用空间向量证明线线垂直与线面垂直

第二节 用空间向量证明线线垂直与线面垂直

一、空间向量及其数量积

1、 在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用AB 或表示，其中向量的大小称为向量的长度或

或a

。正如平面向量a 可用坐标(x,y.)表示，空间向量a 也可用坐标(x,y,z)表示。若已知点A 坐标为（x 1，y 1，z 1）,点B 坐标为（x 2，y 2，z 2） 则向量AB =（x 2 -x 1，y 2- y 1，z 2 -z 1）即是终点坐标减起点坐标。 在空间，知道向量a =（x ，y ，z

222z y x 2、 空间向量数量积

① 已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作=，=，则角∠AOB 叫向量与的

夹角，记作＜，＞规定，若0≤＜，＞≤ ，若＜，＞=2

，称与垂直，记作⊥。

② 已知空间两个向量、

COS ＜，＞叫向量、的数量积，记作a

COS

＜a ，b ＞若a ⊥b b a

＝０

③ 若已知空间向量＝（x 1，y 1，z 1）， ＝（x 2，y 2，z 2） 则•＝x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ， COS ＜a ，

2

2

2

22

22

12

12

12

12121z y x z y x z z y y x x

例１ 如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900,D 1、E 1分别为A 1B 1、A 1C 1中点，若BC=CA=CC 1，求向量1BD 与1AE 所成角的余弦值。

C 1

B 1 Ａ1

Ａ

Ｃ

Ｂ D 1 E 1

E

D A 1

F D 1 A

B 1

C

B

C 1

1111D C B A 中，11E B =11F D =

4

1

1B A ，求向量1BE 与1DF 所成角的余弦值。

二 、利用向量证线线垂直与线面垂直

例2 在正方体ABCD —1111D C B A 中，求证A 1C ⊥平面AB 1D 1

练习：在正方体ABCD —1111D C B A 中，O 为底面ABCD 的中心，P 为DD 1的中点， 求证：B 1O ⊥平面PAC 。

例3 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M, N 分别是AB ,PC 中点 （1）求证：M N ⊥CD

（2）若∠PDA=450

，求证：MN ⊥平面PCD

B

A D C

B A

C D B 1 A 1 D C B A C 1

D 1 O P C

D

P

N

练习：正方体ABCD —1111D C B A 中，M 是棱D 1D 中点，N 是AD 中点， P 为棱A 1B 1上任一点。求证：NP ⊥AM

作业：

1.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，E 是BB 1中点，O 是底面ABCD 中心，

求证：O E ⊥平面D 1AC.

2.如图，正方体ABCD —1111D C B A 中，O ,M 分别是BD 1, AA 1中点，求证：OM 是异面直线AA 1和BD 1的公垂线.

3、如图，直三棱柱ABC-—A 1B 1C 1中，∠ACB=900

，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，，侧面AA 1B 1B 的两

条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M 。求证：CD ⊥平面BDM

D

A 1

A

B

N A

C

D A 1

B 1

D 1

M P C 1

E

O

B 1 A 1 D

C B A

C 1

D 1

O

M

B 1

A 1

D

C

B

A

C 1

D 1

4在棱长为a 的正方体ABCD —1111D C B A 中，E ， F 分别为棱AB 和BC 的中点，M 为棱B 1B

上任一点，当

MB

M

B 1值为多少时能使D 1M ⊥平面EFB 1

5、如图， ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2a ， CD=a ，F 为BE 中点，求证：A F ⊥BD

6、如图，已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中B 1C 1=A 1C 1，A 1B ⊥AC 1。 求证：A 1B ⊥B 1C

第三节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直

一、二面角

A A

M

C

B

B

C

D 1

E

F D F

E D C B A

C 1

Ａ1 Ａ

Ｃ

Ｂ

二面角 l ，若 的一个法向量为m ， 的一个法向量为n ，则|

|||,cos n m n m

，二面角的

大小为 n m ,或 n m ,

例1．如图，正三棱柱111C B A ABC 中，E 为1BB 的中点，111B A AA ，求平面EC A 1与平面111C B A 所成锐角的大小。

例2．（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD

V AD 是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面V AD ；

（2）求面V AD 与面VBD 所成的二面角的大小．

练习：如图，棱长为1的正方体

1111D C B A ABCD 中，E 是1CC 的中点，

求二面角D E

B B 1的余弦值。