3因式分解---完全平方公式
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.2因式分解-公式法--完全平方式》课件
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我们前面学习了利用平方差公式来分
解因式即：a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：学科网
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2 Z.x.x. K
4
4
4、下列各式中，不能用完全平方公
式分解的是（ D ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5、把 1 x2 3xy 9 y2 分解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3
y
2
6Hale Waihona Puke 把4 9x2y2
4 3
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（ Zx.xk
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
让我们大家一起来想!
1、如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( D )
(A )-3 (B)3 (C)-9 (D)9
因式分解--公式法(2)完全平方公式
注意结 构特征
( 4x 3)2
(a + b )2
a2 ± 2 . a . b + b2 =（ a ± b)²
例5 分解因式： 首 2 2 首 尾 尾 2 (首 尾 )2
(2)x24x y4y2. 分析：原式= (x24xy4y2 )
注意符号
[x 2 2 x (2 y ) (2 y )2 ]
黄金中学 程珊
问题：通过这个图形我们可以联想到哪个乘法公式？
(ab)2 a22ab b2
整式乘法
(a b)2 a22ab b2 (ab)2 a22ab b2
因式分解
这两个公式叫做(因式分解的)完全平方公式.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的2倍,等于这两数的和（或差）的平方．
利用公式法因式分解的一般步骤：
1.一提：先观察要分解的多项式有无公因 式， 首先考虑：提公因式 2.二套：即套公式。提完公因式后或没有 公因式，就看项数.
若两项，考虑能否用 平方差公式 若三项，考虑能否用 完全平方公式 ３.三查：检查。分解因式，必须进行到 每一个多项式因式都不能 再分解为止.
注意：公式中的字母既可以表示单项式，也可以表示
多项式 .
为更好方便交通管理，准备将原正方形区域位置扩大成 更大区域，位置扩大后仍为正方形，面积达到 (a2b)2，请 你画出扩大后图形并用因式分解的方法验证其面积大小．
解：验扩证大方后法的1区：域如图所示：
(ab)22(ab)bb2
a 2 2 a b b 2 2 a 2 b 2 b 2 a24a b4b2 a+b
因式分解 的方法
数学思 想方法
整体思想 逆向思维
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式是数学中常用的公式，在因式分解中起到了重要作用。
以下是这两个公式的介绍和因式分解方法：
1. 平方差公式：
平方差公式用于因式分解具有平方项的差的平方。
其公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
利用此公式，我们可以将一个差的平方写成两个因数的乘积。
2. 完全平方公式：
完全平方公式用于因式分解一个二次多项式。
其公式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式写成一个完全平方的形式。
因式分解示范：
1. 平方差公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 - 9。
根据平方差公式，我们有：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)。
2. 完全平方公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 + 6x + 9。
根据完全平方公式，我们有：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
通过使用平方差公式和完全平方公式，我们可以将一个多项式因式分解为乘积的形式。
这两个公式在代数中的应用非常广泛，帮助我们简化表达式，解决方程和证明数学性质等问题。
需要注意的是，因式分解可能会涉及到更复杂的多项式和多步操作。
理解和熟练运用这些公式，可以在数学问题求解中提高效率和准确性。
因式分解(完全平方公式)
完全平方公式的形式
1 一般形式
对于平方三项式\(ax^2 + bx + c\)，完全平方公式的形式为\((mx + n)^2\)。
2 m和n的计算
通过比较系数，我们可以确定m和n的值。具体计算步骤在下个部分介绍。
完全平方公式的用途
1 求解方程
通过因式分解和完全平方公式，我们可以解决一些复杂的二次方程。
因式分解(完全平方公式)
因式分解是将一个多项式拆分成两个或多个全新的多项式的过程。完全平方 公式是因式分解中的一种重要工具，用于拆分平方三项式。
因式分解概述
因式分解是一种数学方法，用于将多项式拆分成简化形式。它有助于解决复杂的数学问题，并提 供更深入的理解。
完全平方公式 (简介)
完全平方公式是因式分解中的一种特殊形式。它适用于拆分平方三项式，并 帮助我们轻松地进行因式分解。
金融问题
