第二章习题讲课稿

2.30.考虑一阶差分方程：y[n]+2y[n-1]=x[n]，并设系统松弛。求该系统的单位脉冲响应。
解：由系统初始松驰可得：设系统的输入 xn n，当n<0时，xn 0，所以
将y[n]+2y[n-1]=x[n]进行移位变换可得， 可以推导出：
2
1
n
2
1 4
n
u
n
2.28.下面均为离散时间LTI系统的单位脉冲响应，试判断每一系统是否是因果和/或稳定的
并陈述理由。
a
e
b
f
c
g
d
解：（a）n<0时， （b）n<0时，
所以是因果系统；因 为 所以不是因果系统；因 为
所以是稳定系统。 所以是稳定系统。
（c）n<0时 ， 统。
（d）n<0时，
综合以上两个条件，只有N=4时才同时满足。所以， N=4。
2.6计算并画出卷积
这里
和
解：
用p+1代替k
当n ≥ 0时，
当n ＜0时，
1
n
y n
1
p+1
pn 3
p n
1 p 3
1 3
1 3
pn
1 3
p
1 3
3 1 1
3n 2
所以，
3
2.7.一个线性系统S有如下输入输出关系
y
n-1
2
y
n-2
x
n
比较已经给出的y[n]和x[n]的关系式
对比两式系数得：
（b）给出S1和S2的级联后的单位脉冲响应。 解：（b）将系统S1和系统S2的表达式转换形式得：
由课本上例子2.15可以得出，系统S1和系统S2的单位脉冲响应：
所以可以得到系统总的单位脉冲响应：
n k0
1 2
2nk
从此式子中可以看出，
因为n＞N时，h[n]=0； 当0≤n-பைடு நூலகம்≤N时， h[n-k]≠0；当n＞N+k或n＜k时，h[n-k]=0。由于上式子中k从0取到9， 所以当n＞N+9时， 这时不管k从0取到9， h[n-k]=0 ，y[n]一定为0。 也就是说k从0取到9， 所有的h[n-k]相加，n-k的范围都在大于N的范围之外， h[n-k]=0， y[n]就一定为0。 又由于y[14]=0，由n＞N+9时，即 14＞N+9时，y[n]一定为0，可以得到，N≤4。又由于 y[4]=5，可以推出在k从0取到9时，肯定有五个非零点，即0≤ 4-k ≤N，即k=0，1，2， 3，4，正好取五个值。此时得到N≥4。
式中
（a）当
时，求
（b）当
时，求
（c）S是LTI吗 ？
（d）当
时，求 。
解：（a）因为
所以，
(b)因为
所以，
（c）S不是LTI的。原因是任意设一个输入 x[n] [n 1]
先经过时移，再经过系统所得到的结果跟先经过系统，再时移所得到的结果不一
样。从（a）结果和（b）结果就可以分析出。
（d）因为
所以可以得到
所以不是因果系统；因为 所以不是因果系统；因为
所以 是不稳定系 所以是稳定系统。
（e）n<0时，
所以是因果系统；因为等式右端第二项当n趋于无穷时，h[n]
为无穷，所以系统是不稳定。
（ f）n<0时，
所以不是因果系统；因为
所以是稳定系统。
（ g）n<0时，
所以是因果系统；因为
所以是稳定系统。
2.29下面均为连续时间LTI系统的单位冲激响应，试判定每一系统是否是因果和/或稳定
所以，系统是稳定系统。
（e） t<0时，
所以系统不是因果系统；
因为 h t dt
0 e6tdt
e6tdt
0
1 6
1 6
1 3
所以，系统是稳定系统。
（f） t<0时， 因为
所以系统是因果系统； 所以，系统是稳定系统。
（g）t<0时， 因为
所以系统是因果系统； 所以，系统是不稳定系统。
2.1设
和
计算并画出下列各卷积： （a） （b） （c）
解：（a）由卷积定义我们可以知道 从这两幅图像，我们可以把上式化简
所以可以得到
=2x[n+1]+2x[n-1]
（b）由定义我们可以知道
和 相比可以得出：
（c）由定义我们可以知道
所以可以得出：
和 y1n 其进行比较
y1 n的图形为：
y2 n的图形为：
S1：因果LTI，wn 1 wn-1 xn
2
S2：因果LTI， 和 的关系由下面差分方程给出：
（a）求出 和 。 （b）给出S1和S2的级联后的单位脉冲响应。
解： a 由系统S2可得，
用第一个式子和第二个式子乘以1/2做差可得：
另外由系统S1：w[n]和x[n]的关系式，
进一步可以得出：yn
1 2
我们做出k=0，1，2的图，就可清楚得出结果。
化简前式可得
2.8求出并概略画出下列两个信号的卷积。
解：运用卷积公式可得： 因为
可以得到
所以，上式可化简为
所求
卷积如图所示：
2.17.考虑一LTI系统，其输入和输出由下边微分方程描述：
（a）若
，求 。
（b）注意到P2.17 1式对Rex(t)与Rey(t)的关系也满足 , 若
2.3.已知输入信号x[n]和单位脉冲响应为
求出并画出输出： 解：设
可以得到
在书中例2.3中输入x n和单位脉冲响应h n为
xn nun
h n u n，对于全部的n有
yn
1 n+1 1
u
n
令k-2=m可以得到
2.5.设
和
式中N≤9是一个整数。已知
和
求N值的大小。
解：由已知可得 根据题意，对上式进行化简得
的。并陈述理由。
a
e
b
f
c
g
d
解：（a） 因为 t<0时，
所以系统是因果系统；
因为
所以系统是稳定的。
（b）因为 t<0时，
，所以系统不是因果系统；
因为 h t dt 所以系统是不稳定的。
（c）t<0时，
所以系统不是因果系统；因为
所以，系统是稳定系统。
（d） t<0时， 因为
所以不是因果系统；
，
求。
解：（a）y(t)是由方程的一个特解和齐次解的和构成的。
设
,t>0
把x(t)和所设特解代入微分方程，
解之，
所以可以得到
设齐次解为: 代入方程: 则，
可以得到: 由y(0)=0可以得到，
所以，
由于系统满足初始松驰条件，且满足t<0,y(t)=0
（b） 由于
当输入是第一问输入的实部，由于此系统为LTI，所以LTI系统的输出将是第一问 输出结果的实部。由第一问输出结果为：
所以此时系统输出y(t)为：
yt
1 6
e t
cos 3t
et
sin 3t-e4t
ut
2.18 考虑一因果LTI系统，其输入和输出由下面差分方程给出：
若
，求
。
解：因为系统已经给出是因果系统，由于输入为
，
当n<1时，x[n]=0,所以
以此类推，可以得出
综合以上推理，可以得出yn的关系式为：
2.19.如图所示两个系统S1和S2的级联：