第八讲 多元函数积分学知识点
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
高等数学第八章多元函数积分学
D
证:f (x, y)d
y
D
d
f1(x) f2(y)dxdy
c
D
bd
dx ac
f1(x)
f2(y)dy
0a
bx
b
d
d
b
a[f1(x) c f2(y)d]ydxc f2(y)dy af1(x)d.x
.
比如， 1dx3xyed y1xd x 3eyd.y
y
xydxdy
1
dx
1x2
xydy
D
00
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
.
例4
改变积分
01dx
1
0
x
f
( x,
y )dy 的次序.
解 积分区域为 y
0x1, D:
1
0y1x.
0x1y, D:
f (x, y)d
b
d
a dxc f(x,y)dy
D
d
b
c dya f(x,y)dx
（2）如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩
形区域，则
f(x,y)da bf1(x)dxcdf2(y)d.y
D
.
设D：a x b, c y d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积，
y
4
2
yx
D2 D1
D D 1D 2.
D1 :
2 x4, 2 y x.
《高等数学》第八章复习要点
第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。
1. 会求多元函数的偏导数对二元函数),(y x f z =， x y x f y x x f x z f x ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 01，yy x f y y x f y z f y ∆-∆+=∂∂='→∆),(),(lim 02 因此求x z ∂∂时，暂时将y 看作常数，对x 求导; 求y z ∂∂时，暂时将x 看作常数，对y 求导.同理，会求三元函数的偏导数。
2. 会求多元函数的高阶偏导数对二元函数),(y x f z =，有)(2211x z x x z f ∂∂∂∂=∂∂=''， )(212xz y y x z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(221y z x x y z f ∂∂∂∂=∂∂∂=''， )(2222y z y yz f ∂∂∂∂=∂∂=''. 定理：xy z y x z x y z y x z ∂∂∂∂∂∂⇔∂∂∂=∂∂∂2222, 连续 3. 会求多元函数的全微分对二元函数),(y x f z =，dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂= 对三元函数),,(z y x f u =，dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=4. 掌握多元复合函数的求导法则设)],(),,([),(),,(),,(y x v y x u f z y x v v y x u u v u f z =⇒===则 xv f x u f x v v z x u u z x z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21yv f y u f y v v z y u u z y z ∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂21 重点：会求复合函数的二阶偏导数。
多元微积分学
多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 10),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。
2、性质：（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰Ddxdy y x f k ),(（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D dxdy y x g ),( （3）、D dx d y D =⎰⎰（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰Ddxdy y x g ),(（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤⎰⎰),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x ba D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ （2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ⎰L ds y x f ),(=dx x x x f ba ⎰'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则⎰L ds y x f ),(=dy y y y f dc ⎰'+2))((1)),((ϕϕ （3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，βα≤≤t ，则⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'βαϕφϕφ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P ba ⎰'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y=，终点d y =，则 ⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c⎰+')),(()())),((ϕϕϕ （3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ⎰'+'βαϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。
04高数——多元函数积分学知识点速记
多元函数积分学1、不定积分1）原函数定义定义在某区间I 上的函数()f x ，若对I 的一切x ，均有()()F x f x '=，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数。
若函数()f x 存在原函数，则()f x 就有无穷多个原函数，可表示为()F x C +。
