组合数学在数论中的应用实例
组合数学原理的应用
组合数学原理的应用1. 引言组合数学是数学中一个重要的分支，它研究的是离散对象的集合和组合方式。
组合数学的原理可以应用于各个领域，包括计算机科学、统计学、密码学等。
本文将介绍一些组合数学原理的应用案例。
2. 应用案例2.1. 组合数学在计算机科学中的应用•密码学：组合数学中的排列组合原理可以用于密码学中的密钥生成和密码破解。
通过利用不同组合方式生成密钥，可以提高密码的安全性。
同时，通过分析密码的组合方式，可以对密码进行破解。
•图论：在图论中，组合数学的原理可以用于计算图的连通性、最短路径和最大流等问题。
通过使用组合数学的算法，可以高效地解决这些问题。
•算法设计：在算法设计中，组合数学的原理可以用于优化算法的运行效率。
例如，在动态规划算法中，通过利用组合数学的原理，可以减少算法的计算量，提高算法的执行效率。
2.2. 组合数学在统计学中的应用•概率统计：组合数学中的概率原理可以用于计算事件的概率。
通过计算组合数，可以得到某种事件发生的可能性。
这对于统计学中的实验设计和数据分析非常重要。
•抽样理论：在抽样理论中，组合数学的原理可以用于计算样本的组合方式和排列方式。
通过分析样本的组合方式，可以选择更合适的抽样方法，使得样本更具有代表性。
•回归分析：在回归分析中，组合数学的原理可以用于分析自变量和因变量之间的关系。
通过利用组合数学的方法，可以得到较为准确的回归模型，从而对数据进行预测和分析。
2.3. 组合数学在其他领域的应用•市场调研：在市场调研中，组合数学的原理可以用于计算不同市场变量的组合方式。
通过分析市场变量的组合方式，可以预测市场的发展趋势，从而制定更合理的市场策略。
•工程优化：在工程优化中，组合数学的原理可以用于计算不同参数的组合方式。
通过分析不同参数的组合方式，可以找到最优解，并优化工程设计。
•物流管理：在物流管理中，组合数学的原理可以用于计算不同物流方式的组合方式。
通过分析物流方式的组合方式，可以降低物流成本，并提高效率。
组合数学中的容斥原理及其应用实例
技术创新33组合数学申的容斥原理及其应用实例◊宝鸡文理学院数学与信息科学学院李海侠容斥原理是组合数学中的一个重要计数工具，在集合论、概率论和初等数论等学科中占有非常重要的地位。
本文讨论容斥原理的思想以及在计数问题中的若干应用，帮助大家更方便的利用容斥原理解决相关问题。
容斥原理冋是组合数学中的基本计数原理，是解决计数问题的一个重要工具。
掌握容斥原理的主要思想可以大大简化计数问题的计算，给解决相关问题带来方便，具有非常重要的研究意义。
但纵观容斥原理的已有研究成果，目前对容斥原理在圆排列（非夫妻围坐问题）、多重集排列和与棋盘多项式有关的禁区排列等方面的应用很少。
因此，本文在容斥原理相关定理的基础上探析容斥原理的主要思想以及若干应用,并通过举例进行详细说明，从而使大家更好地理解并灵活应用容斥原理。
1预备知识为了后面讨论的需要，下面给出容斥原理的相关定理和思想。
定理1（容斥原理）呦设有限集S,P=｛片，马,…，好｝是与S中元素有关的性质集合，4,&，…,4,是分别具有性质£，妁，…上的元素构成的s的子集，贝U：|4U4U-U^…|»,,,,（1）=ZW-Z|4-n^|+s l4.n4.nAl—■+（-ir1l4n^n-n4.li=l l<i<j<n l<i<j<k<n|4A4n-n4；|⑵=l^|-il4l+Z|4A4|-z|4n4n^|+-+（-ir|4n4n-n4.li=l l<i<j<k<n运用容斥原理和组合販易得定理2如果有限集s的子集4,4,…,4.具有对称性，即|4|=^（1<«<«）,|4-C1勺| =J R2（i<i</<»）,-）|4n4n-AA|=^,”则14u U•••U Al=ex-CX+•-+（-1）"_1CX=（3）冈n瓦n…n可=国-c：x+c江-…+（-i）”c：&=同-x（-i）/_I c火（4）利用容斥原理解题的思想和步骤：J（1）根据题意,找出全集s并构造出s中具有性质P t的元素组成的s的子集4（i= 1,2,•••,»）,这里4（21,2,…，”）的寻找非常关键，目标是既能用容斥原理又使得⑷，|4ri24y|,---,|4/容易求出。
浅谈中学数学中的组合数学问题
浅谈中学数学中的组合数学问题【摘要】组合数学起源于数学游戏，但随着计算机的日益发展，组合数学已经在各个领域有了越来越广泛的应用。
本文主要介绍了组合数学的几个重要原理在中学数学中的应用。
【关键词】中学数学；组合计数；抽屉原理1.证明某种现象的存在性在组合数学中，证明存在性主要运用抽屉原理。
抽屉原理：如果个物体被放进个抽屉，那么至少有一个抽屉包含两个或更多的物体。
应用抽屉原理的关键是构造出合适的抽屉，请看下面两个例子：例1.从1～98的自然数中，任意取出50个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
分析：因为要取出50个数，所以抽屉的个数要少于50个，并且同一个抽屉内的任意两个数要满足性质“其中一个是另外一个的整数倍”。
证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘以2的形式（其中n为），并且这种表示是唯一的。
所以我们可以把1～98的正整数分成如下49个抽屉：（1）（2）（3）（4）（5）（25）（26）（49）这样，我们就可以将1～98的正整数无重复、无遗漏地放进这49个抽屉内了。
从这98个数中任取50个数，也即将50个物体放入49个抽屉中，根据抽屉原理，其中必定至少有两个物体放入了同一个抽屉，也就是说，其中必定至少有两个数是从同一抽屉中取出的。
从抽屉的构造容易看出，这两个数中的一个是另一个的整数倍。
例2.证明，在整数数列中，可以找出若干个连续的数（允许），它们的和可被10整除。
分析：任意整数除以10所得的余数只有这10种可能。
若两个整数除以10得到相同的余数，则这两个整数的差可被10整除。
由此想到用模10的剩余类来构造抽屉。
证明：作如下数列：若这10个整数中至少有一个能被10整除，则结论成立。
否则，设上述数列中没有一个能被10整除，于是，当我们将它们分到模10的剩余类中去时，它们只能进入以下9个类：可是数列中有10个整数，由抽屉原理，数列中至少有两个数属于同一类，从而这两个数的差可被10整除，不妨设与属于同一剩余类，其中，则可被10整除。
组合数学在数论中的应用实例_王迪吉
