二人有限零和对策

j
i
aij
只有ai* j*
min j
max i
aij
max i
min j
aij
即(i* , j* )是鞍点
证毕
例1
-2 2 -2 7 2
4
3
8
5
3
8 -6 2 -1 6
838 7
例2
0 2 2 2
5
4
3
3
2 3 4 4
54 2
VG 3
(i* , j* ) (2 , 2 )
性质5：G1 (S1, S2 , A1), G2 (S1, S2 , A2 ), A1 (aij ), A2 (kaij ) 则：G1，G2同解，并且VG2 kVG1
三、基本定理与LP解法
定理2：
G在混合策略下有解
( X *,Y *) E( X *,Y *) max min E( X ,Y ) min max E( X ,Y )
分析*式：
E(X ,Y*) E(X *,Y*) E(X *,Y) E( X *,Y *) X *T AY *
a11
(x1* L
L
xm*
)
M
O
a1n M
y1*
M
am1 L amn yn*
分析左式：
E( X ,Y *) X T AY * (x1 L
L
xm
)
A1 M
二、性质
AiY V
性质1：
V
VG*
V
X
T
Aj
V
m
n
i1
xi
j 1
yj
1
性质2：松紧定理
X *T (V AY *) 0 (V X *T A)Y * 0
其中
V V M
V
例4：猜手游戏
0 1 1
A
1
0
1
1 1 0
该对策问题无纯策略最优， 在混合策略下求解：
解：
由性质1
得1分，平得0分，输得 -1分， 剪子 -1 0 1 则 A的赢得可用右表来表示。 布 1 -1 0
2 . 对策论的产生
1944年，纽曼与曼彻斯特发表了题为《对策论和经 济行为》。二次大战前后，由于军事需要，抽象成数学 模型。
50年代是对策论发展的鼎盛时期，纳什和夏普利等 提出了讨价还价模型和合作对策的“核”的概念。同时 ，非合作对策也开始创立。纳什于1950和1951年发表了 两篇关于非合作对策的文章，图克于1950年定义了“囚 徒困境”问题。
2阶的简单情形，记A＝
a c
b d
则
X * （ d - c , a - b ）Y *=（ d - b , a - c ）,
a-b-cd a-b-cd
a-b-cd a-b-cd
V *＝ ad - bc a-b-cd
例6：
3 1 2
设:A＝ 2
1
2
,
求解G
*
(S*, D*, A)。
1 3 1
60年代，泽尔腾（1965）引入动态分析，提出“精 练纳什均衡”概念。海萨尼（1967-1968）则把不完全信 息引入对策论的研究。
二 、对策问题的组成
1.局中人（参加者）：一局对策的参加者。
2.策略：局中人在一局对策中对付对手的一个完整的方案。 策略集：局中人在一局对策中所有策略的全体。记为S （分为有限和无限）问:田忌和齐王的S=?
G的解，i*与
分别是
j*
,的最优纯策略，ai*
j*
称为G的值，记为VG 。
2.
鞍点：若局势（
i*，
）对应的
j*
ai*
j*＝mai x
min j
aij＝ mjin
max i
aij
则称（
i*，
）为鞍点。
j*
分析上例中的a23，它就满足ai3 a23 a2 j
定理1： G在纯策略中有解(i* , j* )(i* , j* )是鞍点
4. 对于一个混合局势(X, Y), 用E(X, Y) XTAY 表示局中人的收益期望值。
5. 用Ｇ* (S1*,S*2 ,E)表示Ｇ (S1,S2 ,A)的混合扩充。
6.混合扩充的解与值
Ｇ*的值VG* E( X *,Y *)满足 : E(X ,Y*) E(X *,Y*) E(X *,Y) *式 Ｇ*的解( X *,Y *)也称G在混合策略意义下的解.
