用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系

知识点一：求平面的法向量

例1.已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向

量．

解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，

＝(1，－2，－4)，AC →

＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·= 0， n ·AC →

= 0.

即⎩⎪⎨⎪⎧

x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0

，解得⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝2y z ＝0

.

令y ＝1，则x ＝2.

∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．

【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其

中一组解(非零向量)即可．

练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。

知识点二：利用向量方法证平行关系

（1）线线平行：设直线1l 、2l 的方向向量分别为a 、b ，则b a b a l l λ=⇔⇔////21 （2）线面平行：

①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；

②设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαa a l ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行：

“用向量法”求法向量的解题步骤： （1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(222111c b a b c b a a ==；（3）根据法向量的定义列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=•=•0

0b n a n ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//；

②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行.

例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证：11//ODC C B 面.

证方法一：∵=，

∴D A C B 11//，又11ODC D A 面⊂,11ODC C B 面⊄ ∴11//ODC C B 面

证法二： ∵= +=+++

=+.

∴，，共面.

又B 1C 面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.

证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体的棱长为1，则可得

B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，

C 1(0,1,1)，

＝(－1,0，－1)， ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，－12，－1， ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12，0.

设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则 得⎩⎪⎨⎪⎧

－12x 0

－1

2

y 0

－z 0

＝0 ①－12x 0

＋1

2y 0

＝0 ②

令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．

又 ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴⊥n ，∴B 1C∥平面ODC 1.

【反思】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与共线；二是说明能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直．

练习：如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，CF

BE //，

︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF .求证：//AE 平面DCF .

证明：如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建

立空间直角坐标系C —xyz.

设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，

则C(0,0,0)，A(3，0，a)，

B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →

＝(0，b ，－a)， ＝(3，0,0)， ＝(0，b,0)，

所以·AE →

= 0，· = 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.

所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF ，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系

（1）线线垂直：设直线1l 、2l 的方向向量分别为a 、b ，则021=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a l l （2）线面垂直：

①设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则μμαk a a l =⇔⇔⊥//； ②由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直。 （3）面面垂直：

①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量0=⋅⇔⊥νμνμ；

②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直.

例3．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱BC AB ,的中点，试在棱1BB 上找一点

M ，使得M D 1⊥平面1EFB .

解：建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．

设M （2，2，m ），则 =（1，1，0），B 1E →

=（0， 1， 2）， =（2，2，m2）.

∵ ⊥平面EFB 1，∴ ⊥EF ，⊥B 1E ， ∴

· = 0且·B 1E →

= 0，

于是∴m＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M⊥平面EFB 1.

【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．

练习：1．在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱BC 的中点，试在棱1CC 上求一点P ，使

1

A B

1

C 1

D