在金融领域，完全平方公式可以帮助我们计算和分析复杂的财务模型。
结论和要点
完全平方公式是因式分解中一种重要的工具，它适用于拆分平方三项式。它 可以用于解决方程，简化表达式，并应用于几何学、物理学和金融学等领域。
2 简化表达式
将多项式使用完全平方公式进行因式分解可以简化表达式，使其更易处理和计算。
完全平方公式示例
示例一
将\(x^2 + 6x + 9\)使用完全平方公式进行因式 分解。
示例二
将\(4x^2 - 4x + 1\)使用完全平方公式进行因式 分解。
完全平方公式计算步骤
1
Step 1
将多项式按照平方三项式的形式排列。
2
Step 2
确定m和n的值，使得(mx + n)^2等于原始多项式。
14.3 因式分解--完全平方公式
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来 分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
因式分解--完全平方公式
两数和的平方公式： 两数和的平方公式：
字母表示： 字母表示：
2=a2+2ab+b2 (a+b)
语言叙述： 语言叙述： 两数和的平方， 两数和的平方，等于这两个 数的平方和加上这两数积的2倍 数的平方和加上这两数积的 倍。
平方差公式： 平方差公式：
字母表示： 字母表示：
2-b2 (a+b)(a-b)=a
3、下列各式中，能用完全平方公式 下列各式中， 分解的是（ 分解的是（ D ） +2xyA、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
4 4
4、下列各式中，不能用完全平方公 下列各式中， 式分解的是（ 式分解的是（ D ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4
5 、把
1 2 2 x + 3 xy + 9 y 分解因式得 4 B （ ）
2
1 A、 4 x + 3 y
1 B、 x + 3 y 2
2
6 、把
4 2 4 2 分解因式得 x + y − xy （ ） 9 3 A
2
A、 2 x − y
3
运用完全平方公式
证明公式
（a+b)2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a(a-b)-b(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
=(a+b)(a+b) =a(a+b)+b(a+b) =a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
因式分解(完全平方公式)课件
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
因式分解(完全平方公式)课件
$x^2+4x+4=(x+2)^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=2$，$c=2$。将$a$和$b$的平方和 加上$2ab$得到$(x+2)^2$。
实例二
公式
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=x$，$b=y$，$c=y$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$。
完成因式分解
如果多项式可以被完全分解为 几个整式的积，则因式分解完
成。
03
完全平方公式的概念和形 式
完全平方公式的定义
完全平方公式是指一个多项式等于一 个平方数与另一个平方数的乘积。
完全平方公式通常表示为 a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2，其 中a和b是实数。
完全平方公式的形式
完全平方公式可以表示为(a+b)^2或(a-b)^2，其中a和b是任意实数。 展开后得到a^2+2ab+b^2或a^2-2ab+b^2。
实例三
公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
解析
这是一个完全平方公式，其中$a=a$，$b=b$，$c=b$。将$a$和$b$的平方和加上$2ab$得到 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
05
因式分解(完全平方公式) 的练习题
练习题一：将下列多项式因式分解
题目1
$x^2 - 4x + 4$
应用在数学问题中
因式分解是解决某些数学 问题的重要方法，如解方 程、求值等。
完全平方公式推导公式
完全平方公式推导公式
完全平方公式是一种用于因式分解的数学公式，用于将一个二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
假设我们有一个二次多项式 ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
完全平方公式的表达式为：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。
其中 m 和 n 是实数。
要推导完全平方公式，我们可以按照以下步骤进行：
1. 将二次项系数 a 除以 2，并记为 m，即 m = b/2a。
2. 将 m 带入完全平方公式的形式中得到 (mx + n)^2。
3. 展开 (mx + n)^2，得到 mx^2 + 2mnx + n^2。
4. 将 mx^2 + 2mnx + n^2 与原始的二次多项式 ax^2 + bx +
c 进行比较，得到以下等式：
ax^2 + bx + c = mx^2 + 2mnx + n^2。
通过比较系数，我们可以得到以下结果：
a = m.
b = 2mn.