|Ai1∩ Ai2∩ …∩ Aik|=
N l cm ( ai1 , ai 2 ,… , aik )
上式中
N l cm ( ai1 , ai2 ,… , aik )
表示其值为不大于
lcm
(ai1
N , ai2
,…
,
aik
)的最大整数。
由容斥原理可得出
n
∑ ∑ |-Ak= 1
1) |A ∩ k - 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ n
i1
Ai2∩ …∩
Ai k |
这就是容斥原理。 显然 ,容斥原理也可以写成
n
∑ ∑ n
|S - ∪ Ai|= |S|+ i= 1
(-
k= 1
1) |A ∩ k
1≤ i1
<
i2 <…
<
i
≤ k
m
∑ ∑ n+
( - 1)k
k= 1
1≤ i1 < i 2 <… < ik≤ m
n pi1 pi2… pik
其中 1是适合上述条件的一个数 ,但 1不是质数 ,因此要减去 1。 p1 , p2,… , pm 这 m 个数不适合上述条 件。 但它们又都是不大于 n 的质数 ,因此还要加上 m。 这样一来就可求出 c( n )的值。
|Ai
∩
1
Ai
∩
2
…
∩
A ik |表 示
S 中同时具有性质
Pi1 , Pi2 ,… , Pik的元素个数 ,|A- 1∩
A-2∩ …∩
A-n|表示
S 中不具有
性质 P1 , P2 ,… , Pn 中任何一个性质的元素个数 ,即
数学竞赛中的组合数论问题
数学竞赛中的组合数论问题代数、几何、数论轮、组合是奥林匹克数学的主要内容，数学竞赛中常常遇到这样一些题目，这些题目把组合知识和数论知识交汇在一起，使得竞赛题目更有活力．我们姑且把这类题目叫做“组合数论”问题．组合数论问题大致有两类，一类是用组合数学的原理解决数论问题，另一类是用数论知识解决组合问题． ．从两道经典的数论问题谈起．1．狄利克雷（Dirichlet 1805-1859）定理．设θ为无理数，则对任意的正整数n ，存在整数,p q ，其中q n ≤，并且1q p nθ-<． 证明 将区间[]0,1分成n 等份，每份长为1n． 考虑1n +个数{}j θ，0,1,2,,j n =．这里{}j θ是j θ的小数部分，即{}[]j j j θθθ=-．因而{}()0,1j θ∈．由于把1n +个数{}j θ，放入n 个长为1n的区间，由抽屉原理，必有两个数在同一区间， 设为{}h θ和{}k θ，{},0,1,2,,h k n ∈，且h k ≠． 则有 {}{}1h k nθθ-≤． 从而()[][]()1h k h k nθθθ---≤， 令q h k =-，[][]p h k θθ=-，则上式化为1q p nθ-≤， 因为θ为无理数，所以等号不可能成立． 因而1q p nθ-<． 狄利克雷应用抽屉原理导出了他的有理数逼近定理，这是历史上第一次应用抽屉原理获得的不平凡结果，是一项很好的原创性工作，所以抽屉原理又称狄利克雷原理．2．证明不定方程442x y z +=没有正整数解．证明 假设不定方程442x y z +=有正整数解(),,x y z ，在所有的解中一定有一组解，它的z 值比其余组解的z 值小．（这是极端原理的体现，极端原理的一种形式是在一个有限正整数集合中，必有一个最小数．）因而，存在一个最小的正整数u ，使得442x y u +=，0,0,0x y u >>>． ① 有解．这时(),1x y =，不然的话，就有(),1x y >，且()()()2442,,,x y u x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 但()20,uu x y <<，与u 的假定矛盾．由222x y u +=的正整数解的结果可知，①中的2x 和2y 必定一为奇数，一为偶数，不妨假定2x 为偶数，则有2222222,,x ab y a b u a b ==-=+ ② 其中0a b >>，(),1a b =，且a 和b 一为奇数，一为偶数．因此2|x ，2|y /，且2|a /，2|b ．这时因为，若2|a ，2|b /，则()2221mod4y a b =-≡-，此时不可能为平方数．于是由 222y b a +=，有 2222,2,y p q b pq a p q =-==+，这里(),1,0p q p q =>>，且p 和q 一为奇数，一为偶数． 由22x ab =，有()2224x pq p q =+，因为22,,p q p q +两两互质，则它们都是某个整数的平方．即 22222,,p r q s p q t ==+=， 所以 442r s t +=． 于是(),,r s t 是①的一组解．这时，22222u a b a p q t t =+>=+=>．与u 的最小性矛盾．这个证明方法叫无穷递降法，是从极端原理出发的一种证法．这一命题是Fermat 大定理的一个组成部分，1637年法国数学家费马（Pierre de Fermat ，1601～1665）提出了下面的猜想：当2n >时，方程nnnx y z +=没有正整数解．因为大于2的整数必能被4或奇质数整除，因此，如果对于4n =或n 等于任意奇质数，方程都没有正整数解，那么费马问题就全部解决。
组合数学的应用与计算
组合数学在密码学 中用于设计加密算 法，如RSA算法
组合数学在密码学 中用于研究密码破 解的难度，如哈希 函数
组合数学在密码学 中用于设计数字签 名方案，如DSA算 法
组合数学在密码学 中用于研究公钥基 础设施（PKI）的 可靠性，如数字证 书
数据压缩中的应用
组合数学用于数据压缩算法的 设计和优化
靠。
统计学与组合数学的结合， 为解决实际问题提供了强 有力的支持，推动了各领
域的发展和进步。
物理学
量子计算：组合数学在量 子计算中用于描述量子态
的演化
计算机科学：组合数学在 计算机科学中用于设计和
分析算法
统计力学：组合数学在统 计力学中用于描述大量粒
子的行为
物理学其他领域：组合 数学还应用于物理学中 的其他领域，如量子信
息、量子通信等
经济学
组合数学在经济学中用于研究资源的优化配置问题。 组合数学为经济学中的决策问题提供了数学模型和算法支持。 组合数学在金融领域中用于风险评估和投资组合优化。 组合数学在经济学中还用于研究市场结构和供需关系等问题。
Part Three
组合数学的计算方 法
排列的计算
定义：从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的
