证明直线与直线垂直(空间向量)

证明线线垂直

在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .

【证明】 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →

＝(a ，x －a ，－a )．

∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0，

∴A 1F →⊥C 1E →

，即A 1F ⊥C 1E .

例1：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝

1

4

CC 1. 求证：AB 1⊥MN .

解答：法一 设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→

＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得

|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·c ＝b ·c ＝0，AB 1→＝a ＋c ，AM →＝1

2(a ＋b )，

AN →＝b ＋14c ，MN →＝AN →－AM →

＝－12a ＋12b ＋14

c ，

∴AB 1→·MN →

＝(a ＋c )·(－12a ＋12b ＋14c )＝－12＋12cos 60°＋0－0＋0＋14＝0.

∴AB 1→⊥MN →

，∴AB 1⊥MN .

法二 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.

以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得 A (－12，0,0)，B (12，0,0)，C (0，32，0)，N (0，32，14)，B 1(1

2

，0,1)，

∵M 为BC 中点，∴M (14，34，0)．∴MN →＝(－14，34，14)，AB 1→

＝(1,0,1)，

∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14

＝0.∴MN →⊥AB 1→

，∴AB 1⊥MN .

10．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中

点．证明：

(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ； (2)A 1G ⊥平面EFD .

解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A 1(0，0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(1,1,1)，D 1(0,1，

1)，由中点性质得E 1,1，12、F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0、G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0、H 12，12，1.

(1)则AB 1→＝(1,0,1)，GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12

，－12，12，

∵AB 1→＝2GE →，AB 1→·EH →＝1×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12＋1×12＝0，

∴AB 1→∥GE →，AB 1→⊥EH →，即AB 1∥GE ，AB 1⊥EH .

(2)∵A 1G →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1，DF →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－12，0，

DE →＝⎝

⎛⎭⎪⎫1，0，12，

∴A 1G →·DF →＝12－12＋0＝0， A 1G →·DE →＝12＋0－12

＝0， ∴A 1G →⊥DF →，A 1G →⊥DE →，即A 1G ⊥DF ，A 1G ⊥DE .

又DF ∩DE ＝D ，∴A 1G ⊥平面EFD .

18．(本小题满分16分)

如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是DD 1、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝

1

4CD .

(1)求证：EF ⊥B 1C ；

(2)求EF 与C 1G 的夹角的余弦值． 解：如图，建立空间直角坐标系，

则B 1(1,0,1)，C (1,1,0)，E (0,1，12)，F (12，12，0)，G (3

4

，1,0)，C 1(1,1,1)．

(1)证明：EF →＝(1

2，－12，－12

)，

B 1

C →

＝(0,1，－1)， ∴EF →·B 1C →＝0.∴EF ⊥B 1C .

(2)C 1G →

＝(－14

，0，－1)，

cos 〈EF →，C 1G →

〉＝EF →·C 1G →|EF →||C 1G →|

＝－18＋0＋1234×1716

＝5117，

即直线EF 与C 1G 的夹角的余弦值为51

17

.