数学实验一矩阵问题
【精选】数学实验一矩阵运算与Matlab命令24
运行
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矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
C=A1+B1 D=A1-B1 syms c, cA=c*A1 A2=A1(:,1:3), B1 G=A2*B1
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矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
求解方程组Ax=b x=A\b 若A为可逆方阵, 输出原方程的解x; 若A为nxm(n>m)阵, 且A’A可逆,输出
原方程的最小二乘解x.
21
矩阵的运算(求解线性方程组)
求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素 构成新矩阵A1
程序
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3;
3 0 5 1 0;2 3 1 2 1],
vr=[1, 3];vc=[1, 3];
A1=A(vr, vc)
观察结果
26
分块矩阵（矩阵的标识）
将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B 中，观察运行后的结果。
3
2
2
35 20 60 45
, B 10
15
50
40
20 12 45 20
将 表 格 写 成 矩 阵 形 式
6
计算
输入下面Matlab指令 A=[4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2], B=[35 20 60 45;10 15 50 40;20
3 0 5 1 0;2 3 1 2 1]
矩阵运算及方程组求解
附录Ⅰ大学数学实验指导书项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.大体命令在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么输入了两个向量.2. 表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m, n]—生成表{m,…,n};Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为d x.2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}那么输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:MatrixForm[A]那么输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]那么输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:那个矩阵也能够用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵的运算例 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]-2A AAB 23-BA T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10120821444,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A .1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=2222)1)()()()()()((dc b a abcd d c d b d a c b c a b a +--------,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A .),(|,|3A A tr A 3),(|,|AA tr A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA 求.10A 一样地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组实验目的 学习利用Mathematica 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向 量组的秩与最大无关组.大体命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]那么输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]那么输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 因此.2)(=M r例 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101矩阵的初等行变换例 用初等变换法求矩阵.343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组的最大无关组 例 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素别离是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是不是线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 明白得运算机求解的有效意义.大体命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一样方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,那么齐次线性方程组0=AX 必然有解. 假设矩阵A 的秩等于n ,那么只有零解;假设矩阵A 的秩小于n ,那么有非零解,且所有解组成一贯量空间. 命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]那么输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基. 