利用组合数学解决数据压缩中 的编码和解码问题
组合数学在图像和视频压缩中 的应用
组合数学在音频压缩中的应用
计算机图形学中的应用
图像编码与解码： 利用组合数学中 的排列组合原理， 对图像进行高效 的编码与解码， 提高图像传输效 率。
0 1
几何变换：通过 组合数学中的矩 阵运算，实现图 像的旋转、缩放 和平移等几何变 换。
组合数学的应用与计算
XX,a click to unlimited possibilities
组合数论的应用研究
组合数论的应用研究组合数论是一个庞大的数学分支，它的应用也十分广泛。
在生物、经济、计算机和物理等领域中，都能看到组合数学的身影。
本文将从数学角度分别探讨其在图论、密码学和多元统计学上的应用。
一、图论在图论中，组合数学的应用非常常见。
例如，在计算图G中有多少条路径经过给定的点集S，组合数学能够提供递归维数减小、利用叠加原理以及逆向思维来解决问题的方法。
具体来说，我们可以利用容斥定理来求解。
对于图G的任意一个点集S，令SP(i)表示经过点集S且以i为终点的路径的条数，则SP(i)能表示为：SP(i)=ΣT个大小为t的子集S’的交集点i的路径个数的交（-1）^（t+1）其中ΣT表示对所有大小为t的S’求和。
这个公式看起来可能有些抽象，但只需要理解其中的思想，即通过容斥原理巧妙地计算出问题的解。
同样地，这个方法也能用于计算从S到T的路径经过一个给定点的条数。
二、密码学在密码学中，一些经典的加密算法，如RSA加密算法、Diffie-Hellman密钥协商和ElGamal加密算法，都涉及到了组合数学。
其中最常见的应用是在RSA加密算法中，它需要用到欧拉函数、费马小定理和扩展欧几里得算法。
首先，我们需要选取两个大质数p和q，它们的乘积n=q*p就是著名的“RSA 加密算法中的大数”。
接着，我们选择一个加密密钥e，它应该满足1<e<φ(n)并且e 与φ(n)互质。
这里的φ(n)表示小于n且与n互质的数的个数。
因为φ(n)=（p-1）（q-1），我们可以用扩展欧几里得算法求解加密密钥e和φ(n)的最大公约数，并得出一个解d，它是e关于φ(n)的逆元。
最终，我们需要保护的信息m将被加密为密文c，计算公式为：c=m^e mod n只需知道私钥d，密文可以轻松解密：m=c^d mod n通过使用组合数学中的这些概念和算法，RSA加密算法变得十分可靠并保护信息的安全性。
三、多元统计学在多元统计学中，组合数学可用于计算协方差矩阵的非线性组合。
组合数学中的计数原理应用方法探讨
组合数学中的计数原理应用方法探讨组合数学是数学中的一个重要分支，研究的是离散数量之间的组合和排列规律。
在实际应用中，计数原理是组合数学中的一个重要概念，它为解决一系列计数问题提供了有效的方法。
本文将探讨组合数学中计数原理的应用方法以及相关例子。
一、基本计数原理基本计数原理是组合数学中的基础概念，它指出：如果事件A能够分解为若干个互不相容的子事件A₁，A₂，...，Aₙ，其中A₁发生的方式有m₁种，A₂发生的方式有m₂种，...，Aₙ发生的方式有mₙ种，那么事件A发生的方式总数为 m₁ * m₂ * ... * mₙ。
举例来说，假设在一个餐厅的菜单中，有3种主食可选，包括米饭、面条和饺子；有2种汤品可选，包括酸辣汤和番茄汤；另外，有4种饮料可选，包括红茶、绿茶、奶茶和咖啡。
那么在这个餐厅中，顾客可以有3 * 2 * 4 = 24种不同的就餐组合方式。
二、排列与组合在组合数学中，排列和组合是常见的计数问题。
排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序排列。
组合是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑顺序。
1. 排列对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行排列，共有n * (n-1) * (n-2) * ... * (n-r+1)种排列方式，记作P(n, r)。
2. 组合对于一个有n个元素的集合，要选取r个元素进行组合，共有C(n, r)种组合方式。
其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素的组合数，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)。
三、应用实例计数原理在实际问题中具有广泛的应用。
以下将介绍一些常见的实例，展示计数原理在解决问题时的实际应用方法。
1. 队伍编排假设有7名学生参加一个表演比赛，其中包括3名男生和4名女生。
现在要求从这7名学生中选出3名参赛者组成一个小组，并按照一定的顺序进行编排。
根据计数原理，可以得出解决该问题的方法数为P(7, 3) = 7 * 6 * 5 = 210。
数的组合与分解
数的组合与分解数字是数学中最基本的概念之一，它们可以进行各种组合和分解。
在数论和组合数学中，探索数字的组合和分解方法具有重要意义。
本文将讨论数的组合和分解的相关概念、方法和应用。
一、组合数学中的数的组合数的组合是组合数学中的一个重要概念。
组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
比如，从1、2、3这三个数字中选取两个数字的组合为{1, 2}、{1, 3}和{2, 3}。
组合的个数可以用组合数来表示，通常用C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n！= n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
组合数的计算方法在概率论、统计学和计算机科学等领域有广泛应用。
例如，计算从一副扑克牌中抽取5张牌的组合数，可以帮助我们理解抽奖概率和手牌概率等问题。
二、整数的因式分解整数的因式分解是将一个整数表示为若干个素数的乘积的过程。
例如，将12分解为2 * 2 * 3，将18分解为2 * 3 * 3。
因素分解是数论中一个基本问题，也是解决其他复杂问题的基础。
对于一个大整数的因子分解，可以使用试除法、分解定理等方法。
试除法是一种简单但有效的方法，它从最小的质数2开始，不断将整数除以质数，直到最后的商为1为止。