c = n^2。
5. 根据以上结果解出 n，得到n = √c。
6. 将 n 带入 b = 2mn 中，解出 m，得到m = b/2√c。
因此，我们得到了完全平方公式的推导过程，即：
ax^2 + bx + c = (mx + n)^2。
其中 m = b/2a，n = √c。
这就是完全平方公式的推导过程，它可以帮助我们将二次多项式因式分解为两个一次多项式的乘积。
因式分解(完全平方公式)
因式分解——完全平方式翠英中学蔡妙璇教学目标：1．知识与技能：领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法：经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观：培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．教学重、难点与关键：1．教学重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．教学难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．教学关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法：采用自主探究教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程：一、回顾交流，巩固知识．（设计意图：承前启后，为本节内容的引入作铺垫，让学生进一步了解因式分解和乘法公式的关系．）1、什么是分解因式（把一个多项式化成几个整式的乘积的形式的式子变形）2、你能回答已学过的因式分解法吗（提公因式法和平方差公式法）3、计算下列各式：2a+=)(b2)a-=(b2x+=(y4)2x-=2(y3)二、创设情境，引入新课．（设计意图：通过具体问题的解决，让学生在观察、思考和操作的过程中认识因式分解的本质属性——将完全平方式化为乘积的式子变形．）问题：灰太狼总没抓到羊，为了表示惩罚，红太狼要求它站在门外口算出992 +198+ 1的值才可进家门，可怜的灰太狼在门口冻了半天，你能帮助它吗此处运用了什么公式 2222)(b ab a b a +±=±这个公式反过来222)(2b a b ab a ±=+±就像平方差公式一样，逆用完全平方公式可以把一些多项式因式分解，从而应用它可以进行一些简便计算等．三、分析讨论，探究新知．（设计意图：通过教学，引导学生掌握找完全平方式的方法，提出“口诀”．） 我们可以利用完全平方公式来分解因式，这种方法称为“完全平方公式法”．1．公式 222)(2b a b ab a ±=+±2．文字 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．形如222b ab a ++和222b ab a +-的式子叫做完全平方式．3.特点：（教师引导学生说出它的特点）（1）必须是三项式（或可以看成三项式的）（2）有两个是同号的平方项（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.4.师生辨认：下列多项式是不是完全平方式（1）962++x x ；（2）2244y x x ++；（3）229124y xy x +-随堂练习1：找出完全平方式（1）222y xy x +-；（2）ab b a 222++；（3）2244y xy x ++；（4）226b ab a +-；（5） ；（6）222y x xy --. 四、范例点击，应用所学（设计意图：通过具有一定典型性、代表性和层次性的例题与练习，提高学生对因式分解的完全平方公式法的认识，积累经验．）例1 分解因式：92416)1(2++xy x ；2244)2(y xy x -+-．思路：（1）直接用公式；（2）添括号后直接用公式.强调：因式分解过程就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.随堂练习2:分解因式：12)1(2++a a ；3612)2(2++x x ；144)3(2+-x x ；222)4(y x xy ---．例2 分解因式：22363)1(ay axy ax ++ ；36)(12))(2(2++-+b a b a（1）步骤：一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）；（2）教学思想方法：整体代入思想.随堂练习3:分解因式：242)1(2++x x ；3222)2(a x a ax ++；412++x x22363)3(y xy x -+-；9)(6))(4(2++++y x y x五、课堂延伸，拓展提高（设计意图：进一步让学生巩固运用完全平方公式进行因式分解，感受因式分解给计算带来的便捷，体会此方法的教学价值．）随堂练习4：选择题（1）如果224y kxy x ++可以分解为2)2(y x -，则k 的值是（ ）A 、4B 、－4C 、2D 、－2（2）如果92++mx x 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A 、6B 、6±C 、3D 、3±（3）多项式25)(10)(2++-+b a b a 分解因式的结果是（ ）A 、2)10(++b aB 、2)25(-+b aC 、2)5(++b aD 、2)5(-+b a随堂练习5：现在你能快速口答出119989992++的值吗六、课堂总结，发展潜能．