奇函数与偶函数的傅里叶级数
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8.4 正弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数 8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为 正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数.
假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内 是奇函数，那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为 周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果 (x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
0
2
(n 0 , 1 , 2, ) .
( x)sinnxdx
2
0
0
f ( x)sinnxdx
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ).
(12.6.7) (n 1,2, )
周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系
数公式为
bn
an
0
an
(
0
4
x)cos nxdx
2 [( n
x2 4
x ) s in nx ]0
2 n2
[(
x 2
)cos
nx
]0
1 n3 [sinnx
]0
1 n2
(n 1 , 2, 3 , ) .
2 x2
2
a0
(
0
4
x)dx
bn sinnx .
n1
此时傅氏系数
an 0 (n 0 , 1 , 2, ) .
bn
2
f ( x)sinnxdx
0
(n 1 , 2 , 3 , ) .
这 是 因 为an
1
f ( x)cos nxdx 中 cos nx是 偶
函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
当 x 时 , 收敛于 , 当 x = 时，收敛于 0.
2
4
y
2
o
2
2 x
3
.
由于 f ( x)在 (0, 上连续,且延拓的函数在 x = 0，
处连续， 因此
x2
2百度文库
1
1
x cos x cos 2x cos 3x
4
6
4
9
(0≤ x ≤ ) .
例6
试将函数
f (x)
x x
,
,
0≤ x ≤
x
2
≤
22
f (x)
x ,
0≤ x .
试将其展开成傅里叶级数 .
解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
x
由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
an
2
f ( x)cos nxdx
0
2
( x)cos nxdx 0
2[
n
x
sinnx]0
2 n
sinnx dx
0
(n 0)
4
2 n2
[1
(1)n
]
n2
0
, ,
n 1 , 3 , 5 , , n 2 , 4 , 6 , .
2
2
a0
0
f ( x) dx
( x) dx ,
展开式为余弦级数， 即
a0
2
an
n1
cos nx.
此时傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx(n 0 , 1 , 2, ) .
bn 0 (n 1 , 2, 3 , ) .
(12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表 达式
x , ≤ x 0 ,
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
1
an
f ( x)cos nxdx 0
(n 0 , 1 , 2, ) .
又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2
bn
f ( x)sinnxdx
0
(n 1 , 2 , 3 , ) .
同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其
0
sinnxdx
2
2 ( x cosnx 1
n
0n
cosnx dx)
0
1
cosnx
n
2
1
((1)n1
cos
n )
n
2
所以 f ( x) sin x 1 sin3x 1 sin4x
3
2
x [0, ) ( , ) ,
22
0
bn 0 (n 1 , 2, 3 , ) .
又因为 f(x) 处处连续 ，故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 即
f
(x)
2
4
(cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
)
( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后 的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期 的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
2 3
O
x
周期奇延拓
将 f(x) 先延拓到( , 0)，使延拓后的函数为偶函数，
然后再延拓为以 2 为周期的函数，这种延拓称为
周期偶延拓. y
2 O 2 3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅
里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即
an bn
展开成正弦级数 .
解 按公式(12.6.7)
2
bn
f ( x)sinnxdx
0
2
2
2 f ( x)sinnxdx
0
f ( x)sinnxdx
2
2
2
x sinnxdx
2
0
2
(x
) si nnxdx 2
2
x sinnxdx
2
(n 1 , 2, )
( x)cos nxdx
2
0
(12.6.8)
f ( x)cos nxdx
0
(n 1,2, )
例 5 试将函数 f ( x) x2 x 在区间[0, 42
上展开成余弦级数
解 按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，
2 x2
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数 8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开为正
弦级数与余弦级数
8.4.1、奇函数与偶函数的傅里叶级数
展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为 正弦函数，只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数.
假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 在 [ , ]内 是奇函数，那么傅里叶级数一定是正弦级数. 即
设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上，我们设想有一
个函数 (x)，它是定义在 ( ) 上 且以 2 为 周期的函数，而在 [0 , ] 上， (x) = f(x). 如果 (x) 满足收敛定理的条件，那么 (x) 在 ( )
上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，
0
2
(n 0 , 1 , 2, ) .