例如，对于90，首先将其除以2，得到商为45，再将45除以3，得到商为15，再将15除以3，得到商为5，最后将5除以5，得到商为1，即90的因子分解为2 * 3 * 3 * 5。
因式分解在数学和计算机科学中有广泛应用。
在密码学中，因式分解的困难性是基于整数的RSA加密算法的核心。
在求解最大公约数、求解线性方程等问题中，也需要进行因式分解。
三、应用案例：密码学中的密码学是应用数学的一个重要分支，它涉及到保护信息和数据的安全性。
在密码学领域中，数的组合和分解方法得到了广泛应用。
组合数课例介绍
组合数课例介绍组合数是数学中的一个重要概念，它描述了从给定的元素集合中选取若干个元素的方式和数量。
组合数在概率论、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将通过几个具体的例子来介绍组合数的概念和计算方法。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个班级，有10名学生，现在需要从中选取3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选取方式？这个问题可以用组合数来解决。
组合数的计算公式是C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示总的元素个数，k表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。
根据这个公式，我们可以计算出C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120，所以从10名学生中选取3名学生组成小组的方式有120种。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一家餐厅，提供5种主菜和3种甜点，现在需要从中选取一道主菜和一道甜点组成一份套餐，问有多少种不同的套餐组合方式？这个问题可以用组合数来解决。
主菜的选取方式有5种，甜点的选取方式有3种，所以总的组合方式就是5 * 3 = 15种。
除了计算组合数的方式外，还可以用组合数来解决一些实际问题。
例如，假设有一家快递公司，有10个快递员，每天需要选择3个快递员进行配送，问一周内选择的快递员组合方式有多少种？这个问题可以用组合数来解决。
根据组合数的计算公式，我们可以计算出一周内选择的快递员组合方式有C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种。
组合数还可以应用于排列组合问题。
例如，假设有一组数字{1, 2, 3, 4, 5}，现在需要从中选取3个数字组成一个三位数，问有多少种不同的三位数？这个问题可以用组合数来解决。
首先，我们需要从5个数字中选取3个数字，这个可以用组合数来计算，即C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
然后，选取的3个数字可以有不同的排列方式，即全排列，所以总的三位数的个数是10 * 3! = 60个。
组合数学在数论中的应用实例
组合数学在数论中的应用实例摘要：本文将组合数学中的容斥原理和递归关系应用到数论中,讨论了数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数问题。
关键词：容斥原理;递归关系;整除;Euler函数;质数我们知道,在组合数学中,容斥原理(又称包含排斥原理)和递归关系是解决组合计数问题的一个重要工具和方法。
将这一重要工具和方法应用到数论中,对于数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数,都会带来很大方便。
下面,首先简要介绍容斥原理、常系数线性齐次递归关系的建立和迭代解法,然后给出几个应用实例。
1容斥原理与常系数线性齐次递归关系简介1.1容斥原理设S是有限集合,Ai S(i=1,2,…,n,n≥2)则∪ni=1Ai =( A1 + A2 +…+ An )-( A1∩A2 + A1∩A3 +…+ An-1∩An )+…+(-1)n-1 A1∩A2∩…∩An=∑nk=1(-1)k-1∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 这就是容斥原理。
显然,容斥原理也可以写成S-∪ni=1Ai = S +∑n k=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 容斥原理还有另一种叙述形式,即设S是有限集合,P1,P2,…,Pn是n个性质,Ai是S中具有性质Pi的元素的集合,A-i是S 中不具有性质Pi的元素的集合(以上i=1,2,…,n)。
对于任意k(1≤k≤n)个正整数i1,i2,…,ik(1≤i1<i2<…<ik≤n), Ai1∩Ai2∩…∩Aik 表示S中同时具有性质Pi1,Pi2,…,Pik的元素个数, A-1∩A-2∩…∩A-n 表示S中不具有性质P1,P2,…,Pn中任何一个性质的元素个数,即A-1∩A-2∩…∩A-n = S +∑nk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 1.2常系数线性齐次递归关系的解法设{an}n≥0是一数列,通项an与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。
1.2.2.2组合数公式的应用
3 5
(C C ) 1 2 1 2 (2) C4C5 40种 C4 (C A3 1)
1 4 2 4 1 3
2 1 2 1 1 (3) C4 C5 30种 C4 (C2 C2 1)
n 1 m
C
n 2 m
)
n n 1 n Cm C C 1 m 1 m2 左
组合数公式的应用
一、无条件限制的组合问题
例3.（1）平面内有15个点，以其中两 个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）平面内有15个点，以其中两个点 为端点的线段共有多少条？
答案：(1) A 210条
（2）分为3堆，每堆3本； （3）分为3堆。一堆2本，一堆3本，一堆4 本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人2本，一 人3本，一人4本.