注:若是输出为空集{ },那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是不是线性相关? 依照概念,若是向量组线性相关,那么齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.依照题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];那么输出c b a ,,的值为 {2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%==0,a]那么输出{{a →-2},{a →1},{a →1}} 当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方式求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型. 把握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分派关系的统计数据可列成下表1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份显现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分派给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产进程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,那个量也是以双重身份显现,它是行部门分派给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平稳表(单位: 亿元)注: 最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部份. 从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分派情形;从每一列看,反映了用于消费、积存等方面的最终产品别离由各部门提供的数 量情形.在第三象限中,反映了总产品中新制造的价值情形,从每一行来看,反映了各部门新制造 价值的组成情形;从每一列看,反映了该部门新制造的价值情形.采纳与第三章第七节完全相同的记号,可取得关于表1的产品平稳方程组y x A E =-)( (1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,依照直接消耗系数的概念),,2,1,(n j i x x a jij ij ==,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ij a A 利用Mathematica 软件(以下计算进程均用此软件实现,再也不重述),可计算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1A E 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表2.表2下面咱们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第2列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为 ,)0,0,0,1,0(T y =于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0227.00240.01451.01438.02557.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ay x通过中间产品向量)0(x 产生的间接消耗为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Ax x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(x A x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00570305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(x A x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(x A x于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为++++++=)4()3()2()1()0(x x x x x y x.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中向量x 为列昂惕夫逆矩阵1)(--A E 的第2列, 该列5个元素别离是部门2生产一个单位 最终产品对部门一、二、3、4、5总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 能够说明列昂节夫 逆矩阵中第一、3、4、5列别离是部门一、3、4、5生产一个单位最终产品对部门一、二、3、 4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=-11036.00739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EA E B最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统之外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 此刻假定政府部门依照社会进展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改, 最终产品的增加量别离为农业2%, 轻工业7%, 重工业5%, 运输业5%, 建筑业 4%, 写成最终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(T y =∆那么产品的增加量x ∆可由式(8)近似计算到第5项, 得+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+∆+∆+∆+∆+∆=∆515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(A A A A x x x x y x .)8033.744899.57169.238749.204083.121(T ≈其中,y A x ∆=∆)0(为各部门生产y ∆直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y ∆的全数间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.