2）不定积分定义函数()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰。
若()F x 是()f x 的一个原函数，则()()d f x x F x C =+⎰（C 为任意常数）3）不定积分计算：①第一类换元积分法：设()f u 具有原函数()F u ，而()u x ϕ=可导，则有()()()()d d f x x x f u u F x C ϕϕϕ'==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰②第二类换元积分法：设()x t ϕ=在区间[],αβ上单调可导，且()0t ϕ'≠，又设()()f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦具有原函数()F t ，则有()()()()()1d d f x x f t t t F t c F x Cϕϕϕ-'⎡⎤==+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰式中，()1x ϕ-为()x t ϕ=的反函数。
高 数多元函数积分学知识点速记③分部积分法：设()u x ，()v x 可微，且()() d v x u x ⎰存在，由公式()d d d uv u v v u =+得到分部积分公式d d u v uv v u=-⎰⎰2、定积分1）两点规定：①当a b =时，()d 0b a f x x =⎰；②当a b >时，()()d d b a a b f x x f x x =-⎰⎰2）积分上限函数及其导数①()d xa f x x ⎰为积分上限函数，记作()()d x ax f x x Φ=⎰，经常写成如下形式()()()d xa f t t a x xb Φ=≤≤⎰②积分上限函数的导数()()()d x a x f t t f x '⎡⎤'Φ==⎢⎥⎣⎦⎰()a xb ≤≤③()()()()()()()d g x h x f t t f g x g x f h x h x '⎡⎤''==⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰3、定积分的应用旋转体的体积：设由曲线()y f x =，直线x a =，x b =以及x 轴围成的平面图形，绕x 轴旋转一周而生成的旋转体的体积，则()2πd b x aV f x x =⎡⎤⎣⎦⎰平行截面面积为已知的立体的体积：设立体由曲面S ，以及平面x a =、x b =所围成，且对于[],a b 上任一点x 作垂直截面，截得的面积()A A x =为x 的连续函数，则()d bc V A x x =⎰4、二重积分1）二元函数(),f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(),d D f x y σ⎰⎰2）(),d f x y σ⎰⎰表示以曲面(),z f x y =为顶，以区域D 为底，以D 的边D界为准线，母线平行于 Oz 轴的柱面围成的曲顶柱体的体积。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
《高等数学》 第八章(上)多元函数微积分简介
第一节 空间解析几何简介
在空间任取一点 M，过点 M 分别作与坐标轴垂直的平 面，交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P，Q，R，如图所示．点 P， Q，R 称为点 M 在三条坐标轴上的投影．设点 P，Q，R 在 三条坐标轴上的坐标分别记为 x，y，z，于是点 M 确定了 唯 一 的 有 序 数 组 (x ，y ，z) ； 反 之 ， 给 定 一 个 有 序 数 组 (x ，y ，z) ，总能在 x 轴、y 轴和 z 轴上分别确定以 x，y，z 为坐标的三个点 P，Q，R，过这三个点分别作垂直于 x 轴、 y 轴和 z 轴的平面，这三个平面必相交于唯一一点 M．
第一节 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系
三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限， 含有三个正半轴的卦限称为第一卦限，它位于 xOy 面的上 方．在 xOy 面的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第 三卦限和第四卦限．在 xOy 面的下方，与第一卦限对应的 是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限 和第八卦限．八个卦限分别用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示，如图所示．
第一节 空间解析几何简介
2．常见曲面的方程
1）球面 在空间中到定点的距离等于定值的点的轨迹称为球面，定点称为球心， 定值称为半径． 例 3 建立球心在点 M0 (x0 ，y0 ，z0 ) 、半径为 R 的球面的方程．
特别地，球心在原点 O(0，0，0) 、半径为 R 的球面的方程为 x2 y2 z2 R2 ．
由于 M2M3 M1M3 ，所以原结论成立．
第一节 空间解析几何简介
例 2 设点 P 在 x 轴上，它到点 P1(0 ， 2 ，3) 的距离为到点 P2 (0，1，1) 的 距离的两倍，求点 P 的坐标．
多元函数积分的计算方法与技巧
多元函数积分的计算方法与技巧1.多元函数的积分表示：多元函数的积分可以表示为定积分或不定积分。
定积分表示函数在一些区域内的积分值，而不定积分表示函数的原函数。
定积分可以通过区域划分进行求解，而不定积分则可以通过变量替换或部分积分等方法进行求解。
2.变量替换法：变量替换法是求解多元函数积分的常用方法之一、通过适当地选取新的变量，可以将原积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的变量替换方法包括极坐标变换、柱面坐标变换、球面坐标变换等。
3.分部积分法：分部积分法是求解多元函数积分的常用方法之一、对于乘积形式的积分，可以将其转化为求解导函数的积分。
通过选择合适的函数进行分解，并利用分部积分公式，可以逐步简化积分的形式。
4.对称性与奇偶性：对称性与奇偶性是求解多元函数积分时常用的技巧。
如果被积函数具有其中一种对称性，可以利用对称性简化积分的计算。
另外，如果被积函数是奇函数或偶函数，则可以利用奇偶性质来简化积分计算。
5.积分次序的变换：对于多元函数的积分，积分次序可以任意交换。
通过变换积分次序，可以选择更合适的积分顺序，从而简化积分的计算。
6.积分区域的选择：对于定积分，选择合适的积分区域也可以简化积分计算。