答案： (1) C C C 1680种
3 9 3 6 3 3
CCC (2) 280种 A
3 9
3 6 3 3
3 3
(3) C C C 1260种
2 9 3 7 4 4
2 15
(2) C 105条
2 15
二、有条件限制的组合问题
例4.在100件产品中，有97件合格品，3件次品， 从这100件产品中任意抽取3件,
（1）有多少种不同抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有 多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有 多少种？ 答案：（1） C 3 161700种 （2）C C
法二： C
3 12
C 210个
3 5
例6. 有2名教师和6名学生分成两组，分
别到甲、乙两地进行社会调查，要求每 个小组由1名教师和3名学生组成，问共
探索组合数学中的实际问题
探索组合数学中的实际问题组合数学是数学的一个重要分支，主要研究离散结构中的组合关系和计数问题。
与其他数学分支相比，组合数学更重要的是解决实际问题。
本文将探索组合数学在实际问题中的应用，并介绍一些相关概念和方法。
一、排列与组合排列和组合是组合数学的基本概念。
在实际问题中，我们经常遇到需要从一组对象中选择或排列的情况。
排列指的是从给定元素中按照一定的顺序选取一部分进行排列；组合则是从给定元素中按照一定的规则选取一部分进行组合。
例如，某公司有10个员工，需要从中选出3个员工组成一个项目组。
那么，从10个员工中选出3个员工的方法数就是一个组合问题。
又比如，某学校的学生会要选出主席、副主席和秘书，其中有5个候选人，那么选出这三个职位的方法数就是一个排列问题。
二、图论中的组合数学图论是组合数学的一个重要分支，主要研究图的性质、结构和相关问题。
在实际问题中，图论的应用非常广泛，涉及到网络、交通、通信等领域。
a) 最短路径问题最短路径问题是图论中的经典问题之一。
例如，在地图中寻找两个地点之间的最短路径，通常采用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法进行求解。
这些算法利用了组合数学的方法来确定最短路径，并在实际导航中得到了广泛应用。
b) 旅行商问题旅行商问题是组合数学中的著名问题之一，它涉及一个推销员需要经过多个城市并返回起始城市的最短路径。
解决旅行商问题需要使用图论的相关算法，如回溯法、动态规划等。
三、密码学中的组合数学密码学是保障信息安全的一门学科，其中涉及到很多组合数学的概念和方法。
在实际应用中，密码学广泛用于网络通信、电子支付、数字签名等领域。
a) RSA加密算法RSA加密算法是一种非对称加密算法，它是以三个著名数学家（Rivest, Shamir和Adleman）的姓氏命名的。
RSA算法的安全性基于素因数分解问题，利用了组合数学中的数论知识。
实际应用中，我们使用RSA算法来加密通信内容，保护机密信息的安全。
b) 哈希函数哈希函数在密码学中有着重要的应用，它可以将任意长度的输入数据转换为固定长度的哈希值。
应用组合数学思想解数论问题
只需 证 明 ： 每个 Ｊ ｓ （ ｒ ） 不 空． 解决 问题 的基本 思路是 通过 两种不 同方
计算∑ ｓ （ 口 ） （ ｍ ｏ ｄ ｎ ！ ） 有两 种 方式 ．
首先 ， 假定结论是错误的 ， 这样， 对每一
法， 求得四元组的个数．
一
个ａ ， ｓ （ ａ ） 模ｎ ！ 均有不同的余数． 因此， 这些 余数是数字 ０ ， １ ， …， ｎ ！ 一 １ ． 则
２ 【
由容斥 原理 得
】 ．
对每个 ￡ ， 满足 ｍ＝ ｔ 的 至多 １ ０个 ， 故
．
而在矩形 区域内， 曲线上恰有 ｎ 个整点．
墨 ± Ｊ Ｉ
当 Ｐ＞ ３ １ 时， ≥４ ， 至少有 ４ 个Ｓ （ ｒ ） ＝ ．
喜【 台 【 ２ Ｊ 】 ＋ 奢 台 【 ２ 】 ｊ ＿ ｎ ‘
∑
ａ
） ＝ ∑
ａ ｉ ＝ｌ
叩 ＝ （ ｉ ＝ １ ｃ ） （ ２ ａ ｉ ） ．
ｂ －ｄ ＿ ５ ， 由 ａ 三ｃ ， 相应 的（ ａ ， ｃ ） 有
对每 一个ｉ ， 在和 式∑ 口 中， １ ， ２ ， …， ｎ
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ ９—１ ６
ｚ ． 故本题结论 的可能例外值 只有 Ｐ＝ １ ｌ 和 ３ １ ． 当Ｐ＝ １ １ 时， 由ａ 集｛ ０ ， ｌ ， ３ ， ４ ， ５ ， ９ ｝ 和ｂ 集｛ ０ ， １ ， １ ０ ｝ 直接得 Ｓ （ ７ ） ＝ 。 当 Ｐ＝ ３ １时，
—
。
！ ： ± ！ ）
， ， －ｌ ， ｙ＝ 如图 １所示．
，
每个 口一ｃ ≠０确 定 唯 一 的 ａ＋ｃ ， 可 确 定 （ 口 ， ｃ ） ， 故 每组 （ ｂ ， ｄ ） 给出 Ｐ一１ 组（ ａ ， ｃ ） ．
组合数学：2-5 应用举例
例7 求n位二进制数中最后三位第一次出现010图象 的数的个数。 设最后三位第一次出现010图象的数的个数为an。 同上例，最后三位是010的数有2n-3个。
这些数包括：
(1) 最后三位第一次出现010图象的，个数为an：
0
1
0
1
0
(2) 第n-4至n-2位第一次出现010图象的，个数为an-2：
A cos n B sin n 2 2 .