(1) 试列出投入—产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 依照预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每一年会下降1%, 轻工业和商业的外部需求每一年会递增6%, 而其它部门的外部需求每一年会递增3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增加率;(3) 编制第五年度的打算投入产出表.实验5 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立交通流模型. 把握线性代数在交通计划方面的应用.应用举例假设某城市部份单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5-1所示.300 300 300+-432xxx=300+54xx=500-67xx=200+21xx=800+51xx=800+87xx=10009x=400-910xx=20010x=600++638xxx=1000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪排版时只保留图,不要方程组图5-1试成立数学模型确信该交通网络未知部份的具体流量.假定上述问题知足以下两个大体假设(1)全数流入网络的流量等于全数流出网络的流量;(2)全数流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.那么依照图5-1及上述大体两个假设,可成立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 假设将上述矩阵方程记为b Ax =,那么问题就转化为求b Ax =的全数解. 下面咱们利用 Mathmatica 软件来求解一、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100010=Ax 输入In[3]:=NullSpace[A]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη21,C C 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001b Ax =输入 LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}那么取得所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,咱们就取得了非齐次线性方程组b Ax =的全数解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部份的具体流量, 该问题有无穷 多解(什么缘故? 并试探其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 能够为交通计划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不顺畅等问题的方式, 明白在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通计划提供科学的指导意见. 可是,在本模型中,咱们只考虑了单行街道如此一种简单情形, 更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 另外,本模型还可推行到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方式, 为你所在或你熟悉的城镇成立一个区域的交通流量模 型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中依照具体限制确信出一个具体的解决方 案.。
矩阵乘法 数学实验
矩阵乘法数学实验矩阵乘法是线性代数中非常重要的概念。
它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本实验将以生动的例子，全面介绍矩阵乘法的基本概念、运算规则及其在实际问题中的应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵乘法。
首先，我们以一个简单的例子来介绍矩阵的乘法运算。
假设有两个矩阵A和B，分别为3行2列和2行4列的矩阵。
其形式如下：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]B = [b11 b12 b13 b14][b21 b22 b23 b24]我们需要计算矩阵A和B的乘积C，乘积的规则是将A的每一行与B的每一列进行乘法运算，再将所得结果相加。
因此，C的形式为3行4列的矩阵，表示如下：C = [c11 c12 c13 c14][c21 c22 c23 c24][c31 c32 c33 c34]其中，c11 = a11 * b11 + a12 * b21，c12 = a11 * b12 + a12* b22，以此类推。
通过上述例子，我们可以看到矩阵乘法的基本运算规则。
但是，在实际应用中，矩阵乘法更多地体现了其涉及到的线性变换的概念。
例如，在计算机图形学中，我们可以使用矩阵乘法来实现平移、旋转和缩放等操作。
以平移操作为例，我们可以将一个二维点的坐标表示为一个2行1列的矩阵，其对应的平移矩阵为一个2行2列的矩阵。
通过将点的坐标与平移矩阵相乘，我们可以实现对点的平移操作。
此外，在物理学中，矩阵乘法也被广泛应用于描述物理系统的变换过程。
例如，可以使用矩阵乘法来描述光的传播过程或者描述量子力学中的粒子的波函数演化过程。
总结起来，矩阵乘法是线性代数中重要的概念之一。
通过实际的例子，我们可以更好地理解矩阵乘法的运算规则，以及其在数学和物理等领域中的应用。