（设计意图：通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容．）1、到目前为止我们学习了几种因式分解的方法（1）提公因式法；（2）公式法（平方差公式、完全平方公式）.2、什么是完全平方式（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；（2）有两个同号的平方项；（3）另一项是这两项的乘积的2倍或-2倍.简记口诀：“首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍在中间.3、因式分解基本步骤一提（提公因式）；二套（用公式）；三查（是否彻底）.七、布置作业，专题突破．（设计意图：考查学生运用完全平方公式进行因式分解的应用情况.）暗线本作业：课本P119习题14．3复习巩固第3题．《南方新课堂》P77-78八、教学反思，不断提高．（略）。
3.3因式分解---完全平方公式
2 2 a b a 2ab b
回忆完全平方公式
2
2
2 2
现在我们把这个公式反过来
a 2 ab b a b
2 2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2
2
思考:用完全平方公式分解因式：
a2 + 2 · a · b + b2 = （a + b）2
1、多项式是三项式；
2、有两项符号相同，且能写成 两数或两式平方和的形式； 3、另一项是这两数或两式积的 2倍。
怎么运用完全平方公式来因式分解的？
1、先找出多项式中能够写成平方形式的两项，并写成两数或 两式的平方和的形式；然后检验另一项是否可以写成两数 或两式积的2倍的形式。 2、找出公式中的a,b在具体问题中分别代表什么数或式子； 3、将公式右边( a + b)2或(a - b) 2中的a,b用具体问题中对 应的数或式子代进去，从而将多项式因式分解。
2 2
则m的值是
2
12
2 2
分析; 4 x 2 x .9 y 3 y ,
2 2
由于多项式4x +mxy+9y 是完全平方式
则mxy必须是2x与3y的积的2倍或是积的2倍的相反数。即
2
mxy=2 2 x 3 y或mxy=-2 2x 3 y
所以m 12或m 12
课堂小结
1、通过这堂课的学习，你有什么收获？ 2、因式分解的步骤: 提公因式 ⑴ 若多项式中含有公因式,第一步______________; ⑵ 再进一步运用 ______________. 公式法
作业本 教材第67页“习题3.3”A组第2题 全效学习（选做） 第54页例2，例3, 第55页第13题。
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。
主要是利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
1.3因式分解-完全平方公式 课件(八年级湘教版下册)
2
2
(2) (a b) 2m(a b) m (b a)
你当小法官 下列因式分解的过程哪些是正确的，哪 些是错误的？请分别说明理由。
(1)
x 5x 4 ( x 2)
2
2
(2) a 2ab b (a b)
2 2
2
(3) x 2x y xy x( x 2xy y )
2
2
趁热打铁
判断下列各式能否用完全平方公式进行 因式分解:
(5) 4 x 4 xy y
2
2
(6) 6x 12xy 4 y
2
2
2
2
(7) 4x 12xy 9 y
2
(8) ( x y) 2( x y) 1
例题讲解
例1：分解因式：
x 12x 36
解：原式＝x2＋2· x· 6＋ 6 2 ＝（x＋6）2
2
2
(1)
(a b) a 2ab b
2 2
2
(2)
在昨天的课上,我们将(1)反过来,可以 应用它来进行因式分解.
那么对于(2)是否也可以呢?
a 2ab b (a b)
2 2
2
这是不是因式分解?
小组讨论:请同学们仔细观察这个公式 的左边具有什么特点 ? 运用完全平方公因式分解的条件：
2 2
2 2 2 2
2
2
(4) ( x y ) 4x y
4 x ( x 1)
2 2 2
(1) (2a b) 2(2a b) 1
2
(2) (a b) 10(a b) 25
2
因式分解——完全平方公式
因式分解——完全平方公式
完全平方公式（Quadratic Formula），是一类中学数学问题，它用来求解格式为ax2+bx+c=0，a≠0 的二次方程的根（即x）的一种方法。
它的公式是：
x1 = [-b+√(b2-4ac)]/2a；
x2 = [-b-√(b2-4ac)]/2a。
二、完全平方分解
完全平方分解是一种方法对一个数进行因式分解，以求得它最原始的因式。
它让我们将一个数分解到最简单的形式，比如n²或者n²+2n+1、常见的完全平方分解公式如下：
a² +2ab +b² = (a+b)²；
a² -2ab +b² = (a-b)²；
a² +2ma + m²= (a+m)²。
它可以用于分解多项式，因为它可以有效地将多个项分解成一个项并求得它们的乘积；如果需要相减，完全平方分解也可以将一个含有两个负号的多项式分解成两部分，使其易于求和。