由于右端项是2n-3，因此可以设一个特解为C2n。
所以递推关系的解可以表示为：
n a n A cos n B sin n C 2 . 2 2
注意最后三位是010和最后三位出现010图象的区别。
设最后三位出现010图象的数的个数为an。 最后三位是010的n位二进制数显然有2n-3个。 这些数可以分为两类：最后三位出现010图象以及第 n-4位至第n-2位出现010图象。
最后三位出现010图象的数有an个，第n-4位至第n-2 位出现010图象的数的个数为an-2。因此有
1 2x x x
2
3
1 2x
A( x )
1 1 2x
A( x )
1 1 2x x x
2
2 3
3
4 5 6 7
1 2 x 3 x 5 x 9 x 16 x 28 x 49 x
因此有：
a 6 5 , a 7 9 , a 8 16 , a 9 28 , a 10 49 ,
2
A( x ) 1 2 x 3 x
3 4 2 5
x
2
A( x ) 1
高中数学中的组合数学应用案例
高中数学中的组合数学应用案例数学是一门抽象而又实用的学科，它在我们的日常生活中无处不在。
组合数学是数学中的一个重要分支，它涉及到选择、排列和组合等概念。
在高中数学中，我们经常会遇到一些组合数学的应用案例，下面就让我们来看几个有趣的例子。
案例一：排队问题小明所在的班级要进行一次出游活动，全班同学都要排队上车。
假设班级有30名同学，车上有20个座位，其中5个座位是特殊座位，只能给班干部坐。
那么，全班同学排队的方式有多少种可能性呢？解析：这是一个典型的组合数学问题，我们可以用组合数的概念来解决。
首先，我们需要选择5名班干部坐在特殊座位上，这可以用C(30,5)来表示。
接下来，剩下的25名同学可以随意排队，这可以用25!来表示。
所以，全班同学排队的方式一共有C(30,5) * 25!种可能性。
案例二：选课问题某高中有5个选修课程，学生可以选择其中的3门进行学习。
如果每门课程至少有一个学生选择，那么一共有多少种不同的选课组合呢？解析：这是一个组合数学中的排列问题。
首先，我们需要选择3门课程，这可以用C(5,3)来表示。
接下来，每门课程至少有一个学生选择，那么剩下的2个学生可以任意选择课程，这可以用2!来表示。
所以，不同的选课组合一共有C(5,3) * 2!种可能性。
案例三：分组问题某班级有20名学生，老师要将他们分成若干个小组，每个小组至少有3名学生，且每个小组的人数不能超过5人。
那么，老师一共可以分成多少个小组呢？解析：这是一个组合数学中的组合问题。
首先，我们需要确定小组的人数。
假设小组的人数为k，则k的取值范围为3≤k≤5。
我们可以用C(20,k)来表示选择k个学生组成一个小组的可能性。
接下来，我们需要确定小组的个数。
假设小组的个数为m，则m的取值范围为1≤m≤20/k。
所以，老师一共可以分成的小组数为∑(C(20,k) * C(20/k,m))，其中k的取值范围为3≤k≤5，m的取值范围为1≤m≤20/k。
组合数学在计算机科学中的应用 案例解析
组合数学在计算机科学中的应用案例解析随着计算机科学技术的飞速发展，组合数学在计算机科学中的应用越来越广泛。
组合数学是数学中的一个分支，涉及到集合、排列、组合等概念。
在计算机科学中，组合数学的应用可以帮助解决众多实际问题，提高算法效率，优化系统设计，下面将通过一些案例来解析组合数学在计算机科学中的应用。
1. 图论中的旅行商问题旅行商问题是图论中一个经典的优化问题，即怎样遍历所有城市且路径最短。
在计算机科学中，解决旅行商问题需要用到组合数学中的排列组合知识。
通过计算不同城市之间的距离，可以构建一个图模型。
然后利用组合数学的知识，对所有可能路径进行排列组合，找出最短路径。
这种方法可以大大提高计算效率，缩短求解时间。
2. 编码理论中的纠错码编码理论是计算机科学中重要的分支，用于解决数据传输中的错误检测和纠正问题。
纠错码的设计需要用到组合数学中的排列组合和概率知识。
通过组合数学的方法，可以设计出能够在数据传输过程中检测和纠正错误的编码方案。
这不仅可以提高数据传输的可靠性，还可以提高系统的容错能力。
3. 计算机网络中的路由算法在计算机网络中，路由算法是实现网络数据包传输的重要技术。
传统的路由算法中，通常使用的是固定路径来传输数据包，这样会造成网络拥堵和效率低下。
而组合数学中的组合优化算法可以帮助解决这个问题。
通过组合数学的方法，可以找出最优的路径组合来实现数据包的传输，提高网络传输的效率和质量。
4. 图像处理中的数字水印技术数字水印技术是一种在图像或者音视频数据中嵌入特定信息的技术，用于保护知识产权和防止盗版。
在数字水印技术中，使用了组合数学中的置换和排列组合方法。
通过组合数学的知识，可以将水印信息嵌入到图像中的特定位置，使其不易被人察觉。
同时，还能够根据图像的特征和组合数学的方法，对图像进行鉴别和认证。
总结起来，组合数学在计算机科学中的应用极为广泛且重要。
通过组合数学的知识，可以提高算法效率，优化系统设计，解决实际问题。
组合数学与排列组合的实际应用
组合数学与排列组合的实际应用组合数学和排列组合是数学中重要的概念和分支，它们在各个领域的实际应用中发挥着关键的作用。
本文将探讨组合数学和排列组合在实际应用中的具体案例，并分析其在现实生活中的重要性。
一、密码学中的排列组合密码学是信息安全领域的重要分支之一，而排列组合在密码学中的应用更是不可或缺。
在密码学中，排列组合用于生成加密密钥、密码算法和密码分析等方面。
1.1 加密密钥生成在对信息进行加密和解密时，密钥的生成是至关重要的。
通过排列组合的方法，可以生成大量的密钥组合，增加密码破解的难度。
例如，使用排列组合生成的密钥可以增加密码空间，使得密码的破解变得更加困难。
1.2 密码算法设计排列组合还常被用于密码算法的设计。
通过巧妙地组合和排列，可以构建出高强度的密码算法，提高密码的安全性。
排列和组合的不同方式可以产生不同的密码算法，增加密码的多样性和复杂性。
1.3 密码分析在密码系统的设计与分析中，排列组合也扮演着重要的角色。