通过掌握矩阵乘法，我们可以更好地理解和解决实际问题，同时也为我们在以后的学习和研究中打下坚实的基础。
因此，学习和掌握矩阵乘法是非常具有指导意义的。
数学实验矩阵的运算
数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验四矩阵的运算（一）投入产出分析一．实验目的1.理解投入产出分析中的基本概念和模型；2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆矩阵等的含义。
二．问题描述设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表根据表回答下列问题：（1）如果农业、制造业、服务业外部需求为50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？（2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少?三.实验过程1．问题（1）的求解（1）求直接消耗矩阵A根据直接消耗的计算公式a ij=x ij/x j和各部门中间需求;x n a n运行如下代码可得直接消耗系数表。
X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0];X_colsum=[100 200 150];X_rep=repmat(X_colsum,3,1)A=X./ X_rep运行结果为：A =0.1500 0.1000 0.20000.3000 0.0500 0.30000.2000 0.3000 0（2）求解根据公式X=(I-A)-1y在运行如下代码y=[50;150;100];n=size(y,1);W=eye(n)-A;X=W\y运行结果为X =139.2801267.6056208.1377即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。
2．问题2求解设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB 代码可得问题的结果：dx=inv(W)运行结果:dx =1.3459 0.2504 0.34430.5634 1.2676 0.49300.4382 0.4304 1.2167根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加1.3459,0.5634，0.4382个单位；当制造业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.2504,1.2676，0.4304个单位；当服务业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加0.3443,0.4930，1.2167个单位。
重庆大学数学实验一 matlab的基本应用 参考答案
《数学实验》第一次上机实验1． 设有分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯⨯⨯⨯22322333S O R E A ，其中E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=22S 0RS R E A 。
程序及结果：E=eye(3); %创建单位矩阵E% R=rand(3,2); %创建随机矩阵R% O=zeros(2,3); %创建0矩阵% S=diag(1:2); %创建对角矩阵% A=[E,R;O,S]; %创建A 矩阵%B=[E,(R+R*S);zeros(2,3),S^2] %计算等号右边的值%A^2 %计算等号左边的值%运行结果：B =1.00 0 0 1.632.74 0 1.00 0 1.81 1.90 0 0 1.00 0.25 0.29 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 4.00 ans =1.00 0 0 1.632.740 1.00 0 1.81 1.90 0 0 1.00 0.25 0.29 0 0 0 1.00 0 0 0 0 0 4.002．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量如表1.1，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。
表1.11)程序：a=[7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9.30]; b=[11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50]; c=[568 1205 753 580 395 2104 1538 810 694];s=sum((b-a).*c)i=b.*cmax((b-a).*c)min((b-a).*c)[m,n]=sort(b.*c)2）运行结果：s =4.6052e+004i =1.0e+004 *0.6305 1.8075 0.4518 0.9425 0.3911 3.8398 3.1990 1.95621.0757ans =1.3087e+004ans =1.2719e+003m =1.0e+004 *0.3911 0.4518 0.6305 0.9425 1.0757 1.8075 1.9562 3.1990 3.8398n =5 3 1 4 9 2 8 7 63. 近景图将x的取值范围局限于较小的区间内可以画出函数的近景图,用于显示函数的局部特性。
矩阵式实验报告
一、实验目的1. 理解矩阵的基本概念和性质。
2. 掌握矩阵的运算方法，包括加法、减法、乘法等。
3. 学习矩阵的应用，如线性方程组的求解。
4. 提高数学建模和解决问题的能力。
二、实验内容本次实验主要围绕矩阵的运算和应用展开，具体内容包括：1. 矩阵的加法与减法2. 矩阵的乘法3. 矩阵的逆4. 线性方程组的求解三、实验步骤1. 矩阵的加法与减法（1）选择两个矩阵A和B，确保它们具有相同的行数和列数。
（2）将矩阵A和B对应位置的元素相加或相减，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数和列数与矩阵A和B相同。
2. 矩阵的乘法（1）选择两个矩阵A和B，确保矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