完全平方分解的步骤如下：
步骤一：将原式拆分成平方项的和；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数；
步骤三：选出两个数的积，使其和等于已被拆分的平方项；
步骤四：将拆分的平方项的和写成完全平方式；
步骤五：最后，将原式分解为完全平方式形式。
示例：
令x²-4x+4=0。
步骤一：将原式拆分成平方项的和，即x²=4x-4；
步骤二：比较、选择两个数，使其和等于未被拆分的系数;x可以选择2，4；。
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师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
解：原式＝42－2·4·xy＋(xy)2＝(4－xy)2。
【例3】把2mn－m2－n2分解因式。
分析：多项式2mn－m2－n2虽然有三项，但不符合完全平方式，如果要在它前面添上负号各项改变负号后就能运用完全平方公式。
解：原式＝－(m2－2mn＋n2)＝－(m－n)2。
【例4】把多项式ax3y2＋2ax2y＋ax分解因式。
分析：此多项式可先提取公因式ax，另一个因式为x2y2＋2xy＋1，又可用完全平方公式【例5】把1＋x ＋41x 2分解因式。
分析：多项式第一、三项可写成1与21x 的平方和，而第二项正好能写成2·1·21x ，所以它能运用完全平方公式分解因式。
解：原式＝1＋2·1·21x ＋(21x)2 ＝(1＋21x)2。
【例6】把4x 2＋y 2－4xy 分解因式。
分析：4x 2＋y 2－4xy 共三项，第一、二项是2x 与y 的平方和，第三项是2x 与y 的积的2倍，因此也是完全平方式，可用完全平方公式分解因式。
解：原式＝(2x)2－2·2x ·y ＋y 2＝(2x －y)2。
【例7】把(a 2＋1)2－4a(a 2＋1)＋4a 2分解因式。
分析：把a 2＋1和2a 分别看成公式中的a 和b 可以用完全平方公式分解因式，要注意第一次运用公式后还可以用完全平方公式继续分解。
解：原式＝(a 2＋1)2－2·2a ·(a 2＋1)＋(2a)2＝[(a 2＋1)－2a]2＝[(a －1)2]2＝(a －1)4。
【例8】已知a 2－2a ＋b 2＋4b ＋5＝0，求a 、b 的值。
分析：先把式子的左边分解为两个式子的平方和，再利用两个非负数的和为零，则这两个非负数必都为零，从而求出a 、b 的值。
解：a 2－2a ＋b 2＋4a ＋5＝( a 2－2a ＋1)＋(b 2＋4b ＋4)＝(a －1)2＋(b ＋2)2 ∵ a 2－2a ＋b 2＋4b ＋5＝0， ∴ (a －1)2＋(b ＋2)2＝0。
∵ (a －1)2≥0，(b ＋2)2≥0， ∴ a －1＝0且b ＋2＝0。
∴ a ＝1，b ＝－2。
【例7】．分解因式：(x 2－1)2＋16(1－x 2)＋64.思路点拨：把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解, 解析: (x 2－1)2＋16(1－x 2)＋64 ＝(x 2－1)2－16(x 2－1)＋64 ＝[(x 2－1)－8]2 ＝(x 2－9)2＝[(x ＋3)(x －3)]2 ＝(x ＋3)2.(x －3)2.总结升华:体现了“换元”思想,最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的。
【例8】．试说明：连续两个奇数的平方差可以被8整除．思路点拨：本题不好直接解决，可先设连续两个奇数是x 、x ＋2，所以这两个奇数的平方差可表示为：x 2－(x ＋2)2＝(x －x －2)(x ＋x ＋2)＝－2(2x ＋2)＝－4(x ＋1)，因为x 是奇数，所以x ＋1是偶数，所以－4(x ＋1)能被8整除． 解析：设连续两个奇数是x 、x ＋2则有x 2－(x ＋2)2＝(x －x －2)(x ＋x ＋2)＝－2(2x ＋2)＝－4(x ＋1) 因为x 是奇数【例9】．如果二次三项式(为整数)在整数范围内可以分解因式，那么可以取哪些值？思路点拨：由于为整数，而且在整数范围内可以分解因式，因此可以肯定能用形如型的多项式进行分解，其关键在于将－8分解为两个数的积，且使这两个数的和等于，由此可以求出所有可能的的值。
解析：的值可为7、－7、2、－2总结升华：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意，④分解结果：(ⅰ)不带中括号；(ⅱ)数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；(ⅲ)相同因式写成幂的形式；(ⅳ)分解结果应在指定范围内不能再分解为止；（ⅴ）若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