可以通过变换坐标、利用对称性等方法选择一个更简单的区域进行积分。
除了上述方法与技巧之外，求解多元函数积分还需要熟练运用基本的积分公式和求导公式，灵活运用数学分析的知识。
另外，需要注意积分上下限的选择，确保积分区域与被积函数的定义域一致。
对于难题，可以尝试利用数值积分方法进行近似计算。
综合运用上述方法与技巧，可以更高效地求解多元函数积分，并应用于实际问题的求解。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点
1.多元函数的极限：多元函数的极限是在多个自变量趋于一些点时函
数的极限。
多元函数的极限可以通过分量法、夹逼法等方法计算。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域内的任意
一点上都存在极限并与函数值相等。
可以利用多元函数的分量函数连续来
判断多元函数的连续性。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数是指多元函数对自变量的偏
导数。
求多元函数的偏导数时，只对一个自变量求导，把其他自变量视为
常数。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分是指函数在特定点的微分。
全微分可以理解为函数在该点的线性逼近。
5.多元函数的方向导数：方向导数是指多元函数在其中一点沿着给定
方向的变化速率。
方向导数的计算可以通过梯度来进行。
6.多元函数的梯度：梯度是多元函数在其中一点的导数，其方向与函
数在该点取得最大值的方向相同，数值上等于方向导数的最大值。
7.多元函数的积分：多元函数的积分是指对多元函数进行求和或求定
积分。
与一元函数积分类似，多元函数积分需要确定积分区域和积分方法。
8.曲线积分：曲线积分是指沿着曲线进行的积分，曲线积分可以对向
量场和标量场进行。
9.曲面积分：曲面积分是指对曲面上的函数进行积分。
曲面积分可以
对向量场和标量场进行。
10.格林定理：格林定理是指曲线与曲面积分之间的关系，即把曲面积分转化为曲线积分的定理。
11.斯托克斯定理：斯托克斯定理是格林定理的推广，是把曲线积分转化为曲面积分的定理。
(整理)微积分第八章 多元函数的微积分学
第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。
一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。
多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。
一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。
(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。
(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。
了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。
(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。
二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。
难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1?用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试一、2，3分)设f(x, y)= Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、向量值函数向量值函数是指函数的取值为向量的函数，常用符号表示为r(t)或F(t)。
向量值函数的微分即为向量的微分。
二、多元函数的连续性与可微性多元函数在点(x0,y0)连续的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)连续；多元函数在点(x0,y0)可微的充分必要条件是其分量函数在(x0,y0)可微。
三、多元函数的偏导数多元函数f(x,y)对x的偏导数记为∂f/∂x，对y的偏导数记为∂f/∂y。
偏导数可以通过限制一个变量，将多元函数转化为一元函数进行求导。
四、多元函数的微分与高阶导数对于多元函数f(x, y)，其微分为df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy。
高阶偏导数的计算可以通过多次对一个变量进行偏导来得到。
五、多元函数的极值与最值多元函数的极值包括极大值与极小值，可以通过偏导数的方法求得。
为了确定是极大值或极小值，还需要进行二阶偏导数的判别。
六、多元函数的不定积分多元函数的不定积分即求解原函数，其中一个变量看作常数即可。
不定积分具有可加性，也可以用变量代换等方法来简化计算。
七、多元函数的定积分多元函数的定积分是指对多元函数在一个区域上的积分。
定积分的计算需要根据具体的区域进行定积分化简。
八、偏导数的几何意义与方向导数偏导数的几何意义是函数在其中一点上沿各个坐标轴方向的切线的斜率。
方向导数是函数在其中一点沿其中一方向的变化率。
九、梯度与梯度的性质多元函数的梯度是一个向量，表示的是函数在其中一点上沿着变化最快的方向。
梯度具有线性和方向导数的性质。
十、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种用于求解带有约束条件的极值问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，将问题转化为无约束条件的极值问题。
综上所述，多元函数微积分是研究多变量函数的微积分学科，其知识点包括向量值函数、多元函数的连续性与可微性、多元函数的偏导数、多元函数的微分与高阶导数、多元函数的极值与最值、多元函数的不定积分、多元函数的定积分等。
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分的一个重要分支，它主要研究含有多个变量的函数的微分、积分和相关性质。
相比于一元函数微积分，多元函数微积分具有更高的复杂性和更丰富的应用领域。
以下是多元函数微积分的一些重要的知识点：1.多元函数的极限：多元函数的极限定义与一元函数相似，但需要考虑多个变量同时趋于一些点或正负无穷的情况。
可以使用极限运算定理、夹逼定理等方法求解多元函数的极限。
2.多元函数的连续性：多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，也可以使用极限的性质证明多元函数的连续性。