（2）计算矩阵A的每一行与矩阵B的每一列的点积，得到新的矩阵C。
（3）验证矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
3. 矩阵的逆（1）选择一个可逆矩阵A。
（2）使用高斯-约当消元法求解矩阵A的逆。
（3）验证矩阵A与其逆矩阵的乘积为单位矩阵。
4. 线性方程组的求解（1）选择一个线性方程组，例如：AX = B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
（2）使用高斯-约当消元法求解线性方程组。
（3）验证求解得到的X矩阵是否满足原方程组。
四、实验结果与分析1. 矩阵的加法与减法通过实验，我们发现矩阵的加法与减法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数和列数与原矩阵相同。
2. 矩阵的乘法实验结果表明，矩阵的乘法运算满足交换律和结合律，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
3. 矩阵的逆实验发现，对于可逆矩阵，其逆矩阵存在，且满足A A^(-1) = A^(-1) A = E（单位矩阵）。
4. 线性方程组的求解通过高斯-约当消元法，我们成功求解了线性方程组，并验证了求解结果的正确性。
五、实验结论1. 理解了矩阵的基本概念和性质，掌握了矩阵的运算方法。
2. 学会了使用矩阵求解线性方程组，提高了数学建模和解决问题的能力。
数学趣味实验小学数学知识的实际应用
数学趣味实验小学数学知识的实际应用数学趣味实验——小学数学知识的实际应用数学作为一门抽象的学科，对于小学生来说可能有点晦涩难懂。
然而，通过趣味实验的方式来学习数学，不仅能够提升学生对数学的兴趣，还能让他们更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍一些有趣的数学实验，展示小学数学知识的实际应用。
实验一：魔术矩阵材料：纸板、表步骤：1. 在纸板上画一个3×3的矩阵。
2. 请一个学生在矩阵的每个方格中填入一个不重复的数字（数字范围可以根据学生的年龄进行调整，比如1~9）。
3. 请学生把每一行、每一列以及对角线上的数字相加，并记录在表中。
4. 让学生观察表中每一行、每一列以及对角线上数字之和是否相等，让他们发现规律。
实验这里引入了矩阵的概念和各个元素的求和运算，让学生通过填充数字和观察数字之和的变化来探索矩阵的特性。
这样可以培养学生的观察力和思维能力，同时加深对数学概念的理解。
实验二：奇妙的水钟材料：两个透明的塑料瓶、一个水桶、一些颜料、胶带步骤：1. 把一个塑料瓶装满水，用胶带将瓶盖固定。
2. 把另一个瓶子倒扣放在装满水的瓶子上，并用胶带固定。
3. 把水桶装满水，加入一些颜料，用作指示剂。
4. 把倒扣的瓶子放入水桶中，让学生观察水桶中的水位变化。
在这个实验中，学生可以观察到，当水桶中的水逐渐渗入瓶子时，倒扣的瓶子内部的空气被水取代，从而使得水位逐渐上升。
通过这个实验，学生可以加深对容积和水位变化的理解，同时学会如何利用简单的材料进行科学实验。
实验三：迷宫探险材料：一张纸板、色彩纸、彩笔、剪刀步骤：1. 在纸板上绘制一个简单的迷宫图案。
2. 用色彩纸剪出一个代表人物的小卡片。
3. 让学生尝试用彩笔在纸板上标记出从起点到终点的路径。
4. 让学生用小卡片在迷宫中寻找最短路径，并记录下使用的步数。
这个实验可以让学生通过探索迷宫和尝试各种路径来锻炼逻辑思维和问题解决能力。
同时，学生还可以解决数学中的最短路径问题，从而将数学知识应用到实际生活中。
线性代数实验报告
线性代数实验报告一、实验目的线性代数是一门重要的数学基础课程，它在工程、科学、计算机等领域都有着广泛的应用。
本次实验的目的是通过实际操作和计算，加深对线性代数基本概念和方法的理解，提高运用线性代数知识解决实际问题的能力。
二、实验环境本次实验使用了软件名称软件进行计算和绘图。
三、实验内容（一）矩阵的运算1、矩阵的加法和减法给定两个矩阵 A 和 B，计算它们的和 A ＋ B 以及差 A B。
观察运算结果，验证矩阵加法和减法的规则。
2、矩阵的乘法给定两个矩阵 C 和 D，其中 C 的列数等于 D 的行数，计算它们的乘积 CD。
分析乘法运算的结果，理解矩阵乘法的意义和性质。
（二）行列式的计算1、二阶和三阶行列式的计算手动计算二阶和三阶行列式的值，熟悉行列式的展开法则。
使用软件验证计算结果的正确性。
2、高阶行列式的计算选取一个四阶或更高阶的行列式，利用软件计算其值。
观察行列式的值与矩阵元素之间的关系。
（三）线性方程组的求解1、用高斯消元法求解线性方程组给定一个线性方程组，将其增广矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵。
求解方程组的解，并验证解的正确性。
2、用矩阵的逆求解线性方程组对于系数矩阵可逆的线性方程组，计算系数矩阵的逆矩阵。
通过逆矩阵求解方程组，并与高斯消元法的结果进行比较。
（四）向量组的线性相关性1、判断向量组的线性相关性给定一组向量，计算它们的线性组合是否为零向量。
根据计算结果判断向量组的线性相关性。
2、求向量组的极大线性无关组对于给定的向量组，通过初等行变换找出极大线性无关组。
（五）特征值和特征向量的计算1、计算矩阵的特征值和特征向量给定一个矩阵，计算其特征值和对应的特征向量。
验证特征值和特征向量的定义和性质。
2、利用特征值和特征向量进行矩阵对角化对于可对角化的矩阵，将其化为对角矩阵。
四、实验步骤（一）矩阵的运算1、首先在软件中输入矩阵 A 和 B 的元素值。
2、然后使用软件提供的矩阵加法和减法功能，计算 A ＋ B 和 A B 的结果。
有关矩阵数学实验报告
有关矩阵数学实验报告引言矩阵是数学中一个重要的概念，广泛应用于线性代数、图论、计算机科学等众多领域。
本实验旨在通过实际操作和计算，加深对矩阵的理解，并探索矩阵在现实问题中的应用。
本报告将从实验目的、实验步骤、实验结果和实验结论几个方面进行介绍。
实验目的1. 了解矩阵的基本概念和运算规则；2. 掌握矩阵的求逆、转置和乘法等操作；3. 实践利用矩阵解决实际问题。
实验步骤1. 实验准备：安装并学习使用相应的矩阵数学软件；2. 实验1：矩阵加法和乘法- 创建两个相同维度的矩阵A和B；- 计算A + B和A * B；- 分析结果并进行讨论。
3. 实验2：矩阵求逆和转置- 创建一个可逆矩阵C；- 计算C的逆矩阵C'和C的转置矩阵C^T；- 检验计算结果是否正确。
4. 实验3：矩阵在实际问题中的应用- 选择一个实际问题，并将其抽象成矩阵形式；- 利用矩阵运算解决问题；- 分析结果，并与传统解法进行对比。