举一反三：【变式1】把下列多项式分解因式：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9；(3)3ax2＋6axy＋3ay2；(4)－x2－4y2＋4xy.解：(1)x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32＝(m＋n－3)2；(3)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(4)－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.【变式2】已知x的多项式2x3－x2－13x＋k因式分解后有一个因式为(2x＋1)(1)求k的值；(2)将多项式因式分解解析：(1)由题意，当2x＋1＝0，即时，有2x3－x2－13x＋k＝0，即：∴k＝－6(2)设2x3－x2－13x－6＝(2x＋1)(x2＋mx－6)，则：2x3－x2－13x－6＝2x3＋(2m＋1)x2＋(m－12)x－6根据恒等式两边同次幂的系数相等，得：∴2m＋1＝－1，m－12=-13，即m＝－1则：2x3－x2－13x－6＝(2x＋1)(x－3)(x＋2)【变式3】分解因式：(x2＋3x＋2)(4x2＋8x＋3)－90．解析：原式＝(x＋1)(x＋2)(2x＋1)(2x＋3)－90令y＝2x2＋5x＋2，则原式＝y(y＋1)－90＝y2＋y－90＝(y＋10)(y－9)＝(2x2＋5x＋12)(2x2＋5x－7)＝(2x2＋5x＋12)(2x＋7)(x－1)。
知识点二：分解因式的步骤根据多项式的特点灵活选择分解因式的方法，其一般步骤可概括为：一提、二套、三查．一提；如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；二套：提公因式后或没有公因式可提，就要考虑运用公式法，即平方差公式或完全平方公式；三查：因式分解一定要分解到不能分解为止，要检查每个因式是否还可以继续分解．知识点三：因式分解的注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．知识点四：运用分解因式解决动手操作题动手操作题是让学生在实际操作的基础上设计有关的问题．这类题对同学们的能力有更高的要求，有利于培养学生乐于动手、勤于思考的意识和习惯，有利于培养学生的创新能力和实践能力．这类题目主要考查动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图等．不仅考查动手能力，还考查想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．此类题目就是通过拼图，用不同的式子表示图形面积，以达到把多项式分解因式的目的．【例8】如某同学剪出若干个长方形和正方形卡片，如图(1)所示，请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2＋4ab＋3b2，并根据你拼成的图形的面积，把此多项式分解因式．图(1)图(2)解：因为拼成一个面积等于a2＋4ab＋3b2的大长方形，就要用一个边长为a的正方形、3个边长为b的正方形和4个边长分别为a，b的长方形，可以拼成如图(2)所示的图形，由此知长方形的边长分别为(a＋b)和(a＋3b)．由面积可知a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b)．规律方法指导1．区分因式分解与整式的乘法它们的关系是意义上正好相反,结果的特征是因式分解是积的形式,整式的乘法是和的形式,抓住这一特征,就不容易混淆因式分解与整式的乘法。
2．因式分解的两种方法的灵活应用在分解因式时，多项式的项数若是两项，且含有平方项，则考虑用平方差公式进行分解因式．若多项式是三项式，则考虑用完全平方公式．在应用公式法分解因式时常出现的错误是：对公式的结构特征掌握不熟，理解不透彻，易出现符号、项数上的错误，二次项、一次项系数搞错，把两个公式混淆等．【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3；(2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2.解：(1)18x 2y －50y 3＝2y (9x 2－25y 2) ＝2y (3x ＋5y )(3x －5y )； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2＝axy (x 2＋y 2－2xy )＝axy (x －y )2.【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )．①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解．①中的y 2前面是“－”号，不能用完全平方公式分解．⑤中中间项有a 、b 的积的2倍，前后项都是平方式，但中间项不是“首尾积的2倍”，不能用完全平方公式分解．⑥也不符合．答案：C基础知识检测1 1．填空：（1）x 2－ ＋9y 2＝(x － )2（2）x 4－4x 2＋ ＝(x 2－ )2 （3）x 2＋3x ＋ ＝(x ＋ )2 （4）20r ＋25r 2＋ ＝( ＋5r)2 2．把下列各式分解因式：（1）9a 2－6a ＋1 （2）1－t ＋41t 2（3）1－12a ＋36a 2 （4）41a 2＋2ab ＋4b 2（5）41m 2－31mn ＋91n 2 （6）x 2－10xy ＋25y 2创新能力运用 1．分解因式：（1）a 4－2a 2b 2＋b 4 （2）m 2n ＋2m n ＋12．若a 2＋ma ＋25是完全平方式，求m 的值。