通过对现有密码系统的排列和组合进行分析，可以发现其中的规律和弱点，进而改进密码系统的设计，提高密码的安全性。
二、统计学中的组合数学统计学是研究收集、整理和解释数据的科学，而组合数学则在统计学的各个方面发挥着重要作用。
2.1 抽样方法在统计学中，抽样是获取总体信息的一种方法。
使用组合数学的方法，可以计算出各种不同的抽样方式，从而实现对总体的全面和充分的研究。
排列组合的方法可以确保抽样的随机性和无偏性，提高统计分析的准确性。
2.2 数据分析在统计数据的分析过程中，组合数学也发挥着重要作用。
通过对数据的组合和排列，可以得出不同的统计结果，进行数据的分类和整理。
例如，在调查数据中，可以通过组合数学的方法得出不同特征的样本，并进行统计分析。
2.3 概率分布概率分布是统计学中的重要理论之一，而组合数学则是概率分布的基础。
通过组合数学的方法，可以计算出各种不同的概率分布，如二项分布、多项分布等。
组合计数方法在数论中的应用
若 （ ，Ｙ）与 （Ｏ，０）模 Ｐ不 同余 ，则 ＋ｙ２－０（ｒｏｏｄ Ｐ）
§ 兰 一ｙ２（ｒｏｏｄ Ｐ）
对 （ 一０）（ ＋０）三ｂ 一ｙ３（ｒｏｏｄ Ｐ）分类 讨 论 ．
（ｉ）ｂ 三 （ｒ ｏｏｄ Ｐ）． 由题 １分析 ，知每一组 （ｂ，Ｙ）对 应 一１ 组 （ 一口）． （ｉｉ）ｂ ≠ｙ （ｒ ｏｏｄＰ）．
对 ｂ－０（ｒ ｏｏｄＰ），只有一个 ｙ－ ＝Ｏ（ｒ ｏｏｄＰ） 与 之 对 应 ．
Ｉ （ｍ＋ｎ）＋１：ｐ ．
故有 ３（Ｐ一１）＋１＝３ｐ一２组解． 而 （ｂ， ）共 Ｐ 个 ，于是 ，与 ６。不 同余 的
解得 ，ｎ＝ｐ＋１，ｎ＝ｐ＋１．
有 Ｐ 一３ｐ＋２个．
故 ＋Ｙ 三口（ｒ ｏｏｄ Ｐ）有 Ｐ＋１组解．
式 得
－ １
２≥
＝
６
＞ｐ ＋２ｐ 一２ｐ（Ｐ≥１１）， 矛 盾 ．
＋ 三０（ｍｏｄ Ｐ）的解数 与 ＋ 三 一 １（ｒｏｏｄ Ｐ）的解数一样 多． 下面求 ＋ｙ 三口 ＋ｂ （ｒ ｏｏｄ Ｐ）的解 的 组 数 ． 对 于 （ 一口）（ ＋口）三（６一，，）（６＋），）（ｍｏｄＰ）， 有 （ｐ一１）（Ｐ一２）＋ｐ一１个 （６，），）（ｂ ￣ｙ２（ｍｏｄ Ｐ））， 每一个 对 应 （ ，口）中 Ｐ一１组 解 ；有 ２ｐ一１ 个 （ｂ，Ｙ）（６ 兰ｙ２（ｒｏｏｄ Ｐ）），对 应 （ ， ）中
北京大学数学夏令 营中也 出过类似 的题 目．
题 ２ 设 Ｐ为素数．证 明 ：对任 意整数 口，
＋ｙ３三 （ｒｏｏｄ Ｐ）
①
均有解 ．
【分析 ｌｐ≤７时容易验证 结论成 立．
以下讨论 ｐ１＞１１时的情况．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
组合数学在数论中的应用实例摘要：本文将组合数学中的容斥原理和递归关系应用到数论中,讨论了数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数问题。
关键词：容斥原理;递归关系;整除;Euler函数;质数我们知道,在组合数学中,容斥原理(又称包含排斥原理)和递归关系是解决组合计数问题的一个重要工具和方法。
将这一重要工具和方法应用到数论中,对于数组整除性的判定和整除的计数;Euler函数的计数和质数个数的计数,都会带来很大方便。
下面,首先简要介绍容斥原理、常系数线性齐次递归关系的建立和迭代解法,然后给出几个应用实例。
1容斥原理与常系数线性齐次递归关系简介1.1容斥原理设S是有限集合,Ai S(i=1,2,…,n,n≥2)则∪ni=1Ai =( A1 + A2 +…+ An )-( A1∩A2 + A1∩A3 +…+ An-1∩An )+…+(-1)n-1 A1∩A2∩…∩An=∑nk=1(-1)k-1∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 这就是容斥原理。
显然,容斥原理也可以写成S-∪ni=1Ai = S +∑n k=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 容斥原理还有另一种叙述形式,即设S是有限集合,P1,P2,…,Pn是n个性质,Ai是S中具有性质Pi的元素的集合,A-i是S 中不具有性质Pi的元素的集合(以上i=1,2,…,n)。
对于任意k(1≤k≤n)个正整数i1,i2,…,ik(1≤i1<i2<…<ik≤n), Ai1∩Ai2∩…∩Aik 表示S中同时具有性质Pi1,Pi2,…,Pik的元素个数, A-1∩A-2∩…∩A-n 表示S中不具有性质P1,P2,…,Pn中任何一个性质的元素个数,即A-1∩A-2∩…∩A-n = S +∑nk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik 1.2常系数线性齐次递归关系的解法设{an}n≥0是一数列,通项an与其前面若干项的关系式通常称为关于该数列通项的一个递归关系。
设c1,c2,…,ck是k个常数,且ck≠0,则递归关系an=c1an-1+c2an-2+…+ckan-k(n≥k)称为k阶常系数线性齐次递归关系。
称方程xk=c1xk-1+c2xk-2+…+ck-1x+ck为此递归关系的特征方程。
由代数基本定理,这个k次方程在复数域内有k个根。
设q1,q2,…,qt为其全部不同的根,重数分别是r1,r2,…,rt(显然r1+r2+…+rt=k),则此数列的通项为: an=(b11+b12n+…+b1r1nr1-1)qn1+(b21+b22n+…+b2r2nr2-1)qn2+…+(bt1+bt2n+…+btrtnrt-1)qnt其中诸bij(共有k个)是待定系数,只需将数列{an}开始的k项初值代入即可确定出这些系数,从而最终得到数列{an}的通项公式。
反之,由数列{an}的通项公式也可求出关于an的递归关系式。
2数列{an}n≥0的整除性的判定和整除的计数整除性的判定是数论中经常遇到的问题。
在数论中利用同余理论去解答此类问题是常用的方法之一。
