)姓名学号得分一. 简答题（每小题5分，共40分）1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=，写出粒子位于dx x x +~间的几率。

2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。

3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。

4. 给出如下对易关系：[][][]?,?,?,===z xy z L Lp x p z5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j的表达式。

6. 一维运动中，哈密顿量)(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V 2,0,20,0)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b 。

求在态b 中，算符A 的平均值。

二. 计算和证明题1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

2. 考虑如下一维波函数：0/0()nx x x x A e x ψ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0,,A n x 为已知常数。

利用薛定谔方程求位势()V x 和能量E 。

对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。

3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处的势阶运动。

当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 43。

问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分）0 X4.设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，1)证明在的本征态下，0==y x L L 。