( x)sinnxdx
2
0
0
f ( x)sinnxdx
( 因在 [0 , ] 上， (x) = f(x) ).
(12.6.7) (n 1,2, )
周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系
数公式为
bn
an
0
an
(
0
4
x)cos nxdx
2 [( n
x2 4
x ) s in nx ]0
2 n2
[(
x 2
)cos
nx
]0
1 n3 [sinnx
]0
1 n2
(n 1 , 2, 3 , ) .
2 x2
2
a0
(
0
4
x)dx
bn sinnx .
n1
此时傅氏系数
an 0 (n 0 , 1 , 2, ) .
bn
2
f ( x)sinnxdx
0
(n 1 , 2 , 3 , ) .
这 是 因 为an
1
f ( x)cos nxdx 中 cos nx是 偶
函 数 . 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
当 x 时 , 收敛于 , 当 x = 时，收敛于 0.
2
4
y
2
o
2
2 x
3
.
由于 f ( x)在 (0, 上连续,且延拓的函数在 x = 0，
处连续， 因此
x2
2百度文库
1
1
x cos x cos 2x cos 3x
4
6
4
9
(0≤ x ≤ ) .
例6
试将函数
f (x)
x x
,
,
0≤ x ≤
x
2
≤
22
f (x)
x ,
0≤ x .
试将其展开成傅里叶级数 .
解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，
f(x)
O
x
由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数.
an
2
f ( x)cos nxdx
0
2
( x)cos nxdx 0
2[
n
x
sinnx]0
2 n
sinnx dx
0
(n 0)
4
2 n2
[1
(1)n
]
n2
0
, ,
n 1 , 3 , 5 , , n 2 , 4 , 6 , .
2
2
a0
0
f ( x) dx
( x) dx ,
展开式为余弦级数， 即
a0
2
an
n1
cos nx.
此时傅里叶系数为
an
2
0
f ( x)cos nxdx(n 0 , 1 , 2, ) .
bn 0 (n 1 , 2, 3 , ) .
(12.6.6)
例 4 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表 达式
x , ≤ x 0 ,
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
1
an
f ( x)cos nxdx 0
(n 0 , 1 , 2, ) .
又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，
故有
2
bn
f ( x)sinnxdx
0
(n 1 , 2 , 3 , ) .
同理可以推出，当函数 f(x) 是偶函数时， 其
0
sinnxdx
2
2 ( x cosnx 1
n
0n
cosnx dx)
0
1
cosnx
n
2
1
((1)n1
cos
n )
n
2
所以 f ( x) sin x 1 sin3x 1 sin4x
3
2
x [0, ) ( , ) ,
22
0
bn 0 (n 1 , 2, 3 , ) .
又因为 f(x) 处处连续 ，故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 即
f
(x)
2
4
(cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
)
( x ) .
8.4.3 函数 f(x) 在 [0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数
即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数， (x) 称为f(x)
的周期延拓函数.
在理论上或实际工作中，下面的周期延拓是 最为常用: 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ，使延拓后 的函数成为奇函数 ，然后再延拓为以 2 为周期 的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;
y
2
2 3
O
x
周期奇延拓
将 f(x) 先延拓到( , 0)，使延拓后的函数为偶函数，
然后再延拓为以 2 为周期的函数，这种延拓称为
周期偶延拓. y
2 O 2 3 x
周期偶延拓
显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅
里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即
an bn
展开成正弦级数 .
解 按公式(12.6.7)
2
bn
f ( x)sinnxdx
0
2
2
2 f ( x)sinnxdx
0
f ( x)sinnxdx
2
2
2
x sinnxdx
2
0
2
(x
) si nnxdx 2
2
x sinnxdx
2
(n 1 , 2, )
( x)cos nxdx
2
0
(12.6.8)
f ( x)cos nxdx
0
(n 1,2, )
例 5 试将函数 f ( x) x2 x 在区间[0, 42
上展开成余弦级数
解 按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，
2 x2