本文主要讨论数列{an}n≥0的各项可被某一整数整除的判定问题。
利用递归关系的解法,可以给出上述问题的解答。
读者可以通过下面的例题举一返三总结出解答此类问题的方法。
例1:证明数列{an}n≥0={11n+2+122n+1}的各项能被133整除。
证法1:利用数论中的同余理论证明由于133等于两个质数7和19的乘积,因此只要11n+2+122n+1能被7和19整除,则一定能被133整除。
通项an可写成为an=11n+2+122n+1=121×11n+12×144n。
因为121≡7,144≡11(mod19),所以11n+2+122n+1≡7×11n+12×11n≡19×11n≡0(mod19),即19 11n+2+122n+1。
而121≡2,11≡4,12≡5,144≡4(mod7),所以11n+2+122n+1≡2×4n+5×4n≡7×4n≡0(mod7),即7 11n+2+122n+1。
从而得到133 11n+2+122n+1。
证毕证法2:利用递归关系的解法证明因为an=11n+2+122n+1=121×11n+12×144n,而11+144=155,11×144=1584所以x1=11,x2=144是方程x2-155x+1584=0的两个根,从而有递归关系an=155an-1-1584an-2(n≥2)又因为a0=121+12=133a1=121×11+12×144=3059=133×23a0和a1都能被133整除,由递归关系式可知an(n=0,1,2,…)均能被133整除。
证毕·7·我们还可以利用容斥原理去解决一个整除的计数问题。
设a1,a2,…,an及N都是正整数,如何计算出从1到N的N个整数中同时能被a1,a2,…,an中某几个指定的数整除的整数个数;以及不能被a1,a2,…,an中的任何一个整除的整数个数呢?容斥原理直接给出了这个问题的解答。
令S={1,2,…,N},设s∈S。
若ai s,则称s具有性质pi,又设Ai是S中具有性质Pi的元素集合,A-i 是S中不具有性质Pi的元素集合(以上i=1,2,…,n)。
显然, Ai1∩Ai2…∩Aik 就是S中同时具有性质Pi1,Pi2,…,Pik的元素个数,(以上1≤i1<i2<…<ik≤n,1≤k≤n),而A-1∩A-2∩…∩A-n 就是S中不具有性质P1,P2…,Pn中任何一个性质的元素个数。
由于一个整数能同时被ai1,ai2,…,aik整除当且仅当这个整数能被它们的最小公倍数lcm(ai1,ai2,…,aik)整除,所以Ai1∩Ai2∩…∩Aik =Nlcm(ai1,ai2,…,aik)上式中Nlcm(ai1,ai2,…,aik)表示其值为不大于Nlcm(ai1,ai2,…,aik)的最大整数。
由容斥原理可得出A-1∩A-2∩…∩A-n =N+∑nk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤n Ai1∩Ai2∩…∩Aik=N+∑nk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤nNlcm(ai1,ai2,…,aik)3Euler函数的计数和质数个数的计数Euler函数是数论中的一个重要函数。
设n为自然数,以φ(n)表示不大于n且与n互质的自然数个数,这个φ(n)就称为Euler函数。
例如φ(12)=4,φ(13)=12,φ(36)=12。
若P为质数,则显然有φ(P)=P-1。
若n是一个较大的合数,则φ(n)的计数就不那么容易了。
然而,利用容斥原理φ(n)的计数问题就可以很快得到解决。
设n(n≥2)为自然数,P1,P2,…,Pm是n的全部质因数,r是任一不大于n的自然数。
r与n互质当且仅当r不能被P1,P2,…,Pm中的任一个整除。
因此,φ(n)等于由1到n的n个整数中不能被P1,P2,…,Pm中的任一个整除的整数个数。
由容斥原理可直接得到φ(n)=n+∑mk=1(-1)k∑1≤i1<i2<…<ik≤mnlcm(pi1,pi2,…,pik)=n+∑mk=1(-1)k∑1≤i1<i2<...<ik≤mnpi1pi2 (i)=n-np1+np2+…+npm+np1p2+np1p3+…+npm-1pm+…+(-1)mnp1p2…pm=n1-1p11-1p2…1-1pm利用这一结果,可以很容易验证φ(12)=4,φ(13)=12,φ(36)=12。
设n是自然数,以π(n)表示不大于n的质数的个数。
虽然目前尚未找到π(n)的计数公式,但是利用容斥原理我们可以得到一种求π(n)的方法。
设p1,p2,…,pm是不大于n的全部质数。
令S={1,2,…,n},任取s∈S,由数论知识可知,s是质数当且仅当要么s是p1,p2,…,pm中之一;要么s≠1且不能被p1,p2,…,pm中的任一个整除。
由容斥原理,S中不能被p1,p2,…,pm中的任一个整除的整数个数是n+∑mk=1(-1)k∑1≤i1<i2<...<ik≤mnpi1pi2 (i)其中1是适合上述条件的一个数,但1不是质数,因此要减去1。
p1,p2,…,pm这m个数不适合上述条件。
但它们又都是不大于n的质数,因此还要加上m。
这样一来就可求出π(n)的值。
π(n)=m-1+n+∑mk=1(-1)k∑1≤i1<i2<...<ik≤mnpi1pi2 (i)例2:求π(42)解:不大于42的全部质数有3个:2,3,5,所以π(42)=3-1+42-422+423+425+422×3+422×5+423×5-422×3×5=13经验证知,不大于42的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,共13个。
参考文献1R.A.Brualdi.组合学导引.华中理工大学出版社,19882曹汝成.组合教学.华南理工大学出版社,20013康庆德.组合数学趣话.河北科学技术出版社,1999 4张奠宙.组合数学方兴未艾.广西教育出版社,2000 5闵嗣鹤,严士健.初等数论.高等教育出版社,2000。