第十一章 二人有限零和对策
二人有限零和对策是对策论(Game Theory)最基本的内容。
Game Theory也可译为博弈论，是研 究决策主体的行为发生直接相互作用时的 决策以及这种决策的均衡问题的学科。
1994年诺贝尔经济学奖授给了三位博 弈论专家：纳什、泽尔腾、海萨尼。博弈 论已经成为当代经济学的基石。
进一步：
x1* A1Y *
M 中必有每个AiY* VG*
xm* AmY *
因为若有某个Ai0Ｙ* VG*，则出i0 ,即取X＝（0L 1L 0）,
此时Vi0 VG* 矛盾。
i0
而且若有某 i0，使Ai０Ｙ* <VG*，则必有X i0＝0。否则， 可能得到比VG* 更小的损失，矛盾。
对右半式也可作类似的分析，可得 VG* X *T Aj
3. 局势：在一局对策中，每个局中人都选定一策略后的各 策略总和。
如在二人对策中,设 S1 1,L ,m, S2 1,L , n,
则局势为（i, j）, i 1,L , m, j 1,L , n
4. 支付：局势给定后，局中人的得失（是局势的函数）。 分为非 零零 和和 ：： 各各 局局 中中 人人 的的 得得 失失 之之 和和 为0非0
AY XT
A
V V
可假设X，Y的所有分量均 为非零，则左式等号成立
y2 y3 V
- x2 x3 V
y1 y3 V
y1
y2
V
且
x1
x3
V
x1 x2 V
yi 1
xi 1
解得 X * Y * (1 1 1)， V 0 333
定义：
若A中第i, k行有aij akj , j 1L n 称i优超于k 。 记i f k 若A中第j,l列有aij ail ,i 1L m 称 j优超于l 。 记 j f l
min
j
max i
aij
2
max i
min j
aij
2
鞍点不存在,
即在纯策略意义下无解
例3
6 5 1 4
8 5 0 2
6 5 5
2
-1
-1
7 5 5
6 2 0
85 7 5
VG 5
(i* , j* ) (1, 2 ), (1, 4 ), (3, 2), (3, 4)
鞍点不唯一,但值唯一。
例3直观地证明了最优解的两个性质:
第二节 矩阵对策的最优纯策略
一、矩阵对策
设二人有限零和对策问题的局中人为，
策略集为S1 {1，2，L L ,m},S2 {1，2，L L ,n}
L 1
n
1 a11 K a1n
M 则支付可以用矩阵A＝
M
O
M 表示，mam1 NhomakorabeaL
amn
其中aij为的得（也是的失），的得即为-aij。
故又称二人有限零和对策为矩阵对策,记为G （S1,S2 ,A）
证明 :
记
min j
ai*
j
min j
max i
aij
max i
min j
aij
max i
aij*
min j
ai*
j
ai*
j*
,
max i
aij*
ai* j*
故 aij* a , a i* j* i* j* ai* j i 1,L , m j 1,L , n
aij* ai* j* ai* j
先应用优超原理化简A
3
2
1
1 1 3
2 2
2
1
f
1
2
1
1 2 3 f 1 1
3 1
3
2 aij 1 1
0
4
3
0
A'
现先求解G' (S1' , S2' , A' )
即(i* , j* )是G的解
Q aij*
ai* j*
ai*
i
j
1,L
,m
j 1,L , n
max i
aij*
ai* j*
min j
ai*
j
min j
max i
aij
max i
aij*
ai* j*
min j
ai*
j
max i
min j
aij
但对于任意A,有 max min
i
j
aij
min max
第一节 基本概念
一、对策现象与对策论
1. 对策现象
①下棋:围棋源于我国殷代。
②齐王赛马：齐王与大将田忌赛马，各自的马都分为三
等，但齐王的同等马均强于田忌。孙膑给田忌出主意，
用下----上，上----中，中----下，
结果田忌胜出。
赢 A
B
石头
剪子
布
③猜手:小孩A与B猜手,若规定赢 石头 0 1 -1
1 无差别性. (i1 , j1 ), (i2 , j2 )是G的两个解,
则a a i1 j1
i2 j2
2 可交换性. (i1 , j1 ), (i2 , j2 )是G的两个解,
则(i1 , j2 ), (i2 , j1 )也是G的解。