大物习题答案

习 题 六

6—1 一轻弹簧在60N 的拉力下伸长30cm 。现把质量为4kg 物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm ，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm 时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm 处所需要的最短时间。

[解] (1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系

)/(07.74

200

1.0)

/(200103060

2

s rad m

k m

A m N k ===

==⨯=

-ω

设振动方程为 x =cos+φ)

t =0时, x = =φ φ=0

故振动方程为 x=(m)

(2)设此时弹簧对物体作用力为F ，则：

F ＝k (Δx )=k (x 0 +x )

其中 x 0 =mg /k =40/200=(m)

因而有 F = 200设第一次越过平衡位置时刻为t 1 ，则: 0= ) t 1 =π/

第一次运动到上方5cm 处时刻为t 2 ，则 = ) t 2 =2π/(3× 故所需最短时间为：

Δt =t 2 -t 1 =

6—2 一质点在x 轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点 A 时作

为计时起点(t ＝0)，经过2s 后质点第一次经过点B ，再经 2s 后，质点第二经过点B ，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB =10cm ，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A 点处的速率。

[解] 由旋转矢量图和||||b a v v =可知42

1=T s

4/28/1,

81ππνων====∴-s s T

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方。

t =0时, φcos 5A x =-= t =2s

时，

φφωsin )2cos(5A A x -=+==

由以上二式得 1tan =φ

因为在A 点质点的速度大于零，所以4

3πφ-

= cm x A 25cos /==φ

所以，运动方程为：

)()4/34/cos(10252SI t x ππ-⨯=-

(2)速度为： )434sin(410252π

ππ-⨯-==-t dt dx v

当t =2s 时 s cm t dt dx v /93.3)4

34sin(425=--==π

ππ

6—3 一质量为M 的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为 12cm ，在距平衡位置6cm 处，速度为24s cm ，求：(1)周期T ； (2)速度为12s cm 时的位移。

[解] (1) 设振动方程为()()cm t A x ϕω+=cos 以cm A 12=、cm x 6=、124-⋅=s cm v 代入，得：

()ϕω+=t cos 126 ()ϕωω+-=t sin 1224

利用()()1cos sin 22=+++ϕωϕωt t 则112241262

2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛ω

解得 334=

ω ()s T 72.22

3

2===πωπ (2) 以124-⋅=s cm v 代入，得：

()()ϕωϕωω+-=+-=t t sin 316sin 1212

解得：()43sin -

=+ϕωt 所以 ()4

13

cos ±=+ϕωt 故 ()()cm t x 8.1041312cos 12±=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

±

⨯=+=ϕω

6—4 一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。

[解] 设振动方程为：()ϕω+=t A x cos

根据振动曲线可画出旋转矢量图 由图可得： φ=2π/3

ω=Δφ/Δt =(π/3+π/2)/2=5π/12

故振动方程为 x =10cos(5πt /12+2π/3) (cm)

6—5 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率s rad 10=ω，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移0x ＝ cm ，初始速度

s cm 0.750=v ；(2)其初始位移0x ＝ cm ，初速度s cm 0.750-=v 。

φ∆φ

x

[解] 设振动方程为 x =A cos(10t +φ) (1) 由题意得： =Acos φ 75=-10A sin φ 解得：4πφ-= A = 故振动方程为：

x =(10t 4π-)(cm) (2) 同理可得：x =(10t 4π+)

本题用旋转矢量法更为直观。另外，同学们在做作业时，不要用“同理可得”。

6—6 一轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30cm 。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg 待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后释放。问：(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件二者在何位置开始分离

[解] (1)小物体停止在振动物体上不分离。 (2) 设在平衡位置弹簧伸长0l ，则Mg kl =0

又 ()m N l N k 2003

.060

===

故 ()m k Mg l 196.0200

8

.940=⨯==

当小物体与振动物体分离时 ()Mg kl kA =>0，即 0l A >， 故在平衡位置上方处分离。

6—7 一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm ，在距平衡位置6cm