实验结果1. 实验1结果分析：经过计算发现，矩阵的加法和乘法满足交换律和结合律，与数的加法和乘法类似。
但是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠B * A。
这进一步说明矩阵并不是普通数的简单扩展。
2. 实验2结果检验：针对可逆矩阵C，计算得到的逆矩阵C'和转置矩阵C^T经过验证均正确，满足逆矩阵和转置矩阵的定义和性质。
3. 实验3结果分析：我们选择了一个线性方程组问题，利用矩阵运算求解。
与传统解法相比，矩阵运算更简洁、高效，尤其对于高维度复杂问题具有很大优势。
实验结论通过本次实验，我们对矩阵的概念和运算规则有了更深入的理解。
矩阵不仅仅是一种数学工具，它在现实问题的建模和求解中发挥着重要作用。
矩阵的加法、乘法、逆矩阵和转置等运算规则的学习，为我们处理实际问题提供了更多的方法和思路。
在未来的学习和研究中，矩阵将会贯穿于我们的整个数学和科学计算的领域，为我们带来更大的便利和创造力。
矩阵的数学实验及其应用
铁路
Ｃ １ ３ Ｃ ２ ３
外界需求
Ｙ ｌ Ｙ ２
总产出
Ｘ ｌ ２
一２Ｏ ０ ．０ Ｏ
煤矿
煤矿 电厂 Ｃ１ １ Ｃ１ ２
＞ Ａ木 ＞ Ｂ
ａ ｓ＝１ ２ ｎ ９ ２ ４ ３ ５ ０
＞ Ａ＼ ＞ Ｂ
ａ ｓ＝ ． ０ ｎ 一３００ ０ —４ ０ ０ ．００ ４．０ ０ ０ ０ ５ ０ ００ ．０
＞ ＝５６７８ ＞Ｂ 【 ； ］
Ｂ＝ ５ ６
生产一元 钱 的电力 ．发 电厂要支 付 ０ ５ 的煤费 ．． 元 的 电费及 ． 元 ６ Ｏ５ ０ ０５ ． 元的运输费。创收一元钱 的运输费 ． ０ 铁路要支付 ０ ５ ． 元的煤费及 ５ ００ ． 元的电费。 １ 在一周 内． 煤矿接到外地金额为 ５ ０ ０ ０ ０ 元的定货 ， 发电 厂接到外地金额为 ２ ０ ０ ５０ 元的定货 ． 外界对地方铁路没有 需求 。问三 个企业在一周 内总产值多少才能满足 自身及接到的需求？ 解设Ｘ ｌ 分别为煤矿 ， 电力 ． 铁路本周 的总产 值 ， 根据题意得 到投入产出模型 ． 写成矩阵的形式 ：
＞ Ａ＝ １２３４ ＞ ｆ ； １
Ａ＝ １ ３ ２ ４
ＣＡｌ ２ ｌ ＝ １ １ ）Ｃ ＝ ０ ０ ， （１ Ｄ ・， 【 ０ ０ Ｊ
矩阵 Ｂ称为完全消耗矩 阵 ．它与矩阵 Ａ一起 在各个部 门之间的 投入产出 中起平衡 作用 。 矩阵 Ｃ可 以称 为投入产 出矩 阵 ． 的元 素表 它 示 煤矿 、 电厂 、 铁路之间的投入产出关 系。向量 Ｄ称为投入总量 ， 它的 元 素是矩阵 Ｃ的对应列元 素之 和． 分别表示煤矿 、 电厂 、 铁路得 到的总 由矩阵 Ｃ 向量 Ｙ Ｘ和 Ｄ， ， ， 可以得 ： 表 １ 投入产 出分 析表
数学实验 矩阵
A
2
3
4
,
B
2
2
2
3 4 5
3 3 3
求：
C A B, D A, E A3, F A. B
创建matrix06.m文件 A=[1 2 3;2 3 4;3 4 5]; B=[1 1 1;2 2 2;3 3 3]; C=A+B D=A' E=A^3 F=A.*B
运行结果： C=
B1 = 0 1 1 1
000 000 300 4 10 0
B2 = 1 1 1 1
110 234 3 6 10 4 10 20
4. 矩阵的扩展
矩阵的扩展有以下两种方法：
<1> 利用矩阵标识块的赋值命令 X(m1:m2，n1:n2)=A
生成大矩阵。其中，(m1:m2)必须等于A的 行维数，（n1:n2）必须等于A的列维数。 生成的（m2×n2）的矩阵X,除赋值子阵和 已存在的元素外，其余元素都默认为0。
一点。点M1到平面π的距离是：
d | nM0M1 | |n|
创建vector03.m文件 M0=[1 1 3]; M1=[8 3 -4]; n=[2 -2 1]; d=abs(dot(n,M1-M0))/norm(n) 运行结果：
d= 1
三、矩阵的生成
1、 一般矩阵的生成: （1） 输入矩阵时以“[ ]”为其标识，即矩阵 的元素应在“[ ]”内部； （2）同行元素之间可由空格或“，”分隔， 行与行间用“；”或回车符分隔； （3） 矩阵元素可为运算表达式；
3. 矩阵的抽取 (1)对角元素抽取函数diag
diag(X,k) 抽取矩阵X的第k条对角线的元素向量。K为0时即 为抽取主对角线，k为正值时为上方第k条对角线, k为负值时为下方第k条对角线。
矩阵基本运算的数学实验及思考
矩阵基本运算的数学实验及思考## 矩阵基本运算的数学实验及思考### 引言矩阵是线性代数中的重要工具，广泛应用于各个科学领域。
本文旨在通过数学实验深入探讨矩阵的基本运算，包括加法、减法、乘法等，以及通过实验得出的结论和对矩阵运算的思考。
### 实验一：矩阵加法首先，我们考察矩阵加法的性质。
通过设计实验，我们可以验证矩阵加法的交换律和结合律。
选择不同的矩阵进行加法运算，并观察结果，验证加法的基本性质。
### 实验二：矩阵减法类似于加法，矩阵减法也是线性代数中的基本运算之一。
在这个实验中，我们将研究矩阵减法的性质，包括减法的反交换性和减法与加法的关系。
通过多组实验数据，我们将深入理解矩阵减法的特性。
### 实验三：矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中的关键部分，对于线性变换和解方程组等问题具有重要意义。
通过实验，我们将验证矩阵乘法的结合律、分配律，并讨论乘法与加法的关联。
此外，我们还将研究单位矩阵的性质以及其在矩阵乘法中的作用。
### 实验四：矩阵转置与逆矩阵转置和逆矩阵是矩阵运算中的两个重要概念。
在这个实验中，我们将通过数学手段验证矩阵转置的性质，如转置的转置等，并研究逆矩阵存在的条件以及逆矩阵在方程求解中的应用。
### 实验五：矩阵的秩和行列式秩和行列式是矩阵理论中的重要概念，与矩阵的线性无关性和行列式的性质有密切关系。
通过实验，我们将研究秩的计算方法，行列式的展开与性质，以及它们在解决线性方程组和判断矩阵可逆性中的应用。
### 思考与结论通过以上一系列的实验，我们不仅加深了对矩阵基本运算的理解，还对矩阵在线性代数中的重要性有了更深刻的认识。
矩阵的性质和运算规律贯穿于多个学科领域，从物理学到计算机科学，都离不开对矩阵的运用。
在未来的学习中，我们可以进一步拓展矩阵的应用，探讨更高级的线性代数概念，以及矩阵在机器学习和数据科学中的广泛运用。
通过深入思考矩阵的数学本质，我们能够更好地应用这一工具，为解决实际问题提供更为丰富的思路和方法。
梯形矩阵实验报告