此外，也有类似于一元函数的极限运算定理和连续函数的性质定理适用于多元函数。
3.多元函数的偏导数：多元函数的偏导数描述了函数在一些变量方向上的变化率。
对于二元函数，可以求出两个变量的偏导数；对于三元函数及以上的函数，可以求出每个变量的偏导数。
求偏导数时，将其他变量当作常数对待。
4.多元函数的全微分：多元函数的全微分也称为多元函数的导数。
通过偏导数可求得多元函数在特定点的各个方向的变化率，进而求得多元函数在特定点的全微分。
5.多元函数的方向导数：多元函数的方向导数描述了函数在一些给定方向上的变化率。
通过求解偏导数和方向向量的点积，可以求得多元函数在一些方向上的方向导数。
6.多元函数的梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数在特定点变化最快的方向，大小表示这个变化的速率。
梯度的方向与等高线垂直。
7.多元函数的二阶偏导数：对于多元函数，可以求出其各个变量的一阶偏导数，进一步可以求出相应的二阶偏导数。
二阶偏导数刻画了多元函数在一些变量方向上的变化率的变化率，即函数的曲率。
8.多元函数的泰勒展开：多元函数的泰勒展开是将一个多元函数近似表示为以一些点为中心的多项式的形式。
泰勒展开可以用于函数求值的近似计算和函数性质的分析。
9.多元函数的极值与最值：类似于一元函数，多元函数也有极值和最值的概念。
可以通过求解偏导数和二阶偏导数来判断函数的极值和最值，并应用拉格朗日乘数法等方法求解约束条件下的最值问题。
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
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• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
THANKS 感谢观看
积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
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第八讲 多元函数积分学知识点
一、二重积分的概念、性质
1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 1
0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。
2、性质：
（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰D
dxdy y x f k ),(
（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=
⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D
dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D
=⎰⎰
（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2
),(D dxdy y x f
(5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰D
dxdy y x g ),(
（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D
≤≤⎰⎰),(
(7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D
dxdy y x f ),(D f ),(ηξ
二、计算
（1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤
⎰⎰⎰⎰=)
()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ
（2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，
⎰⎰⎰⎰=)
()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ
技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和
垂直线的方法确定另一个变量的范围
（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos
⎰⎰⎰⎰=)
(0)sin ,cos (
),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f
三、曲线积分
1、第一型曲线积分的计算
（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
⎰L ds y x f ),(=dx x x x f b
a ⎰'+2))((1))(,(φφ
（2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则
⎰L ds y x f ),(=dy y y y f d
c ⎰'+2))((1)),((ϕϕ
（3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()
(t y
t x ϕφ，βα≤≤t ，则
⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'β
αϕφϕφ22))(())(())(),((
2、第二型曲线积分的计算
（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P b
a ⎰'+)())(,())(,(φφφ
（2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y =，终点d y =，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c ⎰+')),(()())),((ϕϕϕ
（3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()
(t y
t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则
⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt
t t t Q t t t P ⎰'+'β
αϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。