一、实验目的1. 理解梯形矩阵的概念和性质；2. 掌握梯形矩阵的求解方法；3. 分析梯形矩阵在工程中的应用。
二、实验原理梯形矩阵是一种特殊的矩阵，其特点是行数大于列数，且非零元素位于主对角线及其下方。
在数学和工程领域中，梯形矩阵具有广泛的应用。
本实验旨在通过求解梯形矩阵，加深对梯形矩阵概念和性质的理解。
三、实验内容1. 梯形矩阵的定义及性质；2. 梯形矩阵的求解方法；3. 梯形矩阵的应用实例。
四、实验步骤1. 定义梯形矩阵设A是一个n×m的矩阵，如果A满足以下条件：（1）A的行数n大于列数m；（2）A的非零元素位于主对角线及其下方；则称A为一个n×m的梯形矩阵。
2. 梯形矩阵的性质（1）梯形矩阵的秩等于其行数；（2）梯形矩阵的逆矩阵存在，且其逆矩阵也是一个梯形矩阵；（3）梯形矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。
3. 梯形矩阵的求解方法以一个n×m的梯形矩阵A为例，其求解方法如下：（1）求出A的秩r；（2）求出A的逆矩阵A^{-1}；（3）求出A的行列式|A|。
4. 梯形矩阵的应用实例（1）在电路分析中，梯形矩阵可以用来求解电路中的节点电压；（2）在结构分析中，梯形矩阵可以用来求解结构中的节点位移；（3）在信号处理中，梯形矩阵可以用来求解信号滤波问题。
五、实验结果与分析1. 实验结果以一个4×3的梯形矩阵A为例，其元素如下：A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]通过计算，得到A的秩r=3，逆矩阵A^{-1}如下：A^{-1} = [1/6 -1/3 1/2;-1/2 1/3 -1/6;1/3 -1/6 1/6]A的行列式|A|=54。
2. 实验分析通过本实验，我们验证了梯形矩阵的性质和求解方法。
在实际应用中，梯形矩阵在电路分析、结构分析、信号处理等领域具有广泛的应用。
了解梯形矩阵的概念、性质和求解方法，有助于我们更好地解决实际问题。
六、实验总结本实验通过对梯形矩阵的定义、性质、求解方法以及应用实例的研究，加深了我们对梯形矩阵的理解。
矩阵运算实验报告
矩阵运算实验报告实验目的：通过矩阵运算实验，探究矩阵的基本运算规则、性质及应用，并加深对矩阵运算的理解。
实验原理：矩阵是一个由元素按照行和列排列成的矩形阵列，可以进行加法、减法、乘法等基本的运算。
矩阵的加法与减法满足交换律、结合律和分配律；矩阵的乘法满足结合律、分配律和左乘右乘不一定相等的性质。
实验步骤：1. 实验前的准备：准备两个矩阵A和B，并确定其维度。
2. 进行矩阵加法运算：将矩阵A与矩阵B的对应元素相加，得到新的矩阵C。
3. 进行矩阵减法运算：将矩阵A与矩阵B的对应元素相减，得到新的矩阵D。
4. 进行矩阵乘法运算：将矩阵A的行元素与矩阵B的列元素对应相乘，并将结果相加，得到新的矩阵E。
5. 对矩阵进行转置：将矩阵A的行与列互换，得到新的矩阵F。
6. 求矩阵的逆：若矩阵A可逆，则找到矩阵A的逆矩阵G。
实验结果：1. 矩阵加法运算的结果：得到新的矩阵C，其维度与矩阵A和B相同，且C(i,j) = A(i,j) + B(i,j)。
2. 矩阵减法运算的结果：得到新的矩阵D，其维度与矩阵A和B相同，且D(i,j) = A(i,j) - B(i,j)。
3. 矩阵乘法运算的结果：得到新的矩阵E，其维度为A的行数乘以B的列数，且E(i,j) = Σ(A(i,k)*B(k,j))，k的取值范围为1到B的行数（或A的列数）。
4. 矩阵转置的结果：得到新的矩阵F，其维度与矩阵A相反，即F的行数等于A的列数，F的列数等于A的行数，且F(i,j) = A(j,i)。
5. 矩阵逆矩阵的结果：得到新的矩阵G，其与矩阵A的乘积为单位矩阵，即A*G = G*A = I，其中I为单位矩阵。
实验分析：1. 从矩阵加法与减法运算的结果可以看出，矩阵的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。
这说明矩阵加法和减法具有良好的运算性质。
2. 从矩阵乘法运算的结果可以看出，矩阵的乘法满足结合律和分配律，但左乘右乘不一定相等，即AB≠BA。
离散数学上机实验报告 离散数学实验报告：建立关系矩阵实验
离散数学上机实验报告离散数学实验报告：建
立关系矩阵实验
__大学离散数学实验报告建立关系矩阵实验姓名：____
专业：
软件工程班级：
3 学号：
1325116025 日期：
20__.10月7日 1、摘要：建立关系矩阵实验的目的是理解并掌握关系的矩阵表示方法、为用序偶集合表示的关系建立相应的关系矩阵。
学会用所学过的程序设计语言编程，解决关系矩阵的自动建立问题。
实验的内容是用二维数组或向量存储关系矩阵，根据输入的用序偶集合表示的关系，建立相应的关系矩阵。
用建立二维数组的方法构造关系矩阵。
分别输入两个用序偶集合表示的关系作为实验数据，然后建立两个数组之间的关系，得到一个关系矩阵。
关系矩阵一开始初始化为0，建立成功的关系体现为1。
最后得到一个完整的矩阵。
一．导言 2、 1) 问题的描述。
实验的目标是如何为用序偶集合表示的关系建立相应的关系矩阵，解决关系矩阵的自动建立问题。
2) 拟采用的方法用建立二维数组的方法来解决建立关系矩阵。
首先建立两个数组分别代表行和列，然后建立一个新的二维数组，将其初始化为零，集合之间的关系对应真值表，所以在这个二维数组中两个集合的关系就被表示为1，然后就相应地建立了两个集合的关系矩阵。
二．实验过程 1) 算法思想流程 1.申请两个字符型数组用来储存集合元素。
2.建立二维数组然后初始化为0.
3.判断关系是否存在，存在则赋值为1。
4输入数值然后输出关系矩阵。
2）程序流程图开始 P=0 switch P=0
P=’a’&&j=’a’&&j=’a’||j。
数学实验
数学实验作业汇总（1）产生一个5阶魔方矩阵M：M=magic(5)（2）将矩阵M的第3行4列元素赋值给变量t：t=M(3,4)（3）将由矩阵M第2，3，4行第2,5列构成的子矩阵赋给变N：N=M(2:4,2:3:5)（4）将由矩阵M的前3行赋给变量N：N=M(1:3,:)（5）将由矩阵M的后3列赋给变量N：N=M(:,end:-1:end-2)（6）提取M的主对角线元素，并以这些对角线元素构成对角矩阵N：N=diag(diag(M))或N=tril(triu(M)) (7)随机产生1000个100以内的整数赋值给变量t：t=round(rand(1,1000)*100)（8）随机产生100*5个100以内的实数赋值给变量M：M=rand(100,5)*100（1）删除矩阵M的第7个元素M(7)=[]（2）将含有12个元素的向量t转换成3*4的矩阵：reshape(t,3,4)（3）产生和M同样大小的单位矩阵：eye(size(M))（4）寻找向量t中非零元素的下标：find(t)（5）逆序显示向量t中的元素：t(end:-1:1)（6）显示向量t偶数位置上的元素：t(2:2:end)（7）利用find函数，将向量t中小于10的整数置为0：t(find(t<10&rem(t,1)==0))=0（8）不用find函数，将向量t中小于10的整数置为0：t(t<10&rem(t,1)==0)=0（9）将向量t中的0元素用机器0（realmin）来代替：t(find(t=0))=realmin（10）将矩阵M中小于10的整数置为0：M(find(M<10)&rem(M,1)==0)=02、写出完成下列操作的命令及结果。
（1）将1~50这50个整数按行优先存放到5*10的矩阵中，求该矩阵四周元素的和；>> t=[1:10];>> M=[t;t+10;t+20;t+30;t+40]M =1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 50>> N=M(2:4,2:9)N =12 13 14 15 16 17 18 1922 23 24 25 26 27 28 2932 33 34 35 36 37 38 39>> sum(sum(M))-sum(sum(n))ans =6632）n取100、1000、10000，求序列1、1/2、1/3……1/n的和。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
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实验1 矩阵问题一、实验目的
掌握MATLAB的基本使用方法、矩阵的输入及基本运算二、实验过程
1．设有分块矩阵
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⨯
⨯
⨯
⨯
2
2
3
2
2
3
3
3
S
O
R
E
A
，其中E，R，O，S分别为单位矩阵，随机矩
阵，零矩阵和对角矩阵，试通过数值计算验证
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡+
=
2
2
S
O
RS
R
E
A。
程序
>> E=eye(3);
>> R=rand(3,2);
>> O=zeros(2,3);
>> a=[2 6];S=diag(a);
>> A=[E R;O S]
>> B=A^2
>> C=[E R+R*S;O S^2]
运行结果
A =
1.0000 0 0 0.6946 0.9568
0 1.0000 0 0.6213 0.5226
0 0 1.0000 0.7948 0.8801
0 0 0 2.0000 0
0 0 0 0 6.0000
B =
1.0000 0 0
2.0837 6.6979
0 1.0000 0 1.8639 3.6581
0 0 1.0000 2.3845 6.1610
0 0 0 4.0000 0
0 0 0 0 36.0000
C =
1.0000 0 0
2.0837 6.6979
0 1.0000 0 1.8639 3.6581
0 0 1.0000 2.3845 6.1610
0 0 0 4.0000 0
0 0 0 0 36.0000
2．产生均匀分布在[0，20]之间的随机整数构成的5×5矩阵，计算其每一
行元素的和，每一列元素的和及对角线元素的和。
程序
>> A=fix(20*rand(5))
>> a=sum(A)
>> b=sum(A')
>> c=trace(A);d=sum(c)
运行结果
A =
19 15 12 8 1
4 9 1
5 18 7
12 0 18 18 16
9 16 14 8 0
17 8 3 17 2
a =
61 48 62 69 26
b =
55 53 64 47 47
d =
56
3．产生均匀分布在[-10，10]之间的20个随机整数，并统计其中取值在区间[-5，5]的整数的个数。
程序
>> A=fix(20*rand(1,20))-10
>> a=length(find(A>=-5&A<=5))
运行结果
A =
Columns 1 through 14
-6 -7 2 -5 -7 -10 4 -2 8 -1 -2 6 0 -6
Columns 15 through 20
3 6 -10 3 -3 6
a =
10
4．某公司有九种产品，其成本、售价及销量见下表
程序
>> A=[7.15 8.25 3.2 10.3 6.68 12.03 16.85 17.51 9.3];
>> B=[11.1 15 6 16.25 9.9 18.25 20.8 24.15 15.5];
>> C=[568 1205 753 580 395 2104 1538 810 694];
>> a=B.*C
>> s=(B-A).*C
>> h=dsort(a)
>> j=dsort(s)
结果
a =
1.0e+004 *
Columns 1 through 8
0.6305 1.8075 0.4518 0.9425 0.3911 3.8398 3.1990 1.9562 Column 9
1.0757
s =
1.0e+004 *
Columns 1 through 8
0.2244 0.8134 0.2108 0.3451 0.1272 1.3087 0.6075 0.5378 Column 9
0.4303
h =
1.0e+004 *
3.8398
3.1990
1.9562
1.8075
1.0757
0.9425
0.6305
0.4518
0.3911
j =
1.0e+004 *
1.3087
0.8134
0.6075
0.5378
0.4303
0.3451
0.2244
0.2108
0.1272
5．已知一多项式的根为{2，-3，1+2i，1-2i，0，-6}，求此多项式，并计算多项式在x=0.8，-1.2处的值。
程序
>> r=[2,-3,1+2i,1-2i,0,-6];
>> f=poly(r)
>> g=poly2str(f,'s')
>> x=[0.8,-1.2]
>> y=polyval(f,x)
运行结果：
f =
1 5 -9 -1 7
2 -180 0
g =
s^6 + 5 s^5 - 9 s^4 - 1 s^3 + 72 s^2 - 180 s
x =
0.8000 -1.2000
y =
-100.2179 293.2900。